N阶魔方的零公式复原法(修订稿)

N阶魔方的零公式复原法这篇文章的大部分内容是我几年前写的，还曾发布在国内的几个著名的魔方论坛上。

现在好几年不上论坛了，账号都没了。

为了教女儿玩魔方，我把这篇文章重新整理了一下，补充了一些内容，贴出来给感兴趣的人们参考。

提要：本文介绍了一种轮换N阶魔方同簇的三个块、改变同簇的两个块的色向的一种通用方法。

无论这三个块同属于哪个簇，轮换的方法是一样的；无论这两个块同属于哪个簇，改变色向的方法是一样的。

而且，轮换和改变色向的方法，也是一样的。

这个方法不需要死记硬背，只需要理解。

本文还介绍了如何排除簇间扰动。

根据魔方的相关理论，在排除簇间扰动后，只要能在同簇间进行三轮换、能改变同簇的两个块的色向，就可以复原魔方了。

所以，我把这个方法称为“N阶魔方的零公式复原法”。

先介绍一下如何表达对魔方的操作是必要的。

以五阶魔方为例，见下表。

其中的顺时针和逆时针，都是当你面对着你要拧的魔方的某个面来说的。

应该不难理解吧。

基本原理：假设在N阶魔方的α 平面存在三个同簇的块，分别为A、B和C（这里先假设旋转α 平面时，A可以到达B和C的位置。

不能到达的情况在后面讲述）。

现在要求把A、B和C 进行一次三轮换而不移动任何其他的块。

我们如下操作：1.先找到一个和α 平面平行的平面β；2.再找一个和α、β平面都垂直的平面γ；3.通过旋转α平面，A、B和C都可以到达γ平面；而当它们到达γ平面后，通过旋转γ平面，它们又可以到达β平面；4.用如下的方法轮换A、B和C：(γ β2 γ’) α(γ β2 γ’) α(γ β2 γ’) α2(γ β2 γ’)…………(式一)下面我举几个例子。

【例1】上图是三阶魔方的U面。

现在要进行A→B→C→A的轮换。

按照上面的方法，可以设α=U，β=D，γ=L，则轮换方法为：(L D2 L’) U (L D2 L’) U (L D2 L’) U2 (L D2 L’)当然你也可以选择α=U，β=D，γ=R，则轮换方法为：(R’ D2 R) U (R’ D2 R) U2 (R’ D2 R) U (R’ D2 R)如果要进行A→C→B→A的轮换，设α=U，β=D，γ=L，则轮换方法为：(L D2 L’) U2 (L D2 L’) U’ (L D2 L’) U’ (L D2 L’)从上面的操作，可以看出：1.对α平面的操作，在于你想移动哪个块，以及把这个块移动到哪个位置；从这个意义上说，我把α平面称为“选择面”。

2.(γ β2 γ’)总是被执行偶数次（因为是三轮换），这一点刚好保证了不移动无关的块。

注意一下(γ β2 γ’)的逆操作就是它自身。

3.γ平面的选择不唯一，但都可以达到目的。

对γ平面的操作，目的仅仅是把被选择的块，从α平面传送的β平面。

从这个意义上说，我把γ平面称为“传送面”。

4.被传送的β平面的块，都是临时存在这里的。

从这个意义上说，我把β平面称为“存储面”。

5.如果你嫌交换的操作(L D2 L’)的次数太多了，可以这样进行简化(预先把其中要交换的一个块放到存储面上)：L U’(R D2 R’) U (R D2 R’) L’下面再举个例子。

【例2】上图是三阶魔方的U面。

现在要进行A→B→C→A的轮换。

我们可以设α=U，β=MD，γ=L，则轮换方法为：(L MD2 L’) U (L MD2 L’) U (L MD2 L’) U2 (L MD2 L’)1.可以看出，轮换角块和轮换棱块的方法没有什么不同。

2.如果你嫌交换的操作(L MD2 L’)的次数太多了，可以这样进行简化：L U’(R M D2 R’) U (R M D2 R’) L’下面举一个双对换的例子。

【例3】上图是三阶魔方的U面。

现在要进行A和B的交换、C和D的交换。

我们可以设α=U，β=MD，γ=L，则对换方法为：(L MD2 L’) U (L MD2 L’) U’ (L MD2 L’)…………交换A和B U2 (L MD2 L’) U (L MD2 L’) U’ (L MD2 L’) U2…………交换C和D这个例子中，交换操作(γ β2 γ’)被执行了6次。

可以简化成这样：L U’ (R MD2 R’) U L’…………交换A和BU2 L U’ (R MD2 R’) U L’ U2…………交换C和D可见，通过简化，总是通过两次交换操作，即可成功。

下面讲如何改变块的色向。

假设在N阶魔方的α 平面存在两个同簇的块，分别为A和B（这里先假设旋转α 平面时，A可以到达B的位置。

不能到达的情况在后面讲述）。

现在要求改变A和B的色向，而不移动其他的块。

我们如下操作：1、先找到一个和α 平面平行的平面β；2、再找一个和α、β平面都垂直的平面γ；3、再找一个和α、γ平面都垂直的平面δ；4、通过旋转α平面，A和B都可以到达γ平面；而当它们到达γ平面后，通过旋转γ平面，它们又可以到达β平面；5、通过旋转α平面，A和B都可以到达δ平面；而当它们到达δ平面后，通过旋转δ平面，它们又可以到达β平面；6、可以用如下的方法改变A和B的色向：(γ β2 γ’) (δ’β2δ) α (δ’β2δ) (γ β2 γ’) α’…………(式二)可以看出，它和(式一)的唯一区别在于：在中间的两步操作中，用δ平面替换了γ平面。

下面举例说明。

【例4】上图是三阶魔方的U面。

现在要求把A旋转120°，把B旋转-120°。

我们可以设α=U，β=D，γ=L，δ=F，则操作方法为：(L D2 L’) (F’ D2 F) U (F’ D2 F) (L D2 L’) U’如果要求把A旋转-120°，把B旋转120°,我们仍设α=U，β=D，γ=L，δ=F，则操作方法为：(F’ D2 F) (L D2 L’) U (L D2 L’) (F’ D2 F) U’从上面可以看出：1、对α平面的操作，是在选择要改变色向的块；2、操作γ平面和δ平面的先后顺序，决定了色向改变的方向；3、在δ平面的操作一定要是偶数次，这样才能不移动无关的块。

再举一个例子。

【例5】上图是三阶魔方的U面。

现在要求改变A和B的色向。

我们可以设α=U，β=MD，γ=L，δ=F，则操作方法为：(L MD2 L’) U’ (F’ MD2 F) U…………改变A的色向(F’ MD2 F) U (L MD2 L’) U’…………改变B的色向既然轮换和调整色向用的方法是一样的，我们就可以同时进行轮换和改变色向的操作。

下面举例说明。

【例6】上图是三阶魔方的U面。

现在要求进行A→B→C→A的轮换，同时把A旋转120°，把C旋转-120°。

我们可以设α=U，β=D，γ=L，δ=F，则操作方法为：(L D2 L’) U (F’ D2 F) U (F’ D2 F) U2 (L D2 L’)这里要特别注意先操作哪个块。

假设三个块中，不改变色向的块为X，而轮换的要求是用Y替代X，在应该先对Y进行操作。

这是因为中间对δ平面的偶数次操作不改变色向。

色向的改变发生在操作了γ平面后，接着操作δ平面，或者反之。

下面再举个例子。

【例7】上图是三阶魔方的U面。

现在要求进行A→B→C→A的轮换，且改变把A和B的色向。

我们可以设α=U，β=E，γ=L，δ=F，则操作方法为：U (L MD2 L’) (F’ MD2 F) U2 (F’ MD2 F) U2 (L MD2 L’) U’前面我们都假设了旋转α 平面时，A可以到达B和C的位置。

下面讨论不能到达的情况。

【例8】上图是四阶魔方的U面。

现在要求进行A→B→C→A的轮换。

很清楚，无论如何旋转U 面，A都不可能到达B和C的。

要实现这个簇内轮换，必须改变A和C的色向。

我们知道，四阶魔方的棱块在某个位置的色向是唯一的。

这个例子中，当A→B和C→A时，A和C必然改变色向，而B→C时，B绝不会改变色向。

我们可以设α=U，β=MU，γ=L，δ=F，则操作方法为：(L MU2 L’) U’ (F’ MU2 F) U2 (F’ MU2 F) U’ (L MU2 L’)另外，这个例子还可以如下实现，它更简单：R MB’ U2 (L MD2 L’) U2 (L MD2 L’) MB R’这个例子说明：当旋转α 平面，A不能到达B或者C时，可以：1.用调整色向的方法，引入另一个δ平面的方式来协助完成；2.通过某些操作[xyz]调整A、B、C的位置，使得有两个块落在选择面，另一个块落在存储面，交换完毕后，再用[xyz]的逆操作来恢复。

这种方法更简洁，但需要较强的观察能力。

再举一个例子。

【例9】上图是四阶魔方的U面。

现在要求从左图变换成右图。

常常有人为四阶魔方可以互换一组对棱感到惊奇。

其实，它是由两个三轮换组成的。

第一个三轮换是A→D→B→A，互换后的图如下：在上图的基础上，在进行第二个三轮换C→D→B→C，就得到最终结果。

具体的操作方法在【例8】已经讲了，我就不重复了。

再举一个五阶魔方的例子。

【例10】如上图，要求完成五阶魔方中三个棱块的轮换，轮换要求如图中箭头所示。

设左图中绿橙色棱块和蓝红色棱块所在的面为F面，红绿色棱块的绿色所在的面为U面。

我们可以这样操作:U2 MUU (L’ U2 L) MUU’ (L’ U2 L) U2这个例子说明：不在同一平面的三个块轮换起来更简单些（因为其中一个块已经在存储面上了）。

最后谈谈魔方中存在簇间扰动的情况。

把魔方的某个面旋转90°，就会产生簇间扰动；反之，把存在簇间扰动的面旋转90°，就会消除簇间扰动。

簇间扰动消除后，就可以用簇内三轮换和改变簇内色向的方法，把魔方最终复原。

下面举例说明。

【例11】上图是三阶魔方的U面。

现在观察到：如果把A和B互换，C和D互换，魔方就最终复原了。

A和B属于角簇，C和D属于棱簇，而N阶魔方基本的置换是簇内三轮换，很明显，角簇和棱簇间存在扰动。

我们执行一个U操作（U’操作也可以）后，发现只要再做一个角簇的三轮换和一个棱簇的双对换，就可以复原魔方了。

具体的操作步骤我在【例1】和【例3】已经讲了，我就不写了。

再举一个四阶魔方簇间扰动的例子。

【例12】如上图，要求翻转蓝黄色棱块，把魔方最终还原。

这其实是要把两个蓝黄色棱块互换位置，即做一个簇内对换。

而簇内的基本操作是三轮换，说明这里存在簇间扰动。

假设黄色面为U，红色面为F。

我们可以按如下操作进行：1.先做一个MB’操作，消除簇间扰动；2.复原U面的三个棱块；3.复原因为MB’操作而移动的MB面的三个棱块；4.复原因为MB’操作而移动八个心块（两个一组，共四组）。

有人要说了，第4步复原移动的四组心块是个簇内四轮换，不可能用簇内三轮换的操作来完成。

其实，它不是簇内四轮换，而是簇内四轮换加上一个簇内二轮换，是可以用簇内三轮换的操作来完成的。