初中数学圆证明题

圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.C2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高，EF⊥BC，F 为垂足。

（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，C 是弧AD 的中点，AD、BC 交于点E，CF⊥AB 于F，CF 交AD 于G。

（1）求证：CG=EG=AG(2) 求证：AD=2CF（2）若AD= 4 3 ，AC=4，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点H，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F。

（1）求证：BF 平分∠DFE；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt△ABC 内接于⊙O，D 为弧AC 的中点，DH⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。

（1）求证：AC=2DH；（2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB 的值8、在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求SECF 。

9、如图，⊙O 中，直径DE⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点 F。

(1)求证△AOG∽△FAO。

(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求SCGF 。

10、如图，在⊙O 中，弦AB、CD 相交于AB 的中点E，连接AD 并延长至 F 点，使DF=AD,连接BC、BF。

（1）、求证：△CBE∽△AFB。

（2）、若∠C=30º，∠CEB=45º,CE= 3 1,求S ABF .11、如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，D 为弧 AC的中点，连接 BD，交 AC 于G,过 D 作DE⊥AB于E 点，交⊙O于H 点，交 AC 于F 点。

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是　P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是　P 2、P 3　；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是　D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是　P1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是　P1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是　Q 2，Q 4　．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为　(2,0)　；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标　(2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)=　23-2　，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围　1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2　；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

初中数学圆的解题方法总结情形1. 弦若圆的题目中出现关于弦的相关知识点，要想到弦相关的定理和一些性质，垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O 上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．分析：（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．证明：（1）∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图，连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝(r﹣8)²+12²，解方程得r＝13．所以⊙O的直径为26．情形2. 直径出现直径时，要联想圆心角、圆周角等性质，构造等腰三角形、直角三角形等图形。

例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．分析：（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．证明：（1）∵若点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°（跳步啦），∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；（2）∠ABM＝2∠ABC，作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．情形3：切线如果题目给出有切线，我们可以思考添加过切点的半径，连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些边角关系。

初中四点共圆的6种判定方法证明下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初三圆的证明专题训练（答案）初三圆的证明专题训练（答案）下载试卷⽂档前说明⽂档：1、试题左侧⼆维码为该题⽬对应解析；2、请同学们独⽴解答题⽬，⽆法完成题⽬或者对题⽬有困惑的，扫描⼆维码查看解析，杜绝抄袭；3、只有⽼师通过组卷⽅式⽣成的⼆维码试卷，扫描出的解析页⾯才有“求⽼师讲解”按钮，菁优⽹原有的真题试卷、电⼦书上的⼆维码试卷扫出的页⾯⽆此按钮。

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图标查看学⽣扫描的⼆维码统计图表，以便确定讲解第1页 xx年04⽉19⽇九年级数学组的初中数学组卷 (扫描⼆维码可查看试题解析)⼀、解答题1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、2、如图，四边形OABC是平⾏四边形，以O为圆⼼，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平⾏四边形OABC的⾯积、3、如图，点D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第2页4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平⾏四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上⼀点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂⾜为E，过点C作DA的平⾏线与AF相交于点F，CD=四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、，BE=2、求证：第3页7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥B C 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上⼀点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、第4页10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若CE=2，cosD=，求AD的长、11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B 到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂⾜为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、第5页13、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂⾜为D、求证：CD为⊙O的切线；若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度、14、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆⼼的半圆交AC 于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的⾓平分线，且AD⊥BE，垂⾜为点H、求证：AB是半圆O的切线；若AB=3，BC=4，求BE的长、15、如图，D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、求证：CD是⊙O的切线；过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长、第6页16、如图所⽰，P是⊙O外⼀点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上⼀点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q、求证：PB是⊙O的切线；求证：AQ?PQ=OQ?BQ；设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长、17、如图，C是以AB为直径的⊙O上⼀点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P、求证：PC是⊙O的切线、若AF=1，OA=，求PC的长、第7页 xx年04⽉19⽇九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析⼀、解答题1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题、分析：连接AE，利⽤直径所对的圆周⾓是直⾓，从⽽判定直⾓三⾓形，利⽤直⾓三⾓形两锐⾓相等得到直⾓，从⽽证明∠ABF= 90、利⽤已知条件证得△AGC∽△ABF，利⽤⽐例式求得线段的长即可、解答：证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90，∴∠1+∠2=90、∵AB=AC，∴∠1=∠CAB、∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90 即∠ABF=90 ∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线、解：过点C作CG⊥AB于G、第8页∵sin∠CBF=∴sin∠1=，，∠1=∠CBF，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，勾股定理得AE=∴sin∠2===，cos∠2===， =2，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF= = 点评：本题考查常见的⼏何题型，包括切线的判定，⾓的⼤⼩及线段长度的求法，要求学⽣掌握常见的解题⽅法，并能结合图形选择简单的⽅法解题、2、如图，四边形OABC是平⾏四边形，以O为圆⼼，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平⾏四边形OABC的⾯积、考点：切线的判定与性质；全等三⾓形的判定与性质；平⾏四边形的性质、专题：证明题、第9页分析：连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90，根据切线的判定推出即可；根据全等三⾓形的性质求出CE=CD=4，根据平⾏四边形性质求出OA=3，根据平⾏四边形的⾯积公式求出即可、解答：证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC 是平⾏四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中∴△EOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OEC=90，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平⾏四边形，∴OA=BC=3，∴平⾏四边形OABC的⾯积S=OACE=34= 12、点评：本题考查了全等三⾓形的性质和判定，切线的判定，平⾏四边形的性质的应⽤，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC、3、如图，点D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第10页考点：切线的判定与性质、专题：⼏何图形问题、分析：连接OD，根据圆周⾓定理求出∠DAB+∠DBA=90，求出∠CDA+∠ADO=90，根据切线的判定推出即可；根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出⽅程，求出⽅程的解即可、解答：解：直线CD和⊙O的位置关系是相切，理是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90，∴∠DAB+∠DBA=90，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；∵AC=2，⊙O 的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，勾股定理得：CE=BE+BC，222则=x+，解得：x=6，即BE=6、222第11页点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周⾓定理，等腰三⾓形的性质和判定的应⽤，题⽬⽐较典型，综合性⽐较强，难度适中、4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平⾏四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、考点：切线的判定与性质；直⾓三⾓形斜边上的中线；平⾏四边形的性质、专题：计算题、分析：连接BD，ED为圆O的直径，利⽤直径所对的圆周⾓为直⾓得到∠DBE为直⾓，BCOE为平⾏四边形，得到BC与OE平⾏，且BC=OE=1，在直⾓三⾓形ABD中，C为AD的中点，利⽤斜边上的中线等于斜边的⼀半求出AD的长即可；连接OB，BC与OD平⾏，BC=OD，得到四边形BCDO为平⾏四边形，AD为圆的切线，利⽤切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO 为矩形，利⽤矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线、解答：解：连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90，∵四边形BCOE为平⾏四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；是，理如下：如图，连接OB、∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平⾏四边形，∵AD 为圆O的切线，∴OD⊥AD，第12页∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O 的切线、点评：此题考查了切线的判定与性质，直⾓三⾓形斜边上的中线性质，以及平⾏四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键、5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上⼀点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、考点：切线的判定与性质；解直⾓三⾓形、分析：连接AO，AC、欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；利⽤中切线的性质在Rt△OAP中利⽤边⾓关系求得∠ACO=60、然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利⽤余弦三⾓函数的定义知AC=2，CD=4、解答：证明：连接AO，AC、∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90、∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE、∴∠ECA=∠EAC、∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA、∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC、∴∠ECA+∠OCA=90、∴∠EAC+∠OAC=90、∴OA⊥AP、∵A是⊙O上⼀点，∴AP是⊙O的切线；第13页解：知OA⊥AP、在Rt△OAP中，∵∠OAP=90，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=30、∴∠AOP=60、∵OC=OA，∴∠ACO=60、在Rt△BAC中，∵∠BAC=90，AB=6，∠ACO=60，∴AC==2，⼜∵在Rt△ACD中，∠CAD=90，∠ACD=90﹣∠ACO=30，∴CD===4、点评：本题考查了切线的判定与性质、解直⾓三⾓形、注意，切线的定义的运⽤，解题的关键是熟记特殊⾓的锐⾓三⾓函数值、6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂⾜为E，过点C作DA的平⾏线与AF相交于点F，CD=，BE=2、求证：四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、考点：切线的判定与性质；菱形的判定、专题：压轴题、分析：⾸先连接OC，垂径定理，可求得CE的长，⼜勾股定理，可求得半径OC的长，然后勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平⾏四边形，继⽽证得四边形FADC是菱形；第14页⾸先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继⽽可证得FC 是⊙O的切线、解答：证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，222在Rt△OCE中，OC=OE+CE，222∴x=+，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD=∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平⾏四边形，∵AD=CD，∴平⾏四边形FADC是菱形；连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线、 =4，第15页点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三⾓形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应⽤、7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥BC 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、考点：切线的判定与性质；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题、分析：连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从⽽可证得结论、过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后△ADH∽△AFB，利⽤相似三⾓形的性质得出⽐例式即可解出BF的长、解答：证明：连接OC，第16页∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△O CE和△OBE 中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90，即OB⊥BE，∵OB 是⊙O半径，∴BE与⊙O相切、过点D作DH⊥AB，连接AD 并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90，∴△ODH∽△OBD，∴== ⼜∵sin∠ABC=，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=，即∴OH=4，∴DH==2， =，⼜∵△ADH∽△AFB，∴=，=，第17页∴FB=、点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三⾓形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第⼆问的求解中，⼀定要注意相似三⾓形的性质的运⽤、8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、考点：切线的判定与性质；全等三⾓形的判定与性质；三⾓形中位线定理；圆周⾓定理、分析：根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三⾓形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=BC；连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利⽤全等三⾓形的对应⾓相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90，即OC⊥PC，即可等证、解答：猜想：OD∥BC，OD=BC、证明：∵OD⊥AC，∴AD=DC ∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB…2分∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD=BC 证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E、∵OD⊥AC，OD经过圆⼼O，∴，即∠AOE=∠COE 在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP=∠OAP第18页∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90、∴∠OCP=90，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线、点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三⾓形的中位线定理，证明圆的切线的问题常⽤的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题、9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上⼀点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、考点：切线的判定与性质；等腰三⾓形的性质；等腰三⾓形的判定；直⾓三⾓形斜边上的中线；勾股定理；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质、专题：证明题；⼏何综合题；压轴题、分析：BD是⊙O的切线得出∠DBA=90，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出⽐例式即可；连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直⾓三⾓形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB22推出CG是⊙O切线，切割线定理得出=BGAG=2BG，在Rt△BFG中，2222勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，求出FG即可、解答：证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90，∵CH⊥AB，∴CH∥BD，第19页∴△AEC∽△AFD，∴=，∴AE?FD=AF?EC、证明：连接OC，BC，∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，∴=∴=，==，，∵CE=EH，∴BF=DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90，∵BF=DF，∴CF=DF=BF，即CF=BF、解：∵BF=CF=DF，EF=BF=2，∴EF=FC，∴∠FCE=∠FEC，∵∠AHE=∠CHG=90，∴∠FAH+∠AEH=90，∠G+∠GCH=90，∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG，∴AF=FG，∵FB⊥AG，∴AB=BG，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB，∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，∴∠FCB=∠CAB，∵∠ACB=90，∴∠ACO+∠BCO=90，∴∠FCB+∠BCO=90，即O C⊥CG，∴CG是⊙O切线，∵GBA是⊙O割线，AB=BG， FB=FE=2，22∴切割线定理得：=BGAG=2BG，第20页在Rt△BFG中，勾股定理得：BG=FG﹣BF，2∴FG﹣4FG﹣12=0，解得：FG=6，FG=﹣2，勾股定理得：AB=BG=∴⊙O的半径是2=4、，222 点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三⾓形的性质和判定，等腰三⾓形的性质和判定，直⾓三⾓形斜边上中线的性质，圆周⾓定理，勾股定理等知识点的综合运⽤，题⽬综合性⽐较强，有⼀定的难度、10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若CE=2，cosD=，求AD的长、考点：切线的判定与性质；圆周⾓定理；解直⾓三⾓形、分析：先连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠1+∠OCB=90，再根据AO=CO，得出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线；根据OC⊥CD，得出∠3+∠D=90，再根据CE⊥AB，得出∠3+∠2=90，从⽽得出cos∠2=cosD，再在△OCD中根据余弦定理得出CO的值，最后根据⊙O的半径为，即可得出AD 的长、解答：证明：连接CO，∵AB是⊙O直径∴∠1+∠OCB=90，∵AO=CO，∴∠1=∠A、第21页∵∠4=∠A，∴∠4+∠OCB=90、即∠OCD=90、∴OC⊥CD、⼜∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线、∵OC⊥CD于C，∴∠3+∠D=90、∵CE⊥AB于E，∴∠3+∠2=90、∴∠2=∠D、∴cos∠2=cosD，在△OCD中，∠OCD=90，∴cos∠2=，∵cosD=，CE=2，∴=，tanD=∴CO=，∴⊙O的半径为、 =，∴OD===， AD=、点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆⼼与这点，再证垂直即可，同时考查了三⾓函数的知识、11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、第22页若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、考点：切线的判定与性质；等腰三⾓形的性质；勾股定理；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题；压轴题、分析：根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180，得到2∠BCP+2∠BCA=180，从⽽得到∠BCP+∠BCA=90，证得直线CP是⊙O的切线、作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从⽽利⽤sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4、先求出AC的长度，然后利⽤BD∥PC的⽐例线段关系求得CP的长度，再勾股定理求出AP的长度，从⽽求得△ACP的周长、解答：解：∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ∴2∠BCP+2∠BCA=180，∴∠BCP+∠BCA=90，⼜C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线、如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC ∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2，sin∠BCP==， =，∴sin∠BCP=sin∠DBC=解得：DC=2，∴勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4、如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠AN C=90，第23页∴Rt△ACN中，AC==5，⼜CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3、∵BD∥CP，∴∴CP=，、 ==20，，在Rt△ACP中，AP=AC+CP+AP=5++∴△ACP的周长为20、点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点⽐较多，难度较⼤、12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂⾜为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、考点：切线的判定与性质；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质、专题：证明题、分析：连接OD、BD，根据圆周⾓定理可得∠ADB=90，继⽽得出点D是AC 中点，判断出OD是三⾓形ABC的中位线，利⽤中位线的性质得出∠ODE=90，这样可判断出结论、2根据题意可判断△BED∽△BDC，从⽽可得BD=BC?BE，将BC替换成AB即可第24页得出结论、解答：证明：连接OD、BD，则∠ADB=90，∵BA=BC，∴CD=AD，⼜∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵∠DEB=90，∴∠ODE=90，即OD⊥DE，故可得DE为⊙O的切线；。

初中数学中考专练：圆与相似形的证明题
1.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径. 求证：ABAC = AEAD
证明：连结BE
∵ AE⊙O的直径，ADBC
ABE = = 90
∵ E =
△ABE ∽ △
ABAC = AEAD
2.如图，由直径AB的端点A引两弦AC、AD，延长AC、AD和过B点的切线分别交于E、F
求证：
证明：连结CB
∵ AB是直径，EF与圆相切于点B
ACB = ABE = 90
EAB + E = EAB + ABC = 90
ABC = )
又∵ ABC = )
∵ CAD = FAE
3.如图，已知D为△ABC的BC边上一点，且ADB = BAC，过
D、C的圆交AC于E，连BE，与圆交于F点。

求证：AB 2 = BFBE
证明：∵ ADB = BAC，ABD = ABC
∵ BDBC = BFBE
AB 2 = BFBE
4. 如图，已知AD是圆的弦，( ) ，DE是圆的切线且与弦AB的延长线相交于点E.
求证：AD 2 = ACAE
证明：连结BD
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.
求证：ADEC = ACBD
证明：
6. 如图，AB为⊙O的直径，CFAB于E，交⊙O于D，AF交⊙O 于G.
求证：ACDG = AGDF
证明：连结CG
7. 如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC.
求证：ACPB = PCBC
证明：。

OABD E08-圆有关的证明题专项练习1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE ∽△ADC ；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。

（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，D 是弧BC 的中点，AD 、BC 交于点E ，CF ⊥AB 于F ，CF 交AD 于G 。

（1）求证：AD =2CF ；（2）若AD=34，BC =62，求⊙O 的半径6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。

（1）求证：BF 平分∠DFE ；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径7、如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，D 为弧AC 的中点， DH ⊥AB 于点H ，延长BC 、HD 交于点E 。

（1）求证：AC=2DH ；（2）连接AE ，若DH=2，BC=3，求tan ∠AEB 的值8、在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若BC=6，AD=4，求ECF S V 。

9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点F 。

(1)求证△AOG ∽△FAO 。

(2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S V 。

10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ， 连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。

初中数学圆的性质证明题引言圆是初中数学中重要的一个概念，它具有一些独特的性质。

在本文中，我们将证明圆的两个基本性质：半径相等的圆是同一个圆，和任意两点之间的最短路径是圆弧，而且只有圆弧才能构成圆。

性质一：半径相等的圆是同一个圆给定两个半径相等的圆，我们要证明它们是同一个圆。

证明过程：假设有两个圆O1和O2，它们的半径分别是r。

首先，连接O1和O2的圆心，得到线段O1O2。

根据线段的性质，线段O1O2的长度等于2r，即O1O2 = 2r。

其次，考虑以O1为圆心、r为半径的圆弧。

根据圆的性质，任意两点之间的最短路径是圆弧。

因此，从O1出发，经过O2，再回到O1的路径就是圆弧，且这个圆弧的长度等于半径r乘以圆心角的度数。

由于O1和O2的半径相等，所以圆心角的度数是相等的。

假设圆心角的度数是θ。

根据圆周角的性质，圆心角的度数是圆周角度数的一半。

因此，θ = 360°/2 = 180°。

根据圆周率的定义，180°等于π弧度。

因此，圆弧的长度等于r乘以π。

综上所述，圆弧的长度等于2r乘以π，即O1O2 = 2rπ。

我们已经证明了线段O1O2的长度等于圆弧O1O2的长度，即O1O2 = O1O2。

根据线段重合定理，O1和O2重合，即O1和O2是同一个点。

根据圆的定义，圆是由确定的圆心和半径唯一确定的。

因此，我们可以得出结论：半径相等的圆是同一个圆。

性质二：任意两点之间的最短路径是圆弧，并且只有圆弧才能构成圆给定一个圆O，我们要证明任意两点A和B之间的最短路径是圆弧，并且只有圆弧才能构成圆。

证明过程：假设有一个圆O，圆心为C，半径为r。

我们需要证明对于圆上的任意两点A和B，线段AB不是最短路径，而圆弧AB才是最短路径。

首先，连接圆心C与点A、B，得到线段CA和CB。

其次，我们知道，圆的任意两条弦都对应一个圆心角，而圆心角的度数是由这条弦所对应的弧长与半径的比值决定的。

假设圆心角ACB的度数为θ，圆周长为L。

A C E AD与圆有关的综合试题D A B CE O P F一、圆的定义 定义：（1）在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做圆心，OA 叫做半径.（2）圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形.（3）确定圆有两个要素：一是圆心；二是半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（4）圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长半径，到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上. 半径相等的圆是等圆，圆心相同的圆叫同心圆. 二、圆的概念1. 连接圆上任意两点的线段叫做弦.2. 经过圆心的弦叫做直径，直径长等于半径长的2倍.3. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.（等弧指能够完全重合的两条弧，即指弧的度数和长度相等.等弧只能出现在同圆或等圆中） 4. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆. 5. 圆是轴对称（有无数条对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心.考点分析1.圆的相关概念和性质；2.圆中的计算；3.圆的证明典型例题分析与练习类型1. 圆的有关概念 例1. 如图所示，点A、O、D 以及点B、O、C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条例2. 如图在⊙O 中，AB、CD 为直径，请判断AD 与BC 的位置关系.类型2. 圆中的有关计算例1. 如图，CD 是⊙O 的直径， 84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB ，求A 的度数.例4cm，最大距离为9cm，则该圆的直径是（ ）A. 2.5cm 或6.5cmB. 2.5cmC. 6.5cmD. 5cm 或13cm例3. 导火索长18cm，爆破时导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点燃导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，这个点燃导火索的人每秒跑6.5m 是否安全？例4. 如图，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径.（1）试判断四边形ACBD 是什么特殊的四边形，为什么？(2)若⊙O 的半径r＝2cm，求四边形ADBC 的面积.圆的定义及练习题 A类型3.圆中证明例1. 如图，∠A=∠C=∠D＝900，求证：A、B、C、D、E 在同一个圆上.例2. 如图，点A、D、G、M 在半圆O 上，四边形ABOC,DEOF,HMNO 均为矩形.设BC=a ,EF=b ,NH=c ,则下列各式中正确的是（ ） A. c b a B. c b a C. b a c D. a c b巩固练习1.下列说法中：（1）直径相等的两个圆是等圆；（2）长度相同的两条弧是等弧；（3）园中最长的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧.正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.如图，CD 是⊙O 的直径， 84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且OC AB ，求A 的度数.3. 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上.4.已知：如图，两同心圆的直径AC、BD 相交于O 点.求证：AB=CD.A E BCDNOFC MBH E GDA ABCDOD。

圆有关的证明题专项练习△1、如图，ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE.（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.B 6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F。

（1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径AOEDC2、如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的边BC上的高，EF⊥BC，F为垂足。

（1）求证：BF=CD（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径。

7、如图，△Rt ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点，DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。

（1）求证：AC=2DH；（2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的值5、如图，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，D是弧BC的中点，AD、BC交于点E，CF⊥AB于F，CF交AD于G。

（1）求证：AD=2CF；（2）若AD=43，BC=26，求⊙O的半径8、在△R t ABC中，∠ACB=90º，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求SECF。

9、如图，⊙O中，直径DE⊥弦AB于H点，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F。

(1)△求证AOG∽△FAO。

12、如图：△AFC中∠FAC=90°，以AF上一点O 为圆心，OA为半径作圆交FC于D，交CF的延长线于点B。

(2)若OA=4，OF=8，H点为OD的中点，求SCGF。

⑴求证：△CDA∽△CAB⑵过A作AE∥CD交⊙O于E，DE交AF于M，若CD=FD=2BF=4。

求AM的长。

10、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至F点，使DF=AD,连接BC、BF。