点集拓扑学练习题（第3章）
一、单项选择题（每题 2分）
1、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子
空间A 的拓扑为( )
① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=
2、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z =
③ T Z = ④ {}T Z =
3、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射
4、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则
有（ ）
① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯
③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂
5、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 ④ 不连通空间
6、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
二、填空题（每题2分）
1、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑
是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;
2、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的
象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;
3、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的
象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;
4、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连
续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；
5、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商
空间所具有，则称这个性质是一个 ；
6、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间
12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ，则性质P 称为 ;
四．简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.
2、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .
