当前位置：文档之家 › 绝对值的几何意义

绝对值的几何意义

  • 格式：doc
  • 大小：54.00 KB
  • 文档页数：3

绝对值的几何意义

知识要点大家知道,|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解,直观简捷,事半功倍．

例题精讲

例题我们知道,|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离,这是绝对值的几何意义．进一步地,数轴上两个点A．B,分别用a,b表示,那么A、B两点之间的距离为AB=|a-b|,利用此结论,回答以下问题：

1数轴上表示8和3的两点之间的距离是______,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是___________,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是__________；

2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是_____________,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是___________________；

3 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是_____________.

思路点拨

1根据数轴上两点间的距离公式,可得答案；

2根据到一点距离相等的点有两个,可得a的值；

3根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小,可得答案．

解析

解：1数轴上表示8和3的两点之间的距离是 5,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 7,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是 4；

2数轴上点A用a表示,则|a-3|=5的几何意义是 数轴上表示a和3两点之间的距离是5,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8；

3说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义 数轴上点x与-1的距离与点x与-2距离的和,利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是 1,

故答案为：5,7,4；数轴上表示a与3两点之间的距离是5,-2或8；数轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1．

总结升华本题考查了绝对值,1数轴上两点间的距离公式,2到一点距离相等的点有两个；3线段上的点与线段两端点的距离的和最小．

例题阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即

|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离；

在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义：

例1：解方程|x|=2．容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2；

例2：解不等式|x-1|＞2．如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或x＞3；

参考阅读材料,解答下列问题：

1方程|x+3|=4的解为____________________；

2解不等式|x-3|+|x+4|≥9；

3若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围．

思路点拨仔细阅读材料,根据绝对值的意义,画出图形,来解答．

解析

解：1根据绝对值得意义,方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7．

2∵3和-4的距离为7,

因此,满足不等式的解对应的点3与-4的两侧．

当x在3的右边时,如图,

易知x≥4．

当x在-4的左边时,如图,

易知x≤-5．

∴原不等式的解为x≥4或x≤-5

3原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．

当x≥3时,|x-3|-|x+4|应该恒等于-7,

当-4＜x＜3,|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小,

当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7,

即|x-3|-|x+4|的最大值为7．

故a≥7．

总结升华本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合数轴,通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大,同学们不要产生畏惧心理．

巩固练习

1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上x1,x2对应点之间的距离；

例1解方程|x|=2,容易看出,在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2,即该方程的解为x=±2

例2解不等式|x-1|＞2,如图,在数轴上找出|x-1|＞2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1、3,则|x-1|＞2的解为x＜-1或X＞3

参考阅读材料,解答下列问题：

不等式|x+3|＞4的解为_____________________.

2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

1数轴上表示1和4的两点之间的距离是____________；表示-3和2的两点之间的距离是___________；表示-5和-4的两点之间的距离是_________；一般地,

数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________．

2如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=____________．

3若数轴上表示数a的点位于-4与2之间,求|a+4|+|a-2|的值；

答案

1、解：∵|x+3|=|x--3|＞4,

即到-3的距离为4的点对应的数为-7、1,

用数轴表示为：

∴不等式|x+3|＞4的解为x＜-7或x＞1．

2、解：1|1-4|=3,

|-3-2|=5,

|-5--4|=1,

|m-n|,

故答案为：3；5；1；|m-n|；

2|a--2|=3,

所以,a+2=3或a+2=-3,

解得a=1或a=-5,

故答案为：-5和1；

3∵表示数a的点位于-4与2之间,

∴a+4＞0,a-2＜0,

∴|a+4|+|a-2|=a+4+-a-2=a+4-a+2=6；

合集下载

绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)

绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)

绝对值不等式（一）

绝对值不等式cbxaxcbxax

绝对值的几何意义：a的几何意义是：数轴上表示数轴上点a到原点的距离；

ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab两点的距离。

ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab的两点的距离。

xaxb的几何意义是：数轴上表示点x到,ab的两点的距离和，故babxax

利用图像和几何意义解cbxax或cbxax的解集。

分区间讨论：bxbaxbxaabaxbaxbxax22

cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxc II.当0＜c时，不等式解集为：空集

cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxcbax或 II.当0＜c时，不等式解集为：全体实数

例1：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a≤3即可．

若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|

解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，

又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.

例2：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.

例3：不等式|x＋1|＋|x－1|<3的实数解为________．

解：当x>1时，原不等式等价于2x<3⇒x<32，∴1－32，∴－32

例4：已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图像的上方，求m的取值范围．

巧用绝对值的几何意义求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的几何意义求多个绝对值之和的最小值问题

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

例1求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少

初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;

绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;

众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,

由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；

同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,

由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;

一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-an｜,

其中a₁≤a₂≤…≤an,那么：

当n为偶数时,fminx=fa,其中an/2≤a≤an/2+1；

且fa=an-a1+an-1-a2+•••+an/2+1-an/2

=an+an-1+••• an/2+1-a1+a2+•••+an/2

当n为奇数时,fminx=fan+1/2；

且fa=an-a1+an-1-a2+•••+an+1/2+1-an+1/2-1

绝对值的代数意义和几何意义

绝对值的代数意义和几何意义

绝对值的代数意义和几何意义

绝对值是数学中使用最广泛的概念之一，在代数中，它被定义为数值或表达式的绝对值，容易被视为一种量度，它可以衡量一个数的大小，而不必考虑它的符号。

一、代数意义

1. 绝对值是数值和表达式的数学量度，衡量数值的大小，不受它的符号（正负）的影响。即|x| = x,如果x>0；|x| = -x,当x<0时。

2. 绝对值函数y=|x|是一个凸函数，它的图象关于y轴对称，当x变化时，y曲线上各点的变化率一定为正。

3. 两个相等负数的绝对值相等，因此绝对值函数不满足函数的单值定理。

4. 当x ≠ 0时，|x|不能表示为0，因为如果这样的话，将会发生抵消，而它的本来意义就是衡量数值大小。

二、几何意义

1. 在几何中，它表示一点到原点的距离，也表示函数的最大值或最小值。

2. 对于向量的绝对值，表示的是向量的模长或长度，它是一个实数。

3. 绝对值用来描述点(x，y)到原点(0，0)之间的距离，即|(x，y)|=根号[x2 +y2]。

4. 对于复平面中点(z)，其绝对值|z| = 根号[(a+bi)2] = 根号[a2+b2]。

以上可以看出，绝对值在代数和几何中都有着各自独特而重要的意义，它们在理解数学概念中都具有十分重要的作用。

绝对值及其几何意义

绝对值及其几何意义

绝对值及其几何意义

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。 这是绝对值的代数意义。

绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如|𝑎|表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。

对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。

例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。

解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.

例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。

分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。

解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，

∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。

此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣，即-3≤∣x-a∣-∣x-b∣≤3。我们再看下面的一个问题：

例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？