足球表面的数学

欧拉定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:欧拉定理认识欧拉欧拉,瑞士数学家,1３岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到7６岁,他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了70０多篇论文。

彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了４7年。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。

他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。

即使在他双目失明后的17年间,也没有停止对数学的研究,口述了好几本书和400余篇的论文。

当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。

欧拉永远是我们可敬的老师。

欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。

19世纪伟大的数学家高斯（Gａuss，1７77-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。

欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π,i，e,ｓｉn,cos，tｇ，Σ,ｆ(x)等等,至今沿用。

欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题,还解决了使牛顿头痛的月离问题。

对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。

欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数Ｖ、棱数E、面数F之间总有关系V+Ｆ－E＝2，此式称为欧拉公式。

V+F-Ｅ即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。

那么什么是“拓扑学”? 欧拉是如何发现这个关系的?他是用什么方法研究的?今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式．..．..初等数论中的欧拉定理定理内容在数论中，欧拉定理(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。

足球中的数学问题研究目的：通过对足球项目中蕴含的数学知识的研究，了解数学的应用，从而以崭新的角度来诠释数学所包蕴丰富内涵，培养并提高对数学学习的兴趣，进一步巩固和掌握所学数学知识，以达到灵活运用的目的。

研究问题：1、足球表面皮块总数的研究。

2、在距离底线多远处射门，可有最大的入射范围角α？研究步骤：确立研究内容→搜集资料→绘制图表→简单应用。

研究报告内容：足球，当今世界最流行，拥有最多观众的运动项目，早在我国两千多年前的战国时代，就已是风靡一时了。

现在，足球作为一项激烈而扣人心弦的运动，因其场地大，人数多，对抗性强，富有戏剧性和刺激性而深受世界人民的喜爱。

但你可知道，从足球本身直至整项运动中，都包含着我们所了解的数学知识以及数学内涵。

正文一、足球表面的“黑”与“白”不少人热爱足球运动，但似乎却很少有人留意到组成足球面上两种黑，白皮块的几何形状和数目。

一般标准的足球表面有两种正多边形，一种是黑色的正五边形，另一种是白色的正六边形。

从上图，可以发现，每一个黑色的皮块的边都与其周围的白色皮块有公共边，而每一个白色皮块只有三条边与黑色皮块存在公共边。

如果设黑色皮块的数目为x，白色皮块的数目为y，则5x=3y=黑色皮块相邻边的总数，所以x：y=3：5。

利用这个关系，我们只须数一下黑色皮块的数目，便可知道整个足球皮块的总数目：例：当知道黑色皮块为12，则皮块的总数为8/3×12=32二、足球“入射角”α的研究足球比赛中运用技术，战术的最终目的是为了达到射门得分，所以能否在最后临门一脚或用头顶将球射进对方球门，是比赛胜负的关键，也就是我们常说的是否可以一脚定乾坤。

因为射门常常是在跑动中进行的，所以对角度，距门距离的要求是非常高的，如果可以以一定的角度和距离加上合适的力度与方向，想必这球也一定会破门而入的。

射门可根据距离分为：近射一11米以内;远射一2 0米以外;中距离射一介于二者之间;根据来球的高低分为：地滚球、反弹球和凌空球;根据球飞行的路线分为：射直线球和射弧线球。

足球场上的数学代码
足球是一场数学游戏，球场上充满了各种数字和数学分析。

这些数字不是一开始就这样的，是慢慢演变而来的，主要跟人们对比赛期望进球数和精彩程度有关。

在足球早期，对球场没有大小规定，但很快人们意识到，不能太小，球员需要有时间来控球、跑动；当然也不能太大，没人来拦截，比赛就不精彩了。

球场与球员数量之间有个最优值，就是球员持球时间跟对方球员跑过来的时间相等。

一般认为球员的持球时间是3秒，1秒时间接球，1秒时间控球，1秒时间传球或者盘带。

这样，就确定了现代场地的大小。

再如，一般观众不接受0-0的结果，觉得不刺激；另一方面，足球不愿意跟篮球和橄榄球比赛一样，高分值。

因此如果球门宽度加大一倍，那么每场比赛的进球数会接近篮球的进球；如果球门宽度缩短一半，那么比赛大概率会0-0结束。

在足球比赛中，经常会说一句话：足球是圆的。

足球比赛不好预测，经常有弱队干翻强队的事，贝利就是著名的乌鸦嘴。

这也是跟数学有关，原因就是足球比赛进球数少。

总进球数少的情况下，弱队取胜概率就会大大增加。

在很多比赛里，球迷一看到角球就极为兴奋，潮水般的掌声和呐喊。

哇，好像射门得分已经在望。

可惜的是，根据数据统计，角球转化为射门的成功率约为20.5%，而9次角球射门才能进一个球，因此
平均一个角球的破门数是0.022个。

角球直接破门得分，只是一个美好的希望。

一只球队平均在每9次射门中，就会有1粒进球。

一个球队的成功率跟抛硬币一样，差不多是50%。

足球是一项球权不停转换的运动，大部分控球在一脚传球后就终结，91.5%的传球达不到第4脚。

足球构造中的数学问题足球运动被誉为当今世界第一体育运动，四年一度的世界杯足球赛吸引了数以万计学生的关注。

但调查显示，尽管参加足球运动的学生中有95%知道足球是由黑、白两色皮革私合或缝制而成，但知道黑、白两色皮革的形状、块数的仅有28.2%和5.6%，至于足球的表面结构与正多面体的关系则很少有人知晓。

为此，以中学学科知识为基础，我们开展了一次富有成效的研究性学习。

一、走访调查通过走访足球生产厂家、体育用品商店、足球教练以及中学体育教师，我们获得了许多与足球有关的知识。

1.球的外形。

足球虽然是球体，但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。

足球不得使用可能伤害运动员的材料，通常用皮革或其他适当材料制作。

其中黑色皮为正五边形，白色皮为正六边形，表面之间具有下列特征:①黑色皮周围都是白色皮;②每两个相邻的多边形恰好有一条公共边;③每个顶点都是三块皮的公共点，且为一黑二白。

(图l).2.相关数据。

正式比赛用球，其大圆的圆周长在68cm至7Icm之间，球的质量应在396 g至453 g之间，充气后其压力应在600g/cm2至1100g/cm2之间。

3.充气时的力学原理。

当空气不断地充人球体内时，球内的空气质量不断增多，此时，球体内压强逐渐变大，可将球皮撑起(球体内部气体压力将平衡大气压力及球皮张力)。

二、研究内容1.黑、白两色皮块数的计算。

依中学数学教材，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F有关系V+F-E=2(欧拉定理)。

假设黑、白两色皮各有x，y块，则面数F=x+y；由于每条棱均为两个面的交线，以棱数E=(5x+6y)/2;每个顶点均为三个面的公共点，所以顶点数v=(5x+6y)/3。

由欧拉定理，有(5x+6y)/3+( x+y)- (5x+6y)/2 =2。

①又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连，剩余三条边与黑色皮相接，故6y/2=5x。

②解①②可得x=12，y=20，皮有20块。

由足球比赛积分表引发的数学思考足球比赛积分表是我们在关注足球比赛时经常会看到的一种形式，它记录了每个参赛球队在一定比赛周期内的表现，并通过对赛果的加分和计算，最终确定比赛结果。

足球比赛积分表背后的计算原理其实也是一种非常基础的数学运算，而这种运算不仅在足球比赛中有应用，同时还有一些实际的应用价值，让我们一起来探讨一下吧。

足球比赛积分表的计算方法在足球比赛积分表中，每支球队都有自己的积分，通过积分的计算，最终可以确定球队在比赛中的排名。

在一般的足球赛事中，通常对比赛胜利、平局、失败分别加上3分、1分、0分。

通过不断累加，便可以得到球队在比赛周期内的总积分。

而在比赛积分表中，球队之间的排名通常按照积分的高低来排序，积分相同的情况下会比较一些其他的指标，例如净胜球数等。

比赛积分表背后的数学运算比赛积分表背后的计算原理实际上是一种基础的代数运算，我们可以将其理解为一个简单的方程式。

以常见的3分制计算方法为例，我们可以将输赢情况分别表示为0和1，这样我们就可以将每场比赛的结果表示为一个数组，例如：[1, 0]其中1表示胜利，0表示失败。

我们可以通过一个简单的方程式来计算每支球队在比赛周期内的总积分，例如：积分 = 胜利的场数 x 3 + 平局的场数 x 1 + 失败的场数 x 0这样我们就可以轻松地计算出每支球队在比赛周期内的总积分，再通过比较和排名等实现了数据的可视化呈现。

比赛积分表的实际应用价值虽然比赛积分表看起来只是足球比赛中的一种必要工具，但其实它在实际生活中也有很大的应用价值。

例如，在商业运作中，我们有时需要根据不同的因素计算每个客户的积分，这个时候我们也可以使用比赛积分表的计算方法，依据规则计算客户在一定时间内的积分，然后根据积分高低制定相应的优惠政策。

此外，在一些投资决策中，比赛积分表同样也有重要作用。

例如在一个股票组合中，我们可以将每个股票都看作是一支球队，然后通过对市场涨跌情况的加分和扣分，来计算整个股票组合的表现。

运用欧拉定理求解足球面数问题
准备过程：我们刚刚学过欧拉定理：V+F-E=2，其中V 是多面体P 的顶点个数，F 是多面体P 的面数，E 是多面体P 的棱的条数。

解答：
我们设五边形的个数为x 个，六边形的个数为y 个。

1）面的计算。

同学们，我们做好假设后是不是可以很快的写出面的个数呢？对
面的个数是x+y ,我们记作F=x+y ○
1. 2） 棱的计算。

问题：如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且每个顶点连接三条棱，问五边形和六边形的个数？
3）点的计算。

我们观察这个足球上的所有五边形，同学们有没有发现，五边形的五个点覆盖了这个足球的所有顶点，所以我们是不是可以用5x 来表示这个
足球的所有定点的个数呢？ 我们记V=5x ○
3. 其实顶点数还有一种表示方法，怎么表示呢来看
于是带入欧拉公式：F+E-V=2 (
我们得到
4y =322
x + ○
5 我们得到一个关于x,y 的一元一次方程，但不足以让我们解出x,y 的值，我们还需要其他的条件。

我们将式5,6联立，得到：
x=12
y=20
本题得解。

数学新课标实践：足球世界杯上的数学知识第22届卡塔尔世界杯足球赛在2022年第一次在中东国家境内举行，也是首次在北半球冬季举行。

不管是真球迷还是伪球迷，总要聊点和足球相关的事。

C罗、梅西这些巨星也就是最后一次世界杯了……其实，热闹的世界杯足球赛里蕴含着丰富的数学知识，刘老师今天就和大家聊一聊这里的数学知识，当然这里既包括小学生知道的数学知识，也有高等数学知识。

我们边看球边学数学，寓教于乐、两不耽误。

年月日知识世界杯足球赛每四年举行一届，每个举办的年份都是平年。

1930年举办第一届世界杯。

1930、1934、1938、1950、1954、1958、1962、1966、1970、1974、1978、1982、1986、1990、1994、1998、2002、2006、2010、2014、2018年、2022年，今年的世界杯是第22届。

这些年都是平年，因为这些数都不能整除4，所以是平年；那么四年之后还是平年。

每届世界杯基本都在举办年的6月上旬或中旬开幕，7月上旬或中旬结束（但本次世界杯由于卡塔尔夏季气温太高，特放在11-12月比赛，气温合适。

），历时一个月左右；今年召开的世界杯是第22届世界杯，1930年召开了第一届世界杯，中间因为第二次世界大战停办了两届。

这里学生不仅学习了年月日的知识，还了解了足球世界杯的历史。

2022年卡塔尔世界杯比赛将会进行28天，从2022年11月21日（北京时间）开始，到2022年12月18日结束。

本次世界杯的揭幕战将于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔。

可见，卡塔尔当地时间和北京时间相差5小时，中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区。

所以，不少比赛在当地是黄金时间开始，在中国就要到夜里才能看到。

排列组合知识参加卡塔尔世界杯足球赛的国家共有32个（俗称32强），每四支球队为一组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其它各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3、4名。