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数学立体几何试题及答案

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数学立体几何试题及答案

【模拟试题】

一. 选择题（每小题5分，共60分）

1. 给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（）

A. 0B.C. 2D. 3

2. 下列四个命题：

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有面可能都是直角三角形；

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个

A. 1 B. C. 3 D. 4 数学立体几何试题及答案

3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（）

A. 12 B. C.D.

4. xx面上漂着一个球，xx结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为，深为的空穴，则该球的半径是（）

A.B.C.D.

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）

A. B. C.D.

6. 已知直线，有下面四个命题：

①；②；③；④。

其中正确的两个命题是（）

A. ①② B. ③④ C. ②④D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面的高度为，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）

A. B.C.D. 数学立体几何试题及答案

8. 设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）

A. B. C.D.

9. 对于直线m、n和平面能得出的一个条件是（）

A.B.

C.D.

10. 如果直线l、m与平面满足：，那么必有（）

A.B.

C.D.

11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）

A. B.C. 2：3 D. 1：3

12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）

数学立体几何试题及答案

二. 填空题（每小题4分，共16分）

13. 正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为，则棱台的高为____________。

15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

16. 已知是两个不同的平面，m、n是平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n，②，③，④。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。

三. 解答题（共74分）

17. （12分）正方体中，E、F、G分别是棱DA、DC、的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。

18. （12分）球内有相距的两个平行截面，截面的面积分别是，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。 数学立体几何试题及答案

19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（），求这个旋转体的体积。

21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求

（1）AD应取多长？

（2）容器的容积。

数学立体几何试题及答案

22. （14分）如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，。

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离d；

（3）求三棱锥的体积V。

【试题答案】

一.

1. B 2. B 3. C 4. C 5. A

6. D

7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12.

B

二.

13.14.15. 3ab 数学立体几何试题及答案

16.

三.

17. 证明：过的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、的中点可得GE//，GF//，平面EFG，平面EFG

∴//平面AEG，//平面EFG

又

∴平面EFG//平面

18. 解：如图，设两平行截面半径分别为

依题意，

rrOAOAROORrROORrR12221212122222225858，和都是球的半径 数学立体几何试题及答案

RRRRSRcmVRcm2222223581934364336解得球球()()

19. 解：由三视图知正三棱锥的高为

由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为

设底面边长为a，则

∴正三棱柱的表面积

SSSmm侧底234221242324832()

20. 解：如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

设

ADABCDxBCx222， 数学立体几何试题及答案

SSSS全面积圆柱底圆柱侧圆锥侧

ADADCDADBCxxxxxx2222422222524

根据题设

所以旋转体体积

VADCDADABCD223()

1231327322()

21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则

由题意得 数学立体几何试题及答案

ABRCDrxODxR⌒⌒2601807226018072723()

Rrx12636，，

ADcm36

（2）又圆台的高h=

VhRRrr1322()

1363512126650435223()()cm

22. 证明：（1）如图，连结AC

∵正四棱柱的底面呈正方形

∴AC⊥BD

又AC⊥ 数学立体几何试题及答案

∴AC⊥平面

∵E、F分别为AB、BC的中点

∴EF//AC

∴EF⊥平面

∴平面

解（2）在对角面中，作，垂足为H

∵平面，且平面平面

∴

∴为点到平面的距离

在Rt△中，

DBABDBHBGBBBGBDH1111111111222244174417161717sinsin

（2）

13161712217163

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立体几何试题及答案

立体几何试题及答案

立体几何试题一、选择题：

1．下列命题中正确命题的个数是

（ ）

⑴ 三点确定一个平面

⑵ 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一平面内

⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内

⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：A

2．已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30的直线条数有且仅有

（ ）

A.1条 B.2条 C.3条

D.4条

答案：B

3．已知直线l平面，直线m平面，下列四个命题中正确的是 （ ）

(1) 若//，则ml (2) 若，则ml//

(3) 若ml//，则 (4) 若

ml，则//

A.(3)与（4） B.（1）与（3） C.（2）与（4）

D.（1）与（2）

答案：B

4．已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l （ ）

A.与m、n都相交 B.与m、n中至少一条相交

C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交

答案：B

5．设集合A={直线}，B={平面}，BAC，若Aa，Bb，Cc，则下列命题中的真命题是

（ ）

A. cababc// B. cacbba//

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【模拟试题】

一. 选择题（每小题5分，共60分）

1. 给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；

③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；

④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 下列四个命题：

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有面可能都是直角三角形；

④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。

正确的命题有________个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）

A. 12 B. 24 C. 214 D. 414

4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ）

A. 8cm B. 12cm C. 13cm

D.

82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）

A. 122 B. 144 C. 12 D. 142

6. 已知直线lm平面，直线平面，有下面四个命题：

①//lm；②lm//；③lm//；④lm//。

其中正确的两个命题是（ ）

A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 【最新整理，下载后即可编辑】 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）

高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023

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【题目1】

已知立方体ABCDEFGH的棱长为a，M为AD的中点，N为BF的中点，P为MN的中点。求证：四边形MNHP是一个矩形。

【解答1】

根据题意，我们可以先求出MN的长度。

由于M为AD的中点，因此DM = a/2。同理，BN = a/2。

根据勾股定理，可以得到三角形MND的斜边ND的长度：

ND = √(MN² + DM²)

= √(MN² + (a/2)²)

根据三角形BNF的性质，可以得到BNF是一个等腰直角三角形，因此NF = BN = a/2。

同理，我们可以计算出FP的长度：

FP = NF = a/2

最后，我们可以比较四边形MNHP的对角线长度。

根据反证法，如果MNHP不是一个矩形，那么MN和HP的长度应该不相等，即MN ≠ HP。

假设MN > HP，即MN² > HP² 由于HP = FP = a/2，我们可以得到：

MN² > (a/2)²

将MN²和(a/2)²的值代入，得到：

(MN² + (a/2)²) > (a/2)²

经过整理化简，可得：

MN > a/2

这与MN = a/2矛盾，因此假设成立。

同理，可以得出假设MN < HP亦不成立。

由以上推理可知，四边形MNHP是一个矩形。证毕。

【题目2】

在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知AB = 3，BC = 4，CA = 5，且AA'垂直于平面ABCD。求证：A'B'² = 4² + 3² + 5²。

【解答2】

根据题意，我们可以利用勾股定理和垂直平面的性质来解答此题。

首先，考虑三角形ABC。由已知条件可知，它是一个直角三角形，且AB = 3，BC = 4，CA = 5。

根据勾股定理，可以得到AC的长度：

AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

由于AA'垂直于平面ABCD，所以AA'长度即为三棱柱的高。

高二数学立体几何试题答案及解析

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1. （本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

【答案】１６０００

【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0

长方体容积（单位：）， …3分

…5分

令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是

x

（0，10）

10

（10，30）

＋

0

－

V（x）

…7分

在x＝10时，V取得最大值为 …10分

2. 已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形 的 心．

【答案】外

【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．

【考点】射影定理

3. （本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．

（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．

【答案】（1）；（2） 【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．

试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：

圆柱的高

圆柱的侧面积

半球的表面积

所以铆钉的表面积（）

（2）

设钉身长度为，则

由于,所以，

解得

答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．

【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．