阶的估计在收敛问题中的应用

收敛阶定义
收敛阶是指一个数列或函数收敛到某个极限时的速度。

具体来说，如果数列{an}收敛到a，那么其收敛阶是指当n趋近于无穷大时，
|an-a|和某个函数f(n)之间的关系。

如果存在正常数C和α，使得
|an-a|≤Cf(n)α对所有的n成立，那么称f(n)是数列{an}的收敛阶，记作O(f(n))。

类似地，如果函数f(x)在x趋近于a时收敛到L，那么其收敛阶是指当x趋近于a时，|f(x)-L|和某个函数g(x)之间的
关系。

如果存在正常数C和α，使得|f(x)-L|≤Cg(x)α对所有的x
成立，那么称g(x)是函数f(x)的收敛阶，记作O(g(x))。

收敛阶的
意义在于可以帮助我们比较不同数列或函数的收敛速度，从而更好地理解极限的性质和特点。

- 1 -。

牛顿迭代法的收敛阶数
牛顿迭代法的收敛阶数通常是二阶收敛的。

这意味着每一次迭代，误差的平方会减少到原来的平方。

具体来说，如果近似解为x_n，那么下一个近似解x_{n+1}的误差为|x_{n+1} - x|，则有以下关系：
|x_{n+1} - x| ≈ C |x_n - x|^2
其中C为常数，|x_n - x|表示第n次迭代得到的近似解与真实解之间的距离。

这种二阶收敛的特性使得牛顿迭代法在求解方程时具有较高的效率和精度，尤其是在初始点选择得当的情况下。

但需要注意的是，当初始点选择不当或者函数在某些点上存在奇异性时，牛顿迭代法可能会出现发散的情况。

因此，在应用牛顿迭代法时，需要仔细选择初始点，并且在迭代过程中要进行收敛性判断和调整。

牛顿迭代法的收敛阶与方程重根的关系陈桂秀，黄翠英，何小叶，谢晓敏，马进兰，贺晓兰【摘要】摘要：迭代法是方程求根中最常用的方法，本文首先介绍了与迭代法相关的概念和收敛性定理，然后讨论了牛顿迭代法的局部收敛性，最后讨论了牛顿迭代法的收敛阶与方程重根的关系，并举例进行说明．【期刊名称】青海师范大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2016(032)001【总页数】4【关键词】迭代法; 牛顿迭代法; 收敛阶; 方程重根方程求根是《数值分析》课程中的重要内容，在求方程f(x)=0的根时，当其有根区间确定后，就可以采用将近似根精确化的各种方法，如二分法，迭代法，牛顿迭代法，牛顿下山法以及弦截法等，本文主要讨论牛顿迭代法的收敛阶与方程重根的关系．1 预备知识定义1.1[1] 迭代法是一种逐次逼近的方法，首先给定方程f(x)=0的一个粗糙的初始近似根x0，然后用同一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止．迭代法的具体做法：将方程f(x)=0改写成等价形式x=φ(x)，在根x*附近任取一个初始近似根x0，通过以下方法构造近似根序列：首先将x0代入φ(x)得到x1=φ(x0)，一般x1≠x0(否则，x*=x1)，然后把x1作为新的近似根代入φ(x)得x2=φ(x1)，…，重复上述步骤得到迭代公式xk+1=φ(xk) (k=0,1,2,…)，这种方法称为迭代法(或单点迭代法，或简单迭代法)，其中φ(x)称为迭代函数，xk+1=φ(xk) (k=0,1,2,…)称为迭代公式(或迭代过程)．于是上述迭代公式产生了一个近似根序列x0,x1,x2,…,xk,…，如果该序列极限存在，即，则称近似根序列收敛或迭代过程xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)收敛．否则，称近似根序列发散或迭代过程xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)发散．定理1.1[1] (迭代法收敛性定理)设方程f(x)=0的有根区间为[a,b]，迭代函数φ(x)满足下列两个条件:(1) 对任意x∈[a,b]有a≤φ(x)≤b(2) 存在正数L<1，使对任意x∈[a,b]有则对任意初始值x0∈[a,b]，迭代过程xk+1=φ(xk)均收敛于方程x=φ(x)的根x*，即；误差事后估计式为 .该定理的条件在较大的有根区间上很难保证其收敛性，通常在根x*附近考察其收敛性．定义1.2[1] 称迭代过程在根x*附近具有局部收敛性，是指如果存在邻域≤δ，迭代过程xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)对任意初始值x0∈Δ都收敛．定理1.2[1] (迭代法局部收敛性) 设φ(x)在方程x=φ(x)根x*附近有连续一阶导数且<1，则迭代过程xk+1=φ(xk)具有局部收敛性．衡量一个迭代算法的实用价值，除了保证收敛之外，还要考虑收敛速度．所谓收敛速度是指接近收敛时迭代误差的下降速度，记迭代误差ek=x*-xk为第k 次迭代所产生的误差．定义1.3[2] 设迭代公式xk+1=φ(xk)(k=0,1,2,…)产生的迭代序列收敛于方程x=φ(x)的根x*. 如果存在实数p≥1和非零常数c使得=c，则称迭代序列或迭代过程p阶收敛．特别地，p=1,2分别称为线性收敛和平方收敛，p>1时称为超线性收敛，p的大小反映了迭代序列收敛速度的快慢，p越大收敛越快．注：当p=1时，极限c必须是0<c<1；规定c≠0来定义p阶收敛性，如果允许c=0，则可理解为迭代的收敛速度比p阶还要快，可称为超p阶收敛．2 牛顿迭代法的收敛阶与方程重根的关系牛顿迭代法的基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解．设已知方程f(x)=0的近似根xk，将函数f(x)在点xk处作一阶泰勒展开得到f(x)≈f(xk)+f′(xk)(x-xk)，则方程f(xk)+f′(xk)(x-xk)=0是一个线性方程．假设f′(xk)≠0，则，取x作为原方程f(x)=0的新的近似根并记为xk+1，于是牛顿迭代公式为，k=0,1,2,…，牛顿迭代函数为，称这种迭代方法为牛顿迭代法(简称为牛顿法)．定理2.1 设x*是方程f(x)=0的单根，则牛顿迭代法是局部收敛的．证明设x*是方程f(x)=0的单根，则f(x)=(x-x*)g(x)且g(x*)≠0.由f′(x)=g(x)+(x-x*)g′(x)得f′(x*)≠0，根据牛顿迭代函数有，从而φ′(x*)=0<1. 根据定理1.2知牛顿迭代法是局部收敛的．定理2.2 设x*是方程f(x)=0的单根，则牛顿迭代法具有平方收敛阶．证明设xk是方程f(x)=0的根x*的第k次近似根，将函数f(x)在点xk处作二阶泰勒展开(假设f(x)是二次连续可微函数)，于是，其中ξ位于x与xk之间，取x=x*得，则x* . 从而x*(x*-xk)2，则这表明牛顿迭代法具有平方收敛阶．例1 写出用牛顿法求方根(c>0)的迭代公式，并说明牛顿法具有的收敛阶．解(1) 设，则上述问题转化为求方程f(x)=x2-c=0的正根，从而f′(x)=2x，牛顿迭代公式为,…. 根据牛顿迭代函数得，于是，所以收敛的迭代公式为,….(2) 根据牛顿迭代公式有.于是≠0 . 这说明用牛顿法求单根(c>0)时迭代公式具有平方收敛阶．定理2.3 设x*是方程f(x)=0的m(m≥2)重根，则牛顿法具有线性收敛阶．证明设x*是方程f(x)=0的m(m≥2)重根，则f(x)=(x-x*)mg(x)且g(x*)≠0. 根据f′(x)=m(x-x*)m-1g(x)+(x-x*)mg′(x)有f′(x*)≠0. 由牛顿迭代函数得，从而φ′(x*)=0<1. 根据定理1.2知牛顿迭代法是局部收敛的．根据牛顿迭代公式有，于是从而≠0. 这表明用牛顿法求方程f(x)=0的m(m≥2)重根x*时迭代公式具有线性收敛阶．例2 写出用牛顿法求方程f(x)=(x2-c)2=0(c>0)的根的迭代公式，并说明其收敛速度．解(1) 根据f(x)=(x2-c)2=0知是此方程的二重根m=2，则f′(x)=4x(x2-c). 牛顿迭代函数为，从而由得，则收敛的迭代公式为,….(2) 根据牛顿迭代公式有.从而这表明牛顿法求方程f(x)=(x2-c)2=0(c>0)的二重根时迭代公式具有线性收敛速度．上述两个例子表明：利用牛顿法求方程f(x)=0的单根时迭代公式具有平方收敛速度，在求方程f(x)=0的二重根时具有线性收敛速度．这表明收敛速度随着方程重根的个数增大而减小，因此，讨论变形牛顿法具有的收敛阶和方程重根之间的关系是很有必要的．参考文献：[1] 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003.[2] 张诚坚, 高健, 何南忠. 计算方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[3] 李庆扬, 关治, 白峰杉. 数值计算原理[M]. 北京: 清华大学出版社, 2005.[4] 郑咸义. 计算方法[M]. 广州: 华南理工大学出版社, 2003.[5] 宋国乡, 冯有前, 王世儒，等. 数值分析[M].西安: 西安电子科技出版社, 2002.[6] 颜庆津. 数值分析[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2006.[7] 王能超. 数值分析简明教程(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. (责任编辑：王海明)。

矩收敛推依概率收敛数学中的矩收敛是指随机变量序列的各阶矩（期望值和方差等）随着样本量的增加而趋于稳定的现象。

而依概率收敛是指随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。

矩收敛和依概率收敛是概率论和数理统计中两种常见的收敛形式。

从定义上来看，矩收敛要求随机变量序列的各阶矩都收敛到相应的随机变量矩，而依概率收敛则是要求随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。

矩收敛通常被用于描述总体的性质以及样本估计量的性质。

在概率论和数理统计的研究中，矩收敛可以使我们推导出样本均值、样本方差等统计量的渐进分布，从而得到总体参数的估计。

当随机变量序列的各阶矩都收敛时，我们可以推断出这些随机变量在某种意义上是趋于稳定的，因此可以使用样本矩来逼近总体矩。

而依概率收敛则常常用于最大似然估计、最小二乘估计等统计推断中。

当随机变量序列依概率收敛时，我们可以认为这些随机变量逐渐趋于某个确定的随机变量，而这个确定的随机变量可以通过统计推断来估计出来。

矩收敛与依概率收敛之间存在一定的关系。

一般来说，如果一个随机变量序列依概率收敛，那么它也会矩收敛。

这是因为依概率收敛可以保证随机变量序列在某个意义上接近某个确定的随机变量，而接近性可以使得各阶矩也会收敛。

但是反过来，矩收敛不一定能够推出依概率收敛。

这是因为矩收敛只要求各阶矩收敛，但并没有考虑到变量之间的相关性和收敛的速度。

因此，在研究随机变量序列的收敛性质时，需要根据具体的问题选择适当的收敛形式进行推导和分析。

总结起来，矩收敛和依概率收敛是概率论和数理统计中常见的两种收敛形式。

矩收敛要求随机变量序列的各阶矩收敛到相应的随机变量矩，而依概率收敛要求随机变量序列以一定的概率逐渐接近某个确定的随机变量。

两者虽然存在关系，但并不完全等价。

在研究随机变量序列的收敛性质时，需要根据具体问题选择适当的收敛形式进行推导和分析。

神经网络中的自适应学习率方法与技巧神经网络是一种模拟人脑神经系统的计算模型，它通过大量的神经元和连接来模拟人脑的信息处理过程。

在神经网络的训练过程中，学习率的选择对于网络的性能和收敛速度起着至关重要的作用。

然而，传统的固定学习率方法往往无法适应不同样本的特点，导致训练过程中出现过拟合或者欠拟合的问题。

为了解决这个问题，研究者们提出了各种自适应学习率方法与技巧。

一、动量法动量法是一种常用的自适应学习率方法，它通过引入动量因子来改善梯度下降算法的收敛性。

动量因子可以看作是梯度的一个指数加权平均，它可以帮助网络跳出局部极小值，加快收敛速度。

动量法的核心思想是在更新权重的过程中，不仅考虑当前梯度的方向，还考虑之前梯度的方向。

这样可以使得网络在参数空间中更加平稳地移动，避免陷入局部最优解。

二、学习率衰减学习率衰减是一种常用的自适应学习率技巧，它通过逐渐减小学习率的大小来提高网络的收敛性。

学习率衰减的思想是，在训练初期使用较大的学习率，以便快速找到全局最优解；而在训练后期使用较小的学习率，以便更加精细地调整参数。

学习率衰减可以根据训练的迭代次数、训练误差或者其他指标来进行调整，从而使得网络在不同阶段具有不同的学习率。

三、自适应学习率算法自适应学习率算法是一类基于梯度信息的自适应学习率方法，它通过分析梯度的变化情况来动态地调整学习率的大小。

其中，最为经典的算法是Adagrad、RMSprop和Adam。

Adagrad算法根据每个参数的历史梯度平方和来调整学习率的大小。

具体来说，它会为每个参数维护一个累积梯度平方和的变量，然后将学习率除以这个平方和的平方根。

这样可以实现对于稀疏梯度的自适应调整，使得较大梯度的参数更新较小，较小梯度的参数更新较大。

RMSprop算法是对Adagrad算法的改进，它引入了一个衰减系数来平衡历史梯度平方和的更新速度。

具体来说，RMSprop算法会为每个参数维护一个衰减平均梯度平方和的变量，然后将学习率除以这个平方和的平方根。

收稿日期:2007-08-26作者简介:王珍娥(1956-),女,浙江大学数学管理统计专业毕业,讲师。

谈无穷小阶的估计及应用王珍娥(浙江机电职业技术学院,杭州310053)摘 要:运用无穷小阶的概念,讨论了微积分中极限、级数及广义积分的敛散性,为收敛问题的深入研究提供了一种方法。

关键词:无穷小;阶;极限;Taylor 公式中图分类号:G 633.6 文献标识码:A 文章编号:1671-6558(2007)04-41-03Estimation of Infinitesimal Orders and It .s ApplicationsWang Zhene(Zhejiang Institute of M echanical &Electrical Eng ineering ,H ang zhou 310053,China)Abstract:This paper applies the concept of infinitesimal quantity,then discusses the convergence of function,se -ries and general integ ral w ith the estimation of the orders.A kind of method for studying convergence is offered.Key words:infinitesimal quantity;orders;tay lor .s formula;convergence高职院校的数学教学强调的是计算的技巧,以求得化繁为简,达到事半功倍的效果。

如求解函数极限、判断广义积分、无穷级数敛散性等内容,是微积分计算中的难点。

按照教材的通常解法,思路比较狭窄,技巧性不强。

我们知道Taylor 公式是微积分学中的重要内容,它是将函数展开成多项式的一个重要公式,是求函数极限和无穷小阶的估计的有效工具。

黑龙江科学HEILONGJIRNG SCIENCE第12卷第2期2021年1月Voa.12Jan.2021阶估计法在判断瑕积分审敛法中的应用张祖叙，孙荣璞，尹凯倩(山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛266590)摘要：受瑕积分敛散性判断方法的启发进行合理类比，给出基于不同条件下瑕积分的审敛性判别法，并从无穷小量与无穷大量的 定义入手，结合比较判别法,证明所给出的瑕积分审敛性判别法。

本研究采用阶估计法推导了判断瑕积分敛散性的判别法，通过比较判别法进行证明并附以实例,验证了审敛法的有效性和实用性。

关键词：阶估计法;瑕积分'比较判别法中图分类号：0174文献标志码：B文章编号：1674 - 8646 (2021)02 -0039 -03Application of Order Estimation Criterion in tte Judgment Defect Integrai Convergence TestZhang Zuxu , Sun Rongpu , Yin Kaiqivn( CoaegeooMaehemaeicsand SyseemsScience ， ShandongUnieeosieyooScienceand Technoaogy ， Qingdao 266590 ， China )Abstract : In this papas , wo maka v rexsonabla analogy through enlightenmeni of tha ordas estioation criterion in thajudymeni defect inteyral convergenco test , propose convergenco criterion methods based on dkfereni ordas estimations ,and veriq tha judymeni defect inWyral convergenco Wst through starting from tha definitions of dioensiontss and inUnimly largo quantity , and combining with comparison judymeni method- Tha resexrch applias ordas estimationcioWon in tha judgment of defect inteyral convvryenca test , and vvrifias tha eWectWvnws and prvcticabilim of coneeogenceiesi.Key words : Ordas estimation criterion ； Defect inteyral ； Comparison criterion通过对微积分的学习，可以利用比较原则、柯西判 别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等⑴来判断瑕积分的敛散性。

3收稿日期:96年5月10日,收到修改稿日期:96年10月24日.二阶模糊随机过程的均方收敛性及其应用3吴让泉　胡良剑(中国纺织大学基础部,上海,200051)摘　要　本文证明二阶模糊随机过程重要的均方收敛的柯西准则,并在此基础上研究了模糊随机过程作为系统输入时的响应.关键词　模糊随机变量　模糊随机过程　均方收敛　模糊随机系统1　引言近年来,有关模糊随机变量的研究引起了广泛关注.H.Kw akernaak (1978,1979)首次提出模糊随机变量的概念和算法[1,2],M.L .Puri 等(1986,1991)基于随机集理论给出一种新的定义,并研究了极限定理[3,4],王光远等(1992,1994)研究了取值于一维模糊数空间的模糊随机过程[5,6],张跃等(1995)讨论了模糊随机系统[7,8,9].在应用方面,B.Boswell 等(1989)研究了一类武力攻击模型[10],乔忠等(1993)研究了模糊随机线性规划[11],C.R mer 等(1995)给出一类基于模糊随机变量的统计推断方法[12].本文给出二阶模糊随机过程的定义,证明了均方意义下模糊随机序列收敛的Canchy 准则,并在此基础上研究了模糊随机过程作为系统输入时的响应分析,推广了随机系统理论[13]的若干结果.2　预备知识定义1　设R n 为n 维实空间,K (R n )为R n 中非空紧子集全体.对任意A ,B ∈K (R n),称d H (A ,B )=Max {supinf a ∈A ,b ∈B‖a -b ‖,sup inf b ∈B ,a ∈A‖a -b ‖}为A 与B 的Hausdoff 距离.在K (R n )上定义运算A +B ={a +b |a ∈A ,b ∈B }λA ={λa |a ∈A }其中A ,B ∈K (R n ),λ∈R.称13卷第3期1998年9月数理统计与应用概率Mathematical Statistics and Applied ProbabilityVol.13,No.3Sep.　1998‖A‖H>d H{A,{0}}为A的Hausdoff范数.显然有‖A‖H=Supa∈A‖a‖.定义2　设F0(R n)是满足下列性质的模糊集u:R n→[0,1]全体:(ⅰ)supp u={x∈R n|u(x)>0}∈K(R n);(ⅱ)u(x)上半连续;(ⅲ){x∈R n|u(x)=1}≠ .并称F0(R n)为n维模糊数空间.F0(R n)中的元素称为n维模糊数.任意u,v∈F0(R n),称d(u,v)=sup0≤α≤1d H([u]α,[v]α)为模糊数u与v的距离.其中d H是Hausdoff距离,[u]α为u的水平截集,即[u]α=supp uα=0 {x∈R n|u(x)≥α}0<α≤113显然有[u]α,[v]α∈K(R n),Π0≤α≤1.在F0(R n)上定义运算(u+v)(x)=supy+z=xmin(u(y),u(z))(λu)(x)=u(λ-1x)λ≠0χ{0}(x)λ=0B其中x,y,z∈R n;λ∈R;u,v∈F0(R n).并称‖u‖>d(u,χ{0})为u的范数.显然有‖u‖=‖supp u‖H=supa∈supp u‖a‖.可以证明,(F0(R n),d)是一个完备而不可分的距离空间.尽管它关于线性运算封闭,但因缺少负元,从而不是一个线性空间.性质1　对任意0≤α≤1,λ∈R,u,v∈F0(R n)有[u+v]α=[u]α+[v]α,[λu]α=λ[u]α. 性质2[14]　d(u+v,u+w)=d(v,w),Πu,v,w∈F0(R n).定义3　设(Ω,A,P)为一概率空间,移映射X:Ω→(F0(R n),d)为模糊随机变量,若它是Borel可测的.定义4　称模糊集E(X)∈F0(R n)为模糊随机变量X的数学期望或均值,如果对任意α∈(0,1][E(x)]α=∫[X]αd P这里积分是集值随机变量的Aumann积分.可以证明当E‖X‖<∞时,E(X)是存在唯一的.性质3　设λ∈R,X和Y为模糊随机变量且数学期望存在,那么E(λX)=λE(X)671数理统计与应用概率第13卷第3期E(X+Y)=E(X)+E(Y).3　二阶模糊随机过程记　T={…,-2,-1,0,1,2…}定义5　称模糊随机变量X为二阶的,若E‖X‖2<∞.称{X n,n∈T}为二阶模糊随机过程或二阶模糊随机序列,若对任意n∈T,X n为二阶模糊随机变量.不难证明下列性质.性质4　二阶模糊随机变量的数学期望必存在.性质5　设{X n}为一模糊随机过程,{y n}为一随机过程,且对Πn,y n∈[X n]0.若{X n}为二阶模糊随机过程,那么{y n}必为一个二阶随机过程.定义6　称模糊随机过程{X n}均方收敛于(或几乎处处收敛于)X,若当n→∞时, d(X n,X)均方收敛于(相应地,几乎处处收敛于)0,记为X n m.s.X(相应地,X na.s.X). 引理1　若正数列{εn}使6∞n=1εn<∞,模糊随机过程{X n}满足6∞n=1P(d(X n+1,X n)>εn)<∞,则当n→∞时,X n几乎处处收敛于一个模糊随机变量.证明　记A n={d(X n+1,X n)>εn},则P∪∞k=nA k≠≤6∞k=n P(d(X n+1,X n)>εn),故P∩∞n=1∪∞k=nA k{}=limn→∞P∪∞k=nA ka su=0.当w∈∪∞n=1∩∞k=nA c k,必存在N0(w)使w∈∩∞k=NA C k,即当k>N0(w)时,d(X k+1(w),X k(w))≤εk.所以这时6∞k=Nd(X k+1(w),X k(w))<∞.因而对w∈∩∞n=1∪∞k=nA k概率c,当m→∞,n→∞时,d(X m(w),X n(w))≤6n-1k=m d(X k+1(w),X k(w))→0即{X n(w)}为模糊基本列,根据(F0(R n),d)的完备性,必存在X(w)使d(X n(w),X(w))→0771第13卷第3期吴让泉等:二阶模糊随机过程的均方收敛性及其应用由[15]P469引理12知X(w)可测.证毕.引理2　若对Πε>0有limm,n→∞P(d(X m,X n)>ε)=0则{X n}必有几乎处处收敛的子序列.证明　取n j>n j-1且当r,s≥n j时P(d(x r,x s)>2-j)<3-j 从而6∞j=1P(d(x nj+1,x nj)>2-j)<6∞j=13-j<∞.由引理1得证.下列定理1是模糊随机过程均方收敛的Canchy准则.定理1　设{X n}是一个模糊随机过程,那么存在模糊随机变量X使得{X n}均方收敛于X的充分必要条件是limm,n→∞Ed2(X m,X n)=0 证明　必要性根据下列不等式可得.d2(X m,X n)≤2[d2(X m,X)+d2(X n,X)]往证充分性.对ε>0,P(d(X m,X n)≥ε)≤∫{d(X m,X n)≥ε}d2(X m,X n)ε2dp≤1ε2∫d2(X m,X n)dp≤Ed2(X m,X n)ε2当m→∞,n→∞时,P(d(X m,X n)≥ε)→0. 由引理2知,存在几乎处处收敛的子序列{X nk},即存在模糊随机变量X,使P limk→∞d(X nk,X)=0==1.因为距离d连续,由Fatou引理得Ed2(X m,X)=E limk→∞d2(X m,X nk)≤limk→∞Ed2(X m,X nk).当m→∞时,Ed2(X m,X)→0.定理1证毕.定理2　若{X n,n∈T}为二阶模糊随机过程且{X n}均方收敛于X,那么X为二阶模糊随机变量,且有limn→∞d(E(X n),E(X))=0(1)limn→∞E‖X n‖2=E‖X‖2(2) 证明　当n充分大E‖X‖2≤E(d(X n,X)+‖X n‖)2871数理统计与应用概率第13卷第3期≤2[Ed 2(X n ,X )+E ‖X n ‖2]≤2+2E ‖X n ‖2<∞从而X 为二阶变量.因为d (E (X n ),E (X ))=sup 0≤α≤1d H ([E (X n )]α,[E (X )]α)≤sup 0≤α≤1Ed H ([X n ]α,[X ]α)≤Ed (X n ,X )≤Ed 2(X n ,X )从而(1)成立.为证(2),注意到E ‖X n ‖2≤E (d (X n ,X )+‖X ‖)2≤Ed 2(X n ,X )+2E (d (X n ,X )‖X ‖)+E ‖X ‖2另一方面E ‖X n ‖2≥E (‖X ‖-d (X n ,X ))2≥-Ed 2(X n ,X )-2E (d (X n ,X )‖X ‖)+E ‖X ‖2总之有|E ‖X n ‖2-E ‖X ‖2|≤Ed 2(X n ,X )+2E (d (X n ,X )‖X ‖)≤Ed 2(X n ,X )+2Ed 2(X n ,X )E ‖X ‖2.由于X nm.s.,定理2得证.4　模糊随机过程作为系统输入时的响应考虑线性定常模糊随机系统y (t )=6∞τ=0h (τ)u (t -τ)(3)其中{u (t ),t ∈T}是定义于概率空间(Ω,A,P )而取值于模糊数空间F 0(R r )上的模糊随机过程;对任意t ∈T ,h (t )为n ×r 实矩阵;{y (t ),t ∈T}为定义于(Ω,A,P )而取值于F 0(R n )的模糊随机过程.式中级数是均方意义下收敛的.定义7　设A ∈K (R r ),u ∈F 0(R r ),H 为n ×r 实矩阵,记HA >{Hx |x ∈A }.显然HA ∈K (R n ),称为H 与A 的乘积.称模糊集Hu 为H 与n 的乘积,若对Πy ∈R n ,(Hu )(y )=sup x ∈R r,Hx =y(u (x ))(4)其中上确界对空集的取值为0.性质6　设u ∈F 0(R r ),H 为n ×r 实矩阵,则Hu ∈F 0(R n ),且[Hu ]α=H[u ]α　0≤α≤1(5)‖Hu ‖≤‖H ‖‖u ‖(6) 证明　先证(5)式.对于α>0,Πy ∈[Hu ]α有(Hu )(y )≥α.由(4)式存在x n ∈R r ,971第13卷第3期吴让泉等:二阶模糊随机过程的均方收敛性及其应用Hx n =y ,n =1,2…且lim n →∞u (x n )≥α,由于supp u ∈K (R r ),从而存在{x n }的极限点x ,显然有Hx =y.由u (x )上半连续性u (x )≥α,从而y ∈H[u ]α;反过来,Πy ∈H [u ]α,存在x ∈R r ,使Hx =y 且u (x )≥α,由(4)式(Hu )(y )≥α从而y ∈[Hu ]α.对于α=0,只要注意到Πy ∈[Hu ]0.存在y n →y ,(Hu )(y n )>0.类似可证.从(5)式容易知道Hu ∈F 0(R n )及(6)式.证毕.性质7　设X :Ω→F 0(R r )为模糊随机变量,且数学期望存在,H 为n ×r 实距阵,则HX 为一模糊随机变量,且数学期望存在,并有E (HX )=HE (X ).(7) 证明　由性质6易证.定理3　假设(ⅰ)系统(3)是渐近稳定的,即脉冲响应阵h (τ)=(h ij (τ))n ×r 满足:存在0<ρ<1,使对Πτ≥0,max i ,j{|h ij (τ)|}≤ρτ.(8) (ⅱ)输入{u (t ),t ∈T}为二阶模糊随机过程,且对Πt >0,sup s ≤tE ‖u (s )‖2<∞.(9)则输出y (t )以均方收敛意义存在,且{y (t ),t ∈T}也是一个二阶模糊随机过程,其均值函数为E (y (t ))=6∞τ=0h (τ)E (u (t -τ)).(10)这里的级数是按d 收敛.证明　令a k >6kτ=0h (τ)u (t -τ)对0≤k <l ,由性质2、性质3和(5)式有Ed 2(a l ,a k )=E ‖6lτ=k +1h (τ)u (t -τ)‖2=E ‖6lτ=k +1h (τ)[u (t -τ)]0‖2H由于[u (t -τ)]0为紧集,从而存在实随机过程^u (t -τ)∈[u (t -τ)]0,τ=k +1,…,l 使Ed 2(a l ,a k )=E ‖6lτ=k +1h (τ)^u (t -τ)‖2=E6lτ=k +1h (τ)^u (t -τ))T6lS =k +1h (s )^u (t -s )α]=E 6lτ=k +16lS =k +1t r[h (s )^u (t -s )^u T(t -τ)h T (τ)]式存=t r6lτ=k +16lS =k +1h (s )E[^u (t -s )^u T(t -τ)]h T (τ)47081数理统计与应用概率第13卷第3期根据(9)及性质5,存在β<∞,使E{^u (t -s )^u T(t -τ)}<βI r ,于是有Ed 2(a l ,a k )≤β6l τ=k +16lS =k +1|t r (h (s )h T(τ))|∈.由(8)得|t r (h (s )h T(τ))|≤6ni =16rj =1|h ij (s )h ij (τ)|≤nr ρs +τ,所以Ed 2(a l ,a k )≤βnr6lτ=k +1ρτ数学2≤βnr (ρk +1-ρl +1)2/(1-ρ)2,(11)当k →∞,l →∞有Ed 2(a l ,a k )根据定理1可知　a km.s.y (t ).由于对充分大的k ,由(11)式得E ‖y (t )‖2≤E (d (y (t ),a k )+d (a k ,a 0)+d (a 0,x {0})]2≤3[Ed 2(y (t ),a k )+Ed 2(a k ,a 0)+E (‖a 0‖2)]≤3+3βnr (ρ-ρk +1)2(1-ρ)2+3E ‖h (0)u (t )‖2根据(6)得E ‖y (t )‖2<∞,注意到t 的任意性,{y (t )}为一个二阶模糊随机过程.由(7)和定理2可证(10).定理3证毕.参考文献[1]　Kwakernaak ,H.,Fuzzy random variables ,I ,Inform.Sci.,15(1978),1-29.[2]　Kwakernaak ,H.,Fuzzy random variables ,II ,Inform.Sci.,17(1979),253-278.[3]　Puri ,M.L.and Ralescu ,D.A.,Fuzzy random variables ,J.Math.Anal.Appl.,114(1986),409-422.[4]　Puri ,M.L.and Relascu ,D.A.,Convergence theorem for fuzzy martingale ,J.Math.Anal.Appl.,160(1991),107-122.[5]　Wang ,G.and Zhang ,Y.,The theory of fuzzy stochastic processes ,Fuzzy Sets and Systems ,51(1992),161-178.[6]　Wang ,G.and Qiao ,Z.,Convergence of sequences of fuzzy random variables and its application ,Fuzzy Sets and Sys 2tems ,63(1994),187-199.[7]　张跃,王光远,赵利,模糊随机系统,系统工程理论与实践,No.7,Vol 15(1995),19-24.[8]　张跃,乔忠,王光远,离散模糊随机系统(1),系统工程理论与实践,No.9,Vol 15(1995),1-5.[9]　张跃,乔忠,王光远,离散模糊随机系统(2),系统工程理论与实践,No.10Vol 15,(1995),7-12.[10]　Boswell ,B.and Taylor ,S.,An application of a fuzzy random variable to vulnerbility modeling ,Fuzzy Sets and Sys 2tems ,33(1989),19-28.[11]　Qiao ,Z.and Wang ,G.,On solution and distribution problems of the linear programming with fuzzy random variablescoefficients ,Fuzzy Sets and Systems ,58(1993),155-170.[12]　Romer ,C.and K andel ,A.,Constraints on belief functions imposed by fuzzy random variables ,IEEE Trans.on Sys 2181第13卷第3期吴让泉等:二阶模糊随机过程的均方收敛性及其应用281数理统计与应用概率第13卷第3期tems,Man and Cybernetics,25(1995),86-99.[13]　韩崇昭,王月娟,万百五,随机系统理论,西安交通大学出版社,1987.[14]　吴从忻,马明,模糊分析学基础,国防工业出版社,1991.[15]　王梓坤,随机过程论,科学出版社,1978.MEAN SQUARE CONVERGENCE OF SECON D OR DER FUZZY STOCHASTIC PROCESSES AN D ITS APPL ICATIONW u R angquan and H u L iangjian(Depart ment of Basic Sciences,Chi na Textile U niversity,S hanghai200051)A bstractThis paper proves the Cauchy criterion of mean square convergence of second order fuzzy stochastic pro2 cesses.An application to response analysis on the systems with fuzzy random inputs is also included.K eyw ords　fuzzy random variable,fuzzy stochastic process,mean square convergence,fuzzy random sys2 tem.。