全国i卷2019届高三五省优创名校联考数学(文)试卷(有答案)

2018—2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝R，则下列能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的韦恩（Venn）图是

A．B．C．D．

2．设复数z＝2＋i，则25zz

A．－5＋3i

B．－5－3i

C．5＋3i

D．5－3i

3．如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是

A．2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件

B．2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高

C．从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致

D．从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

4．设x，y满足约束条件60330xyxxy≥≤≥，则1yzx的取值范围是

A．（－∞，－9]∪[0，＋∞）

B．（－∞，－11]∪[－2，＋∞）

C．[－9，0]

D．[－11，－2]

5．函数211()ln||22fxxx的图象大致为

A． B． C． D．

6．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A．4643

B．64－4π

C．64－6π

D．64－8π

7．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是

A．i＜6

B．i＜7

C．i＜8

D．i＜9

8．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232 321 230 023 123 021 132 220 001

231 130 133 231 031 320 122 103 233

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为

A．19

B．318

C．29

D．518

9．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22()23sinacbabC，则B＝

A．6

B．4

C．23

D．3

10．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为

A．22

B．12

C．13

D．14

11．已知奇函数f（x）在R上的导数为f′（x），且当x∈（－∞，0]时，f′（x）＞1，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为

A．（3，＋∞）

B．[3，＋∞）

C．（－∞，3]

D．（－∞，3）

12．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f，对任意x∈R恒有()|()|3fxf≤，且在区间（15，5）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为

A．574

B．1114

C．1054

D．1174

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．

13．已知单位向量a，b的夹角为60°，则（2a＋b）·（a－3b）＝________．

14．253sin50________43cos20．

15．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．

16．已知双曲线C：22221xyab（a＞0，b＞0），圆M：222()4bxay．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当22147ln2baa取得最小值时，C的实轴长为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且Sn＝nan＋1－n2－n．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足22121(1)nnnbna，求{bn}的前n项和Tn．

18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；

（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；

（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．

19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．

（1）若23，证明：BE⊥CD；

（2）若13，求点E到平面SBD的距离．

20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数()2lnafxxax．

（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；

（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），22e(1)axaax．

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知直线l的参数方程为2,222xmtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．

（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；

（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；

（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．

2018～2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考

数学参考答案（文科）

1．A

2．C

3．D

4．A

5．C

6．B

7．B

8．C

9．D

10．C

11．B

12．C

13．72

14．2

15．2394336

16．4

17．解：（1）由条件知Sn＝nan＋1－n2－n，①

当n＝1时，a2－a1＝2；

当n≥2时，Sn－1＝（n－1）an－（n－1）2－（n－1），②

①－②得an＝nan＋1－（n－1）an－2n，

整理得an＋1－an＝2．

综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an＝2n＋1．

（2）由（1）得222221111[](22)4(1)nnbnnnn，

所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)nTnnnn．

18．解（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x．

前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，

则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．

（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．

则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：

（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．

记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，

故所求概率93()155PA．

（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，

故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．