-高中数学 1.4.2导数应用(二)学案 新人教a版选修2-2

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

第二课时 导数的运算法例

预习课本 P15～ 18，思虑并达成以下问题

(1) 导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？

(2) 复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？

[新知初探 ]

1． 导数的四则运算法例

(1) 条件： f(x)， g(x)是可导的．

(2) 结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．

② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．

③ f x ′＝ f x g x － f x g x (g(x) ≠ 0)．

g x 2

[g x

[点睛 ] 应用导数公式的注意事项

(1) 两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．

(2) 两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．

(3) 若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．

(4) 对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．

2． 复合函数的求导公式

(1) 复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．

(2) 求导法例：复合函数 y＝ f (g(x))的导数和函数 y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：

yx′＝ yu′·ux′.

[小试身手 ]

1．判断 (正确的打 “√”，错误的打 “×”)

(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()

(2) 函数 f(x)＝ xex 的导数是 f′(x)＝ex(x＋ 1)． ( )

(3) 函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ( )

答案： (1) × (2) √ (3) ×

2．函数 y＝ sin x·cos x

1.2.2 第三课时 导数的运算法则

一、课前准备

1.课时目标

1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；

2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；

3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。

2.基础预探

1.(1)[f(x)±g(x)]′＝________. (2)[f(x)·g(x)]′＝________. (3)[f(x)g(x)]′＝________.

2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y＝f[φ(x)]是由________和________复合而成的．

3．设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数，且y′x＝________，或写作f′x[φ(x)]＝________.

二、学习引领

1．对导数的运算法则的理解

(1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．

(2) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf(x)]′＝cf′(x) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．

(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f′(x)g(x)减去含分母导数f(x)g′(x)的式子。特别地，当f(x)＝1时，有[1g(x)]′＝－g′(x)[g(x)]2.

2.复合函数求导应注意的问题

(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．

(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

明目标、知重点

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[情境导学]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．

探究点一 导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答 利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；

(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

例1 求下列函数的导数：

(1)y＝x3－2x＋3；

(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝3x－lg x.

解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2. (2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.