2013高三上学期数学期中文科试题(附答案)
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2013高三上学期数学期中文科试题（附答案）
汕头市金山中学2013-2014学年度第一学期期中考试
高三文科数学试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知，则（）
A．B．C．D．
2.设,那么“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3.设数列的前n项和，则的值为()
A．15B．16C．49D．64
4.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）
A．若,,,则B．若,,,则
C．若,,,则D．若,,,则
5.下列命题中正确的是（）
A.的最小值是2B.的最小值是2
C.的最大值是 D.的最小值是
6.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．
7.已知,则的大小为()
A.B.C.D.
8.设函，则满足的的取值范围是()
A．，2]B．0，2]C．D．
9.奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．（3，）
10.设函数(,为自然对数的底数).若存在使成立,则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
11．函数的定义域为___________
12．若命题“”是真命题，则实数的取值范围为.
13．经过原点且与函数（为自然对数的底数）的图象相切的直线方程为
14.定义“正对数”:,现有四个命题:①若,则;②若,则③若,则④若,则
其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）已知集合，. （Ⅰ）求集合和集合；
（Ⅱ）若，求的取值范围。
16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若为的中点，求三菱锥的体积.
17.（本小题满分14分）已知函数在、处分别取得极大值和极小值，记点.
⑴求的值；
⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
18．（本小题满分14分）
已知直线l：(mR)和椭圆C：,椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2.
⑴求椭圆C的方程；
⑵直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数的取值范围；
⑶当时，设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值。
19.（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：
（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若函数在是单调减函数，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，证明：
（其中（e≈2.718……即自然对数的底数）
汕头市金山中学2013-2014学年度第一学期期中考试
高三文科数学参考答案
AAADCCACBA
11．12．13．14.①③④
15．解：（Ⅰ）集合=2分
集合=4分
（Ⅱ）由得(6分)7分
或者（9分）10分
综上所述，的取值范围为或12分
16．（1）证明：连接交于点1分
2分 又是菱形3分
而4分⊥面5分
（2）由（1）⊥面
设AC与BD交于点O
由余弦定理AC=7分
三角形ABD与三角形PBD全等8分故AO=PO=，9分
由勾股定理，POAC10分==311分
14分
17.解法一：∵，依题意，
∴，（2分）
由，得（3分）
令，的单调增区间为和，（5分）
，单调减区间为（7分）
所以函数在处取得极值。故（9分）
所以直线的方程为（10分）
由得（11分）
令，易得，（13分）
而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点。（14分）
解法二：同解法一，可得直线的方程为（10分）
由得（11分） 解得（13分）
所以线段与曲线有异于的公共点。（14分）
18．解：⑴由离心率，得
又因为，所以，
即椭圆标准方程为.---------4分
⑵由消得：．
所以，可化为
解得．--------8分
⑶由l：,设x=0,则y=2,所以P(0,2).--------9分
设M(x,y)满足,
则|PM|2=x2+(y–2)2=2–2y2+(y–2)2=–y2–4y+6
=–(y+2)2+10，
因为–1y1,所以--------11分
当y=-1时，|MP|取最大值3--------14分
19.解：（1）据题意的
（2）由（1）得：当时，
当时，，为增函数
当时，为减函数
当时，
当时，
当时， 当时，
综上知：当时，总利润最大，最大值为195
20．
解:(1)定义域为...................................................................1分
.......................................................................2分
当时,递增,
当时,递减,......................................................3分
的单调增区间为的单调减区间为................4分
的极大值为无极小值.........................................5分
(2)函数在是单调减函数，...7分
.................................
................8分
..............................................................................9分
(3)
...................................................................10分
