B20150806_陈熙_朱劲松_李小星
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z 1 x 2 y 3
不妨假设评定基准通过以下的“角点” ：
M1 (20, 20, z1 )
，
M 2 (1000, 20, z2 )
，
M 3 (1000,1000, z3 )
，
则理想平面参数 1 , 2 , 3 3 z2 1 x2 2 y2 3 z x y 1 3 2 3 3 3
由数据可知，平面度误差小于 10e-4m 的例子表示产品合格，平面度误差大 于 10e-4m 的例子表示产品不合格。 计算机模拟图像可大致反应检测情况如下：
4
图 5-1 基于三远点法的 Matlab2015a 模拟曲面 分析上表中的数据， 平面度误差大致在 10e-4 数值左右，但它和要求精度的 差值与要求精度的比值可达 0.1 数量级内，即 10%以上，可见所取理想平面的效 果不是很好，通过计算机的拟合图形也可看出这一点。 5.2 模型二的建立与求解 5.2.1 基于最小二乘法的数学模型 平面度误差以理想平面作为基准， 使被测物体表面对于基准平面的最大变动 [5] 量达到最小。而最小二乘法 理论成熟, 用于平面度误差评定时属线性问题, 求 解简便, 且不受测量采样数据点数量和分布方式的限制, 并且得到的评定结果基 本准确[2]。 平面度误差最小二乘法评定的关键在于根据测量采样点的数据拟合出最小 二乘平面。 针对问题一， 我们利用 N 个三维测量数据 xi , yi , zi 拟合出理想平面， 进而计算出平面度误差。 假设理想平面在空间直角坐标系的一般方程可以表示为：
1
1 问题重述
某工件的某部分是一个 100cm*100cm 的平面， 制作完成后要检测此平面是否 合格，也就是要判定这个平面是否足够“平” 。假设在这个平面上采集到 2500 个均匀分布的数据点（三维） ，不考虑测量误差，即假定数据都是足够精确的， 产品合格的标准为平面度误差不超过ε=0.001mm。 1.请给出一个精确的、直观的、可行的检测方法并说明理由。 2.构造产品合格和产品不合格的数值例子，试验你提出的检测方法。
3 符号说明
1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , k 理想平面方程的方程系数；
A, B, C 计算机 Matlab2015 仿真时的平面参数
, 0 , 1 , 2 , 3 平面度误差
N 待检测平面抽取测量点的个数；
xi , yi , zi
xi 2 xi yi xi
T
x y x y y n y
i i 2 i i i i
1
xi zi 2 yi zi z 3 i
求解方程组的解 1 , 2 , 3 ，就可以得到理想平面方程 z 1 x 2 y 3 ， 由此可得到被测平面度误差的最小二乘法评定结果为：
2 模型假设
（1）工厂的生产技术比较好，所生产的工件的平面基本符合理想模型，但 仍存在误差不符合合格标准的情况。 （2）待测平面各区域分布情况大致相同， 用 2500 个均匀分布的点可以大致 反映平面的整体情况。 （3）测量数据所用仪器（三坐标仪等）的性能十分优良，精度十分准确， 数据可以达到任意的精度。
Ax By Cz D 0
平面度误差测量中所得的实际测量值相当于该平面方程中的 z 值, 由于它与 各测点的位置坐标 x, y 的选取有关, 故可以把实际测量数据 z 看作一个函数的 因变量， x, y 即为该函数的两个自变量。 所以可令 1
A B D , 2 , 3 , 此时平面的方程简化为： C C C
由方程组 1 , 2 , 3 得到估计的理想平面方程： z 1 x 2 y 3 ，所以被
T
测平面度误差的三远点法评定结果为：
1 max
1 xi 2 yi 3 zi x 2 yi 3 zi min 1 i 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ，
测量点的坐标；
r1 , r2 双直线拟合模型中两条投影直线在空间中的方向向量；
n r1 r2 作叉积所得到平面法向量
S 样本测量点数据的误差平方和
R0 , S0 , T0 边缘点
Ri , Si , T i 辅助点
f 两个对应的辅助点之间的距离
4 问题分析
平板平面度误差是指平板加工后的实际表面和理论上的理想平面之间的差 值。平板平面度误差的检定，是通过被测实际表面与理想表面相比较来进行的。 而理想平面相对于实际表面的位置，将影响平板平面度误差的检定结果。为此规
2
定在评定平面度误差时，理想平面的位置按最小条件来确定。最小条件是指：在 确定理想平面位置时， 应使理想平面与实际表面相接触，并使两者之间的最大距 离为最小。 对于被测实际表面平面度的评定，可做很多个理想平面， 即最大距离为最小 的只有一个，这样规定就不会因评定基准的位置不统一而带来测量误差。 按最小条件评定， 排除了评定基准带来的误差，更如实地反映了被测平板的 平面度误差， 所评定的误差值为最小，有利于最大限度地保证平板平面度的合格 性。评定结果的唯一性，避免了发生争执，所以说最小条件是评定平板平面度误 差的基本原则。 本题研究的是对工件的平面度误差测量方法的问题。 平面度误差是形状误差 的主要内容之一，根据上述的原则可知：平面度误差的计算结果，应该满足最小 区域准则， 即以理想平面作为基准，使被测物体表面对于基准平面的最大变动量 达到最小。 由定义进行推敲分析， 不难看出影响平面度误差的主要因素就是理想平面的 选取方法。确定理想平面后，分别计算工件曲面各点到理想平面的距离，以正负 符号区分各点相对理想平面的侧向， 其中的最大值与最小值之差即为平面度误差。 第一问在考虑算法时，我们针对所要求的精确性、直观性、可行性，结合工 厂的实际生产需要， 一方面希望测算的方法能够尽可能准确，使得均匀分布离散 点能够尽可能代表整体情况，也能使精度达到工厂的检测需要。另一方面，由于 工厂主要还有一个生产效率的问题，所以算法的时间复杂度也应越短越好，从而 减少产品生产因检测而增加的时间成本。由于所测 2500 个点数据规模较大，比 较可靠而且能应用于实际的算法一般要通过计算机编程， 所以我们最终得出的方 案具体都在 Matlab2015a 上进行编程实现。 第二问我们在 Matlab2015a 上利用随机取值函数 rand 模拟工件上各点的数据， 从而计算出整体平面度误差情况，从而构造产品合格和产品不合格的数值例子， 并对第一问中提出的模型进行了检验，得出了几种方法各自的优缺点比较。
5
z 1 x 2 y 3 , ( 1 , 2 , 3 均为常数)
对于 N N 2500 个点 xi , yi , zi , i 1,
, N ，我们用它们来构造上述的理想
平面，使得误差的平方和最小，即需要满足：
S (1 xi 2 yi 3 zi ) 取最小值，根据微积分的极值条件，要用点拟合
2 max
1 xi 2 yi 3 zi 1 xi 2 yi 3 zi min 12 2 2 1 12 2 2 1
1 xi 2 2 xi yi 3 xi xi zi 2 1 xi yi 2 yi 3 yi yi zi 1 xi 2 yi 3n zi
用线性代数矩阵的形式写出可以得到：
5 模型的建立与求解
5.1 模型一的建立与求解 5.1.1 基于三远点法的数学模型 机械工程上常常采用三远点法来考察零件表面平整度。所谓的三远点法，就 是以通过实际被测工件表面上相距最远的三个点所构成的平面作为评定基准面, 然后把 N 点中到理想平面的最大距离 Dmax 与到理想平面的最小距离 Dmin （可为 负数）之差作为平面度误差值。 针对问题一，我们采用被测工件实际表面上三个相距最远的“角点”来确定 评定基准面[3]，即：
工件平面度误差的建模和评定方法
摘要
本文就平面度误差问题建立了相应的数学模型。 平面度误差是指被测实际表 面相对其理想平面的变动量,理想平面的位置应符合最小条件。所以检测平面度 误差的关键就是找到理想平面。 针对问题一， 我们从简单的三点法出发，它便于实现计算机处理和拟合出理 想平面。 但三点法取点的不同对应不同的平面度误差，并且我们通过试验数据验 证其精确性不高。由此，我们提出使用比较广泛实用的最小二乘法，能够准确地 和充分地处理原始观测数据所提供的信息 , 较客观地评定平面度误差。但本题 有 2500 个测点，用最小二乘法计算量较大，算法运行时间长。为了进一步提出 更好的测量方法， 我们又尝试了正交投影直线法，将三维空间问题转换为二维平 面问题处理，简化了模型的思维层次。但在构造实例时，我们发现这种正交投影 直线法因为要对拟合两次直线，其误差与三点法相近，因此也不可取。最终我们 提出了基于几何逼近搜索算法的最小区域法。 这种方法不仅对测样点是否均匀没 有关系， 而且可以通过算法的结束条件限定平面度误差的取值范围，从而提高测 量的准确性，同时这种算法也具有较强的稳定性。 针对问题 2，我们对以上几种算法均进行了计算机模拟实例的试验，几种模 型都大致能区分工件产品的平面度误差合格与否，但比较而言，最终的最小区域 法准确性最高，稳定性最强，满足题目的要求，也适合实际工件生产的需要。
三点法由被测工件实际表面上三个相距最远角点确定评定基准时, 由于长 方形或正方形实际情况下表面总共有四个“角点” ，组合后可能出现四个评定基 准, 其平面度误差值也可能有四个,因而评定的结果不是唯一的。而且，三远点 法估测的理想平面参数偶然性大，计算出的平面度误差较大，不够精准，关于这 点，我们会在“模型的评价与改进”部分详细讨论。 5.1.2 模型一的求解 针对问题二，我们用 Matlab2015a 软件编程构造模型一的实例，对模型一进 行了数值检验， 发现所得平面度误差与要求精度基本相近，但有些实验组别的数 值计算结果还远远达不到检测合格的要求， 说明了三远点法的选取存在很大的偶 然性， 改进后的基于几何搜索逼近的平面度误差最小区域评定算法能有效地避免 这种问题，详见“模型的评价与改进”部分。 （程序代码见附录三） 。 表 5-1 基于三远点法的数学模型 实验样 例 1 2 3 平面系数 A 1.3914 -3.3887 -0.0156 平面系数 B 1.7720e+ 07 8.1355e+ 06 -4.1951e+ 6 平面系数 C 2.2711e+ 03 -2.3796e+ 03 1.5264e+ 03 平面度误 差 /e-4 10.9786 14.3090 12.1958 |平面度误差-要 求精度|/ 要求 精度 0.0979 0.4309 0.2196
不妨假设评定基准通过以下的“角点” ：
M1 (20, 20, z1 )
，
M 2 (1000, 20, z2 )
，
M 3 (1000,1000, z3 )
，
则理想平面参数 1 , 2 , 3 3 z2 1 x2 2 y2 3 z x y 1 3 2 3 3 3
由数据可知，平面度误差小于 10e-4m 的例子表示产品合格，平面度误差大 于 10e-4m 的例子表示产品不合格。 计算机模拟图像可大致反应检测情况如下：
4
图 5-1 基于三远点法的 Matlab2015a 模拟曲面 分析上表中的数据， 平面度误差大致在 10e-4 数值左右，但它和要求精度的 差值与要求精度的比值可达 0.1 数量级内，即 10%以上，可见所取理想平面的效 果不是很好，通过计算机的拟合图形也可看出这一点。 5.2 模型二的建立与求解 5.2.1 基于最小二乘法的数学模型 平面度误差以理想平面作为基准， 使被测物体表面对于基准平面的最大变动 [5] 量达到最小。而最小二乘法 理论成熟, 用于平面度误差评定时属线性问题, 求 解简便, 且不受测量采样数据点数量和分布方式的限制, 并且得到的评定结果基 本准确[2]。 平面度误差最小二乘法评定的关键在于根据测量采样点的数据拟合出最小 二乘平面。 针对问题一， 我们利用 N 个三维测量数据 xi , yi , zi 拟合出理想平面， 进而计算出平面度误差。 假设理想平面在空间直角坐标系的一般方程可以表示为：
1
1 问题重述
某工件的某部分是一个 100cm*100cm 的平面， 制作完成后要检测此平面是否 合格，也就是要判定这个平面是否足够“平” 。假设在这个平面上采集到 2500 个均匀分布的数据点（三维） ，不考虑测量误差，即假定数据都是足够精确的， 产品合格的标准为平面度误差不超过ε=0.001mm。 1.请给出一个精确的、直观的、可行的检测方法并说明理由。 2.构造产品合格和产品不合格的数值例子，试验你提出的检测方法。
3 符号说明
1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , k 理想平面方程的方程系数；
A, B, C 计算机 Matlab2015 仿真时的平面参数
, 0 , 1 , 2 , 3 平面度误差
N 待检测平面抽取测量点的个数；
xi , yi , zi
xi 2 xi yi xi
T
x y x y y n y
i i 2 i i i i
1
xi zi 2 yi zi z 3 i
求解方程组的解 1 , 2 , 3 ，就可以得到理想平面方程 z 1 x 2 y 3 ， 由此可得到被测平面度误差的最小二乘法评定结果为：
2 模型假设
（1）工厂的生产技术比较好，所生产的工件的平面基本符合理想模型，但 仍存在误差不符合合格标准的情况。 （2）待测平面各区域分布情况大致相同， 用 2500 个均匀分布的点可以大致 反映平面的整体情况。 （3）测量数据所用仪器（三坐标仪等）的性能十分优良，精度十分准确， 数据可以达到任意的精度。
Ax By Cz D 0
平面度误差测量中所得的实际测量值相当于该平面方程中的 z 值, 由于它与 各测点的位置坐标 x, y 的选取有关, 故可以把实际测量数据 z 看作一个函数的 因变量， x, y 即为该函数的两个自变量。 所以可令 1
A B D , 2 , 3 , 此时平面的方程简化为： C C C
由方程组 1 , 2 , 3 得到估计的理想平面方程： z 1 x 2 y 3 ，所以被
T
测平面度误差的三远点法评定结果为：
1 max
1 xi 2 yi 3 zi x 2 yi 3 zi min 1 i 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ，
测量点的坐标；
r1 , r2 双直线拟合模型中两条投影直线在空间中的方向向量；
n r1 r2 作叉积所得到平面法向量
S 样本测量点数据的误差平方和
R0 , S0 , T0 边缘点
Ri , Si , T i 辅助点
f 两个对应的辅助点之间的距离
4 问题分析
平板平面度误差是指平板加工后的实际表面和理论上的理想平面之间的差 值。平板平面度误差的检定，是通过被测实际表面与理想表面相比较来进行的。 而理想平面相对于实际表面的位置，将影响平板平面度误差的检定结果。为此规
2
定在评定平面度误差时，理想平面的位置按最小条件来确定。最小条件是指：在 确定理想平面位置时， 应使理想平面与实际表面相接触，并使两者之间的最大距 离为最小。 对于被测实际表面平面度的评定，可做很多个理想平面， 即最大距离为最小 的只有一个，这样规定就不会因评定基准的位置不统一而带来测量误差。 按最小条件评定， 排除了评定基准带来的误差，更如实地反映了被测平板的 平面度误差， 所评定的误差值为最小，有利于最大限度地保证平板平面度的合格 性。评定结果的唯一性，避免了发生争执，所以说最小条件是评定平板平面度误 差的基本原则。 本题研究的是对工件的平面度误差测量方法的问题。 平面度误差是形状误差 的主要内容之一，根据上述的原则可知：平面度误差的计算结果，应该满足最小 区域准则， 即以理想平面作为基准，使被测物体表面对于基准平面的最大变动量 达到最小。 由定义进行推敲分析， 不难看出影响平面度误差的主要因素就是理想平面的 选取方法。确定理想平面后，分别计算工件曲面各点到理想平面的距离，以正负 符号区分各点相对理想平面的侧向， 其中的最大值与最小值之差即为平面度误差。 第一问在考虑算法时，我们针对所要求的精确性、直观性、可行性，结合工 厂的实际生产需要， 一方面希望测算的方法能够尽可能准确，使得均匀分布离散 点能够尽可能代表整体情况，也能使精度达到工厂的检测需要。另一方面，由于 工厂主要还有一个生产效率的问题，所以算法的时间复杂度也应越短越好，从而 减少产品生产因检测而增加的时间成本。由于所测 2500 个点数据规模较大，比 较可靠而且能应用于实际的算法一般要通过计算机编程， 所以我们最终得出的方 案具体都在 Matlab2015a 上进行编程实现。 第二问我们在 Matlab2015a 上利用随机取值函数 rand 模拟工件上各点的数据， 从而计算出整体平面度误差情况，从而构造产品合格和产品不合格的数值例子， 并对第一问中提出的模型进行了检验，得出了几种方法各自的优缺点比较。
5
z 1 x 2 y 3 , ( 1 , 2 , 3 均为常数)
对于 N N 2500 个点 xi , yi , zi , i 1,
, N ，我们用它们来构造上述的理想
平面，使得误差的平方和最小，即需要满足：
S (1 xi 2 yi 3 zi ) 取最小值，根据微积分的极值条件，要用点拟合
2 max
1 xi 2 yi 3 zi 1 xi 2 yi 3 zi min 12 2 2 1 12 2 2 1
1 xi 2 2 xi yi 3 xi xi zi 2 1 xi yi 2 yi 3 yi yi zi 1 xi 2 yi 3n zi
用线性代数矩阵的形式写出可以得到：
5 模型的建立与求解
5.1 模型一的建立与求解 5.1.1 基于三远点法的数学模型 机械工程上常常采用三远点法来考察零件表面平整度。所谓的三远点法，就 是以通过实际被测工件表面上相距最远的三个点所构成的平面作为评定基准面, 然后把 N 点中到理想平面的最大距离 Dmax 与到理想平面的最小距离 Dmin （可为 负数）之差作为平面度误差值。 针对问题一，我们采用被测工件实际表面上三个相距最远的“角点”来确定 评定基准面[3]，即：
工件平面度误差的建模和评定方法
摘要
本文就平面度误差问题建立了相应的数学模型。 平面度误差是指被测实际表 面相对其理想平面的变动量,理想平面的位置应符合最小条件。所以检测平面度 误差的关键就是找到理想平面。 针对问题一， 我们从简单的三点法出发，它便于实现计算机处理和拟合出理 想平面。 但三点法取点的不同对应不同的平面度误差，并且我们通过试验数据验 证其精确性不高。由此，我们提出使用比较广泛实用的最小二乘法，能够准确地 和充分地处理原始观测数据所提供的信息 , 较客观地评定平面度误差。但本题 有 2500 个测点，用最小二乘法计算量较大，算法运行时间长。为了进一步提出 更好的测量方法， 我们又尝试了正交投影直线法，将三维空间问题转换为二维平 面问题处理，简化了模型的思维层次。但在构造实例时，我们发现这种正交投影 直线法因为要对拟合两次直线，其误差与三点法相近，因此也不可取。最终我们 提出了基于几何逼近搜索算法的最小区域法。 这种方法不仅对测样点是否均匀没 有关系， 而且可以通过算法的结束条件限定平面度误差的取值范围，从而提高测 量的准确性，同时这种算法也具有较强的稳定性。 针对问题 2，我们对以上几种算法均进行了计算机模拟实例的试验，几种模 型都大致能区分工件产品的平面度误差合格与否，但比较而言，最终的最小区域 法准确性最高，稳定性最强，满足题目的要求，也适合实际工件生产的需要。
三点法由被测工件实际表面上三个相距最远角点确定评定基准时, 由于长 方形或正方形实际情况下表面总共有四个“角点” ，组合后可能出现四个评定基 准, 其平面度误差值也可能有四个,因而评定的结果不是唯一的。而且，三远点 法估测的理想平面参数偶然性大，计算出的平面度误差较大，不够精准，关于这 点，我们会在“模型的评价与改进”部分详细讨论。 5.1.2 模型一的求解 针对问题二，我们用 Matlab2015a 软件编程构造模型一的实例，对模型一进 行了数值检验， 发现所得平面度误差与要求精度基本相近，但有些实验组别的数 值计算结果还远远达不到检测合格的要求， 说明了三远点法的选取存在很大的偶 然性， 改进后的基于几何搜索逼近的平面度误差最小区域评定算法能有效地避免 这种问题，详见“模型的评价与改进”部分。 （程序代码见附录三） 。 表 5-1 基于三远点法的数学模型 实验样 例 1 2 3 平面系数 A 1.3914 -3.3887 -0.0156 平面系数 B 1.7720e+ 07 8.1355e+ 06 -4.1951e+ 6 平面系数 C 2.2711e+ 03 -2.3796e+ 03 1.5264e+ 03 平面度误 差 /e-4 10.9786 14.3090 12.1958 |平面度误差-要 求精度|/ 要求 精度 0.0979 0.4309 0.2196
