浅谈极限思想在数学解题中的应用_0

教学实践JIAOXUESHIJIAN极限思想在高中数学中的应用广西壮族自治区北海市北海中学宁德芬【摘要】极限思想作为社会实践的产物，其渊源甚至可以追溯到古代。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，再确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。

在高中数学的学习过程中，极限思想可以给学生提供一条意想不到的解题思路,让原本烦琐的题目以相对简易的方式求得答案。

本文将围绕可以运用极限思想的几道例题阐述极限思想在高中数学中的妙用。

【关键词】极限思想高中数学解题思路一、极限思想对部分求范围的题目有奇效在解决高中数学选择题时,极限思想是必须掌握的一种解题技巧，它本质上是特殊值法的延伸，利用极限思想来解决小题不仅可以透析题目的深刻本质,还可以达到化繁为简的目的。

1.已知定义在(-8,+8)上的函数/(%) = [(3;1)%-4：严<1,是减函数，那么a的取值范围是Uog,%),%>1()。

A.(0,1)B.(0,1/3)C.(1/7,1/3)D.(1/7,1)解析:本题的关键在于讨论函数在分界点x=l的领域内，使得(3a-l)%-4a>log必，即前者图象在后者之上,然后再结合图象去求a的取值范围。

此时,利用极限思想就可以很快地确定满足这一条件下的a的取值范围，之后交集范围便是题目所求。

而又因为/(%)在R 上的减函数，所以解得l/7<a<l/3，故选择C o从这道题中，我们显然可以看到极限思想帮助我们省去不少烦琐的计算过程,而是透析这道题所求范围的本质,从而达到了快速高效解题的目的。

所以,充分掌握极限思想,并在做题时时刻保持对数学思想的“敏锐嗅觉”，将会成为解题制胜的一大法宝。

二、极限思想能处理复杂的无穷等比数列问题极限本质上是从微积分中剥离出来的基本概念，它从数量上描述变量在变化过程中的一种状态或者趋势,而我们知道无穷等比数列中,g代表了该数列的变化规律，所以克制无穷等比数列是按照特定规律g变化的一种不定状态。

极限思想在高中数学解题中的应用摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。

在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。

下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。

关键词：极限思想；解题；应用；一、在日常教学中渗透,逐步形成认知在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。

因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。

教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为。

我们可以把满足, ,,的实数的集合分别表示为,,,。

二、在概念教学中渗透,深化理解与认识教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。

当时，(为常数),把称为在点的导数,记作。

在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。

三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。

极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。

尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。

1.极限思想在立体几何中的应用立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。

例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。

例说极限思想在数学解题中的妙用作者：张锋道来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期极限思想是高中数学中的一种重要数学思想，在解题中切不可忽视其应用.对于某些数学问题，若能灵活运用极限思想，从其极端情形入手，就可以避开一些抽象复杂的运算，降低解题的难度，还可以优化解题的思路，收到事半功倍的效果.下面举例说明，极限思想在解题中的妙用.一、妙用极限思想求解数量变化范围例1若α∈[π6，π2），则直线2xcosα+3y+1=0的倾斜角的取值范围是A.[π6，π2）B.[5π6，π）C.（0，π6]D.（π2，5π6]解析因为斜率k=-23cosα，又α∈[π6，π2），所以当α→π2时，cosα→0，k→0（从负值趋于零），所以倾斜角→π，因此选B.一、妙用极限思想求解估算问题例1如图1三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且侧面A1B1BA⊥底面A1B1C1，P 为棱B1B上一动点（不与点B1、B重合），则直线C1P与平面A1B1BA所成角的范围是A.（0，π6）B.（π6，π3）C.（π6，π4）D.（π4，π2）解析用极限估算.取A1B1中点D，连C1D，则∠C1PD为直线C1P与平面A1B1BA所成角.因为C1D为常数，所以只要确定PD的变化范围.当P→B1时，∠C1PD→∠C1B1D=π3，且∠C1PD当P→B时，则∠C1PD→∠C1BD，且∠C1PD>∠C1BD.而在Rt△CBD中，∠C1DB=90°，C1D=32a，BD=52a，tan∠CBD=C1DBD=35>33=tanπ6，即∠C1BD>π6.所以π6二、妙用极限思想求解探索性问题例2已知数列{an}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有an+1=anan-2，是否存在实数a，b，使得an=a-b（-23）n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.解析如果存在实数a，b满足题设要求，则由an=a-b（-23）n，可得limn→∞an=a.对an+1=anan-2两边取极限，得a=aa-2，所以a=0或a=3.若a=0，则数列{an}是以1为首项，公比为-23的等比数列，显然，不可能对于任意正整数n都满足an+1=anan-2；若a=3，将a1=1代入an=a-b（-23）n，可得b=-3，此时，an=3+3×（-23）n，所以a2=133，这与a2=-1矛盾.所以满足题设条件的实数a，b 不存在.三、妙用极限思想求解曲线方程例3求离心率e=25，过（1，0）点且与直线l：2x-y+3=0相切于点P（-23，53），长轴平行于y轴的椭圆方程.解析按常规，设椭圆中心为（x0，y0），可得椭圆的方程，再列出过已知点P的切线方程，联立消参可求得椭圆方程.但按极限思想，将点P视为椭圆的极限情形，可利用曲线系方程求解.已知e=25，则a2=5b2.把点P（-23，53）看作长轴平行于y轴且离心率e=25的椭圆系（x+23）2+15（y-53）2=k，当k→0时的极限情形（点椭圆）.则与直线l：2x-y+3=0相切于该点的椭圆系，即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0.又因为所求椭圆过（1，0）点，代入求得λ=-23.因此所求椭圆方程为x2+y25=1.四、妙用极限思想画出函数图象例4已知f（x）=xx2+1，试画出图象，并结合图象指出其值域.解析先研究其奇偶性与单调性，再画出图象.因为f（x）=xx2+1，所以定义域为R且为奇函数，又f ′（x）=1-x2x2+1，所以f（x）在（-∞，-1]上递减，[-1，1]上递增，[1，+∞）上递减，且有极小值f（-1）=-12，极大值f（1）=12，画图时很可能画成图2而出错，得出值域为R，它是很好的满足了单调性与奇偶性，但还不够，图象有问题.问题在哪儿呢？因为limx→-∞f（x）=0（即xlimx→+∞f（x）=0（即x>0，f（x）>0），所以图形应该为图3，x轴变成了渐近线.所以值域为[-12，12].总之，恰当运用极限思想，抓住问题的极端情形解题，不仅使复杂问题的解决简单化，而且也有利于培养学生的创造性思维及探究能力.。

极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。

因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。

首先，要认识到极限中的关系。

极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。

根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。

其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。

再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。

这样就可以轻松求出一元二次方程的解。

比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。

最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。

极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。

极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。

因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。

浅谈高等数学中极限思想及其应用
高等数学中的极限思想是解决很多数学问题的基础，它直接或间接地影响着数学研究中各
个领域的发展，对数学的发展起到了非常重要的作用。

极限的概念源于古希腊数学家坎伯乐，他研究函数时发现函数可以趋于一个固定值，当函
数满足某些条件时，就收敛到一个值，这个值就是函数的极限，从而发展出了极限的概念。

古希腊数学家特拉法尼希将坎伯乐的极限思想进行了进一步发展，把概念化，形成了极限
的定义，推导出了极限的几何学定理，奠定了极限法在数学发展中的地位。

极限的应用主要集中在微分、积分、几何和微分方程中，现代数学发展的离不开极限的思想，几乎所有数学问题的解法中都有极限的踪迹。

比如微分学中，著名的微积分方程及其
解法，正是利用极限思想得出的。

物理学的新发展与极限思想也息息相关：物理量的变化
可以简单地用极限知识来分析和推导，从而取得重要的结论。

总之，极限思想是高等数学中不可或缺的一部分，它是解决复杂数学问题的重要方法，它也在许多学科领域得到了广泛的应用，发挥着不可替代的作用。

LiberalArtsGuidance2024年第2期（总第506期）文理导航No.2,2024Serial No.506【摘要】随着社会的发展和科技的进步,人们对知识的需求也在不断增加。

而对于中学生而言,学习数学是必不可少的一个环节。

然而,由于学生对数学的理解程度不同及不同的学习方式,数学教育变得越来越复杂化。

因此,如何提高学生对数学的兴趣和理解能力成为当前亟待解决的问题之一。

极限思维作为一种新的教学方法,具有一定的优越性。

它能够帮助教师更好地引导学生思考问题,激发他们的创造力和想象力,从而达到更好的教学效果。

本文重点研究极限思维在高中数学教学中的应用,旨在提升学生数学素养。

【关键词】极限思维;高中数学;教学;应用目前,极限思维已经被广泛地运用于各个领域中,包括自然科学、社会科学、人文科学等。

而在数学教学方面,极限思维的应用也得到了广泛的研究与实践。

引入极限思维的方法可以使学生更深入地理解数学的本质和规律,提升其解决问题的能力和创新能力。

此外,极限思维还可以帮助教师更好地了解学生的知识水平和发展状况,进而制订更为有效的教学计划和策略。

因此,极限思维是一种非常有前途的新型教学方法,在未来的发展过程中将会得到更广泛的应用。

一、高中数学教学现状分析当前,随着社会的发展和教育的不断进步,数学作为一门基础学科的地位越来越重要。

然而,由于学生对数学的理解程度不同及教师的教学水平参差不齐等因素的影响,导致数学教学中的一些问题。

其中最突出的问题就是学生对数学知识掌握不够深入,缺乏实际操作能力。

而极限思维是一种基于逻辑推理的方法,它通过将复杂的问题分解成一系列简单的问题,从而达到解决问题的目的。

这种方法不仅可以帮助学生更好地理解数学概念,还可以培养他们的创新意识和求解能力。

此外,极限思维还能够激发学生的想象力和创造力,让他们更加关注于数学的本质与规律。

二、极限思维应用优势极限思维是一种高效的学习方法,可以帮助学生更好地理解和掌握知识点。

例析极限、特殊化思想在解题中的运用高群安(湖北省襄州一中㊀４４１１０４)摘㊀要:极限思想㊁特殊化思想ꎬ在历年高考中都占有重要的地位.在解题中ꎬ它具有排除否定功能ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.关键词:极限思想ꎻ特殊化思想ꎻ广泛应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高群安(１９６３－)ꎬ男ꎬ湖北省襄阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学思想概要特殊化思想㊀就是用特殊值㊁特殊点㊁特殊函数㊁特殊数列㊁特殊方程㊁特殊图形 去探求未知的题设结论ꎬ或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定ꎬ正确的结论则需要进一步的证明.极限思想㊀就是用极限的概念㊁理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想ꎬ它在探究㊁解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.极限思想㊁特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位.运用极限㊁特殊化思想解决有关数学问题ꎬ可以迅速排除错误结论ꎬ缩小目标范围ꎬ优化解题过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数学思想应用举例特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而ꎬ对一些解答题ꎬ若先用特值法探求结论ꎬ就能使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现ꎬ如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况ꎻ点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.１.求值问题例１㊀抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ与ｘ轴的两交点为Ａ㊁Ｂꎬ求｜ＡＢ｜的值.分析㊀取ｍ＝０ꎬ则抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法一㊀把抛物线按向量(－ｍꎬ０)平移后ꎬ顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ此时抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ｜ＡＢ｜的长度不变ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法二㊀ȵ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ所以抛物线方程可化为ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１ꎬ令ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１＝０得ｘ１＝ｍ－１ꎬｘ２＝ｍ＋１ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝２.例２㊀求３ｘ＋ｘ＋８３ｘ－１３＋３ｘ－ｘ＋８３ｘ－１３之值.分析㊀当ｘȡ１时ꎬ原式有意义ꎬｘ＝１时ꎬ原式＝１＋１＝２ꎻｘ＝４时ꎬ原式＝３４＋４＋０＝２.由此猜想:原式的值是一个与ｘ无关的常数２.题中根式过多ꎬ能否通过换元转化ꎬ简化求解过程呢?解㊀设ｘ－１３＝ｔȡ０ꎬ则ｘ＝３ｔ２＋１ꎬｘ＋８３＝ｔ２＋３.ʑ原式＝３３ｔ２＋１＋ｔ(ｔ２＋３)＋３３ｔ２＋１－ｔ(ｔ２＋３)＝３(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)３＝１＋ｔ＋１－ｔ＝２.图１例３㊀如图１所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｏ是ＢＣ的中点ꎬ过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢꎬＡＣ于不同的两点ＭꎬＮꎬ若ＡＢң＝ｍＡＭңꎬＡＣң＝ｎＡＮңꎬ则ｍ＋ｎ的值为(㊀㊀).Ａ.１㊀Ｂ.２㊀Ｃ.３㊀Ｄ.４解法一㊀当点Ｍ与Ｂ重合时ꎬＮ与Ｃ重合ꎬ此时ｍ＝ｎ＝１ꎬｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.解法二㊀ȵＯ为ＢＣ的中点ꎬʑＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)＝１２(ｍＡＭң＋ｎＡＮң)＝ｍ２ＡＭң＋ｎ２ＡＮң.ȵＭꎬＯꎬＮ三点共线ꎬʑｍ２＋ｎ２＝１ꎬʑｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.例４㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤꎬøＢＡＤ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ则ＡＣ的长为.思路一㊀(利用极限思想探求答案)当ＣңＤ时ꎬＡＣңＡＤꎬ四边形ＡＢＣＤң等腰直角三角形ＡＢＤ.２７由１２ＡＢ ＡＤ＝１２ＡＤ２ң８⇒ＡＤң４ꎬＡＣң４.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３思路二㊀(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ＡＢＣＤꎬ则由ＡＢ２＝８⇒ＡＣ２＝２ＡＢ２＝１６⇒ＡＣ＝４ꎬ由此猜想ＡＣ＝４.解法一㊀如图３ꎬ连接ＢＤꎬ作ＡＯʅＢＤ于点Ｏꎬ作ＣＨʅＡＯ于点Ｈ.连接ＯＣ.依题意可设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ａꎬＯＨ＝ｂꎬＣＨ＝ｃꎬ则因为四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ所以１２ＢＤˑＡＨ＝８⇒ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ于是ＡＣ２＝(ａ＋ｂ)２＋ｃ２＝ａ２＋２ａｂ＋(ｂ２＋ｃ２)＝２ａ２＋２ａｂ＝２ａ(ａ＋ｂ)＝１６ꎬ故所求ＡＣ的长为４.点评㊀解答的关键是作辅助线由面积关系导出ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ再由勾股定理㊁整体代换求出ＡＣ＝４.不作辅助线能否求出ＡＣ呢?解法二㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设ＡＢ＝ＡＤ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＡＣ＝ｘꎬ由题设易得ａ２＋ｂｃ＝１６.由余弦定理得ｘ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＢꎬｘ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＤꎬｃｏｓＢ＋ｃｏｓＤ＝０{⇒(ｃ＋ｂ)ｘ２＝ｃ(ａ２＋ｂ２)＋ｂ(ａ２＋ｃ２)⇒ｘ２＝ａ２＋ｂｃ＝１６ꎬｘ＝４ꎬ即ＡＣ＝４.２.参数范围问题例５㊀(２０１５课标１ 理１６)在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２ꎬ则ＡＢ的取值范围是.分析㊀如图４ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ＝２ꎬ角ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的大小确定ꎬ当ＤңＡ时ꎬｘ递增ꎻＤңＣ时ꎬｘ递减.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２.设ＡＢ＝ｘꎬ则当ＡＤң０时ꎬｘң６＋２ꎻＤＣң０时ꎬｘң６－２.ʑＡＢɪ(６－２ꎬ６＋２).点评㊀本题是运用正弦定理解三角形ꎬ求取值范围问题.本解答抓住Ｄ点的动态变化ꎬ运用数形结合的思想㊁极限的思想ꎬ巧妙地解决了问题.３.求单调区间例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)ꎬ当ｘɪ(－ɕꎬ０]时单调递减ꎬ求ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间.分析㊀若取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜ꎬ则ｆ(２ｘ－ｘ２)＝｜ｘ２－２ｘ｜.画出图象ꎬ由图可知ꎬ递增区间为[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).解㊀利用复合函数的单调性.设ｕ＝ｕ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２＝－(ｘ－１)２＋１ꎬ则ｕȡ０⇔０ɤｘɤ２ꎬｕɤ０⇔ｘɤ０或ｘȡ２ꎬｕ(ｘ)在(－ɕꎬ１]单调递增ꎬ[１ꎬ＋ɕ)单调递减ꎬ函数ｙ＝ｆ(２ｘ－ｘ２)可看作是由ｙ＝ｆ(ｕ)ꎬｕ＝２ｘ－ｘ２复合而成的复合函数.根据复合函数同增异减的性质得 ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增 等价于 ｆ(ｕ)递增ꎬｕ(ｘ)递增ꎬ{或ｆ(ｕ)递减ꎬｕ(ｘ)递减{ ⇔ｕȡ０ꎬｘɤ１ꎬ{或ｕɤ０ꎬｘȡ１{⇔０ɤｘɤ１或ｘȡ２ꎬ即ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间是[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).４.比较大小例７㊀әＡＢＣ中ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ２Ｃ>２ꎬ试判断әＡＢＣ的形状.分析㊀由对称性不妨设ＡɤＢɤＣꎬ试判断әＡＢＣ的形状实际上就是比较角Ｃ与直角的大小关系ꎬ取Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎꎬ则左边＝３ˑ３/４＝９/４>右边ꎬ满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝４５ʎꎬＣ＝９０ʎꎬ则左边＝２ꎬ不满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝３０ʎꎬＣ＝１２０ʎꎬ则左边＝５/４<２ꎬ不满足条件.由此猜想әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ因此问题转化为证明最大角Ｃ<９０ʎ.５.否定错误选项例８㊀(２０１４课标１ 文１１)设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙȡａꎬｘ－ｙɤ－１ꎬ{且ｚ＝ｘ＋ａｙ的最小值为７ꎬ则ａ等号(㊀㊀).Ａ.－５㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－５或３㊀㊀Ｄ.５或－３图６解析㊀画出不等式组对应的平面区域ꎬ如图所示.当ａɤ０时ꎬ在直线ｘ＋ｙ＝ａ上ꎬｘң－ɕꎬｙң＋ɕ时ꎬｚ＝ｘ＋ａｙң－ɕꎬｚ＝ｘ＋ａｙ无最小值ꎬ否定Ａ㊁Ｃ㊁Ｄ.故选Ｂ.点评㊀本解答的关键是利用极限思想ꎬ结合图形直观.当ａɤ０时ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋ａｙ没有最小值ꎬ否定选项ＡＣＤ.６.不等式问题例９㊀(襄阳市２０２０年５月高三月考试题１１)ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ则不等式４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(－ｘ６)的解集是.３７Ａ.(４ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.(－ɕꎬ－１２)ɣ(４ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－１２ꎬ４)㊀Ｄ.(－ɕꎬ－１２)解法一(特值法)㊀取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２ꎬ则由４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)得４ｘ２[－(ｘ３)２]>(１２－ｘ)２[－(２－ｘ６)２]⇒１６ｘ４<(ｘ－１２)４⇒４ｘ２<(ｘ－１２)２⇒ｘɪ(－１２ꎬ４).选Ｃ.如果是求解题ꎬ该怎么办呢?解法二(构造法)㊀构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)ꎬ因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ即ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)ɤ０ꎬ所以当ｘȡ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ２ｆᶄ(ｘ)＋２ｘｆ(ｘ)＝ｘ[ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)]ɤ０ꎬ所以偶函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)递减ꎬ４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)⇔３６(ｘ３)２ｆ(ｘ３)>３６(１２－ｘ６)２ｆ(１２－ｘ６)⇔ｇ(ｘ３)>ｇ(１２－ｘ６)⇔｜ｘ３｜<｜１２－ｘ６｜⇒－１２<ｘ<４.选Ｃ.点评㊀本题主要考查依据题设条件ꎬ构造函数模型ꎬ解决不等问题的能力.７.利用极限思想回避讨论例１０㊀过点Ｐ(－１ꎬ２)的直线ｌ被圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４截得的弦长为２２ꎬ求直线ｌ的方程.解㊀由题设可得圆心Ｏ(０ꎬ０)到直线ｌ的距离ｄ＝１ꎬ设ｌʒｙ－２＝ｋ(ｘ＋１)ꎬ则由ｄ＝｜ｋ＋２｜ｋ２＋１＝１⇒ｋ＝－３４或ｋ＝ɕꎬ故所求直线ｌ的方程为ｘ＝１或３ｘ－４ｙ＋５＝０.点评㊀按常规解答本题应分直线ｌ的斜率存在与不存在两种情况讨论ꎬ本解答巧妙地应用了极限的思想: ｋңɕ时ｄң１ 得斜率不存在的情况满足条件ꎬ回避了分类讨论ꎬ简化了解答过程.８.利用极限思想优化解题过程例１１㊀(２０１２四川 文１２)㊀已知设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－３)３＋ｘ－１ꎬ{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)＝１４ꎬ则ａ１＋ａ２＋ ＋ａ７＝(㊀㊀).㊀Ａ.０㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.２１分析㊀明知山有虎ꎬ偏向虎山行.若取{ａｎ}为常数列ꎬ则易得ａｎ＝３ꎬ答案选Ｄꎬ但题设中{ａｎ}不是常数列呀!能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?解㊀ｆ(ｘ)是Ｒ上的连续函数ꎬ公差ｄң０时ꎬａｎңａ４ꎬ１４＝ｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)ң７ｆ(ａ４)⇒ｆ(ａ４)ң２⇒(ａ４－３)３＋ａ４－１＝(ａ４－３)[(ａ４－３)２＋１]＋２ң２⇒ａ４ң３ꎬʑａ１＋ａ２＋ ＋ａ７ң７ａ４ң２１.观察答案ꎬ选Ｄ.㊀９.利用极限思想解决定值问题例１２㊀(见文[２])已知椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２３ꎬ点Ｐ(０ꎬ２)关于直线ｙ＝－ｘ的对称点在椭圆上.(１)求椭圆Ｍ的方程ꎻ(２)如图ꎬ椭圆Ｍ的上下顶点分别为ＡꎬＢꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于不同两点ＣꎬＤꎬ①求线段ＰＤ长度的最大值ꎻ②当ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｑ时ꎬ试问:点Ｑ的纵坐标是否定值?若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ请说明理由.解㊀(１)椭圆Ｍ的方程是ｘ２４＋ｙ２＝１.(过程略)(２)①ＰＤ长度的最大值是２２１３.(过程略)②当点ＣңＡ时ꎬＤңＢꎬ四边形ＡＣＤＢң直角梯形ꎬ利用相似形的性质易得ｙＱ＝１２ꎻ当点ＣңＤ时ꎬ椭圆的割线ＰＣＤң切线ＰＴꎬ点Ｑң切点Ｔꎬ利用方程易求得ｙＱ＝１２.下面证明:点Ｑ的纵坐标是定值１２.设直线ｌʒｙ＝ｋｘ＋２ꎬＣ(ｘ１ꎬｋｘ１＋２)ꎬＤ(ｘ２ꎬｋｘ２＋２)ꎬ由ｙ＝ｋｘ＋２ꎬｘ２＋４ｙ２＝４{⇒(４ｋ２＋１)ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０ꎬʑｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－１６ｋ⇒ｋｘ１ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２).设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＡꎬＱꎬＤ共线及ＣꎬＱꎬＢ共线得ｙ－１ｘ＝ｋｘ２＋１ｘ２ꎬｙ＋１ｘ＝ｋｘ１＋３ｘ１{⇒ｙ－１ｙ＋１＝ｋｘ１ｘ２＋ｘ１ｋｘ１ｘ２＋３ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ１－３４(ｘ１＋ｘ２)＋３ｘ２＝－１３⇒ｙ＝１２.可见ꎬ极限特殊化思想ꎬ具有排除否定功能.在求解题中ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.㊀㊀参考文献:[１]２０１２年全国及各省市高考试题解析[Ｍ].西安:陕西人民教育出版社ꎬ２０１２:１４８.[２]翟金成.高二数学测试题[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２００９(０６):１９－２４.[责任编辑:李㊀璟]４７。

极限思想在高中解题中的运用多伦县第三中学 刘洪庆极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。

而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

下面将用例题举出极限思想的妙处。

尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。

要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。

给大家介绍说明本文要用到的数学符号:”。

“负向趋近于”表示③“”。

“正向趋近于”表示②““趋近于”。

”表示①“a :a a :a :-→+→→ 举例: 大”。

且比“正向趋近于”表示“11:1+→小”。

且比“负向趋近于”表示“11:1-→例1、函数xxxx e e e e y ---+=的图象大致为（ ）解析：x x x x x x x x e e e e e e ee y 11-+=-+=--当 +→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+=∴02y 。

故排除B 、C 、D 。

选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ）解析：当 +→0x 时，+→12x ，-→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+=01y 。

当 -→0x 时，-→12x ，+→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→-=01y 。

排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D例3、函数x x x f tan 2)(-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的图象大致为（ ）解析: 当-→2πx 时,+∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2,-∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项 当 +-→)2(πx 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项故选C例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）解析：当+→0x 时，+→1x e ，-→11x e ，∴+→-0)1(xx e e ，+→0sin x ， +→+⨯+=∴0)0()0(y 。