实验三 信号的频谱分析
1方波信号的分解与合成实验
1实验目的
1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。
2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。
3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。
2 实验设备
PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。
3 实验原理及内容
1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析
信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数：
如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式：
从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。
2. 方波信号的频谱
将方波信号展开成傅立叶级数为：
n=1，3，5… 此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。
（a）基波 （b）基波＋三次谐波
（c）基波＋三次谐波＋五次谐波
（d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波
（e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波
图3-1-1方波的合成
3. 方波信号的分解
方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。本实验便是采用此方法，实验中共有5路滤波器，分别对应方波的一、三、五、七、九次分量。
信号的相位频谱
信号的相位频谱是指信号在不同频率上的相位分布。相位频谱描述了信号在频率域上的相位特性，可以用来分析信号的相位结构和相位变化。
对于一个时域信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω为频率变量。信号的相位频谱可以表示为ϕ(ω)，表示在不同频率上信号的相位值。
通常情况下，相位频谱可以用两种形式来表示：相位角谱和相位谱。
1. 相位角谱：相位角谱是指信号在频率域上的相位角度。相位角谱的单位通常是弧度（rad）或角度（°）。相位角谱可以反映信号在不同频率上的相位差异，可以使用曲线或颜色图表示。
2. 相位谱：相位谱是指信号在频率域上的相位。相位谱通常以复数形式表示，即每个频率上的相位由实部和虚部组成。相位谱可以用于描述信号的相位结构，如相位延迟、相位畸变等。
相位频谱在信号处理与通信领域有广泛应用，例如在频谱分析、滤波器设计、相位解调等方面都起着重要作用。
信号的频谱
任意周期函数只要满足狄利克雷条件都可以展开成傅里叶级数。上一知识点介绍的方波信号[如图1(a)]亦可展开为傅里叶级数表达式：
（1）
<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /><?XML:NAMESPACE PREFIX =
O />
(a)
(b)
图1
(a)
(b)
图2
式中， ， 是方波信号的直流分量， 称为该方波信号的基波，它的周期 与方波本身的周期相同。式（1）中其余各项都是高次谐波分量，它们的角频率是基波角频率的整数倍。
由于正弦函数的单纯性，在作信号分析时，可以只考虑其幅值电压与角频率的函数关系，于是式（1）的正弦级数可以表达为图1(b)所示的图解形式，其中包括直流项（ω=0）和每一正弦分量在相应角频率处的幅值。像这样把一个信号分解为正弦信号的集合，得到其正弦信号幅值随角频率变化的分布，称为该信号的频谱。图1(b)称为方波信号的频谱图，是方波在频域的表达方式。
从傅里叶级数特性可知，许多周期信号的频谱都由直流分量、基波分量以及无穷多项高次谐波分量所组成，频谱表现为一系列离散频率上的幅值。
上述正弦信号和方波信号都是周期信号。客观物理世界的信号远没有这样简单，如果从时间函数来看，往往很难直接用一个简单的表达式来描述，如图2(a)所示炉温变化曲线就是一非周期性时间函数波形。
对于非周期信号，运用傅里叶变换可将其表达为一连续频率函数形式的频谱，它包含了所有可能的频率（0≤ω<∞）成分。图2(b)示意出图2(a)的频谱函数。实际物理世界的各种非周期信号，随角频率上升到一定程度，其频谱函数总趋势是衰减的。当选择适当的ωc（截止角频率）点把频率高端截断时，并不过多地影响信号的特性。通常把保留的部分称为信号的带宽。
由上分析可知，信号的频域表达方式可以得到某些比时域表达方式更有意义的参数。信号的频谱特性是电子系统有关频率特性的主要设计依据。
第四章 周期信号的频域分析
1. 内容提要
本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。
2. 学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求：
（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。
（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。
（3）熟悉频域分析法。
（4）了解离散傅立叶级数的概念
3. 重点难点
（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系
（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。
4. 应用
周期信号频域分析的MATLAB实现
5. 教案内容
4.1 连续时间信号的傅立叶变换
周期信号的定义
周期信号是定义在001/fT(,)区间，每隔一定的时间间隔0T，按相同规律重复变化的信号。即对tR，存在一个大于零的0T，使得
0()(),ftTfttR
其中0T为基波周期，002/T为基波角频率，001/fT为基波频率 傅立叶级数的实质
就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。
4.1.1 指数形式的傅里叶级数
连续时间信号的傅立叶级数表示为
0()jnwtnnftCe
称nC为周期信号()ft的傅立叶系数。傅立叶系数的计算公式为
000001()tTjnttCnftedtT
4.1.2 三角形式的傅立叶级数
若函数()ft满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。
01111212111()cossincos2sin2cossinnnftaatbtatbtantbntLL
0111(cossin)nnnaantbnt
式中，n为正整数；系数0,,nnaab称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T的傅里叶系数：
11120011211()()TTTaftdtftdtTT
