5.1矩形(1)

5.1 矩形（1）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。

口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．口述：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，∴AC=BD教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（12，12）BO是Rt△ABC的什么线？•由此你可以得到什么结论？学生活动：观察、思考后发现AO=12AC，BO=12BD，BO是Rt△ABC的中线．•由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．二、范例点击，应用所学例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，•求矩形对角线的长．（投影显示）思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，•可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．【活动方略】教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．【问题探究】（投影显示）如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1/2AC．思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．【活动方略】教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）AC，∴∠FEB=∠A，∵E为AB中点，∴EF//12BC=BF，∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=12∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，AC．∴∠1=∠2，∴DE=EF=12证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，AC=AG，∴在Rt△ADC中，DG=12∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，又∠GDA=∠1+∠2，•∴∠1+∠2=2∠1，AC．∴∠2=∠1，∴DE=DG=12【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．三、随堂练习，巩固深化【探研时空】已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，•因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，•可以将∠E•转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=•∠DAC，问题迎刃而解．四、课堂总结，发展潜能1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，•矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：（1）边的性质：对边平行且相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形．。

5.1矩形（1）教学设计德清县千秋外国语学校钟华胜【设计理念】矩形是学生在小学学习过长方形和正方形，刚刚在第四章学习了四边形、平行四边形，之后的学习内容。

矩形的学习既是平行四边形知识的深化和延续，又为学习其它特殊平行四边形菱形、正方形提供了研究方法，也为今后学习其他有关知识奠定了基础，起承上启下的重要作用。

经过上一章平行四边形的性质探索，学生已经掌握了一些图形性质的研究的基本技能，已经能够进行简单的推理证明，因此在教学活动中我主要是采用引导、探究交流、讲练结合三位一体的教学方法，引导学生探究继而发现矩形的性质，调动学生的积极性和主动性。

充分体现老师的主导作用和学生的主体地位。

新《课程标准》更加突出和强调学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养。

此外，运用多媒体课件，利用几何画板的优势，把本节中的几个抽象问题，如用6根火柴摆出的平行四边形中探索最大面积的平行四边形、闯关练习中有关动点问题，直观形象的呈现在学生的面前。

课本例题中隐含一个基本图形，即矩形和其两条对角线构成的图形，围绕这一基本图形所反映的数学实质，即对角线把矩形分成4个直角三角形和四个等腰三角形，通过改变条件，改变数据，改变问题的一题多变、多题归一的手段，设置一组难度阶梯上升的闯关练习，使学生得以掌握与提高，培养学生举一反三、灵活转换、独立思考的能力，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生学数学、用数学的能力，培养和发展学生创新能力，让学生学会学习，提高教学效益。

一、创设情景，引出课题请用6根火柴首尾相接摆成一个平行四边形。

议一议：（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同特点？说出你的理由.（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由.当平行四边形有一个角是直角的时候面积最大，我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

这就是我们今天这节课所要学习的内容： 5.1 矩形（1）【设计意图】本环节让学生分小组分小组合作学习，让学生动手发现矩形和平行四边形之间的关系，通过设问“用6根火柴摆出的平行四边形中有没有面积最大的一个平行四边形”，等问题，让学生经历矩形定义的探索过程，让每一个学生都有动手的机会，有利于吸引学生的注意力，丰富对空间图形的认识和感受，并能使学生迅速对所探究的问题产生兴趣，培养学生的观察、推理和语言表达能力，发展学生的逻辑推理能力，培养学生的合作精神。

2021年浙教版八年级数学下册《5.1矩形》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．10B．11C．12D．132．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（）A．2B．3C．4D．63．在平行四边形ABCD中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是（）A．AD＝CD B．∠B＝90°C．AC＝2AB D．对角线互相垂直4．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.46．下列四个命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形二．填空题（共3小题）7．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝．10．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；（2）若BD＝12cm，AC＝16cm，当四边形DEBF是矩形，求运动时间t为何值？12．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC＝EC．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．14．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．15．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．（1）求证：AB＝DE；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△ADC≌△ECD；（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．17．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．19．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC 的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．20．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．22．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若AB＝5，BC＝6，求线段DG的长．24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．参考答案1．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．2．解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP1＝t＝3，∴t＝3．故选：B．3．解：答案B中∠B＝90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，故选：B．4．四边形AECF是矩形；证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．故选：B．5．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．6．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．7．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴BC＝＝AD，如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴AD＝3，故答案为：3或．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵E为CD的中点，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥DC，∴PQ＝4．故答案为：4．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝56°，∴∠COD＝180°﹣2×56°＝68°，∴∠AOE＝∠COD＝68°，∵AE⊥BD，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°；故答案为：22°．10．解：（1）∵A（6，0），C（0，10），∴OA＝6，OC＝10．∵四边形OABC是长方形，∴点B的坐标为（6，10）．∵OC＝10，OA＝6，∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，∴被分成的两部分的长分别为12和20．①当点D在AB上时，AD＝20﹣10﹣6＝4，所以点D的坐标为（6，4）．②当点D在OA上时，OD＝12﹣10＝2，所以点D的坐标为（2，0）．11．解：（1）是．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵E、F两点移动的速度相同，即AE＝CF，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）因为矩形对角线相等，所以EF＝12时，其为矩形，即AE＝CF＝（16﹣12）＝2，或者AE＝CF＝（16+12）＝14，所以当t＝2或14时，四边形DEBF是矩形．12．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，∴DC∥BE，又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB＝CE，∴AC＝CE．13．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，由题意得，DP＝4，AQ＝2，则QH＝2，又PH＝AD＝6，由勾股定理的，PQ＝＝＝2，故答案为：2；（2）当PQ＝PB时，如图，QH＝BH，则t+2t＝8，解得，t＝；（3）当PQ＝BQ时，（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，解得，t＝．14．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴AE＝DF．15．证明：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝BC，∵AE＝BC，∴AE＝BD，∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE；（2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形，∵AE＝BC，BD＝CD＝BC，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝DE，∴当AB＝AC时，AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．16．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠2，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠B＝∠1，∴∠1＝∠2；（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∵AB＝AC，∴AC＝ED，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．19．（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，又∵CE⊥AD，∴∠CEF＝90°，∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∵CF＝4，DF＝5，∴CD2+CF2＝DF2，∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，∴△CDF的面积＝DF×CE＝CF×CD，∴CE＝＝＝，由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，∴∠FBC＝90°，BF＝CE＝，∴BC＝＝＝，∴EF＝．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵CF＝BE，CF＝2，∵∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠EBA，∵∠AEB＝∠ABD＝90°，∴：BD＝4．22．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．23．（1）证明：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（SAS），∴AF＝DB，∠AFE＝∠DBE，∴AF∥DB，∵AB＝AC，点D是BC中点，∴DB＝DC，AD⊥BC，∴AF＝DC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形；（2）解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：则GH∥AD，∵AB＝AC＝5，点D是BC中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，由（1）得：AF＝DC＝BD＝3＝BC，AF∥BC，∴AG＝CG，∴AG＝AC＝，∴CG＝AC﹣CG＝，∵GH∥AD，∴GH＝AD＝，CH＝CD＝2，∴DH＝CD﹣CH＝1，∴DG＝＝＝．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；（2）解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2．。

5.1矩形（1）一． 教学目标：1） 了解矩形的定义2） 通过学生探索来发现矩形对角线的性质3） 探索并掌握矩形判定的常用条件4） 矩形性质与判定的简单应用二、预习新知：1. 矩形：有一个角是________的平行四边形 数学语言: 在四边形ABCD 中, ∠A=90°,则四边形ABCD 是__________。

2. 议一议：(1) 矩形是不是平行四边形?(2) 平行四边形是不是矩形?(3) 平行四边形的性质矩形具备吗?(4) 矩形是否有与平行四边形不同的性质?3. 矩形是特殊的平行四边形，不仅具有一般平行四边形的性质，矩形的两组对边分别_____且______;还有一些特殊性：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是__________。

矩形的性质定理2：矩形的对角线_________。

矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．有________条对称轴。

4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A 对角线相等B 对边相等C 对角相等D 对角线互相平分5. 矩形的两条对角线将矩形分成四个面积_______的_________三角形.6. 在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E ，若BE=OE=1，则AC=_____, AB ＝______∠AOB=_____________.三、课后检测：（10分钟）1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的有一个______平行四边形度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ．2．（选择）（1）下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．（A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．4. 已知:如图,过矩形ABCD 的顶点作CE//BD ， 交AB 的延长线于E 。