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3.已知直线 l 的参数方程为
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
������2 ③椭圆方程 2 ������ ������2
2pt2 2pt
, (t 为
-10知识梳理 双基自测 自测点评
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标 方程. ( ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 2, 4 . (4)参数方程
3π
(
)
������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( ) ������ = 2 + ������ (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
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2.极坐标系与极坐标
定点 (1)极坐标系:如图所示 O,叫做极点 射线 ,在平面内取一个 长度 ,自极点O引 一条 角度 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一个 逆时针单位 弧度 (通常取 )及其正方向(通常取 方向),这样就建立了一个 距离 |OM| 极坐标系. ρ xOM (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做点M的极 ( ρ , θ ) θ 径,记为 M(ρ,θ ;以极轴 Ox为始边,射线OM为终边的角 叫做点M的 ) 极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记
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2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极 坐标是( ) A. 10, 3 2π C. -10,- 3
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
B
答案
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������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
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②圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ������ = a+rcos θ , (θ 为参数). ������ = b+rsin θ + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 ������ ������ = , acos θ (θ 为参数). ������ = bsin θ ������ = 2 ④抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 ������ = 参数).
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数 倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
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4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程为:ρsin(θρ0sin(θ0-α) α)= . (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 θ=π+θ0 ①直线过极点:θ=θ0和 ; ρcos θ=a π ②直线过点 (a������ ,0), : ; ③直线过 M M , 且垂直于极轴 ,且平行于极轴 : ρ点评
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6.曲线的参数方程 (1)定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 ������ = ������(������), x,y 都是某个变数 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值,上 ������ = ������(������), 式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线 的 参数方程 ,其中变数 t 称为 参数 . (2)一些常见曲线的参数方程 ①过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到 ������ = y0+tsin α 点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|������0 ������|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两 点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参 数为2(t1+t2).
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3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),
互化的前提条件 互化公式 x = ρ������������������θ, ① (1)极点与原点重合 y = ρ������������������θ, (2)极轴与 x 轴非负半轴重 ρ2 = x 2 + y 2 , y 合 ������������������θ = x (������ ≠ 0). (3)取相同的长度单位 ②
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5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程 为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 r ①圆心位于极点,半径为r:ρ= ; 2acos θ π ②圆心位于 M ( a ,0), 半径为 a:ρ= ; ③圆心位于 M ������, 2 ,半径为 a:ρ= 2asin θ
选修4系列
选修4—4
坐标系与参数方程
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1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������· ������,������ > 0, φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������· ������,������ > 0 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
