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第1课时 奇偶性的概念第一章 1.3.2 奇偶性学习目标1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图象中，关于y 轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案 ①②关于y 轴对称，③④关于原点对称.一般地，图象关于y 轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为偶奇知识点二 函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有任意f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)任意函数奇偶性的概念：知识点三 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域原点是否关于对称.题型探究 重点难点 个个击破类型一 如何证明函数的奇偶性证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明 函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.证明 定义域为{x|x≠0}.若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数.证明 ∵f(x)的定义域为R，∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)是偶函数.(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；证明 函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数.因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，即该函数既是奇函数又是偶函数.证明 定义域为{x|x≠0}.若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.类型二 如何判断函数的奇偶性例2 (1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解 ∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数. f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；解 ∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数.(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值.解 由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数.跟踪训练2 (1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f [g(x)]的奇偶性；解 ∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数.f [g(－x)]＝f [g(x)]，y＝f [g(x)]是偶函数.(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值.解 ∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数.设x<0，则－x>0.由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，∴af(－x)＋bg(－x)≤3，∴af(x)＋bg(x)≥－3，∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.类型三 奇(偶)函数图象的对称性的应用例3 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)解不等式xf(x)>0.解 xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).达标检测 451231.函数f(x)＝0(x∈R)是( )DA.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数A3.函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是( )CA.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )BA.4B.3C.2D.15.下列说法错误的个数是( )B①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).A.4B.3C.2D.0规律与方法1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.。
备课资料最值在参数讨论中的应用Ⅰ.知识归纳：1.“恒成立”问题：设函数f （x ）的定义域为区间D ，①若a ＞f （x ）对x ∈D 恒成立⇔a ＞max ［f （x ）］（或［f （x ）－a ］max ＜0）；②若a ＜f （x ）对x ∈D 恒成立⇔a ＜min ［f （x ）］（或［f （x ）－a ］min ＞0）；2.“存在”问题：设函数f （x ）的定义域为区间D ，①若存在x ∈D ，使得a ＞f （x ）⇔a ＞min ［f （x ）］（或［f （x ）－a ］min ＜0）.②若存在x ∈D ，使得a ＜f （x ）⇔a ＜max ［f （x ）］（或［f （x ）－a ］max ＞0）.Ⅱ.学习要点：1.“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.2.必须注意，如果f （x ）在定义区间D 上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）”改为“≤（≥）”.3.在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意…总有……”，“无论……都有……”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D 内有解”“集合A ≠∅”等多种形式，注意总结经验.【例1】 设函数f （x ）=m －25x -，g （x ）=2x +1，集合A ={x |f （x ）≤g （x ）}，A ≠∅，求实数m 的取值范围.解：A ≠∅⇔不等式f （x ）≤g （x ）有解，这是“存在”性问题.由5－x 2≥0⇒－5≤x ≤5.∵A ≠∅⇔不等式m －25x -≤2x +1在x ∈［－5，5］内有解，即存在x ∈［－5，5］，使得m ≤2x +1+25x -.设h （x ）=2x +1+25x -（－5≤x ≤5），故命题又等价于m ≤［h （x ）］max . 求导得h ′（x ）=2+25x x--=22552x x x ---=0⇒225x -=x ⇒x 2=4，x =2，且h ′（x ）的值在x =2处左正右负，∴［h （x ）］max =h （2）=6.∴实数m 的取值范围是（－∞，6］.评析：有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型，其中有许多与最值有关，这类问题的理解比“恒成立”要困难一些.【例2】 设f （x ）=x 2+bx +c （－1≤x ≤1），若b ＞2，问是否存在x ∈［－1，1］，使得|f （x ）|≥b ？说明理由.解：这是关于“存在”性问题，注意问题中x 是变量，b 是参数.设存在这样的x ，∵|f （x ）|≥b ⇔f （x ）≤－b 或f （x ）≥b ，则命题等价于－b ≥［f （x ）］min 或b ≤；f （x ）］max ；∵b ＞2，∴f （x ）的对称轴x 0=－2b ＜－1，f （x ）在［－1，1］内单调递增. ∴－b ≥f （－1）=1－b +c 或b ≤f （1）=1+b +c ，得1+c ≤0或1+c ≥0，显然正确，故存在x ∈［－1，1］，使得|f （x ）|≥b .评析：如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题，则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁又严密的解题过程.。
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：〔1〕元素确实定性； 〔2〕元素的互异性； 〔3〕元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是公平的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比拟它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 〔1〕用大写英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 〔2〕集合的表示方法：列举法与描述法。
〔Ⅰ〕列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
〔Ⅱ〕描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①言语描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} 〔3〕图示法〔文氏图〕： 4、常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于〞的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A 6、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的根本关系 1.“包含〞关系———子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B注意： 有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A 与B 是同一集合。
备课资料
1.教学中设置下列疑问和注意
【置疑1】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
解疑：不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B 的部分元素组成的集合是不确切的．
【置疑2】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
解疑：对照定义可以证明这样的定义是正确的.
注意：（1）子集与真子集符号的方向.如A⊆B与B⊇A同义；A⊆B与A⊃B不同.
（2）易混符号①“∈”“⊆”，元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.如1∈N，－1∉N，N⊆R，∅⊆R，{1}⊆{1，2，3}.
②{0}与∅：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合.如：∅⊆{0}，不能写成∅={0}，∅∈{0}.
2.康托尔·罗素·数学第三次危机
1847年，德国数学家康托尔（1845～1918）创立了集合论，他是集合理论的创始人.集合理论很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础.到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了.就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1903年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗.
1903年，英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”.后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发.”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言.很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则.
“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起轩然大波.“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢?一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”.这就是数学史上著名的“第三次数学危机”.“罗素悖论”构成的危机震撼了国际数学界，进而也进一步推动了数学的向前发展.
“理发师悖论”分析如下：如果理发师给自己理发，那么理发师就属于自己给自己理发的那类人.但是，招牌上说明理发师不给这类人理发，因此理发师不能自己理.如果由另外一个人给理发师理发，理发师就是不给自己理发的人，而招牌上明明说理发师要给所有不自己理发的男人理发，因此，理发师应该自己理.由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的.用集合论的语言可以把这一“理发师悖论”表述如下：P是一个集合，它是由那些不属于元素x自身的元素组成，即P=｛x|x不属于x｝.那么，x是否属于集合P呢?显然，无论在什么情况下都是矛盾的.。
