求函数值域的常见方法总结
【观察法】有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域。 例题：求函数2
1
2y x
=
+ 【配方法】配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。2
()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法，解题过程中，要特别关注自变量的取值范围。 例题：确定函数（1
）4y =（2
）y =
【分离常数法】此方法适合与分式函数的值域问题，思路是用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。 例题：确定下列函数的值域
（1）31
2
x y x +=- （2）221x x y x x -=-+
【判别式法】把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =，通过方程有实根，判别式0∆≥，从而求得
原函数的值域。形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（12,a a 不同时为0）的函数的值域常用此法求得。前提是定义域为R 且分子、分母没有公因式。 例题：求下列函数的值域
（1）22221x x y x x -+=++ （2）22
32
1
x x y x -+=- 【反解x 法】将y 视为变量，利用数式的性质或已知函数的值域求y ，体现了方程思想。 例题：求下列函数的值域
（1）221x x y =+ （2）2sin 2sin x
y x
-=+
【换元法】运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，
从而求得原函数的值域。形如y ax b =+±,,,a b c d 均为常数，且0a ≠
）的函数常用此法求解。令t =
，
3t d
x c
-=且0t ≥
角代换，令cos x a θ=，[0,]θπ∈，或令sin x a θ=，[,]22
ππ
θ∈-。 例题：求下列函数的值域
（1）2y x =（2）y x =
【不等式法】利用基本不等式a b +≥，用此法求值域时，要注意条件“一正二定三相等”即①
0a >，0b >；②a b +（ab ）为定值；③取等号条件a b =。
例题：求下列函数的值域 （1）2
31
x
y x x =
++（0x <）； （2）221
1
x x y x x -+=++；
（3）24524x x y x -+=-（5
2
x ≥）
【单调性法】先确定函数的定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数的值域的方法为单
调性法。考虑用单调性法求值域常见的有y ax b =++,,,a b c d 均为常数，且0ac ≠）看a 与d 是否同号，
若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有在利用重要不等式求值域失效（等号不满足）的情况下，可采用单调性求值域，但须熟悉下述结论。
函数k
y x x
=+
（0,0x k >>），x ∈，函数递减；)x ∈+∞，函数递增。 例题：求下列函数的值域
（1）2
y =
（2）41y x =-
【求导法】当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值。 例题：设3
2
6158y x x x =+--，试求y 在[0,3]上的最大值和最小值。 【课堂练习】 1．求下列函数的值域 （1）2131
x y -=
+ （2）2
sin 4cos 1y x x =++
（3）125
x
y x -=+ （4）229712x y x x -=-+
（5）2
34
x
y x =
+ （6）61y x =++（7）22x y x =- （8）1()2
x x
y e e -=-
确定函数解析式的常见方法
【配凑法】根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。 例题：已知2
2
1
1
()1f x x x
x +=++，求()f x 的表达式
【换元法】换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、化繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，诸如：局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等，它的应用及其广泛。 例题：已知函数()f x 满足2
1
(log )()1a a f x x a x
=--（其中0a >，1a ≠，1x >），求()f x 的表达式
【待定系数法】已知函数的特征，求函数解析式，可用待定系数法，设出待定系数，根据已知条件建立方程组求出待定系数的值。
例题：设()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，求()f x 。
【消元法】此方法的实质是解函数方程。
例题：已知1
()2()3f x f x x
+=，求()f x 的解析式。
【赋值法】赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。
例题：已知(0)1f =，()()(21)f a b f a b a b -=--+，求()f x 。 【典型例题】
例题1：已知二次函数()f x 满足(2)1f =-，(1)1f -=-，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数。
例题2：已知2
()1f x x =-，1(0)
()2(0)x x g x x x ->⎧=⎨-<⎩
，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式。
例题3：已知()f x 是定义在[6,6]-上的奇函数，它在[0,3]上式一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当[3,6]x ∈时，()(5)3f x f ≤=，(6)2f =，求()f x 的解析式。
【课后练习】
1、设二次函数()y f x =的最小值为4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式。
2、已知函数()21f x x =-，2,0
()1,0
x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式。
