当前位置：文档之家 › 初中数学-函数思想

初中数学-函数思想

  • 格式：doc
  • 大小：114.50 KB
  • 文档页数：4

运动与变化--函数思想

阅读与思考

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.

函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用：

1．利用函数图象解决问题；

2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解；

3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.

例题与求解

【例1】 同学们都知道，一次函数0kbkxy的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图1中，x表示时间（小时），y表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x＝0），离某地（原点）2千米，出发1小时，由x＝1，得y＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．

在图2中，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：

(1)如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，乙________________;

(2)甲的运动速度是______千米/时；

(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米．

xyO–2–112312345 xyBA1051520O12345

图1 图2

解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息.

对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形式，常用的构造方法有：

①构造实例； ②构造反例； ③构造方程； ④构造函数； ⑤构造图形.

【例2】对于方程222xxm，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )

A.1 B．3 C．2 D．2.5

解题思路：可将m值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的m的值．本例的另一解法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数222yxx与函数my图象交点，利用函数图象解题．

【例3】已知b，c为整数，方程052cbxx的两根都大于－1且小于0，求b和c的值．

解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出b，c的值，显然较繁．可以构造二次函数，讨论二次函数cbxxy25与x轴交点在－1与0之间时所满足的约束条件入手．

【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1), C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方形，设它在折线yxaa上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．

解题思路：CD，AB平行于x轴且与x轴的距离为1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四种情况讨论.

【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？（精确到0.1米）

AO

解题思路：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点，建立直角坐标系，解题的关键是求出抛物线的解析式.

随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次上，其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点.

函数应用题的数量关系是以函数的形式出现，解题的关键是建立量与量之间的函数关系式，运用相关函数的性质解题.

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．

消费金额（元） 300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 …

返还金额（元） 30 60 100 130 150 …

注：“300～400”表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.

根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%) ＋30＝110(元)．

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？

解题思路：本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体现分类讨论的思想．

合集下载

初中函数的重要性

初中函数的重要性

初中函数的重要性

函数在初中数学教学过程中的主线作用。

函数在初中阶段起着重要的作用，对学生初中数学知识的掌握的好坏有着极大的影响。函数概念是中 学数学一个重要的基本概念，标志着常量数学向变量数学的迈进，其核心的意义是反映出了在某一个变化 过程中，两个变量之间的依赖关系，即一个量随另一个量的变化而变化，因此，原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系。函数之所以能在整个初中阶段数学学科中起着主线的作用，是有其自身所包含的各种数学思想与方法分不开的。下面我就简单谈一下初中阶段函数中渗透的重要数学思想。

1、数形结合 “数形结合”是数学知识体系中的一个重要思想，可广泛应用于数学领域中的解题环节，以便于在数量关系与图形的转化中深入发掘数学的直观性与细微性，从而提高学生分析问题的敏锐性与解题效率。教 师教学中应充分认识到函数概念在初中数学教学中的重要作用．时刻注意函数概念的渗透。其实从数轴上 的点与实数的对应关系开始，就蕴含了函数的概念。而在学习函数概念后，这种表现的明朗化是将函数与方程的解、不等式的解紧密联系在一起。可以说七年级学习的实数绝对值的意义、八年级学习一元一次不等式解集的几何表示对于研究函数的图象及其性质起着重要的奠基作用。函数关系可用“形”这一特殊方法来表现，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，其变化的趋势有升也有降，反比

例函数的图象是双曲线，它可以无限接近 x 轴，也可以无限接近 y 轴。数缺形时少直观，形少数时难入微。“形”的引入不仅给研究函数问题带来了直观上的感受，更重要的是深化了学生最直接的理性认识。

2、发挥教材功能 教材本身的主导思想是引导学生从生活中的某一个变化过程里两个存在特殊关系的变量中提炼出函 数的概念，留绐师生很大的运作空间。

3、渗透模型思想理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在初中阶段，学生应掌握的基本函数模型应该把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来。我们在对每一个具体函数模型教 学的过程中，可以通过这些函数的解析式、函数图像、变量与变量之间的依赖关系来理解函数概念。 最后，帮助学生养成一种习惯，借助于具体的模型，思考抽象问题。在数学思维中，无论讨论什么样抽象的问题，脑子都不能空，需要有具体模型的支持，这样才能使抽象的问题变得简洁。

一次函数中的数形结合思想

一次函数中的数形结合思想

一次函数中的数形结合思想

在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.

一、面积型

根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.

例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.

【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.

所以交点C的坐标为（5，13）

因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .

【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.

例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴

围成三角形的面积为4，求直线的解析式.

【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.

【解】 设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：

当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；

当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；

当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；

当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；

综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4

【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.

初中数学思想

初中数学思想

中学数学思想

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

1、函数方程2、数形结合3、分类讨论4、整体思想5、转化思想6、类比思想7、建模思想8、归纳推理9、概率统计思想10、极限思想

一、方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题。

二、数形结合“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。

三、分类讨论当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

四、整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

五、转化思想（划归思想）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。转化思想亦可在狭义上称为划归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。

初中数学思想方法之函数与方程思想

初中数学思想方法之函数与方程思想

初中数学思想方法之函数与方程思想

函数与方程思想是初中数学的一个重要思想，是数学学习的理论基础。函数与方程思想是数学分析的重要方法，是数学思维方法的核心。

函数与方程思想的概念是数学分析的核心，它把复杂的问题简化为基本概念，从而找出解决问题的办法。它是学习数学的基础。学会函数与方程思想，可以帮助学生掌握数学的基本概念，把学习的内容归纳起来，提高学习效率，为学习其他数学知识奠定坚实的基础。

函数与方程思想，所谓的函数，就是一个有输入和输出的过程，一个函数将一个或多个未知变量的输入变换为一个输出，表示为y=f（x），其中x是变量，f（x）是函数，y是函数的输出。函数是数学分析的基础，它可以用数学语言表达自然现象，把复杂的问题简化，从而帮助人们更好地理解自然现象。

方程是一个等式，表示两边（等式左边和等式右边）相等，有时也可以表示两边的大小关系，如一元二次方程，可以表示为ax2+bx+c=0。通过求解方程，我们可以找到一个或多个解，这就是解方程的思想。求解方程是数学学习的重要方法，它不仅可以帮助我们得到问题的解决方法，还可以丰富我们的思维方式，是理解数学的重要方式之一

函数与方程思想是初中数学学习的重要思想。