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复数的乘法和除法ppt课件

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复数的代数运算乘除ppt课件

复数的代数运算乘除ppt课件

思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
2bi
a2 b2
另外不难证明:
引例：化简 1 2 (1 2)(2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
复数除法的法则:
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例3设 Z 1 2 3i, Z 2 3 2i, 计算：
（1）Z 1
•
Z
; ( 2)
2
2
Z1
练习．计算：
（1） (1 4i) (1 4i)
（2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
（3） (3 2i)2
共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0时
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例 2．计算：
（1） (1 4i)(7 2i)
（2）(7 2i)(1 4i)
（3）[(3 2i)(4 3i)](5 i) （4）(3 2i)[(4 3i)(5 i)]
(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2.共轭复数
两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数；两复数互为共轭 复数，则它们的乘积为实数。
四、正本作业：课本 68 页习题 1（3）（4）（5）（6）
1 i2 i
补充：（1）
i3
（2） i i2 i3 i4 i5

复数的乘除法ppt

复数的乘除法ppt
性质
复数乘法满足结合律、交换律和单 位元存在性，即对于任何复数 z 和 整数 n，有 z^n = n个z相乘。
复数乘法的几何意义
几何解释
复数乘法可以理解为在复平面上的向量旋转和伸缩。设 z1 和 z2 分别对应向量 OZ1 和 OZ2，则 z1z2 对应的向量 OZ1Z2 是通过以 OZ1 和 OZ2 为邻边的平 行四边形的对角线来确定的。
除数为虚数单位
当除数为虚数单位时，商 为实数。
除法运算的几何意义
复平面上的表示
在复平面上，复数除法可以通过旋转和缩放来表示。将分子和分母分别表示为向量，通过旋转和缩放分母向量， 使其与分子向量共线，然后缩放分母向量使其长度为1，得到的结果即为商。
几何意义的应用
复数除法的几何意义在信号处理、电气工程等领域有广泛应用，如频谱分析、滤波器设计等。
利用复数乘除法规则，计算 ((a + bi) × (c + di))^2，其中 a, b, c, d 均为实数
将 (a + bi) 的共轭复数与自身相乘，得 到 |a + bi|^2 = a^2 + b^2
详细描述
计算 ((2 + 3i) × (4 - 5i)) ÷ ((2 + 3i) × (4 - 5i))
03
复数除法规则
复数除法的定义
定义
复数除法是将一个复数除以一个非零复数，得到的结果称为 商或有理数。
除法运算的步骤
将除数与其共轭复数相乘，得到一个分母为实数的复数，再 与被除数相乘，得到商。
除
除数不能为零，否则会导 致无意义或无穷大结果。
除数为无穷大
当除数为无穷大时，商为 零。
复数乘除法的重要性

《复数的加减乘除》课件

《复数的加减乘除》课件
复数在物理学、工程学等领域中广泛应用，有 助于解决实际问题。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。

复数代数形式的乘除运算ppt课件

复数代数形式的乘除运算ppt课件

探究
思考…
复数的乘法是否满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗？
对于任意z1, z2 , z3 ∈C有 交换律：z1z2 = z2z1 结合律：(z1z2 )z3＝z1(z2z3 ) 分配律：z1(z2 + z3 )＝z1z2＋z1z3
复数乘法法满足交换律的证明如下：
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i. 因为
3.两个复数的积是一个确定的复数.
4.复数的乘法仍然满足交换律、结合 律、分配律.
5.一般地，当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数.
6.复数z=a+bi的共轭复数记作
z, 即 z = a - bi.
7.复数的除法是乘法的逆运算.
8.复数的除法法则：
(a
+
bi)
(c
= (a1a2 + a1a3 - b1b2 - b1b3 ) + (b1a2 + b1a3 + a1b2 + a1b3 )i,
Z1Z2 + Z1Z3 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) + (a1 + b1i)(a3 + b3i) = (a1a2 - b1b2 ) + (b1a2 + a1b2 )i + (a1a3 - b1b3 ) + (b1a3 + a1b3 )i
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i. 注意
(-2i)4i=8 而不是
-8！
例题2
计算 (1)(3 + 4i)(3 - 4i); (2)(1 + i)2 .

复数的乘法与除法教学课件PPT

复数的乘法与除法教学课件PPT
（2） 复 数 的 乘 法 与 多 项 的 式乘 法 相 似
性 质 ： 1.z1 z2 z2 z1
2.(z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )
3.z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
例：计算： (1)(2 3i )(4 i )(2 i ) (2)(a bi)(a bi) (3)(a bi) 2 (1)原式 (8 2i 12i 3)(2 i )
例：计算： 1- i (1) 1 i
1 6 (2)(i ) i
(1 i ) 2 1 2i 1 (1)原 式 i 2 (1 i )(1 i )
(2)原式 (i i )6 26 i 6 64
(1 i ) 3 (a i ) 2 2 例：设 z 且 | z | , 其 中 a R , 2 3 2 (a 3 i ) 求a的 值
复数的乘法运算：
如果两个复数 z1 a bi，z2 c di(a, b, c, d R) 则定义： z1 z2 (ac bd) (bc ad)i
事实上， z1 z 2 (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd ) (bc ad )i 注：（ 1） 两 个 复 数 的 乘 积 还 一 是个 复 数
(11 10i )(2 i ) 22 11i 20i 10
12 31i 2 2 2 2 (2)原式 a abi abi b a b
(3)原式 (a bi)(a bi) a 2 2abi b2 i 2 a 2 2abi b2
1
(1 i ) 2 n (1 i ) 2 n 例：已知 2n , 求 最 小 正 整 数 n 1 i 1 i [(1 i ) 2 ]n [(1- i )2 ]n n 原 式 2 1 i 1 i n n n n i (-i) ( 2i ) (-2i) 1 2n 1 i 1 i 1 i 1 i i n i n 1 ( i ) n ( i ) n 1 1 2 2i n 若n是 偶 数 ， 则 1 n最 小 值 4 2 2 i n 1 若n是 奇 数 ， 则 1 n最 小 值 3 2

复数乘除法运算ppt

复数乘除法运算ppt

掌握复数乘除法的计算技巧
乘法技巧
掌握分配律、结合律等乘法运算的技巧，简化计算过程。
除法技巧
掌握共轭复数、有理化分母等除法运算的技巧，确保结果的准确性。
THANKS
感谢观看
01
02
03
实例1
将3 + 4i除以2，得到结果 为1.5 + 2i。
实例2
将-5 - 6i除以-3，得到结 果为5/3 - 2i。
实例3
将4 - 3i除以3 + 2i，得到 结果为(4 - 3i)(3 - 2i)/13 = 1 - i。
03
复数乘除法的应用
在物理学中的应用
量子力学
复数在量子力学中扮演着重要的角色，它们用于描述波函数和概率幅。通过复 数乘除法运算，可以计算波函数的演化、叠加和测量结果。

使用草稿纸
在草稿纸上进行每一步的 计算，避免在同一张纸上 涂改，导致混乱。
多次检查
完成运算后，要反复检查， 确保结果的准确性。
理解复数乘除法的数学意义
复数乘法意义
理解复数乘法的几何意义，即两个复数相乘相当于在复平面上进行旋转和伸缩变换。
复数除法意义
理解复数除法的几何意义，即一个复数除以另一个复数相当于将除数的共轭复数与被除数相乘后再进行相应的逆 变换。
几何表示
伸缩
复数乘法可以理解为在复平面上的向 量旋转和伸缩。
当两个复数的实部相等时，虚部相乘 等于原来两个虚部相乘的结果加上实 部平方，实部相乘等于原来两个实部 相乘的结果减去虚部平方。
旋转
当两个复数的虚部相等时，实部相乘 等于原来两个实部相乘的结果减去虚 部平方，虚部相乘等于原来两个虚部 相乘的结果加上实部平方。

7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)

A.1＋2iB.12iC.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.

复数的乘法与除法页PPT文档


(k

R,
k

0).
消去k,得x2+y2=1且y≠0.
所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆, 除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)
2i 12i
解:原式= ( 1 ( 2 i)3 3 i)3i(1 2 i 2 i1 )i1 3( 1 22 3i)3 i i i 0 .
练习:计算: (1 )i20 0 (2 2 2 i)8 ( 2)5;( 0 2 )1 (3i)6 .
1 i 2 2
答案:(1)255-i;(2)1.
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成 立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n= zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
(ab)2i(a2b2)2ab . i|z1z2||z1||z2|
3:复数的一个重要性质
两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一 个复数的模的平方,即z z=|z|2=|z|2.
§5.3 复数的乘法 与除法
一、复数的乘法与除法
1.复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得 的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积 仍然是一个复数,即: (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
2.复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分 配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2019i-2019-2019i

7.2.2复数的乘、除运算PPT课件(人教版)


()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝2i12－i＝1＋i.
(2) ∵
z
＝
3－i 1＋2i
＝
3－i1－2i 1＋2i1－2i
＝
1－7i 5
，
所
以
|z|
＝
152＋－75＝2 2. (3)由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以zz21＝
答案：D
2．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
解析：A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数； B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数； C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数； D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
答案：－2＋i
2．计算：11＋－ii7＋11－＋ii7－3－44i＋23＋i 2i3.
解：原式＝[(1＋i)2]3·11＋－ii
＋[(1－i)2]3·11－＋ii
－
83－4i1＋i3 3－4ii
＝
(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2ii1＋i＝8＋8－16－16i＝－16i.

复数范围内方程根的问题
－2i－i＝－1＋2i，对应的点在第二象限． [答案] (1)D (2)C (3)B
1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复 数的代数形式． 2．常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11＋－ii＝－i.

《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)


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[教材提炼] 知识点一 复数的乘法法则及其运算律 预习教材，思考问题 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复 数相乘？
[提示] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2 换成－1， 并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i.
D．b<2
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解析：(1)(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. (2)因为(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(1＋2b)i，又因为在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i 是虚数 单位，b 是实数)表示的点在第四象限，所以21－＋b2>b<0，0， 即 b<－12.
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
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探究一 复数代数表示式的乘法运算
[例 1] (1)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i
B．3＋2i
C．－3－2i
D．－3＋2i
(2)已知 i 是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数 a 等于( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
[解析] 因为 i2 020＝i4×505＝i4＝1，所以其共轭复数为 1，故选 C.
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六：复数的除法法则
(a bi) (c di) a bi c di
(a (c
bi)(c di)(c
di) di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
复数除法法则分母实数化，
和分母有理化类似。
复数除法解题步骤：
1、把除式写成分式的形式
2、分子与分母都乘以分母的共轭复数
3、化简后写成 a+bi 形式
三：复数的除法法则
关键分母实数化
感谢指导！
合作探究
内容： 1. 学习中遇到的疑问 2.导学案“质疑探究”部分的问题
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
展示与点评分组表
题目
z1 z2 (a c) (b d)i
z1 z2 (a c) (b d)i
与合并同类项类似
练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
求实数a、b的值。
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复 数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢？
二：乘法运算
(a bi) • (c di) ac adi bci bdi2
ac adi bci bd (ac bd) (ad bc)i
▲与两个多项式相乘类似 ▲结果要化简成a+bi形式
乘法运算律 设 z 1 , z2 ,z3 ∈C,有
交换律： 乘法结合律：
加法分配律
例1 (1 2i)(3 4i)(2 i)
(1 2i)(3 4i)(2 i) (11 2i)(2 i) 20 15i
例2 (1).(3 4i)(3 4i)
(2).(1 i) 2
（3）(a bi)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
（4）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i 2 a2 b2
探究一
探究二
探究三
展示小组 第一小组 第二小组 第三小组
点评小组 第四小组 第五小组 第六小组
小结小组：第七组
展示自我，提高自信，我是最棒的！课堂有了我们的参与才精彩
学案完成情况
1.优秀小组（加2分）：第五组，第七组，第八组 2.优秀个人（加1分）：白梦薇，何倩，李华，孙 晶晶，赵潇洒，林泓孜，张妍，赵阿婧，马娇娇。 3.存在问题： （1）计算结果不彻底，没化成 a+bi形式 （2）对除法是乘法的逆运算没理解到位。 （3）解题不规范，步骤不完整。
A.3 i B.3 i C.1 3i D.3
数
2.设z 1 i(i是虚数单位），则
2 z2
D
z
A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
3：已知复数 （）
，则复数 =
i
本
一：复数乘法的法则
堂
1、与多项式的乘法是类似
小
2、结果中把 换成-1
结
3、化为a+bi形式
二：共轭复数的定义及作用
预习自测答案（预习自测见导学案）
预习自测1: 2 预习自测2: 14-13i 预习自测3: 0
计算
(a bi)(a bi)
实部一样，虚 部互为相反数
a2 abi abi b2i2
a2 b2 实数
Z的共轭复数记作Ｚ
概念： 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个 复数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。
实部相等，虚部互为相反数的两个复数
叫做互为共轭复数.
共轭复数有
的作用
五：复数的除法
已知复数a+bi,c+di（c+di 0），我 们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi 叫做复数a+bi除以c+di所得的商.记作： (a+bi) ÷(c+di)或者
复数的乘法与除法
学习目标：
1．掌握复数乘法与除法的运算法, 并能熟练 地进行乘除运算；
2．理解共轭复数的概念； 3．知道复数乘法法则满足交换律、结合律， 乘法对加法的分配律以及正整数幂的运算律．
学习重点：复数乘法与除法的运算; 学习难点: 复数的除2 c di(a,b,c, d R)
例1: 计算（3 4i) (2 3i)
解：原式 3 4i (3 4i)(2 3i) 2 3i (2 3i)(2 3i)
6 9i 8i 12i2 18 i
13
13
18 1 i 13 13
当堂检测
_
1.把复数z的共轭复数记作z, i为虚数单位，
_
若z 1 i则（1 z）• z A