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第五章：相似矩阵及二次型本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。
2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。
3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。
4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。
5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。
§1 向量的内积、长度及正交性内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2≤；n维向量x 与y 的夹角[]yx y x ,arccos=θ；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。
重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。
§2 方阵的特征值与特征向量内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式()λλλλ---=nn n n n n a a a a a a a a a f212222111211；若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。
§3 相 似 矩 阵内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，则有 1）,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λknkkk λλλ()()()().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λϕλϕλϕϕ2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。
第五章 相似矩阵及二次型本章主要内容是讨论方阵的特征值和特征向量；方阵的相似对角化；二次型的标准形及正定二次型.在讨论这些主要内容之前,先介绍与向量的正交性有关的一些知识.§1. 向量的内积、长度及正交性在三维向量空间3R 中，两个向量α=),,(321a a a 及β=),,(321b b b 的数量积（又称点乘积）为βα∙=θβαcos =332211b a b a b a ++其中θ为α与β的夹角，α与β是α与β的长度.数量积有以下不等式βαβα≤∙利用数量积可以表示向量的长度和夹角.α=232221a a a ++=)(αα∙， θcos =βαβα∙（设0,0≠≠βα） 0=∙⇔⊥βαβα以上这些在三维空间中已经成立的性质，可以推广到n 维向量空间nR 中去.关键是将三维空间中的数量积βα∙推广成n 维空间中的内积],[βα.定义1. 设有两个n 维向量α=),,,(21n a a a ，β=),,,(21n b b b定义α与β的内积为],[βα=n n b a b a b a ,2211 ++=T αβ=Tβα容易验证内积有以下性质（其中γβα,,为n 维向量，k 为数）： (i) ],[βα=],[αβ； (ii) ],[βαk =],[βαk ；(iii) ],[γβα+=],[],[γβγα+；(iv) 当0=α时，],[αα=0；当0≠α时，],[αα>0由(i)(ii)(iii)，可得],[βαk =],[βαk ，],[γβα+=],[],[γαβα+ 可以证明许瓦兹（Schwarz ）不等式（这里不证）：≤2],[βα),)(,(ββαα或),(),(|],[|ββααβα≤定义2. 设α=),,,(21n a a a ，定义α的长度（或称范数）为||||α=),(αα=22221,n a a a +++当长度||||α=1时，称α为单位向量.利用长度概念，许瓦兹不等式可以写成≤],[βα||||||||βα.向量的长度具有下列性质(βα,为向量，k 为数)：(1)非负性：0||||≥α，当且仅当α=0时，||||α=0； (2)齐次性：||||αk =k ||||α； (3)三角不等式≤+βα ||||α +β.[证] （1）（2）容易验证.下面证明（3）.2βα+=],[βαβα++=],][,[βαββαα++=],[],[],[],[ββαββααα+++ =22],[2ββαα++ 222)(2βαββαα+=++≤故有βαβα+≤+.（证毕）当0≠α，0≠β时，由许瓦兹不等式，有[]1,≤βαβα.因此，由下面的等式θcos =[]βαβα,可以定义两向量α与β的夹角θ.特别地，有θ=],[2βαπ⇔=0定义3. 若],[βα=0，则称向量α与β正交. 因为],0[α=0，所以零向量与任何向量α都正交.例1． 在5R 中，设α=(2,1,0,4,-2)，β=(3,4,2,-1,3)，则有],[βα=4132⨯+⨯20⨯+ 3)2()1(4⨯-+-⨯+=6+4+0-4-6=0.故α与β正交. 又有 2α=],[αα=4+1+0+16+4=25, 故α的长度为α=25=5.对任意0≠α，有11==αααα，故αα为单位向量. 定义4. 若向量组m a a a ,,,21 两两正交，则称其为正交向量组.若向量m a a a ,,,21 两两正交且都是单位向量时，则称其为规范正交组.显然有: m a a a ,,,21 为规范正交组⎩⎨⎧=≠=⇔j i ji j i ,1,0],[αα例2．在nR 中，以下n 个单位向量是规范正交组：)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1(21 ===n εεε因为这个向量组又是nR 中的基，因此又称为nR 中的规范正交基.在3R 中，通常记i =(1,0,0),j =(0,1,0)，k =(0,0,1)，它们是三坐标轴上的单位向量，它们构成3R 中一个规范正交基.以下的向量组1α=(1,0,0)，2α=(0,21,21)，3α=(0,21,21-) 容易验证是规范正交组，也是3R 的规范正交基.定理1. 若m a a a ,,,21 是由非零向量组成的正交组，则它们必定线性无关. [证] 设数m k k k ,,,21 使m m a k a k a k +++ 2211=0，则有],[2211i m m a k a k a k α+++ =],0[i α=0，),,2,1(m i =.根据内积性质，有],[],[],[11i m m i i i i k k k αααααα++++ =0因为i j ≠时，],[i j αα=0，上式成为],[i i i k αα=0，因为0≠i α，所以 0],[>i i αα，故有0=i k (i =1,2,…,m ). 因此，m a a a ,,,21 线性无关.（证毕）由此可知，规范正交组必是线性无关组，但反之不成立. 有时需要由一个线性无关向量组m a a a ,,,21构造出一个与之等价的规范正交组m e e e ,,,21 .这个问题称为将向量组m a a a ,,,21 规范正交化.斯密特（Schimidt ）规范正交化的方法如下：取11αβ=，1111222],[],[ββββααβ-=，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ--=，…………………………………………11111111],[],[],[],[-------=m m m m m m m m ββββαββββααβ容易验证m ββ,,1 两两正交，且与向量组m αα,,1 等价.再把它们单位化，即取mm m e e e ββββββ===,,,222111 . 则m e e e ,,,21 为规范正交组，并且与m a a a ,,,21 等价.例2． 在3R 中，设T T T )2,1,1(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα.试用斯密特方法，将其规范正交化.[解] 取T)0,1,1(11==αβT T T )2,1,1(21)0,1,1(21)1,0,1(],[],[1111222-=-=-=ββββααβ，222231111333],[],[],[],[ββββαββββααβ=-==T T TT)1,1,1(32)2,1,1(32)0,1,1()2,1,1(-=--- 计算得21=β，6212=β，3323=β，将321,,βββ单位化， 得1e =11ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡02121，2e =22ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-626161，3e =33ββ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-313131 321,,e e e 即为所求的规范正交组.定义5. 若n 阶实矩阵A 满足T A A =-1 （或E AA T =或E A A T =）则称A 为正交矩阵，简称正交阵.设A 的行向量组为n βββ,,,21 ，则A 为正交阵⇔E AA T =⇔],,,[2121Tn T T n ββββββ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E ⇔⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡T n n T n T n T nT T TnT T ββββββββββββββββββ 212221212111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001⇔],[j i ββ=T i jββ=⎩⎨⎧=≠ji j i ,1,0，（n j i ,,2,1, =） ⇔A 的行向量组为规范正交组.由E A A T=，同理可证A 为正交阵⇔A 的列向量组为规范正交组.例4．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos ，B =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102101021021，E =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 容易验证E B A ,,都是正交矩阵.正交矩阵有下列性质：（1）若A 为正交矩阵，则A =1或－1.（2）若B A ,为正交阵，则AB 及1-A 也是正交阵. [证]（1）A 的正交阵，则E AA T=，两边取行列式，得T A A =E =1，即12=A ，故1=A 或－1（2）T AB AB ))((=))((T T A B AB =))((11--A B AB =11)(--A BB A =1-AEA =1-AA =E T A A ))((11--=11))((--T A A =1)(-A A T =1-E =E 故AB 及1-A 都是正交阵.（证毕）定义6. 设P 为n 阶正交矩阵，y x ,为n 维列向量，则Px y =称为正交变换 （3）若Px y =为正交变换，则x y = [证] 22)()(x x x Ex x Px P x Px Px y y yT T T T T T ======, 故有x y =.这个性质说明正交变换保持向量的长度不变.§2. 方阵的特征值和特征向量定义1. 设A 为n 阶矩阵，如果有数λ及n 维列向量0≠α，使得关系式λαα=A （1）成立，则称λ为A 为特征值，α称为A 的对应于特征值λ的特征向量. （1）式可写成0)(=-αλE A ，这表明齐次线性方程组0)(=-x E A λ （2）有非零解α=x ，方程组（2）是n 个方程n 个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于0，即0=-E A λ （3）设A =n n ij a ⨯)(，则（3）式成为λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=0(3)式是未知数为λ的一元n 次方程，称为方阵A 的特征方程，方程左边E A λ-是λ的n 次多项式，称为方阵A 的特征多项式.特征值λ是特征方程(3)的根，在复数范围内，n 次方程有n 个根（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.由以上讨论，得到求n 阶方阵A 的特征值和特征向量的方法如下：(i)解特征方程E A λ-=0，得到A 的n 个特征值n λλλ,,,21 (k 重根重复k 次). (ii)对每个特征值i λ，解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ，其非零解就是相应于i λ的A 的特征向量.例1．求下列矩阵的特征值和特征向量（1）A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--314020112，（2）B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300130213[解] （1）E A λ-=λλλ-----314020112 =λλλ-----3412)2(=)2)(2(2---λλλ=2)2)(1(-+-λλ=0，λ=－1，2（二重根）.矩阵A 的特征值为11-=λ，232==λλ.对于11-=λ，解方程组0))1((=--x E A ，即0)(=+x E A .E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000010101030010111414030111行行 )(E A R +=2，基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ，取131==x x ，得基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011p故对应于11-=λ的全部特征向量为)0(1≠k kp对232==λλ，解方程组0)2(=-x E A ，E A 2-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000114114000114行)2(E A R -=1，基础解系含3－1=2个向量，同解方程组为04321=++-x x x取0,121==x x 及1,021==x x ，得到基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1103p故相应于232==λλ的所有特征向量为3322p k p k +.（32,k k 不同时为0）（2）E B λ-=λλλ---30130213=0)3(2=-λ，3=λ（三重）.B 的特征值为3321===λλλ. 解方程组0)3(=-x E B .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0001000100001002103行E B 2)3(=-E B R ,基础解系含3－2=1个向量，同解方程组为⎩⎨⎧==0032x x 基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011p故B 的所有特征向量为)0(1≠k kp由本例可见，对于矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量；对于矩阵B 的三重特征值3321===λλλ，相应地却只有一个线性无关的特征向量，即B 的线性无关的特征向量个数少于特征值的重数.例2．求矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111的特征值. [解] E A λ-=λλ---1111=0222=+-λλ，i ±=1λ.)1(-=i矩阵A 的特征值为复数i +=11λ，i -=12λ.（相应的特征向量也是复向量）. 可见实矩阵的特征值不一定是实数.矩阵的特征值有以下性质：（1）A 可逆⇔A 的全部特征值都不等于零. （2）若A 有特征值λ及相应的特征向量α，则(i) kA 有特征值kλ及相应的特征向量α（k 为正整数）；(ii) E a A a A a A a A m m m m ++++=--1110)( ϕ有特征值m m m m a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( 及相应的特征向量α.（其中m a a a ,,,10 为数，E 为单位矩阵，可认为0A E =）(iii) 若A 可逆，则1-A 有特征值λλ11=-及相应的特征向量α.（3）设n 阶矩阵)(ij a A =的全部特征值为n λλλ,,,21 （k 重根重复k 次）则有n λλλ+++ 21=nn a a a +++ 2211n λλλ 21=A[证]（1）A 可逆0≠⇔A 即000⇔≠-E A 不是A 的特征值. （2）已知λαα=A ,故有(i)αλαλλααα22)()(====A A A A A αλαλαλαα32223)()(====A A A A A依此类推，可得αλαkkA =，故kA 有特征值kλ及相应的特征向量α.(ii) αϕ)(A =α)(1110E a A a A a A a m m m m ++++-- =ααααm m m m a A a A a A a ++++--1110=αλααλαλm m m m a a a a ++++--1110 =αλλλ)(1110m m m m a a a a ++++--=αλϕ)(，故)(A ϕ有特征值)(λϕ及相应的特征向量α.(iii)若A 可逆，由(1)，0≠λ，故α=αλA 1.于是)1(11αλαA A A --==αλA A 11-=αλ1.故1-A 有特征值11-=λλ及相应的特征向量α.（3）特征方程E A λ-=0所有根为n λλλ,,,21 ，根据多项式理论，特征多项式E A λ-可分解因子为)())((21n a λλλλλλ--- ，即λλλ---nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=)())((21n a λλλλλλ---比较等式两边nλ的系数，得na )1(-=，比较两边1-n λ的系数，可得nn a a a +++ 2211=n λλλ+++ 21令0=λ，可得A =n λλλ,,,21 .（证毕）.注：当A 可逆时，由性质2(iii)可知，性质2(i)中的k 为负整数时也成立，性质2(ii)中某些项含有A 的负整数幂时也成立.例3．设3阶矩阵A 的特征值为1,－1,2.求行列式E A A 23-+*.[解] A 的全部特征值为1,－1,2，由性质(3),022)1(1≠-=⨯-⨯=A ，故A 可逆.112||--*-==A A A A ,记)(A ϕ=E A A E A A 232231-+-=-+-*, )(λϕ= 12--λλ3+2-.于是)(A ϕ有特征值:)1(ϕ=－1，)1(-ϕ=－3，)2(ϕ=3.由性质(3)，得E A A 23-+*=)(A ϕ=3)3()1(⨯-⨯-=9.例4．设方阵A 满足2A =A ，求A 的特征值.[解] 2A =A ，2A －A =0.设A 的特征值为λ，则2A －A 有特征值λλ-2，因为2A －A =0，而零方阵的特征值为0，故有λλ-2=0，求得λ=0或1.例5．设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1322123b a 已知A 有一个特征向量为T )3,2,1(-=ξ，求参数b a ,及ξ所对应的特征值.[解] 设ξ所对应的特征值为λ，则有0)(=-ξλE A ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------3211322123λλλba =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 , 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=+++=---0332306240343λλλb a 解得6,2,4=-=-=b a λ.定理 设方阵A 有m 个互不相等的特征值m λλλ,,,21 ，则相应于这些特征值的特征向量m p p p ,,,21 必线性无关.[证] 根据已知条件有m m m p Ap p Ap p Ap λλλ===,,,222111 现设有数m x x x ,,,21 使得 02211=+++m m p x p x p x 依次用12,,,-m AA A 左乘上面等式两边,由于=i k p A )1,,1,,,1(-==m k m i p i k i λ，得 0222111=+++m m m p x p x p x λλλ0222221121=+++m m m p x p x p x λλλ……………………………………0122121111=+++---m m m m m m p x p x p x λλλ将上面m 个等式写成矩阵等式，得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212222112112211111],,,[m m m m m m m m p x p x p x λλλλλλλλλ =[0,0, 0等式左边第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式，因为m λλλ,,,21 互不相等，所以范德蒙行列式不等于零，该矩阵可逆，以其逆矩阵右乘等式两边，得],,,[2211m m p x p x p x =[0,0, 0即),,2,1(0m i p x i i ==，因为0≠i p ，故0=i x ),,2,1(m i = 所以m p p p ,,,21 线性无关. (证毕)若21,p p 是矩阵A 的相应于相同特征值0λ的特征向量,则21,p p 是齐次方程组x E A )(0λ-=0的解,故21p p +也是此方程组的解,因此,当21p p +≠0时, 21p p +也是A 的相应于特征值0λ的特征向量,但若21,p p 是矩阵A 的相应于不同特征值的特征向量,则21p p +就不再是A的特征向量.下面例6给出证明.例6．设A 有两个不相等的特征值21,λλ，相应的特征向量为21,p p ，试证21p p +不是A 的特征向量.[证] 已知111p Ap λ=，222p Ap λ=，21λλ≠.用反证法：设21p p +是A 的特征向量，相应的特征值为λ，则有)(21p p A +=)(21p p +λ又)(21p p A +=21Ap Ap +=2211p p λλ+，故得2211p p λλ+=)(21p p +λ，移项得0)()(2211=-+-p p λλλλ.根据定理，21,p p 线性无关，应有01=-λλ，02=-λλ，于是λλλ==21，与假设矛盾.故21p p +不是A 的特征向量.§3. 相似矩阵定义. 设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1（1） 则称A 与B 相似，记作A ～B ，(1)式称为由A 到B 的相似变换，P 称为相似变换矩阵.若A 相似于对角矩阵，则称A 可对角化. 性质：(1)相似概念具有性质①反身：A ～A ；②对称：若A ～B ，则B ～A ；③传递：若A ～B ，B ～C ，则A ～C .(2)若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式、特征值、秩及相等的行列式. (3)若B AP P =-1，则mmB P A P =-1.（m 为正整数） [证] (1) ①A AE E =-1；②若B AP P =-1，则A PBP=-1，即A BP P =---111)(.③若B AP P =-1，C BQ Q =-1，则C PQ A PQ =-)()(1.(2) 若B AP P =-1，则P E A P E AP P E B )(11λλλ-=-=---=P E A P λ--1=E A λ-故B 与A 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.又因为P 为可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知B 与A 有相同的秩.又A P A P AP P B ===--11（3）若B AP P =-1，则mB =m AP P )(1-=)())((111AP P AP P AP P ---=AP PP PP A PP A P )()()(1111---- =P A P EAP AEAE P m11--= . (证毕)定理. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 具有n 个线性无关的特征向量.并且当AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 时，对角阵的对角元素n λλλ,,,21 就是A 的全部特征值，P 的列向量组n p p p ,,,21 就是与特征值n λλλ,,,21 相应的A 的线性无关特征向量.[证] 存在可逆阵P ，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n P AP λλλλλλ000000000002121，),,,(21np p p P =可逆.⇔),,,(21n p p p A =),,,(21n p p p ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021，np p p ,,,21 线性无关⇔),,,(21n Ap Ap Ap =),,,(12111n p p p λλλ ，(n p p p ,,,21 线性无关) ⇔111p Ap λ=，222p Ap λ=，…，n n n p Ap λ=，(n p p p ,,,21 线性无关)⇔m λλλ,,,21 是A 的特征值，n p p p ,,,21 是与其相应的A 的n 个线性无关特征向量.（证毕）推论 若n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值，则A 相似于对角阵.[证] 由§2的定理，A 的与n 个互不相等的特征值相对应的n 个特征向量线性无关.故A 相似于对角阵.（证毕）定理给出了一般n 阶矩阵A 可对角化的判别条件.要使A 有n 个线性无关的特征向量，关键是对于有重根的特征值，能求出与其重数相同个数的线性无关特征向量.即若特征值0λ是特征方程的k 重根，就要使)(0E A R λ-=k n -，这时方程组0)(0=-x E A λ的基础解系就含有k k n n =--)(个向量，因而得到与0λ相应的k 个线性无关的特征向量.若k n E A R ->-)(0λ，则相应于0λ的线性无关特征向量将小于k 个，A 就不可对角化.例如，§2例1的两个3阶矩阵，矩阵A 的二重特征值232==λλ，相应地有两个线性无关的特征向量，对单根11-=λ，求出1个特征向量，因为相应于不同特征值的特征向量线性无关，因此,A 有3个线性无关特征向量，故A 可对角化.对于矩阵B ，它的三重特征值3321===λλλ，只求出1个线性无关特征向量，故B 不可对角化.若A 可对角化，定理还给出求对角阵及相似变换矩阵P 的方法.即 （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的主对角线上的元素. （2）求出A 的与n λλλ,,,21 相应的线性无关特征向量n p p p ,,,21 ，则P =[n p p p ,,,21 ]就是相似变换矩阵.并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 应当注意：特征值在对角阵中排列的顺序与相应的特征向量在P 中的位置要相对应，即对角阵中第i 行i 列的特征值i λ，相应的特征向量i p 应位于P 中的第i 列.例1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k （1）k 取何值时，A 可对角化？，k 取何值时，A 不可对角化？ （2）当A 可对角化时，求出相似变换矩阵P 和相应的对角矩阵. [解] 先求A 的特征值.E A λ-=λλλ-------3241223k k31c c +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------λλλλ12110221k =λλλ------32110221)1(k =)1(λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λλ10010221k =2)1)(1(λλ+-特征值为,11=λ132-==λλ.（1）相应于二重特征值1-=λ，要由方程组0)(=+x E A 求其相应的特征向量.因为E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00002242240224k k k k 行若0≠k ，则2)(=+E A R ，0)(=+x E A 的基础解系只含3－2=1个向量，因而A 不存在3个线性无关的特征向量，A 不可对角化.0=k 时，1)(=+E A R ，由0)(=+x E A 可求出两个线性无关的特征向量，因而A 有3个线性无关的特征向量，A 可对角化.（2）0=k 时，A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---324010223已求出A 的特征值为,11=λ132-==λλ.要求的对角矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 11=λ时，解方程组0)(=-x E A ：E A -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000010101020020222424020222行行 同解方程组为⎩⎨⎧==-00231x x x ， 基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011P132-==λλ时，解方程组0)(=+x E A ：E A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000000112224000224行同解方程组为02321=-+x x x ，取基础解系为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2012p ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103p相似变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121100011],,[321p p p P它使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001例2．设 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421 （1）求P ，使AP P 1-为对角矩阵.（2）求nA[解] （1）求A 的特征值及相应的线性无关特征向量.E A λ-=λλ--3421=)1)(5(542+-=--λλλλA 为二阶矩阵,有两个不同特征值1,521-==λλ，故A 可对角化.51=λ时，解方程组0)5(=-x E A ：E A 5-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00122424行 同解方程组为0221=-x x ，取基础解系为T p )2,1(1=.12-=λ时，解方程组0)(=+x E A ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+00114422行E A同解方程组为021=+x x ，取基础解系为T p )1,1(2-=.取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1211],[21p p P ，则有AP P 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005（2）由(1)得 P A P n1-=n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1005=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005，=nA 1)1(005-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-P P n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211P ，1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----121131121131故得 =nA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n )1(005⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅-+⋅-+-+++n n n n n n n n )1(52)1(252)1(5)1(253111§4. 实对称矩阵的对角化本节将证明实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵可取为正交矩阵. 定理1.实对称矩阵的特征值为实数. [证] 设A 为n 阶实对称矩阵，则A 的共轭矩阵A A =，A 的转置矩阵A A T =.设A 的复特征值为λ，相应的复特征向量为=α0),,(1≠T n a a .则有λαα=A对上面等式两边取共轭，并注意到A A =，得=A ，A α=λα，即A α=λα对上面最后等式两边取转置，注意到A A T=，得A (T )α=λ(T )α，T T A α=λT α, 即 λα=A TTα对上面最后等式两边右乘α，注意到λαα=A ，得ααλααT T A =，即ααλT =ααλT移项得0)(=-αλT因为0),,,(21≠=T n a a a α，故ααT=n n a a a a a a +++ 2211=022221≠+++n a a a于是0=-λλ，即λ=，故λ为实数.（证毕）定理2. 设21,λλ是实对称矩阵的两个特征值,21,p p 是相应的特征向量.若21λλ≠，则1p 与2p 正交.[证] 由题设有111p Ap λ=，222p Ap λ= 对第一等式两边转置，再右乘2p ，得21121)()(p p p Ap T T λ==211p p Tλ上式左端2121)(p A p p Ap T T T ==21Ap p T =221p p T λ=212p p Tλ于是得到211p p T λ=212p p T λ，移项得2121)(p p Tλλ-=0 因为021≠-λλ，故021=p p T，即内积[21,p p ]=0，故1p 与2p 正交.（证毕）定理3.设A 为实对称矩阵，如果0λ是特征方程0=-E A λ的k 重根，则相应于0λ的特征向量中恰有k 个是线性无关的.本定理不证.定理4. 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在n 阶正交矩阵P ，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 其中n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（是实数）.=P [n p p p ,,,21 ]的列向量n p p p ,,,21 是相应的规范正交特征向量（也是实的）.[证] 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21对于其中单重特征值,有1个特征向量,将其单位化.对于其中的k 重特征值,，由定理3,有k 个线性无关的特征向量，用斯密特方法将其规范正交化,就有k 个相互正交的单位特征向量，又由定理2，对应不同特征值的特征向量相互正交.因此，相应于特征值n λλλ,,,21 ，可以得到n 个规范正交的特征向量n p p p ,,,21 ，因为规范正交组是线性无关的，故A 有n 个线性无关的特征向量.由§3的定理,A 可对角化.令P =[n p p p ,,,21 ]则P 为正交矩阵，且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021. （证毕） 由定理4的证明可知，将实对称矩阵A 对角化的步骤如下： （1）求出A 的全部特征值n λλλ,,,21 ，得到对角阵的对角线元素.（2）对于单重特征值，求出相应的1个线性无关特征向量，将其单位化.对于k 重特征值，求其k 个线性无关特征向量，再按斯密特方法，将其规范正交化，得到k 个相互正交的单位特征向量，最后得到n 个规范正交特征向量n p p p ,,,21 .（3）令=P [n p p p ,,,21 ]，它是正交矩阵，并且有AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0000021 例1．设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.[解] A 为实对称矩阵，由定理4,所求的正交矩阵P 存在.E A λ-=λλλ-------54245222223r r +λλλλ------110452222=)1(λ-110452222----λλ=10492242)1(-----λλλ =)1(λ-λλ--9242=)10()1()1011)(1(22---=+--λλλλλA 的特征值为121==λλ，103=λ.对121==λλ，解方程组0)(=-x E A :=-E A 00000221442442221-−→−----行同解方程组为022321=-+x x x ，基础解系为T )0,1,2(1-=ξ， T )1,0,2(2=ξ按斯密特方法正交化，得T )0,1,2(11-==ξη T )5,4,2(5154],[],[121111222=+=-=ηξηηηηξξη.再单位化，得规范正交特征向量：T p )0,51,52(111-==ηη，Tp )455,454,452(222==ηη. 对103=λ，解方程组0)10(=-x E A ：=-E A 10⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------99018180452542228452542452228行行 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−→−000110102000110452行行 同解方程组为 ⎩⎨⎧=+=+0023231x x x x , 基础解系为T )2,2,1(3-=ξ，单位化得T p )32,32,31(3-=.令P =[321,,p p p ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32455032454513145252, 则P 为正交矩阵，使得 AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010001.例2．设三阶实对称矩阵A 的特征值为11-=λ，132==λλ，对应于1λ的将征向量为T )1,1,0(1=ξ，求A .[解] 设A 相应于特征值132==λλ的特征向量为T x x x x ),,(321=.因为A 是实对称矩阵，相应于不同特征值的特征向量互相正交，故x 与1ξ正交，有01=ξTx，即032=+x x 求得基础解系为T]0,0,1[2=ξ，T]1,1,0[3-=ξ，显见2ξ与3ξ已是互相正交，只要将其单位化，得 2p =2ξ=T )0,0,1(，Tp )21,21,0(333-==ξξ 再将1ξ单位化，得1p =T)21,21,0(11=ξξ.于是我们得到相应于特征值11-=λ，132==λλ的三个规范正交的特征向量1p ,2p ,3p .以它们为列向量，组成正交矩阵P .P =[1p ,2p ,3p ]=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010，使得AP P 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001，故有A =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000100011-P =P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001T P .（因为P 为正交阵，1-P =T P ） =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2102121021010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2121000121210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--010100001 例3．设B A ,为n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充分必要条件为A 与B 有相同的特征值.并举例说明若B A ,不都是实对称矩阵，则充分性不成立.[证] 必要性已在证明相似矩阵的性质时证过.现证充分性.设A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 ，因为B A ,为实对称矩阵，由定理4，存在正交矩阵Q P ,，使AP P 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021，=-BQ Q 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00000021 由此得AP P 1-=BQ Q 1-，B =11--APQ QP =)()(111---PQ A PQ , 故A 与B 相似.（证毕）若B A ,不都是实对称矩阵，例如A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0010,则B A ,有相同的特征值0,0,但A 与B 不相似.这是因为若相似则应有相同的秩，但0)(=A R ，1)(=B R ，)()(B R A R ≠，故A 与B 不相似..§5. 二次型及其标准形在解析几何中，为了研究二次曲线122=++cy bxy ax所属的类型，选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x , (*) 将在旧坐标),(y x 下的方程,化为新坐标),(y x ''下只含平方项的标准方程12221='+'y x λλ从代数上讲，这一问题就是对二次齐次多项式22cy bxy ax ++，选择适当的线性变换(*)，将其化为标准形2221y x '+'λλ的问题.本节将这一问题一般化，讨论将n 个变量的二次齐次多项式化为标准形问题，它在其它许多理论和实际问题中都有其重要应用。
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
目 录
第1章 行列式
1.1 复习笔记
1.2 课后习题详解
1.3 考研真题详解
第2章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
2.2 课后习题详解
2.3 考研真题详解
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 复习笔记
3.2 课后习题详解
3.3 考研真题详解
第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记
4.2 课后习题详解
4.3 考研真题详解
第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记
5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解
第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记
6.2 课后习题详解
6.3 考研真题详解
第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1二阶行列式
定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：
则表达式就是数表的二阶行列式，并记作
2三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
二、全排列和对换
1全排列。
目 录第1章 行列式1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 考研真题详解第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 考研真题详解第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 考研真题详解第4章 向量组的线性相关性4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 考研真题详解第5章 相似矩阵及二次型5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 考研真题详解第6章 线性空间与线性变换6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 考研真题详解第1章 行列式1.1 复习笔记一、二阶与三阶行列式1二阶行列式定义 将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表：则表达式就是数表的二阶行列式，并记作2三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表记该式称为数表所确定的三阶行列式．二、全排列和对换1全排列把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示．（1）逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．（2）分类逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．（3）逆序数的计算设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，则称p i这个元素的逆序数为t i．全体元素的逆序数的总和即是这个排列的逆序数．2对换（1）定义对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．（2）性质①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．三、n阶行列式1定义称为n阶行列式，简记作，其中数a ij为行列式D的第（i，j）元素．2两类典型的n阶行列式（1）下三角形行列式（2）对角行列式3行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）对换行列式的两行（列），行列式变号．（3）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．（5）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．四、行列式按行（列）展开1余子式与代数余子式在n阶行列式中，把（i，j）元a ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n －1阶行列式称为（i，j）元a ij的余子式，记作M ij，记A ij称为（i，j）元a ij的代数余子式．2定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或 3范德蒙德行列式4代数余子式的推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即或5代数余子式的重要性质或．1.2 课后习题详解1利用对角线法则计算下列三阶行列式：2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）13…（2n－1）24…（2n）；（6）13…（2n－1）（2n）（2n－2）…2．解：（1）此排列为标准排列，其逆序数为0；（2）此排列的首位元素4的逆序数为0，第2位元素1的逆序数为1，第3位元素3的逆序数为1，末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0＋1＋1＋2＝4；（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0，第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0＋0＋2＋3＝5；（4）此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，因此它的逆序数为0＋0＋2＋1＝3；（5）此排列中前n位元素的逆序数均为0．第n＋1位元素2与它前面的n －1个数构成逆序对，所以它的逆序数为n－1；同理可知，第n＋2位元素4的逆序数为n－2……末位元素2n的逆序数为0．因此该排列的逆序数为（6）此排列的前n＋1位元素的逆序数均为0；第n＋2位元素（2n－2）的逆序数为2；第n＋3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－1，2n，2n－2构成逆序对，所以它的逆序为4,……,末位元素2的逆序数为2（n－1），因此该排列的逆序数为3写出四阶行列式中含有因子的项．解：根据行列式定义可知，此项必定还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即a32和a44或a34和a42．又因排列1324与1342的逆序数分别为1与2，所以此行列式中含有的项为与4计算下列各行列式：解：（1）（2）；（3）（4）（5）（6）5求解下列方程：其中a，b，c互不相等．因此方程的解为．（2）根据题意，方程左式为4阶范德蒙德行列式，则有因a，b，c互不相等，因此方程的解为6证明：（2）将左式按第1列拆开可以得到因此有其中于是因此，（5）方法一 按第1列展开得方法二 按最后一行展开得7设n阶行列式，把D上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得证明证：（1）通过对换行将D1变换成D，从而可找出D1与D的关系：D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换……直至最后一行是D 的第n－1行，再通过一次交换将它换到第n－1行，这样就把D1变换成D，共进行次交换，故．（2）计算D2：观察可知，D2的第1，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－1，…，1列，因此若把D2上下翻转得，则的第1，2，…，n行依次是D的第1，2，…，n列，即．于是由（1）有（3）计算D3：观察可知，若把D3逆时针旋转90°得，则的第1，2，…n列恰好是D的第n，n－1，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）、（2）有8计算下列各行列式（D k为k阶行列式）：，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；；；提示：利用范德蒙德行列式的结果．，其中未写出的元素都是0；；，其中a ij＝|i－j|；，其中解：（1）方法一 化D n为上三角形行列式上式中最后那个行列式为上三角形行列式；方法二 把D n按第二行展开，由于D n的第二行除对角线元素外全为零，因此有，即于是有 （2）利用各列的元素之和相同，把从第二行起的各行全部加到第一行，再提取公因式．（3）把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，因此行列式经上下翻转再左右翻转，即相当于转180°，其值不变．于是按范德蒙德行列式的结果可得（4）可用递推法即有递推公式另外，归纳基础为，利用这些结果可递推得（5）把第一行除外的所有行都加到第一行，并提取第一行的公因子，得（6）（7）可将原行列式化为上三角形行列式，需从第2行起，各行均减去第1行，得行列式其中.于是9设，D的（i，j）元的代数余子式记作A ij，求.解：求，则等于用1，3，－2，2替换D的第3行对应元素所得行列式，即1.3 考研真题详解一、选择题行列式等于（ ）．[数一、数二、数三 2014研]A． B．C． D．【答案】B【解析】二、填空题1阶行列式 [数一 2015研]【答案】【解析】将阶行列式按第一行展开2设是三阶非零矩阵，为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式,若，则｜A｜＝______．[数一、数二、数三 2013研]【答案】－1【解析】由可知，故3设A，B为3阶矩阵，且．[数二、数三2010研]【答案】3【解析】因为所以第2章 矩阵及其运算2.1 复习笔记一、线性方程组和矩阵1线性方程组（1）n元非齐次线性方程组设有n个未知数m个方程组的线性方程组当常数项不全为零时，该方程组称为n元非齐次线性方程组．（2）n元齐次线性方程组含有n个未知数m个方程组的线性方程组称为n元齐次线性方程组．2矩阵（1）定义由m×n个数a ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为（2）分类①实矩阵 矩阵元素都为实数的矩阵．②复矩阵 矩阵元素为复数的矩阵．③行矩阵/列矩阵 又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．④n阶方阵 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．⑤零矩阵 元素都是零的矩阵．⑥对角矩阵 对角线以外的元素都是0的方阵．⑦单位矩阵 对角线上元素都为1的对角矩阵．二、矩阵的运算1矩阵的加法（1）定义设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．（2）运算规律设A，B，C都是m×n矩阵，则①A＋B＝B＋A；②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．2数与矩阵相乘（1）定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为（2）运算规律设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则①（λμ）A＝λ（μA）；②（λ＋μ）A＝λA＋μA；③λ（A＋B）＝λA＋λB．3矩阵与矩阵相乘（1）定义设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中并把此乘积记为C＝AB．（2）运算规律①（AB）C＝A（BC）；②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；④EA＝AE＝A；⑤．（3）注意①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．三、矩阵的转置1定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．2转置运算（1）（A T）T＝A；（2）（A＋B）T＝A T＋B T；（3）（λA）T＝λA T；（4）（AB）T＝B T A T．3对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．四、方阵的行列式1定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作detA或|A|．2由A确定|A|的运算规律假设A、B为n阶方阵，λ为数：（1）|A T|＝|A|；（2）|λA|＝λn|A|；（3）|AB|＝|A||B|．3伴随矩阵行列式|A|的各个元素的代数余子式A ij所构成的如下的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，五、逆矩阵1定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．2性质（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．3逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则A－1也可逆，且；（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A－1．六、克拉默法则含有n个未知数x1，x2，…，x n的n个线性方程的方程组 （2-1-1）它的解可以用n阶行列式表示，即有克拉默法则：如果线性方程组（2-1-1）的系数矩阵A的行列式不等于零，即则方程组（2-1-1）有唯一解其中A j（j＝1，2，…，n）是把系数矩阵A中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即七、矩阵分块法1定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．2矩阵分块法（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中A ij与B ij的行数相同、列数相同，则（2）设，λ为数，则．（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成其中A i1，A i2，…，A it的列数分别等于B1j，B2j，…，B tj的行数，则其中（4）设，则（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中A i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质由此性质可知，若，则，并有2.2 课后习题详解1计算下列乘积：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2设，求3AB－2A及A T B．解：则有因A T＝A，即A为对称阵，所以3已知两个线性变换求从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换．解：依次将两个线性变换写成矩阵形式其中分别为对应的系数矩阵；在这些记号下，从z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换的矩阵形式为，此处矩阵即有4假设，问：（1）AB＝BA吗?（2）（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2吗?（3）（A＋B）（A－B）＝A2－B2吗?5举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若A2＝A，则或A＝E；（3）若AX＝AY，且A≠0，则X＝Y．6（1）设，求A2，A3，…，A k；（2）设，求A4．解：（1）根据矩阵乘法直接计算得一般可得 （2-2-1）则当k＝1时，式（2-2-1）成立．假设当k＝n时，式（2-2-1）成立，则当k＝n＋1时根据数学归纳法可知式（2-2-1）成立；7（1）设，求A50和A51；（2）设，A＝ab T，求A100．解：（1），则可得（2）由于b T a＝－8，所以根据上式可知8（1）设A，B为n阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵；（2）设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB＝BA．证：（1）由矩阵乘积的转置规则有所以由定义知B T AB为对称阵；（2）因为A T＝A，B T＝B，所以9求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）根据二阶方阵的求逆公式可得（2）（3）因为，所以A可逆，并且于是（4）因为a1a2…a n≠0，所以a i≠0，i＝1，2，…，n．则矩阵是有意义的，并且因为所以A可逆，而且.10已知线性变换求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换．解：记则线性变换的矩阵形式为x＝Ay，其中A是它的系数矩阵．因为所以A是可逆矩阵，则从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换的矩阵形式可写成又由于 于是即11设J是元素全为1的n（≥2）阶方阵．证明E－J是可逆矩阵，且这里E是与J同阶的单位矩阵．证：因为于是所以，是可逆矩阵，并且12设（k为正整数），证明可逆，并且其逆矩阵证：因为所以可逆，并且其逆矩阵．13设方阵A满足A2－A－2E＝O （2-2-2）证明A及A＋2E都可逆，并求解：（1）可先证A可逆．由式（2-2-2）得即 所以A是可逆的，且；（2）再证A＋2E可逆．由，即同理，可知可逆，且.14解下列矩阵方程：（1）；（2）；（3）；（4）AXB＝C，其中.解：（1）因为矩阵的行列式等于1，不为零，所以它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边，得（2）记矩阵方程为，因所以A可逆，用右乘方程的两边可得又由于所以（3）记，则矩阵方程可写为因为，所以A，B均可逆．依次用和左乘和右乘方程两边得（4）因为，所以A，B均是可逆矩阵，且分别用和左乘和右乘方程两边得15分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解：（1）①可用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则，方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法：因为｜A｜≠0，所以A可逆，于是则有（2）①用克拉默法则：因为系数矩阵的行列式，由克拉默法则方程组有唯一解，并且②用逆矩阵方法因为｜A｜＝2≠0，所以A可逆，于是，易求得代入可得16设A为三阶矩阵，，求．解：因为，所以A可逆．于是由及，得对公式两端取行列式得17设，AB＝A＋2B，求B．解：由因，它的行列式det（A－2E）＝2≠0，所以它是可逆矩阵．用左乘上式两边得18设．且AB＋E＝A2＋B，求B．解：由方程，合并含有未知矩阵B的项，得又因为，其行列式，所以A－E可逆，用左乘上式两边，即可得到解：由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A*，可用公式求解：用A左乘所给方程两边，得又由于，所以A是可逆矩阵，用右乘上式两边，可以得到观察可得是可逆矩阵，并且于是 20已知A的伴随阵A*＝diag（1，1，1，8），且，求B．解：（1）先化简所给矩阵方程假设能求得A并且为可逆矩阵，则可解得 （2-2-3）（2）再计算A根据题意可知A是可逆矩阵，由，两边取行列式得即，所以，于是因为，所以是可逆矩阵，并且将上述结果代入式（2-2-3）可得21设，其中，求A11．解：由于，则．所以22设AP＝PΛ，其中求φ（A）＝A8（5E－6A＋A2）．解：由于，所以P是可逆矩阵．根据AP＝PΛ可得，并且记多项式，则有由于是三阶对角阵，所以于是 23设矩阵A可逆，证明其伴随阵A*也可逆，且．证：因为，根据定理2的推论可以知A*可逆，且另因．用A左乘此式两边得通过比较上面两式可知结论成立．24设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：（1）若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；（2）．证：（1）因为 （2-2-4）当时，上式成为可用反证法求证。
【教学章节】§1 向量的内积、长度及正交性【教学内容】向量的内积、长度和夹角;正交向量组和规范正交向量组;正交矩阵与正交变换. 【教学学时】2学时【教学目的】1.向量的内积、长度、夹角及正交概念;2.掌握规范正交向量组的定义及求法;3.理解正交矩阵的定义、性质及判别法,了解正交变换的概念和性质.【教学重点、难点】施密特正交化过程 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】 一、向量的内积 1、向量内积的定义定义1 设12(,,,)T n x x x x = ,12(,,,)T n y x x x = ,则定义x 与y 的内积(或称点积、数量积)为1122[,]Tn nx y x y x y x y x y =+++= 2、向量内积的性质 Ⅰ [,][,]x y y x =Ⅱ [,][,][,]k x y kx y x ky == Ⅲ [][][],,,x y z x z y z +=+Ⅳ [,]0x x ≥且[,]00x x x =⇔=Ⅴ 2[,][,][,]x y x x y y ≤(施瓦茨不等式)二、向量的长度 1、向量长度的定义定义2 设12(,,,)T n x x x x = ,则定义向量x 的长度(或称为范数)为x ==注1 长度等于1的向量称为单位向量;注2 对任一非零向量x 乘以1x 都可化为单位向量,这一过程称为向量的单位化.2、向量长度的性质Ⅰ 非负性:0,0;0,0;x x x x ≠>==当时当时 Ⅱ 齐次性:;x x λλ=Ⅲ 三角不等式:.x y x y +≤+三、向量的夹角定义3 设x ,y 是两个n 维非零向量,则定义x 与y 之间的夹角θ的余弦为[,]c o s x y x y θ=⋅,即[,]arccos x y x y θ=⋅ 例1 ()()1,2,2,33,1,5,1αβ==求向量与的夹角.解 cosαβθαβ⋅===4πθ∴=四、正交向量组1、正交向量及正交向量组的概念定义4 当[,]0x y =时称向量x 与向量y 正交;如果向量组12,,,n x x x 中的向量两两正交,则称之为正交向量组.注 两个n 非零向量x 与y 正交的充要条件是它们的夹角为90 . 2、正交向量组的性质定理1 任意一组正交向量组必线性无关.证明 设n 维向量组12,,,r ααα 为正交向量组,如果存在12,,,r λλλ 使11220r λαλαλα+++=1,Ta 以左乘上式两端得1110T λαα=.2111100,T αααα≠⇒=≠由10λ=从而有.同理可得 20r λλ=== ,12,,,r ααα 故线性无关.例2 已知三维向量3R 空间中两个向量12111,211αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交,试求一个非零向量3α,使123,,ααα两两正交.解 ()312312,,0,,Tx x x ααα=≠设且分别与正交,则由1323[,][,]0αααα==得1312323123[,]0[,]20x x x x x x αααα=++=⎧⎨=-+=⎩ 解方程得132,0x x x =-=.若令31x =,则有1323101x x x α-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 五、规范正交向量组1、规范正交向量组的定义定义5 如果向量组12,,,r e e e 满足以下条件: (1) 12,,,r e e e 两两正交; (2) 1(1,2,,)i e in ==则称12,,,re e e 是一个规范正交向量组.例如12340000,,,0000e e e e ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝⎝是4R 中的一个规范正交向量组. 注1 ()11,0,0T e = ,()20,1,0T e = ,…,()0,0,1Tn e = 为n 维向量空间n R 的一个规范正交向量组;注2设12,,,n e e e 为n 维线性空间n R 的一组规范正交向量组,x ,y 是n R 中的两个向量且1122n n x e e e λλλ=+++ ,1122n n y e e e μμμ=+++ , 则1122[,]n n x y λμλμλμ=+++ .2、规范正交向量组的求法——施密特正交化过程设12,,,r ααα 是一个线性无关的向量组,通过以下方法可将之化为规范正交向量组: (1) 先将12,,,r ααα 正交化得正交向量组12,,,r b b b :取11b a =2122121[,]b b a b b α=- 313233122212[,][,]a b a b b a b b b b =--……………………………………121121222121[,][,][,]r m r r r r r r a b a b a b b a b b b b b b ---=----(2) 将正交向量组12,,,r b b b 规范化得规范正交向量组12,,,r e e e :取 1111e b b =,2221e b b =,….,1r r re b b =例3设1231142,3,1110a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 先进行正交化,取 11b a =;2122121111[,]4532163111b b a b b α--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 3132331222124111[,][,]1512120330111a b a b b a b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭再进行单位化得1111121e bb ⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭,2221111e bb -⎛⎫⎪==⎪⎪⎭,3331101e b b ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭123,,e e e 即合所求.例4 12312311,,,,.1a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭已知求一组非零向量使两两正交 解 23,a a 应满足方程10Ta x =,即1230x x x ++=,它的基础解系为12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭把基础解系正交化,即合所求,即取21101a ξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,1232121011[,]1110222111a ξξξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 六、正交矩阵与正交变换1、正交矩阵的定义定义6 如果n 阶矩阵A 满足T AA E =,则称A 是正交矩阵,简称正交阵. 2、正交矩阵的性质Ⅰ 设A 是正交矩阵,则1T A A -=;Ⅱ 设A 是正交矩阵,则T T AA A A E ==;Ⅲ 设A 是正交矩阵,则1()T A A -或也是正交矩阵; Ⅳ 两个正交矩阵之积仍是正交矩阵; Ⅴ 设A 是正交矩阵,则11-==A A 或.例5设x 为n 维列向量，1T x x =，令2T H E xx =-，证明H 是对称的正交阵． 证明 (2)2()2()2T T T T T T T T T T H E xx E xx E x x E xx H =-=-=-=-= ∴H 是对称矩阵(2)(2)4(2)(2)44()44T T T T T T T T T T T H H E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E=--=-+=-+=-+=∴H 是的正交矩阵 ∴H 是对称的正交阵．3、正交矩阵的判别方法定理2 n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的n 个行向量(或列向量)构成n R 的一个规范正交向量组.证明 A 是正交矩阵⇔T AA E =111211121121222122221212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⇔ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1212,,,T T Tn n E αααααα⎛⎫ ⎪⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭121111222212TT T n T T T n T T T n nn n E αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭ ()1,;,1,2,,0,T j i ij i j i j n i jαδα=⎧⇔===⎨≠⎩ 当当A ⇔的n 个行向量构成n R 的一个规范正交向量组.同理可证,n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是A 的n 个列向量构成n R 的一个规范正交向量组.例6 判别下列矩阵是否为正交阵．()112131*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()1849998142999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭1111222211112222(3)0000⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎝解 (1) 考察矩阵的第1列和第2列,由于1111110,2232⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯+⨯≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故该矩阵不是正交阵;(2) 由于184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭184999814999447999T------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以该矩阵是正交矩阵． (3) ,,.该矩阵的每个列向量都是单位向量且两两正交所以是正交矩阵 4、正交变换定义6 若P 为正交阵,则线性变换y Px =称为正交变换．性质 正交变换保持向量的长度不变．证明 ,y Px =设为正交变换.y x ====则有【本节小结】 1、向量的内积 2、向量的长度 3、向量的夹角4、施密特正交化过程 【课外练习】 P137-1(1), P138-3【教学章节】§2 方阵的特征值和特征向量【教学内容】特征值和特征向量的概念,求法和性质 【教学学时】2学时【教学目的】1.理解特征值与特征向量的概念2.掌握特征值和特征向量的求法;3.了解特征值与特征向量的性质【教学重点、难点】特征根和特征向量的求法 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】一、特征值与特征向量的概念定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个数λ和一个n 维非零列向量x 使得 x Ax λ=则称λ为A 的特征值,而称非零列向量x 为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量. 注1 x Ax λ=等价于()0A E x λ-= 该齐次线性方程组有非零解的充要条件是0A E λ-=,即1112121222120n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称之为方阵A 的特征方程;方程左端是λ的n 次多项式,记为()f λ,称之为方阵A 的特征多项式.注2 任一个n 阶矩阵A 必有n 个复的特征值(重根按重数计算).注3 若y x ,是A 对应于特征值λ的特征向量,则x 与y 的非零线性组合y k x k 21+也是A 对应于特征值λ的的特征向量(21,k k 是不全为零的常数). 注4 对应于不同的特征值的特征向量不相等. 二、特征根和特征向量的求法 第一步 解特征方程1112121222120n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==- 求出特征值s λλλ,,,21第二步 对每一特征值i λ,解齐次线性方程()0i A E x λ-=,求出其基础解系r ααα,,,21 ,则矩阵A 对应于特征根i λ的所有特征向量可表示为r r k k k ααα+++ 2211.例1 3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭求的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式为122,4A λλ==所以的特征值为11232102,1320x x λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时对应的特征向量应满足,121200x x x x -=⎧⎨-+=⎩即 解方程组得12x x =,11.1p ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以对应的特征向量可取为1122234101104,,,1340110x x x x λ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时由即 1221,.1x x p -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解得所以对应的特征向量可取为例2 110430.102A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭求矩阵的特征值和特征向量 解 2110430(2)(1)102A A E λλλλλλ---=--=---的特征多项式为 1232, 1.A λλλ===所以的特征值为 12,(2)0.A E x λ=-=当时解方程由于3101002410~010100000A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1001p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是方程的基础解系为,11(0)2kp k λ≠=所以是对应于的全部特征向量. 231,()0A E x λλ==-=当时解方程,由于 210101420~012101000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2121 p -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭于是方程的基础解系为,232(0)1kp k λλ≠==所以是对应于的全部特征向量. 例3 设211020,413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 的特征值与特征向量.解 A 的特征多项式为()2211020(1)2,413A E λλλλλ---=-=-+---所以A 的特征值为3121,2λλλ=-==.()11,0A E x λ=-+=当时解方程,由于 111101030~010414000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是方程的基础解系为1101p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11λ=-故对应于的全体特征向量为1(0) k k p ≠. ()232,20A E x λλ==-=当时解方程.由于 4114112000~000411000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是方程的基础解系为23011,014p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 232λλ==所以对应于的全部特征向量为 223233(,0)p k p k k k +不同时为.三、特征值与特征向量的性质定理1 ()12,,,,ij n n A a λλλ= 设阶方阵的特征值为则有121122(1);n nn a a a λλλ+++=+++12(2).n A λλλ=定理2 1212,,,,,,,.m m A m p p p λλλ 设是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量1212,,,,,,,.m m p p p λλλ 如果各不相等则线性无关证明 12,,,m x x x 设有常数使11220.m m x p x p x p +++= 则()11220m m A x p x p x p +++=1212,,,,,,,.m m A m p p p λλλ 是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量 (1,2,,)i i i Ap p i m λ∴==1112220m m m x p x p x p λλλ∴+++=类推之,有1112220k k km m m x p x p x p λλλ+++= ()1,2,,1k m =-把上列各式合写成矩阵形式,得()()1111221122111,,,0,0,,01m m m m m m m x p x p x p λλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.i 该矩阵可逆于是有 ()()1122,,,0,0,,0,m m x p x p x p = ()()1201,2,,.0,01,2,,.,,,j j j j m x p j m p x j m p p p ==≠== 即但故所以向量组线性无关. 定理3 矩阵A 和它的转置矩阵T A 具有相同的特征值.证明 由于()TT T A E A E A E A E λλλλ-=-=-=-,故矩阵A 和它的转置矩阵T A 具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.定理4 设λ是方阵A 的特征值,则k λ是k A 的特征值. 证明 λ是方阵A 的特征值∴ 存在0x ≠使Ax x λ=()()()()22A x A Ax A x Ax x x λλλλλ∴=====()()()()322223A x A A x A x A x x xλλλλλ===== …………………………k k A x x λ=∴k λ是k A 的特征值.定理5 设λ是可逆矩阵A 的特征值,则1λ-是1A -的特征值.证明 λ是方阵A 的特征值∴ 存在0x ≠使Ax x λ= A 可逆∴ 1x A x λ-= 0x ≠ ∴ 0λ≠∴ 111A x x x λλ--==∴1λ-是1A -的特征值.推论 设λ是方阵A 的特征值,()1011n n n n a a a a φλλλλ--=++++ ,则()φλ是()A φ的特征值. 证明 λ是方阵A 的特征值∴ k λ是k A 的特征值.∴ k k A x x λ=∴ ()1011()n n n n A x a E a A a A a A x φ--=++++101110111011()()n n n n n n n n n nn n a x a Ax a A x a A x a x a x a x a x a a a a xxλλλλλλφλ------=++++=++++=++++=∴ ()φλ是()A φ的特征值.例4 设三阶矩阵A 的特征值为1,1,2-,求*32A A E +-. 解 1(1)220A =⨯-⨯=-≠∴ A 可逆∴ *112A A A A --==-∴ *132232A A E A A E -+-=-+-记1()232A A A E φ-=-+-,则1()232φλλλ-=-+- ∴ ()A φ的特征值为(1)1,(1)3,(2)3φφφ=--=-=∴ *132232()(1)(1)(2)9A A E A A E A φφφφ-+-=-+-==⋅-⋅=例 5 设12,λλ是A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为12,p p ,证明12p p +不是A 的特征向量.证明 设12p p +是A 的的特征向量.则存在λ,使1212()()A p p p p λ+=+.又由已知有 11122,A p p A p pλλ== ∴ 1211221()()A p p p p p p λλλ+=+=+ ∴ 1122()()0p p λλλλ-+-= 12,λλ是A 的两个不同的特征值 ∴ 由定理2知, 12,p p 线性无关∴ 12λλλ==,与题设矛盾∴ 12p p +不是A 的的特征向量.例6 设3阶对称矩阵A 的特征值为1231,1,0λλλ==-=；对应于12,λλ的特征向量依次为12122,122p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A ． 解 设123245356x x x A x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11222,2Ap p Ap p ==-，即 123245356221222222x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ....................... ①123245356222221222x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩ ...................... ②又由特征根的性质有1461230x x x λλλ++=++=................ ③ 解由①②③组成的方程组得1626364656111211121,,,,322343234x x x x x x x x x x =--==-=-=+ 令60x =得，123451212,0,,,3333x x x x x =-====，所以10210123220A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．【本节小结】1、特征值与特征向量的概念2、特征根和特征向量的求法3、特征值与特征向量的性质【课外练习】P138-5(2), 8,11【教学章节】§3 相似矩阵 §4 对称矩阵的对角化【教学内容】相似矩阵与相似变换的概念和性质; 矩阵的对角化 【教学学时】2学时【教学目的】1.理解相似矩阵与相似变换的概念2.了解相似矩阵与相似变换的性质3.会利用相似变换将方阵对角化4.会利用对角矩阵计算矩阵多项式及矩阵的幂【教学重点、难点】利用相似变换将方阵对角化 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】§3 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 ,,,A B n P 设都是阶矩阵若有可逆矩阵使 11,,.,.AP B P B A A B A AP A P P A B --= 则称是的相似矩阵或说矩阵与相似对进行运算称为对进行相似变换可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵二、相似矩阵的性质1、矩阵的相似关系是一种等价关系,它满足①自反性:A A 与本身相似;②对称性:,A B B A 若与相似则与相似;③传递性:,,.A B B C A C 若与相似与相似则与相似 2、(),.m m A B A B m 若与相似则与相似为正整数 证明 A B 与相似1,P P AP B -⇒∃=可逆阵使得11111111111()()()()m mm P APm Am B P AP P APP AP P AP P A PP A PP PP AP P AA AP P A P-----------⇒=====个个 ⇒.m m A B 与相似3、,,.n A B A B A B 若阶矩阵与相似则与的特征多项式相同从而与的特征值亦相同 证明 A B 与相似1,P P AP B -⇒∃=可逆阵使得()()1111.B E P AP P E PP A E P PA E PA E λλλλλ----⇒-=-=-=-=-⇒A B 与的特征值相同.推论 若n 阶方阵A 与对角阵12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似,12,,,n A n λλλ 则即是的个特征值. 证明 12,,,n n λλλΛ 即是的个特征值,而A 与Λ相似123,,,,n A n λλλ∴ 由定理知是的个特征值. 三、利用相似变换将方阵对角化1,,,n A P P AP A -=Λ对阶方阵若可找到可逆矩阵使为对角阵这就称为把方阵对角化. 定理1 ()n A A A n 阶矩阵与对角矩阵相似即能对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量. 证明 1,,P P AP -=Λ设存在可逆阵使为对角阵()12,,,n P P p p p = 将用其列向量表示为,1,,AP AP P P -=Λ=Λ由得即()()121212,,,,,,n n n A p p p p p p λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ()1122,,,.n n p p p λλλ= ()()1212,,,,,,n n A p p p Ap Ap Ap ∴= ()1122,,,n n p p p λλλ=()1,2,,.i i iAp p i n λ∴==12,,,n p p p ∴ 分别是A 对应于特征值12,,,n λλλ 的特征向量P 可逆,故0P ≠∴ 12,,,n p p p 线性无关,即A 有n 个线性无关的特征向量.反之,设12,,,n p p p 分别是A 对应于特征值12,,,n λλλ 的特征向量且线性无关,取()12,,,n P p p p = ,则0P ≠,从而P 可逆.由于()()()12121122,,,,,,,,,n n n n AP A p p p Ap Ap Ap p p p Pλλλ====Λ故1P AP -=Λ,从而n A 阶矩阵与对角矩阵相似.推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等,则A 与对角阵相似.注 如果A 的特征方程有重根,此时不一定有n 个线性无关的特征向量,从而矩阵A 不一定能对角化,但如果能找到n 个线性无关的特征向量,A 还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？122(1)224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 212(2)533102A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭解 (1)由于A E λ-122224242λλ--=-----()()227λλ=--+0=,故A 的特征值为1232,7λλλ===-.对于特征值122λλ==,解方程()20A E x -=.由于1221222244~000244000A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为12200,1.11αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于特征值37λ=-,解方程()70A E x +=.由于11082227254~011245000A E ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭所以方程的基础解系为3122α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 由于2010120,112≠-123,,ααα所以线性无关,.A 因而可对角化(2) 由于21253312A E λλλλ----=----()31λ=--,123 1.A λλλ===所以的特征值为 对于特征值1λ=,解方程()0A E x +=.由于312101523~011101000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.故A 不能化为对角矩阵. 例2 矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭能否对角化？若能对角化,求出可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.解 由于46350361A E λλλ--=------()()212λλ=--+ 1231,2A λλλ===-所以的全部特征值为对于特征值121λλ==,解方程()0A E x -=.由于360120360~000360000A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为121,0ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2001ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对于特征值32λ=-,解方程()20A E x +=.由于 6601012330~011363000A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以方程的基础解系为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 123,,ξξξ由于线性无关所以A 可对角化.()123201,,101011P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭令1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭则有. 例3 设00111100A x ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,问x 为何值时,矩阵A 可以对角化？ 解 由于20111(1)(1)100A E x λλλλλ--=-=--+,所以矩阵的特征值为1231,1λλλ=-==. 对于特征值11λ=-,可求得线性无关的向量恰有一个,故矩阵A 可对角化的充要条件是对应于重根231λλ==,有两个线性无关的特征向量,即方程()0A E x -=有两个线性无关的解,亦即()1R A E -=.由于10110110~001101000A E x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,要使()1R A E -=,必须使10x +=,即1x =-.因此,当1x =-时, 矩阵A 可以对角化.四、利用对角矩阵计算矩阵的幂及矩阵多项式定理2设2012()n n A a E a A a A a A ϕ=++++ ,若存在可逆矩阵P 使1AP B P -=为对角矩阵,则1k k P A B P -=,1()()A P B P -=.证明 由于1AP B P -=,故1A PB P -=,于是1111111111()()()kk PBP k Bk PBP PBP PBP A PB P P B P P P P BP P BB B P PB P ----------====个个201211211012210121()()()nn n n n n A a E a A a A a A a PEP a PBP a PB P a PB P P a E a B a B a B P P B P ϕϕ------=++++=++++=++++=推论 设2012()n n A a E a A a A a A ϕ=++++ ,若存在可逆矩阵P 使1AP P -=Λ为对角矩阵,则1211kkk k k n P P A P P λλλ--⎛⎫ ⎪⎪==Λ ⎪ ⎪⎝⎭ ,1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ . 证明 由于12,k kk k n λλλ⎛⎫ ⎪⎪=Λ ⎪ ⎪⎝⎭ 12()()()()n ϕλϕλϕϕλ⎛⎫ ⎪ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ,由定理2结论可得. 注 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的幂及多项式 .定理3 (),()f A f A O λ=设是矩阵的特征多项式则证明A 只证明与对角矩阵相似的情形,,A P 若与对角矩阵相似则有可逆矩阵使11(,,),n AP diag P λλ-=Λ= 其中i λ为A 的特征值,()0i f λ=,1,A P P -=Λ由有1()()f A Pf P -=Λ11()()n f P Pf λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1PO O P -== 例4 设142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,求100A . 解 142034(1)(5)(5)043A E λλλλλλλ--=--=---+- ∴矩阵A 的特征值为1231,5,5λλλ===-．对特征值11λ=,解方程()0A E x -=得特征向量()11,0,0Tp =;对特征值25λ=,解方程(5)0A E x -=得特征向量()22,1,2p =; 对特征值35λ=-,解方程(5)0A E x +=得特征向量()31,2,1Tp =-.取123121(,,)012021P p p p ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,则P 为可逆矩阵且1100050005P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭1100050005A P P -⎛⎫⎪∴= ⎪⎪-⎝⎭10011001100100100121100121050012050012005021005021A P P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪∴==-- ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100100100121100505105110120500120505021005021005⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例5 设3223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求109()5A A A ϕ=-; 解 32(1)(5)23A E λλλλλ--==---- .∴ 矩阵A 的特征值为121,5λλ==对特征值11λ=,解方程()0A E x -=得特征向量)11,1Tp =;对特征值25λ=,解方程(5)0A E x -=得特征向量)21,1Tp =-.取1211(,)11P p p -⎫==⎪⎭,则1(1,5)P AP diag -==Λ,从而1A P P -=Λ1()()A P P ϕϕλ-∴=10915P P -⎡⎤=Λ-Λ⎣⎦1091(1,5)5(1,5)P diag diagP -⎡⎤=-⎣⎦1(4,0)Pdiag P -=-114011110011--⎫⎛⎫=⎪⎪-⎭⎝⎭221122211--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．§4 对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.证明 ,,A x λ设复数为实对称矩阵的特征值复向量为对应的特征向量,0.Ax x x λ=≠即λλ用表示的共轭复数x x 表示的共轭复数,由于A 为实对称矩阵,故,T A A A A ==,于是有()()A x A x Ax x x λλ====,从而()()T T T T x Ax x Ax x x x x λλ===,(1) ()()()T T T T T T x Ax x A x Ax x x x x x λλ==== (2)(1)-(2)式得()0.T x x λλ-=由于0x ≠,故2110n nTi i i i i x x x x x ====≠∑∑,故0λλ-=,即λλ=,说明λ是实数.注 定理1的意义是:由于对称矩阵A 的特征值i λ为实数,所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=是实系数方程组,由0i A E λ-=知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量. 定理2 12121212,,,,,A p p p p λλλλ≠设是对称阵的两个特征值是对应的特征向量若则与正交. 证明 由已知有11122212,,p Ap p Ap λλλλ==≠,T A A A = 为对称矩阵故()()1111111TTTTTT p Ap A p p p A λλ∴====()12222221111TTTTp Ap p p p p p p λλλ∴===()12210T p p λλ∴-=12λλ≠210Tp p ∴=,即12p p 与正交.定理3 1,,,A n P P AP A n -=ΛΛ 设为阶对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明 略定理4 ,,(),A n A k R A E n k λλ-=- 设为阶实对称矩阵是的特征方程的重根则从而对应特征 值λ恰有k 个线性无关的特征向量.证明 由定理3知,A 与对角矩阵12(,,,)n diag λλλΛ= 相似,从而A E λ-与E λΛ-相似,当λ是A 的k 重特征值时, 12,,,n λλλ 这n 个特征值中有k 个等于λ,有n k -个不等于λ,从而对角阵E λΛ-的对角元恰有k 个等于0,有n k -个不等于0,于是()R E n k λΛ-=-,而()()R A E R E λλ-=Λ-,所以有()R A E n k λ-=-.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为:第一步 求出A 的全部互不相等的特征值12,,,s λλλ ,它们的重数依次为12,,,s k k k(12s k k k n +++= )第二步 对每个i k 重特征值,解方程()0i A E x λ-=,得i k 个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化,得i k 两两正交的单位特征向量.因12s k k k n +++= ,故共得n 个两两正交的单位特征向量.第三步 将这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ,则1P AP -=Λ. 例1 对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵P ,使1P AP -为对角阵.220(1)212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400(2)031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 011(3)101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解 (1) 由()()()220212412002A E λλλλλλλ---=---=--+=--得A 的特征值 1234,1,2λλλ===-.对特征值14λ=,解方程()40A E x -=得基础解系1221ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,将之单位化得121231η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; 对特征值21λ=,解方程()0A E x -=得基础解系2212ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;将之单位化得221132η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; 对特征值32λ=-,解方程()20A E x +=得基础解系3122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;将之单位化得311232η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 取()1232211,,2123122P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭,则1400010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. (2) 由()()240031240013A E λλλλλλ--=-=--=-得A 的特征值1232,4λλλ===. ()12,20,A E x λ=-=对由得基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,将之单位化得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝;()234,40,A E x λλ==-=对由得基础解系23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,23ξξ与恰好正交,再将它们单位化得2100η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,30η⎛⎫ =⎝. 取()123010,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝,则1200040004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(3) 由()()2111112011A E λλλλλ---=--=--+=-得A 的特征值1232,1λλλ=-==. ()12,20,A E x λ=-+=对由得基础解系1111ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,将之单位化得1111p -⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭; ()231,0,A E x λλ==-=对由得基础解系23111,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将23ξξ,正交化得22100ηξ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 2333222111[,]1101122102ηξηξηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;再将23ηη,单位化得 11111,102p p -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭⎭. 取()123,,0P p p p ⎛ == ⎝,则1200010001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 【本节小结】1、相似矩阵与相似变换的概念2、相似矩阵的性质3、利用相似变换将方阵对角化4、利用对角矩阵计算矩阵的幂及矩阵多项式5、实对称矩阵的性质6、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 【课外练习】 P138-14,16(2),24(2)【教学章节】§5 二次型及其标准形§6 用配方法化二次型为标准形§7 正定二次型【教学内容】二次型及其标准形;用配方法化二次型为标准形; 正定二次型 【教学学时】2学时【教学目的】1.了解二次型及其有关概念2.掌握二次型的矩阵表示方法3.了解合同矩阵及其性质4.掌握化二次型为标准形的方法5.掌握用拉格朗日配方法化二次型为标准形6.掌握正(负)定二次型的判别法 【教学重点、难点】化二次型为标准形;正(负)定二次型的判别法 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】§5 二次型及其标准形 一、二次型及其有关概念 1、二次型定义1 12,,,n n x x x 含有个变量的二次齐次函数()22212111222121213131,1,,,222 n nn nn n n nf x x x a x a x a x a x x a x x a x x --=+++++++称为二次型.例如 ()22212312313,,2454f x x x x x x x x =++-,()123121323,,f x x x x x x x x x =++都为二次型; 2、实二次型及复二次型定义2 ,ij a f 当是复数时称为复二次型,,ij a f 当是实数时称为实二次型.3、二次型的标准形定义3 只含有平方项的二次型2221122n nf k y k y k y =+++ 称为二次型的标准形(或法式)． 例如 ()222123123,,44f x x x x x x =++为二次型的标准形. 4、二次型的规范形定义4 只含有平方项且平方项的系数只能是1,1,0-这三个数的二次型称为二次型的规范形.例如 ()222123123,,f x x x x x x =+-,()2212313,,f x x x x x =-均为二次型的规范形. 二、二次型的表示方法2111121211n n f a x a x x a x x =+++2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++11111221221122221122()()n n n n n n n nn n x x a x a x x a x a x a x x a x +++++++++11112212112222121122(,,,)n n n nn n n nn n a a x a x x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫ ⎪+++⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭()1112112122221212,,,n n n n n nn n a a a x aa a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11121121222212,,n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记, T f Ax A x =则二次型可记作其中为对称矩阵. 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型．这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．因此称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵,f 称为对称矩阵A 的二次型.例1 写出二次型22212312232346 f x x x x x x x =+-+-的矩阵解 22212312232346f x x x x x x x =+-+-21121321222321323320223033 x x x x x x x x x x x x x x x =++++-+-- 120223.033A ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪--⎝⎭三、合同矩阵及其性质1、定义定义5 设A 和B 都是n 阶矩阵,若有可逆矩阵C 使T B C AC =,则称矩阵A 与B 合同. 2、性质定理1 设矩阵A 与B 合同,如果A 是对称矩阵,则B 也是对称矩阵,且()()R A R B =. 证明 ,,T A A A =由于为对称矩阵故于是()TT T T T T B C AC C A C C AC B ====,所以B 是对称矩阵;又由于T B C AC =,C 可逆,从而T C 也可逆,由矩阵秩的性质知()()R A R B =. 四、化二次型为标准形设11111221221122221122,,n n n n n n n nn nx c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (),ij C c =记则上述可逆线性变换可记作x Cy =, T f Ax x =将其代入有()()()TT T T f x Ax Cy A Cy y C AC y ===只要12T n k k C AC k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,即T C AC 为对角阵,f 就可化为标准形 ()1122222121122,,n n n n n k y k y f y y y k y k y k y k y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪==+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ .因此化二次型为标准形实际上寻求可逆矩阵C ,使T C AC 为对角阵.,,.,T A P P AP =Λ由于对任意的实对称矩阵总有正交矩阵使把此结论应用于二次型有 以下结论:定理2 (),1,,nij i j ij ji i j f a x x a a x Py f ====∑任给二次型总有正交变换使化为标准形2221122,n n f y y y λλλ=+++()12,,,n ij f A a λλλ= 其中是的矩阵的特征值.推论 (),1,,()nij i j ij ji i j f a x x a a x Cz f Cz ====∑任给二次型总有可逆变换使为规范形.证明 由定理2知2221122()n n f Py y y y λλλ=+++ ,设二次型f 的秩为r ,则12,,,n λλλ 中有r 不为0,不妨设1212,,,0,0r r r n λλλλλλ++≠==== ,令12,1,i n k i r k K k i r k ⎛⎫⎪≤ ⎪== ⎪> ⎪⎩⎝⎭ 其中则K 可逆,变换y Kz =将()f Py 化为()T T T T T f PKz z K P APKz z K Kz ==Λ,而 11,,0,,0TrrK K diag λλλλ⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,记C PK =,则可逆变换x Cz =将f 化为如下规范形 22111()r r rf Cz z z λλλλ=++ 注 由以上上讨论可知用正交变换化二次型为标准形的方法:第一步 ,;T f x Ax A =将二次型表示为矩阵形式求出第二步 求出A 的全部互不相等的特征值12,,,s λλλ ,它们的重数依次为12,,,s k k k12s 第三步 对每个i k 重特征值,解方程()0i A E x λ-=,得i k 个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化,得i k 两两正交的单位特征向量.因12s k k k n +++= ,故共得n 个两两正交的单位特征向量.第四步 将这n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵P ,则1P AP -=Λ.第五步2211,. n n x Py f f y y λλ==++ 作正交变换则得的标准形 例2 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---,.x Py =通过正交变换化成标准形解 二次型的矩阵为172221442414A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭由()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫ ⎪-=---=-- ⎪ ⎪---⎝⎭得A 的特征值1239,18λλλ===. ()19,90A E x λ=-=对解方程得基础解系1122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,将之单位化得1132323p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;()2318,180A E x λλ==-=对解方程得基础解系23221,001ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将23ξξ,正交化得22210ηξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 2333222222[,]4101455105ηξηξηη---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;再将23ηη,单位化得 20p ⎛- =⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3p ⎛-=-⎪⎝⎭.取1323230P ⎛--=-⎪⎝⎭,作正交变换为1122331323,230x y x y x y ⎛--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有22212391818f y y y =++. 例3 求一个正交变换x Py =,把二次于型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++ 化为标准形.解 二次型的矩阵为101111011110A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 由3111111(3)(1)111111A E λλλλλλλ-----==+-----得A 的特征值12343, 1.λλλλ=-===()13,30A E x λ=-+=对解方程得基础解系,11111ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,将之单位化得1111121p ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭;()2341,0A E x λλλ===-=对解方程得正交的基础解系 234101101,,011011ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再将234,ξξξ,单位化得234012012,,120120p p p ⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝.取120121201120121201P ⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,作正交变换为11223344120121201120121201y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭则有222212343 f y y y y =-+++.§6 用配方法化二次型为标准形一、拉格朗日配方法的具体步骤1、若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再用同样的方法对其余的变量进行配方,直到都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到二次型的标准形;2、若二次型中不含有平方项,但是0ij a ≠(),i j ≠ 则先作可逆线性变换i i j j i j k kx y y x y y x y =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ()1,2,,,k n k i j =≠ 且 化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方. 例1 化二次型12312132325226 f x x x x x x x x x =+++++,.为标准形并求所用的变换矩阵 解 22212312132325226f x x x x x x x x x =+++++22211213232322256x x x x x x x x x =+++++()22222123232323232256x x x x x x x x x x x =++---+++ ()222123232344x x x x x x x =+++++()()22123232.x x x x x =++++1123223332y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩令,则1123223332x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,即112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212312132325226f x x x x x x x x x ∴=+++++2212y y =+ 所用变换矩阵为()111012,10.001C C -⎛⎫⎪=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭例2 化二次型121323226 f x x x x x x =+-,成标准形并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项,所以11221233,x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩令 112233*********y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 ,则 221213231213232262248f x x x x x x y y y y y y =+-=--+,再配方得()()222132332226.f y y y y y =---+113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩令,则113223332,y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 112233*********y z y z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 222123226. f z z z ∴=-+所用变换矩阵为110101110012001001C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 113111.001⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()20.C =-≠§7 正定二次型一、惯性定理一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形,显然,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换,来研究二次型的标准形所具有的性质． 定理1 (),,T f Ax r x = 惯性定理设有实二次型它的秩为有两个实的可逆变换 ()()22211222221122110,0,,,,,.r r i r ri r r x Cy x Pzf k y k y k y k f z z z k k λλλλλλ===+++≠=+++≠ 及使及则中正数的个数与中正数的个数相等注 二次型的的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性系数, 负系数的个数称为二次型的负惯性系数.若二次型f 的秩为r ,正惯性系数为p ,则f 的规范形为222211p p r f y y y y +=++--- . 二、正(负)定二次型的概念定义1 ()T f x x Ax = 设有实二次型()()()(1)0,000,,;(2)0,()0,,.x f x f f A x f x f A ≠>=≠< 如果对任何都有显然则称为正定二次型并称对称矩阵是正定的如果对任何都有则称为负定二次型并称对称矩阵是负定的例如 222416f x y z =++为正定二次型22123f x x =--为负定二次型 三、正(负)定二次型的判别定理2 :.T f Ax n x =实二次型为正定的充分必要条件是它的标准形的个系数全为正 证明 x Cy =设可逆变换使()()21.ni i i f x f Cy k y ===∑充分性 ()01,,.k i n >= 设 0,x ≠任给 10,y C x -=≠则 故()210.ni i i f x k y ==>∑必要性0,s k ≤假设有() ,s y e =则当单位坐标向量时()0.s s f Ce k =≤0,s Ce ≠显然.f 这与为正定二次型相矛盾故()01,,.i k i n >=推论 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正．定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式为正,即110,a >111221220,a a a a >, 11110;nn nna a a a > 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是:A 的奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即()()111110,1,2,,.r rr rr a a r n a a ->=这个定理称为霍尔维茨定理． 四、正定矩阵的一些简单性质性质1 1,,;,T A A A A -*设为正定实对称阵则均为正定矩阵 性质2 ,,.A B n A B +若均为阶正定矩阵则也是正定矩阵例1 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性.解 ()123,,f x x x 的矩阵为524212,425-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭它的顺序主子式 50,>5210,21=>52421210,425--=>--故二次型f 是正定二次型.例2判别二次型()22212312313,,2454f x x x x x x x x =++-的正定性. 解 用特征值判别法.二次型的矩阵为202040,205A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭由0E A λ-=得A 的特征值为1231,4, 6.λλλ===故二次型f 是正定二次型.例3 判别二次型22256444f xy xz y x z =---++的正定性.解f 的矩阵为522260,204A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由于 1150,a =-<1112212252260,26a a a a -==>-800,A =-<故二次型f 是负定二次型.【本节小结】1、二次型及其有关概念2、二次型的表示方法3、合同矩阵及其性质4、利用正交变换化二次型为标准形的方法5、用拉格朗日配方法化二次型为标准形的方法6、正(负)定二次型的概念及其判别法 【课外练习】 P140-27(1),32。
