第1讲绝对值 (含绝对值的方程)

含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

知识梳理从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。

由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。

一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例题精讲【试题来源】【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y【答案】1【解析】解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组【答案】，，或．【解析】解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组：【答案】、【解析】解：原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】、、、【解析】解：1.当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；2.当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；3.当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；4.当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；5.当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；6.当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少？【答案】2【解析】解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7【答案】x=8/3或x=-2【解析】解：(1) 当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若|m|=m+1，则（4m+1）2011=【答案】-1【解析】解：根据题意，可得m的取值有三种，分别是：当m＞0时，则|m|=m+1可转换为m=m+1，此种情况不成立．当m=0时，则|m|=m+1可转换为0=0+1，此种情况不成立．当m＜0时，则|m|=m+1可转换为﹣m=m+1，解得，m=﹣．将m的值代入，则可得（4m+1）2011=[4×（﹣）+1]2011=﹣1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y的值【答案】5或-3【解析】解∵（y+2）2=0，∴|y+2|=0，∴y=﹣2；又∵|x+1|=4，∴x+1=±4，即x=3或﹣5．1.当x=3，y=﹣2时，x﹣y=5；2.当x=﹣5，y=﹣2时，x﹣y=﹣3；所以，x﹣y的值为5或﹣3；【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x ④x﹣2=﹣x ⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】方程丨x+3丨+丨3﹣x丨=丨x丨+5的解【答案】x1=，x2=﹣【解析】解：①当x＞3的时，原方程可化为：x+3+x﹣3=4.5 x+5整理得：2x=4.5x+5解出来显然x＜0，（矛盾）②当0＜x＜3时，原方程可化为：x+3+3﹣x=4.5x+5解得：x=（满足条件）；③当﹣3＜x＜0时原方程可化为：x+3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=﹣（满足条件）；④当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=2（不满足条件）；∴x有两个解，为x1=，x2=﹣．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。

第一讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a＞0）（2）|a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）[例1]（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？[巩固] 若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？[巩固] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0[巩固] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值 【例3】 （1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y的值是多少？【巩固】|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例4】解方程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【例6】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|【巩固】数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例7】若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值 【例8】化简|x+5|+|2x-3|【巩固】化简：|2x-1|C B 0A绝对值练习一一、填空题：1、││= ，│-│= 。

含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。

下面将介绍两种常见的解法。

1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。

因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。

2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。

因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。

需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。

最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。

以上就是含绝对值的函数方程的解法。

希望以上内容能对你有
所帮助！。

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。

简单来说，绝对值表示一个数在数轴上离原点的距离。

例如，数字 5 在数轴上距离原点 5 个单位长度，所以 5 的绝对值是5；而－5 在数轴上同样距离原点 5 个单位长度，所以－5 的绝对值也是 5。

用数学符号表示，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5。

绝对值的定义可以表述为：对于任意实数 a，当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。

这意味着，绝对值总是非负的，即｜a| ≥ 0 。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的最基本性质就是非负性，也就是说，任何数的绝对值都大于或等于零。

这是因为距离不能是负数。

2、对称性｜a| ＝｜a| ，即一个数和它的相反数的绝对值相等。

例如，｜3|＝｜－3| 。

3、自反性｜a| ＝ 0 当且仅当 a ＝ 0 。

4、三角不等式对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| 。

当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。

例如，当 a ＝ 2 ，b ＝ 3 时，｜2 ＋ 3| ＝ 5 ，｜2| ＋｜3| ＝ 5 ，此时等式成立。

但当 a ＝－2 ，b ＝ 3 时，｜－2 ＋ 3| ＝ 1 ，而｜－2| ＋｜3| ＝5 ，此时不等式成立。

三、绝对值的运算1、简单计算计算一个数的绝对值，只需要判断这个数是正数、负数还是零。

如果是正数或零，绝对值就是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数。

例如，｜7| ＝ 7 ，｜－8| ＝ 8 。

2、含有绝对值的加减法当进行含有绝对值的加减法运算时，需要先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后再进行运算。

例如，计算｜3 5| ，先计算 3 5 ＝－2 ，因为－2 ＜ 0 ，所以｜3 5| ＝｜－2| ＝ 2 。

3、含有绝对值的乘除法对于两个数的乘积或商的绝对值，有｜ab| ＝｜a| ｜b| ，｜a ／ b| ＝｜a| ／｜b| （b ≠ 0 ）。

例如，｜－2 × 3| ＝｜－6| ＝ 6 ，｜－6 ／ 3| ＝｜－2| ＝ 2 。

第1讲 绝对值一、知识要点绝对值是是初中代数中的一个基本概念，是学习有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解决代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质①非负性：|a |≥0；②|a |＝|－a |；③|ab |＝|a |·|b |；④|ba |＝b a （b ≠0）；⑤|a |2＝|a 2|＝a 2． 3．绝对值的几何意义 （从数轴上看）|a |指的是数轴上表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；|a －b |指的是表示数a 、数b 的两点间的距离．二、基础能力测试1．小明家去年收入为20 000元记作＋20 000元，那么支出15 000元记作__________；如果向西100米记作－100米，那么400米表示__________，0米表示_________．2．_____和____统称有理数；正整数、零、_________统称整数，_________和________统称分数．3．把－722，π，∙3.0，－21，＋5，－6.3，0，－254，6.9，－7，210，0.031，－10%，填在相应的括号内． 正有理数集合：{ …}；整数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；4．规定了_______、________和________的直线叫做数轴．5．把－2，321，0，－421，1，－31，用“＜”号连接起来：__________________． 6．有理数中，最大的负整数是________，最小的正整数是__________．7．－5.4的相反数是_________，________和3.5互为相反数；－(－2)＝_______，－[＋(－31)]＝_______． 8．（1）若2x ＋1是－9的相反数，在x ＝_______．（2）已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a ，b （a ＜b ），并且A 、B 两点间的距离是4.8，则a ＝_______，b ＝________．9．一般地，在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的________，记作|a |．若a 是正数，则|a |＝______，若a 是负数，则|a |＝_______，|0|＝________，若|x |＝6，则x ＝______．10．若|a |＝a ，则a ______0；若|a |＝－a ，则a _______0．11．绝对值不大于3的整数有______________________．三、例题解析【例1】填空：（1）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为负倒数，x 的绝对值是2，则x 2－(a ＋b ＋cd )x ＋(a ＋b )99＋(－cd )100＝____________．（2）若a ＞0，b ＜0，且a ＜|b |，用“＜”号连接比较a ，b ，－a ，－b _____________．（3）已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，则a ＋b ＝__________．【例2】（1）计算：|20161－20151|＋|20171－20161|－|20171－20151|＝_________． （2）已知a －|a |＝0，b ＋|b |＝0，且|a |＜|b |，则|a ＋b |＋|－a ＋b |－|a －b |－|b －|b |＝_________．（3）若a 、b 、c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求a a ＋b b ＋cb a ＝___________．〖练〗如图，有理数a ＜b ＜0＜c ，化简|c －b |＋|a －c |＋|b ＋c |＝_________．【例3】将1，2，3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组都代进后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．【例4】（1）化简：|x ＋5|＋|2x －3|．（2）化简：|3＋|x －1||．（3）a ，b 为有理数，且|a |＞0，方程||x －a |－b |＝3有三个不相等的解，求b ．〖练〗（1）①已知a＝1，|b|＝2，若a＞b，求b的值；②已知a＝2，|b|＝1，若a＞b，求b的值；（2）①已知|a|＝1，|b|＝2，若a＞b，求a、b的值；②已知|a|＝2，|b|＝1，若a＞b，求a、b的值；（3）①已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，若a＞b＞c，求a、b、c的值；②已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，若a＞b＞c，求a、b、c的值．【例5】（1）已知|ab＋2|与|a＋1|互为相反数，则a＋b的值为___________．（2）已知(a＋1)2＋|b－2|＝1－c，且c为正整数，求a＋b－c．（3）已知有理数x、y满足(y－2)2＋|x|＝x，且|x－2y＋5|＝2，求xy．【例6】（1）当x＝_____时，|x－2|有最小值；当x＝_____时，3－|x－2|有最大值，最大值为_______．（2）|x＋2|＋|x－3|的最小值为___________，此时x需满足的条件为_____________．（3）已知|x＋2|＋|1－x|＝10－|y－5|－|2＋y|，求x＋y的最大值和最小值．〖练〗（1）当x取什么值时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|有最小值，并求出这个最小值．（2）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2017|的最小值．（3）公共汽车运营线路AD段上有A、B、C、D四个汽车站，如图，现在要在AD段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好．四、反馈练习一、填空题1．（1）如果温度上升10℃记作＋10℃，那么下降5℃记作____________．（2）高出正常水位0.5米记作＋0.5米，则低于正常水位0.3米记作________，正常水位记作________．（3）负债2000元，可以说成拥有_____________元．（4）一潜艇所在高度是－80米，一条鲨鱼在潜艇上方30米处，则鲨鱼所在的高度是____米．2．2002，－3.1416，310，0，190%，0.2，1，＋3.2，－5%，34中 属正数集合的是_______________________，属负数集合的是______________________，属整数集合的是_______________________，属分数集合的是______________________，属正整数集合的是_____________________，属负分数集合是______________________，属有理数集合的是______________________．3．点A 表示－3，从点A 出发，沿数轴移动4个单位长度到达B 点，则点B 表示的数是_______．4．与原点距离5个单位长度的点共有__________个，它们分别可以表示有理数______________________．5．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是6，则这个数是_____．6．化简－{＋[－(－1)]}＝___________，|－(5)|＝__________，－|－6.7|＝_______．7．绝对值不大于5.5的整数有______________________．8．已知|x |＞|y |，x ＜0，y ＞0，把x ，y ，－x ，－y 从小到大排列，可得__________．（用“＜”连接）9．已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，那么a ＋b ＝__________．10．已知|2a －1|＋|3b －2|＝0，则a ＝_______，b ＝_________．11．已知b 为正整数，且a ，b 满足|2a －4|＋b ＝1，则a b ＝___________．12．若a ＜0，ab ＜0，|a |＞|b |，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系为______________；化简|a ＋b |＋|a －b |－|a |－|b |＝___________．二、解答题1．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 的绝对值是最小的数，求p 2000－cd ＋abcdb a ＋m 2的值．2．有理数a ，b ，c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，设x ＝|c b a+＋a c b+＋b a c+|，试求：x 19＋2x ＋13的值．3．化简|x －1|－|3x －6|．4．将1，2，3，…，200这100个自然数任意分成100组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，100组都代进后可求得100个值，求这100个值的和的最大值．。

绝对值（一）——初中数学第一册教案一、教学目标1.了解绝对值的定义和性质；2.掌握求解绝对值的方法；3.应用绝对值求解实际问题。

二、教学重点1.绝对值的概念；2.求解含有绝对值的方程和不等式。

三、教学内容1. 绝对值的定义和性质1.1 定义绝对值表示一个数与0的距离，用竖线“| |”表示。

对于任意实数a，绝对值的定义如下：|a| = a，若a≥ 0； |a| = −a，若a < 0。

1.2 性质•非负性：对任意实数a，有 |a| ≥ 0；•同号性：若a > 0，则有 |a| = a；若a < 0，则有 |a| = −a；•反对称性：若a≠ 0，则有−|a| ≠ a。

2. 求解含有绝对值的方程和不等式2.1 求解含有绝对值的方程对于形如 |a| = a的方程，可以有以下两种情况：•当a≥ 0时，解方程 |a| = a有两个解：a = a或a= −a；•当a < 0时，解方程 |a| = a无解。

例题1：求解方程 |a| = 3。

解：根据绝对值的定义，|a| = 3 表示a与0的距离为3。

根据性质，可以得到a = 3 或a = −3。

因此，方程 |a| = 3 的解为a = 3 或a = −3。

2.2 求解含有绝对值的不等式对于形如 |a| > a或 |a| < a的不等式，可以有以下情况：•当a > 0时，解不等式 |a| > a或 |a| < a为a > a或a< −a；•当a = 0时，解不等式 |a| > 0 或 |a| < 0 为a≠ 0；•当a < 0时，解不等式 |a| > a或 |a| < a为a∈ ℝ。

例题2：求解不等式 |a| < 2。

解：根据绝对值的定义，不等式 |a| < 2 表示a与0的距离小于2。

根据性质，可以得到−2 < a < 2。

因此，不等式 |a| < 2 的解为−2 < a < 2。

第1讲 有理数、数轴与绝对值有理数：整数和分数统称为有理数。

数轴：规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(1)有理数都可以在数轴上表示出来。

但数轴上不是所有的点都表示有理数，比如π.（2）互为相反数的两点在数轴上关于原点对称。

(3)点A(a)与B(b)的中点表示的数为2a b +。

绝对值的定义与性质（注意它的非负性）1、定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

用公式表示为： (0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、性质： ①非负性：|a |≥0； ②|ab |=|a ||b |； ③|b a |=||||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==； ⑤|a +b |≤|a |+|b |； ⑥||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |+|b |.3、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①) a 表示a 点到0点的距离a b -表示a 点到b 点的距离注：一般地，设123,,,...n a a a a 是数轴上依次排列的有理数，则(1)当n 为奇数时，若12n x a +=亦即x 是中间一个点时，则x 到这n 个点的距离之和12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小；(2)当n 为偶数时，若122n n a x a +≤≤亦即x 位于中间两个点之间任何位置时，则12||||...||n x a x a x a -+-++-的值最小。

A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是___________.1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为a 、b 、c 、d ，且d —2a=10,那么原点应是( )A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点|a|表示数a 到原点的距离，这是绝对值的几何意义。

不等式选作第1讲 绝对值不等式 1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．考点一__含绝对值不等式的解法________________解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.[解] 法一：如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不少于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5， 解得x ≥2或x ≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[规律方法] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a <b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．1.解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.考点二__绝对值不等式性质的应用______________确定“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件．[解] ∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<m ＋m ＝2m ， ∴|x －a |<m 且|y －a |<m 是|x －y |<2m 的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |<m ＝2.5， 故|x －a |<m 且|y －a |<m 不是|x －y |<2m 的必要条件．故为充分不必要条件． [规律方法] 两数和与差的绝对值不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．2.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a ≤3即可．故a 的取值范围为(－∞，3]． 考点三__绝对值不等式的综合应用______________(2013·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．3.(2015·唐山市第一次模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}． 2．在实数范围内，解不等式||x －2|－1|≤1.解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.故x 的取值范围是[0，4]． 3．(2015·山西省忻州市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1. 4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|1|ax +＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围． 解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝|1|a x +＋|x －a |≥|)(1|a x ax --+＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)f (3)＝|13|a+＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.5．(2015·大连市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，32∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤2所以1<a ≤2，因为a ∈N *所以a ＝2.(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4，所以f (x )的最小值是4. 6．(2015·新乡许昌平顶山调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，只需a －1≥1，解得a ≥2，所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．1．(2015·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ）（2t≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2， ∴a ＝1.(2)∵f ）（2t ≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.∴y min ＝72，∴m ≥72.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是(－1，43]．3．(2015·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －3>2，解得x <12或x >52.∴所求实数x 的取值范围为(－∞，12)∪(52，＋∞)．(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，∴f (x )≤2.∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >52}，∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤52}，∴所求实数x 的取值范围为[12，52]．4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2.(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4.(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[14，＋∞)．。