第11章 相关性与Copula函数

copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。

首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。

其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。

另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。

此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。

正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。

Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。

S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。

J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。

Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。

D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。

基于 copula 函数的股票影响因子相关性分析摘要本文通过对上证 300 股票近 10 年的数据抓取，获得了 10 年内各季度的资产负债表和利润表以及该股开盘日的价格等信息，并计算得到每支股票各季度的盈利收益率（EPS），净资产收益率（ROE）,账面市值比, 总资产收益率(ROA) , 主营毛利率 , 净利率 , 资产负债 , FAP , CMV ,年化收益率等 9 个因子,考虑根据上述因子对股票收益率的影响程度，获得有效且不存在冗余的多因子模型。

首先，本文通过对各季度每只股票所得因子值计算排序，将股票分组，并根据年化组合收益率得到收益率与因子值的数据，再选择其中较为稳定的股票作为基准市场收益率，从而得到各组合收益与因子值之间的正负相关性，进而选取高低收益组合与基准市场收益率做比较，最终判断得到其中有效的因子。

其次，在所选有效因子中，考虑个因子间的相关性影响，选取每一对因子，分别进行 pearson 相关性以及 copula 相关性计算，对比两种相关性的计算值得出结论，并通过对因子值的 copula 密度函数估计，选取不同 copula 函数，即分别运用高斯 copula 以及t-copula函数对上述数据进行分析，得出更合理的相关性分析结果。

关键词：多因子选股pearson相关性分析copula函数秩相关系数一、内容介绍本文研究内容是建立在多因子模型选股分析后期对所选择有效因子进行相关性分析并对冗余因子剔除的问题，由于股票市场数据波动性较大且所选年限跨度较长，因此各因子之间的相关性仅仅通过简单的线性判别方式不具有说服力，因此我们考虑使用 copula 函数方法对每对因子之间进行相关性分析，这里主要介绍净利率和 EPS 这一组。

下面我们对所用到理论知识进行梳理。

1.1 多因子模型多因子模型是关于资产定价的模型。

与资本资产定价模型和单指数模型不同，多因子模型认为证券价格并不仅仅取决于证券的风险，还取决于其他一些因素，如，投资者未来预期收入、未来消费品的相对价格及未来的投资机会等。

正态copula函数
正态copula函数是当今研究概率结构的一种有效工具，它主要用于检验多元
数据之间的相关性或不确定性的度量。

正态copula函数通常被用在多元条件下的
分布拟合中，将概率融合作为一种单一的模型来估计，它允许构建更复杂的非线性模型，更方便地探索相关性。

正态copula函数在互联网场景中有着广泛的应用，这些应用涉及用户行为预测，联合广告投放等。

其中，用户行为预测是利用先进的数据挖掘技术，通过正态Copula函数来自动预测用户偏好，优化分析对象及洞察潜在用户价值，以达到更
具针对性的目标。

此外，正态Copula函数也被广泛用于策略决策场景中，例如，
联合广告投放，可以利用不确定性变量剔除和补空，从而根据投放状况和整合模型，最大化投放有效性，实现最优投放效果。

正态Copula函数的出现，显著提高了互联网数据处理的精度和效率，是提升
数据质量和优化数据获取的有力工具。

未来，正态Copula函数将更好地满足数据
处理和管理领域用户的需求，实现更有效的数据利用。

copula函数上尾相关系数Copula函数是一个重要的概率分布函数，用于描述多变量随机变量之间的依赖关系。

它在风险管理领域、金融领域等方面有广泛的应用，尤其是在计量金融学中被广泛使用。

上尾相关系数是一种评估Copula函数拟合模型的指标，用于衡量变量在尾部的相关性。

下面将对Copula函数以及上尾相关系数进行详细介绍。

一、Copula函数Copula函数主要用于描述多维随机变量之间的相关性，它将每个变量的边际分布函数转化为一个统一的边际分布函数，并用一个函数描述随机变量之间的关系。

通过Copula函数，可以从边际分布中抽出各自的分布，并将它们组合成多维的联合分布。

常见的Copula函数包括高斯Copula、t-Copula、Clayton Copula等。

以二维随机变量为例，假设随机变量X和Y的边际分布函数分别为FX(x)和FY(y)，Copula函数C的定义为：C(FX(x),FY(y))=P(X≤x,Y≤y)其中，C是一个二元函数，它的两个输入值是边际分布函数的值，输出值是联合分布函数的值。

Copula函数具有以下特性：1. 边际分布与Copula函数之间的关系：任何一维边际分布函数可以通过Copula函数和边际分布的逆函数得到，即FX(x) = C(FX^{-1}(u),u)，FY(y) = C(u, FY^{-1}(v))。

2. 联合分布函数与Copula函数之间的关系：给定Copula函数C(u, v)，可以通过C(u, v) = P(X ≤ FX^{-1}(u), Y ≤ FY^{-1}(v))计算任意(u,v)处的联合分布函数的值。

3. 边际分布的特点：Copula函数不涉及边际分布的特定形式，因此可以适用于不同类型的边际分布，包括离散型和连续型。

上尾相关系数是用来衡量Copula函数拟合模型在尾部区域的相关性的一种指标。

它主要用于评估极值相关性的程度，即随机变量在极端情况下的相关性。

华中科技大学博士学位论文Copula理论与相关性分析姓名：***申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：任佳刚;刘次华20091024华中科技大学博士学位论文摘要本文主要研究利用Copula理论分析多维随机变量的相关性及其应用。

Copula是一个“连接”多维联合分布及其边缘分布的函数，其优点主要有两点：第一，它能完整地刻划变量之间的相关性结构；其次，它可以将单个随机变量的边缘分布与变量间的相关结构拆开来处理，然后再加以整合，这样能生成灵活多样的高维概率分布。

论文首先分析了多元Copula函数的特点，然后基于Copula理论研究了随机变量的相关性，探讨了多元Copula参数模型的选择问题，以及利用Copula函数在多元极值理论中获得了一些成果，最后研究了Copula模型在金融和保险等领域的应用。

本文的创新点和主要工作如下：1. 深入分析了Copula理论在研究多变量的相关性中的重要作用，与传统的相关性分析方法相比，Copula函数所具有的优势和特点。

讨论了当边缘分布是连续和非连续的两种情形时Sklar定理的不同结果，并用一种新的方法更简单地证明了此定理。

利用Copula理论研究了Kendall’s τ系数与 Spearman’s ρ系数之间的关系，得到了两者比值ρτ变化的不等式。

针对一类Copula参数族，证明了比值ρτ的极限值是3/2.2. 如何选取合适的Copula函数来描述多维随机变量的相关性结构是目前Copula 理论研究中的一个难题。

论文讨论了一类多元Copula参数模型的选择问题，其Copula 函数能与一个一元函数构成一一对应的关系，从而达到降维的目的。

研究了4种此类常见的Copula模型的性质和图形，并分别在参数已知或未知两种情况下进行了拟合优度检验。

对中国股市的上证指数与深证综指作了实证分析，结果表明两者存在着较强的正相关性，相关性模型选取Gumbel Copula模型最合适。

一、 C o p u l a 函数理论Copula 理论的是由Sklar 在1959年提出的，Sklar 指出，可以将任意一个n 维联合累积分布函数分解为n 个边缘累积分布和一个Copula 函数。

边缘分布描述的是变量的分布，Copula 函数描述的是变量之间的相关性。

也就是说，Copula 函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。

Copula 函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。

Copula 函数的性质定理1 （Sklar 定理1959） 令F 为一个n 维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i ，那么存在一个n 维Copula 函数C ，使得111(,,)((),,())n n n F x x C F x F x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅(1) 若边缘累积分布函数F i 是连续的，则Copula 函数C 是唯一的。

不然，Copula 函数C 只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。

对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的[0,1]n ∈u ，均有 1111()((),,())n n C F F u F u --=⋅⋅⋅u(2)在有非减的边缘变换绝大多数的 从Sklar 定理可以看出, Copula 函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理: 变量间的相关性结构和变量的边缘分布, 其中相关性结构用Copula 函数来描述。

Copula 函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布, 任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布, 由于变量的所有信息都包含在边缘分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。

Copula 函数总体上可以划分为三类: 椭圆型、Archimedean （阿基米德） 型和二次型, 其中含一个参数的Archimedean Copula 函数应用最为广泛, 多维Archimedean Copula 函数的构造通常是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula 函数: Frank Archimedean Copula 函数 , Clayton Archimedean Copula 函数, Gumbe Archimedean Copula 函数二、 Copula 函数的应用Copula 函数的应用具体包括以下几个步骤: ①确定各变量的边缘分布; ②确定Copula 函数的参数"; ③根据评价指标选取Copula 函数, 建立联合分布; ④根据所建分布进行相应的统计分析。

copula函数应用实例
copula函数是统计学中常用的函数，用于描述多维随机变量之间的相关性。

它通常用于建立多维随机变量之间的相关性结构，常见的应用包括金融风险管理、保险精算、气候变化研究等领域。

一个常见的实际应用是金融领域中的风险管理。

在金融领域，投资组合的风险管理是非常重要的。

通过使用copula函数，可以对不同资产之间的相关性进行建模，从而更准确地评估投资组合的风险。

例如，假设我们有股票、债券和商品等不同类型的资产，我们可以使用copula函数来描述它们之间的相关性结构，从而更好地理解它们的联动性和风险分布。

另一个实际应用是在保险精算中。

保险公司需要评估不同风险因素之间的相关性，以便更准确地定价保险产品和管理风险。

通过使用copula函数，可以对不同的风险因素（如自然灾害、人为事故等）之间的相关性进行建模，从而更好地理解它们之间的联动性和潜在的风险。

此外，在气候变化研究中，科学家们也经常使用copula函数来分析不同气象变量之间的相关性，以便更好地理解它们之间的关联
性和可能的影响。

总之，copula函数在金融风险管理、保险精算、气候变化研究等领域都有着广泛的应用。

它可以帮助我们更准确地描述多维随机变量之间的相关性结构，从而更好地理解它们之间的联动性和风险分布。