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Gumbel Copula函数1. 引言在金融领域中，对于风险管理和投资组合优化等问题，常常需要对多个随机变量的联合分布进行建模和分析。
Copula函数是一种用来描述多维随机变量之间依赖关系的工具。
Gumbel Copula函数是Copula函数家族中的一员，它具有灵活性和广泛应用性。
本文将详细解释Gumbel Copula函数的定义、用途和工作方式，并探讨其特点、参数估计方法以及优缺点。
2. 定义Copula函数是一个定义在单位超立方体上的多元分布函数，用于将边际分布与联合分布联系起来。
Gumbel Copula函数是一种特殊形式的Copula函数，它使用Gumbel分布作为边际分布。
Gumbel Copula函数的定义如下：其中，C(u1, u2, …, un)表示n个随机变量U1, U2, …, Un的联合概率密度。
u1, u2, …, un表示这些随机变量对应边际概率密度值F1(x1), F2(x2), …, Fn(xn)的累积概率。
3. 用途和工作方式Gumbel Copula函数的主要用途是建模多维随机变量之间的依赖关系。
它可以将不同边际分布的随机变量转化为具有相同边际分布的独立随机变量，从而简化问题的处理。
Gumbel Copula函数的工作方式如下：1.将n个随机变量的累积概率值转化为符合标准Gumbel分布的随机变量。
2.根据转化后的随机变量，计算其联合概率密度。
具体步骤如下：1.对于每个随机变量Ui，根据其边际概率密度Fi(x)计算累积概率值ui =Fi(xi)，其中xi为实际观测值。
2.将累积概率值ui通过Gumbel分布的累积分布函数转化为符合标准Gumbel分布的随机变量vi = Fg(-1)(ui)，其中Fg(-1)为标准Gumbel分布的逆函数。
3.将转化后的随机变量vi代入Gumbel Copula函数中，计算联合概率密度C(v1, v2, …, vn)。
4. 特点Gumbel Copula函数具有以下特点：1.灵活性：通过Gumbel Copula函数，可以将不同边际分布的随机变量转化为具有相同边际分布的独立随机变量，从而简化问题的处理。
Clayton Copula函数1. 引言在统计学和金融学中，Copula函数是一种用于研究随机变量之间关联性的工具。
它描述了多变量的联合分布函数，能够从边缘分布中独立地描述变量之间的关系。
Copula函数被广泛应用于风险管理和金融衍生品定价领域。
Clayton Copula函数是Copula函数中的一种特定形式，它在建模极端事件相关性方面具有重要的应用。
Clayton Copula函数以Swiss economist Micolas Clayton （1911-1993）的名字命名，它通过一个参数α来表示相关性的程度。
在本文中，将详细解释Clayton Copula函数的定义、用途和工作方式，以及相关的性质和参数估计方法等。
2. Clayton Copula函数的定义和表示Clayton Copula函数是一种二元Copula函数，用于描述两个随机变量之间的依赖关系。
它的定义是：其中，C(u,v)表示Clayton Copula函数的值，u和v分别是两个随机变量的累积分布函数的值，θ是Clayton Copula函数的参数，通常取值范围在(0,∞)之间。
将上述定义可视化为二维图形，Clayton Copula函数的图形如下所示：从图中可以看出，Clayton Copula函数的形状呈现一个抛物线状，和角度θ有关。
当θ较小时，函数的斜率较大，表示变量之间的相关性较强；当θ接近∞时，函数逼近一个完全独立的Copula函数。
3. Clayton Copula函数的用途Clayton Copula函数在金融学和风险管理领域有广泛的应用。
主要用途包括：3.1 构建多变量分布Clayton Copula函数允许将多个边缘分布函数组合起来，从而构建多变量的联合分布。
这对于风险管理和金融衍生品定价等领域非常重要。
通过利用Copula函数，我们可以更准确地估计和模拟多变量分布，从而更好地理解和管理风险。
3.2 建模极端事件Clayton Copula函数在建模极端事件相关性方面具有重要的应用。
一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。
r语言copula函数R语言中的copula函数是用来对数据进行相关性分析的工具。
它能够帮助我们理解不同变量之间的关系，并提供了一种可视化的方式来展示这种关系。
copula函数在金融、统计学、风险管理等领域中被广泛应用。
在R语言中，copula函数的基本语法如下所示：```copula(x, method = c("spearman", "kendall", "pearson"), plot = FALSE)```其中，x表示要分析的数据集，method参数表示要使用的相关性系数的类型，plot参数表示是否绘制相关性矩阵的图形。
copula函数返回的结果是一个相关性矩阵，它展示了数据集中各个变量之间的相关性。
矩阵的对角线上的元素表示每个变量自身的相关性，而其他位置上的元素表示两个变量之间的相关性。
为了更好地理解copula函数的使用，我们以一个实际的例子来说明。
假设我们有一个数据集，包含了三个变量：A、B和C。
我们想要分析这三个变量之间的相关性。
我们需要加载R语言中的copula包，并导入我们的数据集。
然后，我们可以使用copula函数来计算相关性矩阵。
在这个例子中，我们选择使用spearman方法来计算相关性系数。
下面是完整的代码：```library(copula)data <- read.csv("data.csv")corMatrix <- copula(data, method = "spearman")```运行这段代码后，我们将得到一个相关性矩阵corMatrix。
为了更好地理解这个矩阵，我们可以使用R语言中的heatmap函数来绘制相关性矩阵的图形。
下面是绘制相关性矩阵图形的代码：```heatmap(corMatrix)```运行这段代码后，我们将得到一个热力图，它展示了数据集中各个变量之间的相关性。
copula函数的基本原理什么是copula函数Copula函数（Copula Function）是用于描述多维随机变量的分布函数的一种数学工具。
在金融、风险管理、生命科学等领域中，Copula函数被广泛应用于建立多变量模型，探索变量之间的相关性，进行风险度量和依赖性分析等工作。
Copula函数的定义在统计学中，Copula函数是一个二元分布函数，其边缘分布函数都是均匀分布函数的函数。
即对于二维随机变量(X,Y)，其Copula函数定义为C(u,v)=P(X≤F-1(u),Y≤F-1(v))，其中F-1(u)表示边缘分布函数的逆函数，u和v是区间[0,1]上的随机变量。
Copula函数的作用Copula函数的主要作用是将多维随机变量的边缘分布函数和其相关性分离开来。
通过使用Copula函数，我们可以将变量的边缘分布函数与变量之间的相关性独立建模，从而更好地描述变量之间的依赖关系。
Copula函数的性质Copula函数具有以下重要性质： 1. 边缘分布不相关性：Copula函数的构造使得边缘分布函数之间的相关性为零。
这使得Copula函数能够更好地描述变量之间的相关性。
2. 区间可变性：Copula函数的定义将变量的区间限制在[0,1]上，使得不同变量之间的比较和分析更加方便。
3. 自由度灵活性：Copula函数可以根据不同的需求和假设来选择。
常用的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula和Clayton Copula等，每种函数都具有不同的分布特性和假设条件。
Copula函数的应用Copula函数在金融领域的应用非常广泛，例如： 1. 金融风险管理：Copula函数可以用于建立多变量风险模型，通过分析不同金融资产之间的相关性，实现风险的度量和管理。
2. 资产组合优化：通过分析不同资产之间的相关性，可以构建有效的投资组合，实现资产配置和风险控制的优化。
3. 衍生品定价：Copula函数可以用于对不同衍生品之间的相关性进行建模，从而实现衍生品的定价和风险度量。
copula函数 python实现copula（连系动词）是一种特殊的动词，用于连接主语和谓语补足语，表达主语的状态、性质、身份等。
在Python中，我们可以使用函数来实现copula的功能，使得我们能够更方便地在程序中进行状态的判断和描述。
Python是一种简洁而强大的编程语言，拥有丰富的函数库和工具，可以轻松实现各种功能。
在Python中，我们可以使用一个函数来实现copula的功能，该函数可以接受主语和谓语补足语作为参数，并返回一个描述主语状态的结果。
我们需要定义这个copula函数，可以将其命名为copula_func。
接下来，我们需要在函数中添加一些逻辑来判断主语和谓语补足语的关系，并返回相应的结果。
在这个函数中，我们可以使用if语句来进行条件判断和逻辑判断。
在函数中，我们可以使用主语和谓语补足语作为参数，并将它们赋值给相应的变量。
然后，我们可以使用if语句来判断主语的状态，并根据不同的状态返回不同的结果。
例如，如果主语是"我"，谓语补足语是"高兴"，那么函数可以返回"我很高兴"这样的结果。
除了基本的判断逻辑，我们还可以在函数中添加一些其他的功能，例如处理多个主语和谓语补足语的情况，处理特殊的状态和性质等。
这样，我们就可以更灵活地使用copula函数，并根据实际需求进行扩展和修改。
在使用copula函数时，我们可以将其作为其他程序的一部分来调用，也可以直接在交互式环境中使用。
无论是哪种方式，我们都可以得到一个描述主语状态的结果，以便更好地理解和处理数据。
总结一下，copula函数的实现可以帮助我们更方便地描述主语的状态、性质和身份等。
通过使用函数，我们可以在Python程序中轻松地进行状态的判断和描述，使得我们的程序更加灵活和强大。
使用copula函数，我们可以更好地理解和处理数据，提高程序的可读性和可维护性。
copula函数的定义
copula函数是一种将多个随机变量的分布函数与它们的边缘分布函数联系起来的函数。
它通常用于建立多元随机变量之间的依赖关系，并用于金融风险管理、精算学和统计推断等领域。
copula函数的定义包括以下两个方面：
1. 定义：copula函数是一个从[0,1]^n到[0,1]的映射，用于链接n个随机变量的边缘累积分布函数。
2. 特性：copula函数有以下特征：
（1）边缘分布：在给定copula函数后，可以通过边缘累积分布函数来确定每个随机变量的边缘分布。
（2）依赖关系：copula函数用于描述多元随机变量之间的依赖关系，包括正相关、负相关和无相关。
（3）标准化：copula函数可以标准化为[0,1]^n内的函数，使得它们具有相同的边缘分布。
（4）选择：不同的copula函数可以用于描述不同类型的依赖关系，例如高斯copula、t-copula和Archimedean copula等。
总之，copula函数是一种非常强大的工具，用于建立多元随机变量之间的依赖关系，并在金融风险管理和精算学等领域中发挥着重要作用。
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t-copula函数的参数随着数据分析和金融工程领域的发展，copula函数作为一种重要的概率密度函数已经被广泛应用。
其中，在金融领域，t-copula函数是一种常用的copula函数，它在描述金融资产之间的相关性和联动性时具有重要的作用。
在使用t-copula函数进行建模时，需要正确地设置参数，以获得有效的模型拟合和合理的结果。
本文将对t-copula函数的参数进行详细介绍和分析。
1. 自由度参数（degrees of freedom）自由度参数是t-copula函数的一个重要参数，它决定了t分布的尾部厚度和形状。
在copula函数中，自由度参数可以用来描述变量之间相关性的程度。
通常情况下，自由度参数越大，表示数据之间的相关性越强；而自由度参数越小，表示变量之间的相关性越弱。
在使用t-copula函数时，需要合理设置自由度参数，以反映数据之间真实的相关性情况。
2. 相关系数矩阵（correlation matrix）相关系数矩阵是t-copula函数参数设置中的另一个关键因素。
相关系数矩阵用来描述数据之间的线性相关性程度，是描述多维随机变量之间相关性的重要工具。
在t-copula函数中，相关系数矩阵被用来构建联合分布函数，从而描述变量之间的相关性。
通过调整相关系数矩阵，可以有效地控制变量之间的相关性强度和方向，从而得到合理的模型拟合结果。
3. 边缘分布函数（marginal distribution function）在使用t-copula函数时，还需要考虑边缘分布函数的选择。
边缘分布函数用来描述单个随机变量的分布特征，对于多维随机变量来说，选择合适的边缘分布函数可以有效地影响copula函数的拟合效果。
通常情况下，常见的边缘分布函数包括正态分布、t分布、偏态分布等。
在实际应用中，需要根据数据的特点和实际需求选择合适的边缘分布函数，以获得准确的模型拟合结果。
t-copula函数的参数设置对于建模和分析多维随机变量之间的相关性具有重要意义。
copula函数应用实例标题：Copula函数在自然语言处理中的应用段落1：引言在自然语言处理（Natural Language Processing，简称NLP）领域中，Copula函数是一种常用的工具，用于处理语言中的断言和描述。
Copula函数作为一种联系语句主语与谓语的方式，能够帮助我们理解和解析人类语言的含义与逻辑关系。
段落2：Copula函数的基本概念Copula函数是一种语法结构，用于连接主语和谓语，并表达主语的状态、特征或身份。
它是一种断言的基本构成方式，可以通过不同的形式和时态来表示不同的语义。
在中文中，常见的Copula函数有“是”、“在”、“成为”等。
段落3：Copula函数在句子中的应用Copula函数在句子中起到了连接和衔接的作用。
通过Copula函数，我们可以准确地描述人与事物之间的关系和属性。
例如，“他是一位医生”中的“是”就是Copula函数，用来表达主语“他”与谓语“一位医生”的关系。
同样地，“这个苹果是红色的”中的“是”也是Copula函数，用来描述主语“这个苹果”与谓语“红色的”之间的关系。
段落4：Copula函数在信息提取中的应用Copula函数在信息提取中起到了重要的作用。
通过分析句子中的Copula函数，我们可以提取出主语和谓语之间的关系和属性信息。
例如，“这本书是关于历史的”中的Copula函数“是”可以帮助我们提取出主语“这本书”和谓语“关于历史的”之间的关系，从而帮助我们理解这本书的内容和主题。
段落5：Copula函数在语义分析中的应用Copula函数在语义分析中也扮演着重要的角色。
通过分析句子中的Copula函数，我们可以推断出句子的语义和逻辑关系。
例如，“他是一个好人”中的Copula函数“是”可以帮助我们理解主语“他”与谓语“一个好人”的关系，从而推断出“他是一个好人”的含义是肯定的。
段落6：结论Copula函数作为一种联系语句主语与谓语的方式，在自然语言处理中扮演着重要的角色。
c语言copula函数copula函数是C语言中的一个重要函数，也称为链接动词函数。
它的作用是在两个对象之间建立起连接关系，通过指定的条件将两个对象绑定在一起。
在C语言中，基本的copula函数有以下几种形式：1. strcat函数：将源字符串的内容连接到目标字符串的末尾。
函数原型为：char *strcat(char *dest, const char *src)。
其中，dest参数是目标字符串，src参数是源字符串。
使用这个函数时，需要保证目标字符串有足够的空间来容纳新添加的内容。
2. strncat函数：与strcat函数类似，但是它可以指定要连接的源字符串的长度。
函数原型为：char *strncat(char *dest, const char*src, size_t n)。
其中，n参数是要复制的最大字符数。
3. strcpy函数：将源字符串的内容复制到目标字符串中。
函数原型为：char *strcpy(char *dest, const char *src)。
其中，dest参数是目标字符串，src参数是源字符串。
使用这个函数时，需要保证目标字符串有足够的空间来容纳源字符串的内容。
4. strncpy函数：与strcpy函数类似，但是它可以指定要复制的源字符串的长度。
函数原型为：char *strncpy(char *dest, const char*src, size_t n)。
其中，n参数是要复制的最大字符数。
5. sprintf函数：将格式化的数据写入一个字符串中。
函数原型为：int sprintf(char *str, const char *format, ...)。
其中，str参数是目标字符串，format参数是格式化字符串，后面的参数是要替换格式化字符串中占位符的具体值。
使用这个函数时，需要保证目标字符串有足够的空间来容纳替换后的内容。
6. sscanf函数：从一个字符串中读取格式化的数据。
copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。
它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。
Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。
一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。
Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。
1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。
（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。
（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。
（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。
二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。
Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。
matlab计算三元阿基米德copula函数阿基米德copula函数是一种常用于模拟多维随机变量的copula函数。
它是通过一个参数化的生成函数来定义的，可以用来描述变量之间的依赖关系。
假设我们有三个随机变量X、Y和Z，它们的分布函数分别为FX(x)、FY(y)和FZ(z)。
阿基米德copula函数C(u,v,w)的定义如下：C(u,v,w)=ψ⁻¹(ψ(u)+ψ(v)+ψ(w))其中，ψ(·)是一个单调递减函数，ψ⁻¹(·)是它的逆函数。
在阿基米德copula函数中，每个随机变量的分布函数都通过ψ函数的变换得到，然后再将变换后的值相加并通过ψ⁻¹函数逆变换回来。
在MATLAB中，我们可以通过以下步骤计算三元阿基米德copula函数：1. 定义生成函数ψ(·)和它的逆函数ψ⁻¹(·)。
常用的生成函数有Clayton、Gumbel和Frank函数，它们分别对应不同的依赖结构。
例如，如果我们选择Clayton copula函数，生成函数和逆函数可以定义如下：ψ(u) = (u^(-theta) - 1)^(1/theta)ψ⁻¹(u) = (1 + theta*u)^(-1/theta)其中，theta是Clayton copula函数的参数。
2.计算每个随机变量的累积分布函数FX(x)、FY(y)和FZ(z)。
3.将每个随机变量的累积分布函数通过生成函数ψ(·)进行变换，得到ψ(FX(x))、ψ(FY(y))和ψ(FZ(z))。
4. 将变换后的值相加，并通过逆函数ψ⁻¹(·)逆变换回去，得到三元阿基米德copula函数C(u,v,w)。
下面是MATLAB代码示例，用于计算三元阿基米德copula函数：```matlab%定义生成函数和逆函数theta = 2; % Copula函数的参数%定义随机变量和分布函数X = linspace(0, 1, 100); % X的取值范围Y = linspace(0, 1, 100); % Y的取值范围Z = linspace(0, 1, 100); % Z的取值范围FX=X;%X的累积分布函数FY=Y;%Y的累积分布函数FZ=Z;%Z的累积分布函数[u, v, w] = ndgrid(FX, FY, FZ);C = psi_inv(psi(u) + psi(v) + psi(w));% 绘制阿基米德copula函数的3D表面图figure(;surf(X, Y, C);xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('C(u,v,w)');title('Three-dimensional Archimedean Copula');```以上代码示例中，我们选择了Clayton copula函数，并使用linspace函数定义了随机变量和分布函数的取值范围。
Copula 简介Copula理论的是由Sklar在1959年提出的，Sklar指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n个边缘累积分布和一个Copula函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
1 二元Copula函数定义1 二元Copula函数（Nelsen，2006）二元Copula函数是指具有以下性质的函数C：（1）C的定义域为I2，即[0,1]2；（2）C有零基面（grounded），且是二维递增（2-increasing）的；（3）对任意的变量u、v [0,1]，满足：C(u,1) = u，C(1,v) = v。
其中：有零基面（grounded）指的是：在二元函数H(x, y)的定义域S1×S2（S1、S2为非空的实数子集）内，如果至少存在一个a1 S1和一个a2 S2，使得H(x, a2) = 0 = H(a1, y)，那么称函数有零基面（grounded）。
二维递增（2-increasing）指的是：对于二元函数H(x, y)，若在任意的二维实数空间B = [x1, x2]×[y1, y2]中，均有V H(B) = H(x2, y2) - H(x2, y1) - H(x1, y2) + H(x1, y1)≥0，那么称H(x, y)是二维递增（2-increasing）。
二元Copula函数有以下几点性质：（1）对u、v [0,1]中的任一变量，C(u, v)都是非减的；（2）对任意的u、v [0,1]，均有C(u,0) = C(0,v) = 0，C(u,1) = u，C(1,v) = v；（3）对任意的u1、u2、v1、v2 [0,1]，若有u1 < u2、v1 < v2，则C(u2, v2) - C(u2, v1) - C(u1, v2) + C(u1, v1)≥0（4）对任意的u、v [0,1]，均有max(u+v-1, 0)≤C(u, v)≤min(u, v)；（5）对任意的u1、u2、v1、v2 [0,1]，均有|C(u2, v2) - C(u1, v1)|≤| u2 -u1| + | v2 -v1 |（6）若u、v独立，则C(u, v) = uv。
最近在学习过程中学习了Copula函数，在看了一些资料的基础上总结成了本文，希望对后面了解该知识的同学有所帮助。
本文读者要已知概率分布，边缘分布，联合概率分布这几个概率论概念。
我们为什么要引入Copula函数？当边缘分布（marginal probability distribution）不同的随机变量（random variable），互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。
此时，在已知多个已知边缘分布的随机变量下，Copula函数则是一个非常好的工具来对其相关性进行建模。
什么是Copula函数？copula这个单词来自于拉丁语，意思是“连接”。
最早是由Sklar在1959年提出的，即Sklar定理：以二元为例，若 H(x,y) 是一个具有连续边缘分布的F(x) 与 G(y) 的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数 C ，使得H(x,y)=C(F(x),G(y)) 。
反之，如果 C 是一个copula函数，而 F 和 G 是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的 H 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F 和 G 。
Sklars theorem : Any multivariate joint distribution can be written in terms of univariate marginal distribution functions and a copula which describes the dependence structure between the twovariable.Sklar认为，对于N个随机变量的联合分布，可以将其分解为这N个变量各自的边缘分布和一个Copula函数，从而将变量的随机性和耦合性分离开来。
其中，随机变量各自的随机性由边缘分布进行描述，随机变量之间的耦合特性由Copula函数进行描述。
copula函数1、Sklar定理Sklar定理（二元形式）：若H（x,y）是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的copula函数C使得H（x,y）=C（F(x)，G(y)）。
反之，如果C是一个copula函数，而F,G是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布函数刚好就是F和G。
Sklar定理告诉我们一件很重要的事情，一个联合分布关于相关性的性质完全由它的copula函数决定，与它的边缘分布没有关系。
在已知H,F,G的情况下，能够算出它们的copula：C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]2、什么是copula函数？copula函数实际上是一个概率。
假设我们有n个变量（U1,U2,…,UN），这n个变量都定义在[0,1]，copula函数C(u1,u2,…,un)即是P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}，（这里的n个变量是相互关联的）。
(1)copula是最全面的相关性(2)copula可以有尾部相依性(3)copula定义的C(u1,u2,…,un)=P{U1<u1,U2<u2,…,Un<un}对应的概率密度函数为c(u1,u2,…,un)=∂n C(u1,u2,… ,un)/∂u1∂u2…∂un，fi(x1,x2,…,xn)为联合分布函数F i (x1,x2,…,xn)= Ui的概率密度函数，fi(x1,x2,…,xn)为Ui的概率密度函数，则有：f(x1,x2,…,xn)= c(u1,u2,…,un)*[ f1(x1,x2,…,xn)*…*fn(x1,x2,…,xn)]3、只要满足下面3个条件的函数都是copula函数（以二元为例）(1)定义域为[0，1]*[0，1]，值域为[0,1],即C：[0，1]*[0，1]->[0，1](2)C（u,0）=c(0,v)=0;C(u,1)=u;C(1,v)=v(3)0≤∂C/∂u≤1；0≤∂C/∂v≤14、copula函数的种类（1）多元正态分布的copula（高斯copula）：（边缘分布是均匀分布的多元正态分布）（2）多元t分布的copula：t-copula（3）阿基米德copula（人工构造）令φ：[0,1]→[0,∞]是一个连续的，严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，其伪逆函数φ[-1] 由下式定义：那么由下式定义的函数C:[0,1]*[0,1]→[0,1]是一个copula，通过寻找合适的函数φ利用上式所生成的copula都是阿基米德类copula，并称φ为其生成函数，且阿基米德类copula都是对称的，即C(u,v)=C(v,u)。
一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。
边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。
也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。
Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。
Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。
不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。
对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。
Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。
Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。
：参数估计Copula 函数的参数估计方法大致可分为三种:○1关性指标法, 根据上面提到的Kendall 秩相关系数$ 与" 的关系间接求得。
②适线法, 即在一定的适线准则下, 求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数。
③极大似然法, 对于三维及以上的Copula 函数,相关性指标法显然不再适用, 此时大多采用极大似然法进行参数估计。
肖义在分析前两种方法的基础上,认为相对于单变量分布, Copula 函数的参数估计对资料的长度要求更高, 对于中小样本可能导致估计值抽样误差大, 估计值不稳定, 他采用自助法耦合这两种方法进行参数估计。
统计试验表明, 相关性指标法参数估计值的置信区间较窄、结果更稳定, 自助法能够提高相关性指标法的估计能力, 对于适线法效果却不佳, 会造成估计值严重偏大。
○4均方差(RMSE)：可以用来评价参数估计的有效性Copula 函数的假设检验卡方检验 Kolmogorov- Smirnov( K-S)检验Copula 函数的拟合优度评价( 1) 离差平方和准则法。
采用离差平方和最小准则(OLS) 来评价Copula 方法的有效性, 并选取OLS 最小的Copula 作为联结函数。
OLS(2)AIC 信息准则法。
AIC 信息准则包括两个部分: Copula 函数拟合的偏差和Copula 函数的参数个数导致的不稳定性( 3)Genest–Rivest 方法。
Genest 和Rivest提出了一种比较直观地选择Copula 函数的方法, Copula 函数主要应用方向如下(1)在分期设计洪水中的应用分期设计洪水既要满足防洪标准，又能反映洪水的季节性变化特征。
现行分期设计洪水模式假定各分期频率均等于防洪标准T 的倒数，使得分期设计洪水值不能满足防洪标准的要求。
选择合适的Copula 函数构建汛期分期为三分期、边缘分布为PIII 分布的分期设计洪水的联合分布。
在假定分期设计洪水的联合重现期等于防洪标准T 的前提下，推导基于Copula 函数的分期设计洪水频率和防洪标准的关系，进而推求分期洪水设计值，并与现行分期设计洪水模式的计算成果相比较，分析论证了基于Copula 函数分期设计洪水的合理性，从理论和方法上回答和解决现行分期设计洪水中存在的问题，为分期设计洪水研究提供了一种新的途径。
现行方法采用分期最大洪水选样，根据这种洪水系列计算的洪水频率不同于通常根据全年最大洪水系列计算的频率。
现行的分期设计洪水模式假定分期设计洪水频率均采用原来的年防洪标准，分期最大洪水系列中的部分（有时候甚至为全部）洪水不是年最大洪水，这些洪水在一年内就可能被超过多次。
也就是，在各分期分别取样以后，其分期设计洪水值均小于或等于年最大设计洪水值，不能保证分期设计洪水能够真正达到规定的防洪标准，主汛期设计洪水一般较年最大值取样得到的设计洪水小，这样可能导致主汛期汛限水位较原设计汛限水位抬高这一明显不合理的现象，从而降低水库的防洪标准。
为避免这种现象的发生，规范与设计手册中将主汛期设计洪水值强制等于年最大取样计算的设计洪水值，但这种处理方法只能确保主汛期设计洪水达到指定的防洪标准，并不包含其它分期，因而仍不能够达到指定的年防洪标准。
现行方法反映了洪水的季节性规律，却不能满足设计标准。
正确计算分期设计洪水的途径应既要反映洪水的季节性规律，又要使计算的分期设计洪水符合防洪设计标准（以年为单位的重现期表示）。
(2)在径流随机模拟中的应用CAR(1)模型:基于Copula函数的一阶非平稳时间序列模型随机模型的核心问题是构建联合分布或条件概率分布。
建立了基于Copula函数的一阶非平稳时间序列模型，即季节性CAR(1)模型，并与季节性AR(1)模型进行比较。
以宜昌站月径流模拟为例，研究了季节性CAR(1)模型的实用性。
结果表明，所建模型能较好的模拟原序列的统计特性，尤其是偏态特性、非线性相关性和概率密度特征的保持上，为水文水资源随机模拟研究提供了一种新的途径。
(3)基于Copula 函数的设计洪水过程线方法采用Copula 函数构造边缘分布为PIII 分布的联合分布,用以描述年最大洪峰和年最大时段洪量,并介绍两变量情形下的重现期定义,根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求方法. 研究有助于进一步认识设计洪水过程线的推求方法,并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.(4)分期设计洪水频率与防洪标准关系研究现行分期设计洪水模式估算的分期设计洪水值均小于或等于年最大设计值,达不到规定的防洪标准。
采用Gumbel-Hougaard Copula函数描述两个分期的分期最大洪水之间的相关性结构,并构造边缘分布为P-Ⅲ分布的分期最大洪水联合分布,建立分期最大洪水与年最大洪水的关系式,讨论分期设计洪水频率与防洪标准应满足的关系,探讨能够满足防洪标准的新的分期设计洪水模式。
应用示例表明,新模式主汛期设计值相对年最大设计值小幅度增加,而非主汛期设计值则小于年最大设计值,既满足不降低防洪标准的要求又能够起到优化设计洪水的作用,为分期设计洪水研究提供了一条新的思路。
(5)基于Copula 函数的设计洪水过程线方法采用Copula 函数构造边缘分布为PIII 分布的联合分布,用以描述年最大洪峰和年最大时段洪量,并介绍两变量情形下的重现期定义,根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求方法. 研究有助于进一步认识设计洪水过程线的推求方法,并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.本文在边缘分布为PIII 型分布的联合分布的基础上,初步探讨了设计洪水过程线推求方法,并与现行的基于单变量分布的同频率设计洪水过程线方法进行了比较. 单变量方法能够分别处理描述洪水过程线的多个特征量,并控制各个特征量的重现期分别等于设计标准,但重现期的概念仅仅针对特征量,而不是针对整个设计洪水过程. 本文提出的基于峰量两变量联合分布的方法,将描述设计洪水过程线的变量简化成峰量两个特征量,能够在考虑峰量相关性的前提下描述设计洪水过程的重现期. 所提出的方法适用于峰量均起控制作用情况下设计洪水过程线的推求,为设计洪水过程线研究提供了一条新思路. 本文仅对于两变量情形进行讨论,对于考虑3 个变量以上的设计洪水过程线推求,需要借助于多变量Copula 函数.(6)基于Copula函数法推求分期设计洪水和汛限水位采用3-维非对称型Frank Copula函数结构,构建汛期分期为三分期、边缘分布为P-Ⅲ型分布的分期洪水联合分布.在假定分期设计洪水值的联合重现期等于防洪标准T的前提下,推导基于Frank Copula函数的分期设计洪水频率和防洪标准的关系,解决了分期设计洪水达不到防洪标准和分期频率与年频率不一致的问题,为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.采用Copula函数构建分期设计洪水的联合分布进而根据利用防洪标准的等价形式推求分期汛限水位,不仅考虑了各分期之间的相关性,而且在反映分期洪水季节性特征的同时,解决现行分期设计洪水达不到防洪标准的问题,同时用年组合频率作为下游防洪标准的等价形式,避开了现行汛限水位方法中年频率和分期频率含义不一致的问题,因而本文在联合设计分期洪水的基础上,从年组合频率和分期频率的关系出发,初选分期汛限水位,从而为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.其他应用,在洪水频率分析计算中的应用,在降雨频率分析计算中的应用,在干旱特征分析中的应用,在洪水或降雨遭遇问题中的应用,在水文随机模拟中的应用三、结论与展望今后的研究将集中于以下三方面：（1） Copula 函数理论与方法本身的完善：函数虽早在1959 年就已提出, 但直到上个世纪90 年代才得以迅速发展, 其本身尚处于不断发展完善阶段,与其他理论如Bayes 理论、马尔可夫链等的结合将是该理论的一个发展趋势。
