第14章《勾股定理》易错题集(03)：14.2 勾股定理的应用

易错课堂(二) 勾股定理
一、受思维定势的影响找错直角而出错 【例 1】在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，a＝6，b＝3，则 c＝__3__3__． 分析：由于∠A＝90°，因此 a 为斜边，则有 b2＋c2＝a2，将 a，b 的值代入即可求得 c 值． 【对应训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝45°，b＝2，则 c＝___2_．
【对应训练】 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a －b)＝c2，则( A ) A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．△不是直角三角形
四、在利用勾股定理求解有关问题时，考虑问题不全面而造成漏解 【例 4】在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，CB 边上的高 AD＝12， 求△ABC 的面积． 分析：需分∠BCA 为锐角和钝角两种情况求解．
第三边为边长的正方形的面积为__9__或__2_3__．
三、受思维定势影响只比较 a2＋b2 和 c2 的大小关系造成错误判断 【例 3】判断以 a＝32，b＝52，c＝2 为边长的三角形是否为直角三角 形． 分析：求解时应先确定最长边，然后分别计算较短两边的平方和与 最长边的平方，若它们相等，则为直角三角形，否则就不是直角三角形． 解：∵a2＋c2＝(23)2＋22＝245，b2＝(25)2＝245，∴a2＋c2＝b2，∴此三角 形是直角三角形
二、应用勾股定理时，直角边和斜边不明确而造成漏解
【例 2】已知直角三角形两边长分别为 3 和 5，则第三边的长为
___3_4_或___4___． 分析：由于题中没有明确说第三边是斜边还是直角边，故求解时需分
两种情况讨论：一是第三边是斜边，二是第三边是直角边． 【对应训练】 2．已知以直角三角形的两边分别为边长的正方形面积为7和16，则以

苏科版八年级数学上册（勾股定理的简单应用）期末易错题练习-附带有答案学校:班级:姓名:考号:一、单选题1．已知直角三角形的两条直角边长为6、8，那么它的最长边上的高为( )A．6 B．8 C．245D．1252．小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（）A．2.45米B．2.40米C．2.35米D．2.30米3．如图∠AOB=30°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3 B．23C．43D．64．如图，边长是6的等边△ABC，BD为∠ABC的平分线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当线段CQ+PQ的长度最短时，BP的长度为（）．A．1 B．2 C．3 D．45．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m6．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169 B．25 C．19 D．137．如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）A．小于1 m B．大于1 mC．等于1 m D．小于或等于1 m8．如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（）m(容器厚度忽略不计).A．1.8 B．1.5 C．1.2 D．1.3二、填空题9．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．10．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为尺．（1丈=10尺）11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm.13．如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点A(3，0)，B(6，0)是x轴上的两个点，则PA+PB的最小值为.三、解答题14．如图，四边形ABCD是某新建厂区示意图，∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，AB=500 √2米，AD=200米，现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？15．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？16．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺）将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索OB的长度．17．如图，某小区有两个喷泉A，B，一条小路AC，已知两个喷泉间的距离AB的长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．求：（1）供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；（2）喷泉B到小路AC的最短距离．18．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C 到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．答案1．C2．C3．A4．C5．C6．B7．A8．D9．1310．4.55（或9120）11．12．2513．3√5 14．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ，∵∠B=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=BE ，∠BAE=∠B=45°．∵AB=500 √2 米，∴AE=BE=500 √2 × √22 =500米．∵∠A=75°，∴∠DAF=75°﹣45°=30°．∵AD=200米，∴DF= 12 AD=100米，AF=200× √32=100 √3 米．∵BC ⊥CD ，∴四边形CDFE 是矩形，∴CD=EF=AE ﹣AF=（500﹣100 √3 ）米，CE=DF=100米，∴AB+BC+AD+CD=500 √2 +（500+100）+200+（500﹣100 √3 ）=（1300+500 √2 ﹣100 √3 ）米．答：围墙的长度是（1300+500 √2 ﹣100 √3 ）米．15．解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC= √AB 2−AC 2 = √152−92 =12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．16．解：设OA=OB=x 尺∵EC=BD=5尺，AC=1尺∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺在Rt △OEB 中，OE=（x-4）尺，OB=x 尺，EB=10尺根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102整理得：8x=116，即2x=29解得：x=14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．17．（1）解：由题意可知MN⊥AB在Rt△MNB中∴AN=AB−BN=250−90=160(m)．在Rt△AMN中AM+BN=200+150=350(m)∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为350m；（2）解：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m∴AB2=BM2+AM2∴∠AMB=90°∴BM⊥AC喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m．18．（1）解：∵1.82+2.42=32，即BH2+CH2=BC2∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）解：设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8∵在Rt△ACH∴CH2+AH2=AC2，即2.42+(x−1.8)2=x2，解得x＝2.5∴原来的路线AC的长为2.5米。

14.1.1直角三角形三边关系 第一课时学习目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．会应用勾股定理解决实际问题教学过程：自主学习：自学108-110，完成探究2和31. 勾股定理：____________________________________________.2. 在直角三角形ABC 中，角C 是90°，AB=c,BC=a,AC=b 可得，a=________,b=_______, c=_______合作探究：一、探索勾股定理探索一：测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：请你猜想三边的长度a 、 b 、 c 之间的关系 巩固练习：1.做一做求下列图形中表示边的未知数的值2.将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）2x x15小结这节课主要探索了勾股定理， (1)勾股定理的内容:_______________________________________________________________________________________________ (2)勾股定理公式的几个变形AB=_____________ BC=_____________ AC=_____________达标测评：1.在RT △ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠B= 90(1)已知a=6,b=10,求c (2)已知a=24,c=25,求b2.在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长一个3m 长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO 上,这时AO 的距离为2.5m,如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B 也外移0.5m 吗?A OB DC14.1.1勾股定理证明方法第二课时学习目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。

第14章《勾股定理》易错题集（03）：14.2勾股定理的应用第14章《勾股定理》易错题集（03）：14.2 勾股定理的应用选择题1．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B．C．80cm或D．60cm2．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米D．米3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对4．（2005•贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm5．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm6．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C．D．57．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B． C．5 D．填空题8．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树_________米之外才是安全的．9．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为_________m．10．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是_________米．（精确到0.01米）11．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是_________cm．12．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用_________秒钟．13．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是_________cm．第14章《勾股定理》易错题集（03）：14.2 勾股定理的应用参考答案与试题解析选择题1．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B．C．80cm或D．60cm考点：勾股定理的应用。