通分的几种方法

通分的几种方法

通分是代数式变形的一项基本方法，在具体处理上很有一些讲究．倘若不加区别，一着手就求最简公分母进行通分，常为后续工作带来困难；若注意观察各分式分母、分子的结构特点，充分发挥其特殊性，采取相应的处理方法，常可化难为易．下面例举通分的一些技巧．

一、先约分再通分

观察每个分式的分子、分母，如有公因式，则可先约分、后通分，这样可简化计算过程．

例1 计算

二、逐步通分

注意各分母之间若存在某种递进关系，一次通分时工作量大，可逐步通分．

例2 计算

解

三、变分母为单项式

利用题目中的条件把各分式分母中的多项式转化为单项式，则可减少公分母中因式的个数．

例3 已知a+b+c=0，求下式的值

解由a+b+c=0得a2=b2+c2+2bc．即b2+c2－a2=－2bc．

同理可得a3+b3+c3=3abc．

四、分组通分

若各个分母之间有部分相同或存在某种对称关系，可先进行适当分组通分，后再整体通分．

例4 计算

所以原式=1+1+1+1+1=5．

五、裂项逆用通分法则

若通分相加较繁，可考虑把每个分式分解成几个分式之和的形式，然后再计算．

例5 计算

解

例6 计算

解

六、降低分子的次数

降低分式中分子的次数，可以降低分子乘法的复杂程度．

解

七、式（或数）的代换

充分利用换元技巧，简化分式结构，便于通分．

证明 设x a =m ，x b =n ，x c =r ，

例9 计算

()()()()()()

(2)(2)(2)(2)(2)(2)

x y x z y z y x z x z y x y z x z y y z x y x z z x y z y x ------+++-+-+-+-+-+-

解 设y －z=a ，z －x=b ，x －y=c ，则

八、运用比例性质

分式实质上是比，针对题设所给分式的特点，注意运用比例性质，常可达到通分的目的．

九、构造多项式

例12 化简

分析该式可看作次数不超过2的关于x的多项式，由原式的存在可知a、b、c互不相等，由多项式的余数定理予以试探．

设原式为f（x），显然

f（－a）=f（－b）＝f（－c）=1，

所以－a、－b、－c均为f（x）=1的根．

由于f（x）的次数不超过2，得f（x）=1，即原式=1．

通过以上十二例可以看出，技巧的运用全在于对题所给分式特点的观察．有针对性的灵活采用技巧，可使繁琐的通分计算变得相对简单，从而起到启迪思维的作用．