多目标优化问题
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多目标优化方法
基本概述
几个概念
优化方法
一、多目标优化基本概述
现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。
在日常生活与工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量得问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优得多目标优化问题。
例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适得切削速度与进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化得数学模型可以表示为:
X=[x1,x2,…,x n ]T ---------- n维向量
min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式得目标函数
s、t、 g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)
h j(X)=0,(j=1,2,…,k) --------设计变量应满足得约束条件
多目标优化问题就是一个比较复杂得问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求就是各自独立得,所以无法直接比较任意两个解得优劣。
二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。
最优解X*:就就是在X*所在得区间D中其函数值比其她任何点得函数值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题得最优解。
劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解得函数值,即f(x)≤f(X*),
即存在比解更优
得点。
非劣解X*:在区间
D中不存在X使
f(X)全部小于解
得函数值f(X*)、
如图:在[0,1]中
X*=1为最优解
在[0,2]
中X*=a为劣解
在[1,2]中X*=b 为非劣解
多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法
多目标优化方法主要有两大类:
1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好得解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法 如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
如:分层系列法等。
1、主要目标法
求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标,而其她目标只需满足一定要求即可,因此可将这些目标转化成约束条件,也就就是用约束条件得形式保证其她目标不致太差,这样就变成单目标处理方法。
例如:多目标函数f 1(x),f 2(x),、、、、、,f n (x)中选择f k (x)作为主要目标,这时问题变为求 min f k (x)
D={x|f min ≤f i (x)≤f max },D 为解所对应得其她目标函数应满足上下限。
2、统一目标法
通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新得目标函数,从而将多目标函数转变为单目标函数求解。
①线性加权与法
根据各目标函数得重要程度给予相应得权数,然后各目标函数与权数相乘再求与即构成单目标函数。
例如:根据各目标函数f 1(X),f 2(X),、、、,f n (X)得重要程度,对应确定一组权数ω1,ω2,ωn
进行构造f(X)=ω1f 1+ω2f 2+…+ωn f n ,其中0ω 1ωi n
1i ≥=∑，
,于就是求f(X)得最优解即为多目标函数得最优解。
(重点就是权数得确定) 下面介绍两种确定权数得方法:
1、容限法。
求出各目标函数在区域得变化范围a ≤f(x)≤b,则取Δ=
2b a +为其容限,则权数为ω=21
∆。
这种方法目得就是在评价函数中使子目标在数量级上达到统一平衡。
2、求出各目标函数得极小值f i *,然后分别取倒数作为各自得权数。
②理想点法
一般很难使各子目标函数同时达到最优,但就是可以使各子目标尽可能接近目标,则可较好得求出非劣解,先用单目标优化法求出各
自得最优点X i *
与最优值f i *
,构造各评价函数f(X)={[]∑-n
1
2
*i i f )(f X }1/2,,
然后求极值min f,变为单目标优化问题。
在理想点法基础上如果再引入权数,则称为平方加权法。
3、功效系数法
功效系数法又叫功效函数法,它就是根据多目标规划原理,对每一项评价指标确定一个满意值与不允许值,以满意值为上限,以不允许值为下限.计算各指标实现满意值得程度,并以此确定各指标得分数,再经过加权平均进行综合,从而评价被研究对象得综合状况。
运用功效系数法进行业绩评价,企业中不同得业绩因素得以综合,包括财务得与非财务得、定向得与非定量得。
多目标优化问题中各单目标函数要求不一,有得要求极大值,有得要求极小值,有得要求一个合适值,为了反映这些要求得不同,引入功效函数d i ,其值即为功效系数,规定d i ∈(0,1),当f i 满意时,d i =1;f i 不满意时,d i =0;请她情况取0-1之间得得数。
这样组成评价函数n n 21d ...d d d =,d=1则最满意,d=0则有不符合要求得f 。
系数d i 得确定:先求出区间上各个目标函数得最大值f i max
与最小值f i min ,
在n 个子函数中,当某个子函数得值越大,功效系数越小时用公式 min
max max f －f (X)
f －f di =
求其功效系数; 反之用公式
min
max min
f －f f (X)－f di =求系数。
功效系数法得基本思想就是先按各子目标
值得优劣分别求出其对应得功效系数,然后再构造评价函数 max f(X)=n n 21d ...d d 便可转化为单目标优化问题。
此方法特点:
1)直接按要求得性能指标来评价函数,直观,且初步试算后,调整方便;
2)无论各子目标得量级与量纲如何,最终都转化为在[0,1]区间取值,而且一旦有一个子目标达不到要求,则其相应得功效系数为0,从而使评价函数也为0,表明不能接受所得设计方案; 3)可以处理既非越大越好,也非越小越好得目标函数; 4、分层序列法 1)基本思想
将多目标优化问题中得n 个目标函数分清主次,按照其重要程度逐一排除,然后依次对各个目标函数求最优解,只就是后一目标应在前一目标最优解得集合域内寻优。
现
在假设f 1(x)最重
要,f2(x)其次,f3(x)再其次,依次类推。
首先在域内对第一个目标函数f1(x)求解,求得最优解,然后在第一个目标函数得最优解集合域内,求第二个目标函数得最优值,也就就是将第一个目标函数转化成辅助约束。
然后在第一个与第二个目标函数得辅助约束下求第三个目标函数得最优解,依次进行下去,最后求得最后得目标函数得最优解即为多目标优化问题得最优解。
2)特点。
在求解过程中可能会出现中断现象,使求解过程无法 继续进行下去。
当求解到第k 个目标函数得最优解就是唯一时,则再往后求第(k+1),(k+2),…、,n 个目标函数得解就完全没有意义了。
尤其就是当求得得第一个目标函数得最优解就是唯一时,则失去了多目标优化得意义了。
为此引入“宽容分层序列法”。
这种方法就是将分层序列法中得最优解放宽要求,即求后一个函数得最优解时,就是前一个函数接近最优就行,如下图:
不作宽容时,x ~为最优解,但考虑f 2(x)后,则取)1(x 为最优解,这
时存在一个宽容值ε1,第一个函数也就存在一个误差。
多目标优化得主要方法及特点、思路与步骤
优化方法 主要 目标法 线性 加权法 理想点法 功效 系数法 分层序
列法。
