高数公式大全全

平方关系：sin A2( a )+cos A2( a )=1tan A2( a )+仁sec A2( a )C0t A2( a )+ 仁CSC A2( a )•积的关系：sin a=tan a*cos acos a =cot a*sin atan a=sin a*sec acot a=cos a*csc asec a=tan a*csc acsc a =sec a *cot a•倒数关系：tan a，cot a =1sin a，CSC a =1cos a，sec a =1直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a + B )=cos a，-sOs (&• sin Bcos( a B )=cos a，cos B +sin a* sin Bsin( a±B )=sin a，cos B±cos a，sin Btan( a + B )=(tan a +tan-tanf(a • tan B )tan( -B )=(tan -tan B )/(1+tan a，tan B )三角和的三角函数：sin( a + B + Y )=sin a* cos B，cos Y +cos a，sin B‘ cos ys+cos • sircos B sirsir v Y cos( a + B + Y )=cos a，cos B cosco s y sin B -ssin a cos B -sisin ar sin B‘ cos Ytan( a + B + Y )=(tan a +tan B t+ta a 丫tan B，tartan )/(• tana B B‘ tana y 丫^ tan a )辅助角公式：Asin a +Bcos a =(A A2+B A2)A(1/2)sin( ，其中sint=B/(A A2+B A2)A(1/2)cost=A/(A A2+B A2)A(1/2) tant=B/A Asin a +Bcos a =(A A2+B A2)A(1/2)cos( -t) ,tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a，cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=cos A2( -s)八2( a )=2cos^2( -0=1- 2sin A2( a )tan(2 a )=2tan a-tOn A2( a)]•半角公式：sin( a /2)= ±/o(1a )/2)cos( a /2)= 土" ((1+cos a )/2)tan( a /2)= 土必o(1a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos-c©9=(1/sin a•降幕公式sin A2( a )=-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2cos A2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2tan A2( a )=(tos(2 a ))/(1+cos(2 a ))•万能公式：sin a =2tan( a /2)/[1+tanT( a /2)]cos a =[ttan9( a /2)]/[1+tan9( a /2)]tan a =2tan( a /2)-(an9( a /2)]•积化和差公式：sin a •cos B=(1/2)[sin( +B-B)+)s]in(cos a •sin B=(1/2)[sin( -sin( + -B))]cos a •cos B=(1/2)[cos( + B )-+B co)]s(sin a •sin-(B1/2=)[cos( -+c B os)( -B)]•和差化积公式：sin a +sin B =2sin[( a + p )/2]cos[/2] asin (-sin B =2cos[( a + B )/2]sin[0 )/2] acos a +cos B =2cos[( a + B )/2]cos R )/2] a•三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4ain A3( a ) cos(3 a )=4cos A3( -3)s acos a-cos B=2sin[( a + B )/2]sin[© )/2]a•推导公式tan a+cot a=2/sin2 atan a-cot a=-2cot2 a1+cos2 a =2cos A2 a1-cos2 a =2sin A2 a1+sin a =(sin a /2+cos a /2)八2•其他：sin a +sin( a +2n /n)+sin( a +2n *2/n)+sin( a +2 n *3/n)+ ........ +sit)/n]==0+2 n *(n cos a +cos( a +2 n /n)+cos( a +2n *2/n)+cos( a +2 n *3/n)+ ........ +cos-1”r+=n *1以及sin A2( a )+sin A2(-2 n/3)+sin A2( a +2n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos (2k n+ a) = cos atan (2k n+a) = tan acot (2k n+ a) = cot a公式二：设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin ( n+ a) = —sin a cos ( n+ a)= —cos a tan ( n+ a) = tan a cot ( n+ a) = cot a公式三：任意角a与- a的三角函数值之间的关系:sin(－a)=－sin acos(－a)= cos a tan(－a)=－tan acot(－a)=－cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n a与a的三角函数值之间的关系:sin ( n— a) = sin aCOS ( n— a)= —COS a tan ( n— a) =—tan a cot ( n— a) =—cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2 n— a) =—sin aCOS (2 n— a) = COS atan (2 n—a) =—tan aCOt (2 n—a ) = —COt a公式六:n /2 ±a 3 n /2 土与a的三角函数值之间的关系Sin ((n /2+ a)=COS aCOS(n /2+ a)二二一sin a tan (n /2+ a)=—COt a COt (n /2+ a)=—tan aSin ((n /2—a)=COS aCOS(n /2—a)二Sin a tan (n /2—a)=COt a COt (n /2—a)=tan aSin ((3 n /2+ a)=—COS aCOS(3 n /2+ a)=Sin a tan (3 n /2+ a)=—COt a COt (3 n /2+ a)=—tan aSin ((3 n /2—a)=—COS aCOS(3n /2- a)=—Sin atan (3n /2- a)=COt aCOt (3n /2- a)=tan a(以上k€ Z)部分高等内容[编辑本段]•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sin x=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i) COSx=[e A(ix)+e A(-ix)]/2 ta nx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e A z=exp (z) = 1 + z/1 ! + z A2/2 ! + z A3/3 ! + z A4/4 !+•••+ z A n/n !+•••此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

高等数学公式总结第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：s i n s i n 2s i n c o s22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,1n a >=;1n =ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

(tgx)，=sec x (ctgx)，= -CSC 2x (secx)'=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a x)' = a xl na (log a x)'=1xln a(arcsin x)，= . 1：J l -x 21 (arccos x)'= — 一’ j 1—x 21(arctgx)'= __21 +x 1(arcctgx )' = 一 --1 + x基本积分表:三角函数的有理式积分:导数公式:高等数学公式Jtgxdx = -1 n cosx +C Jctgxdx =1 n sin X +C Jsecxdx = In secx+tgx +CJcscxdx = In cscx-ctgx +C f 巴=fsec xdx = tgx + C ' cos x 、dx 2J ———=Jcsc xdx = -ctgx + C 'sin X 、fsecx tgxdx = secx + Cdx J 2 , 2a +x 「 dx J —2 2 x -af dxJ ""2 2 a -x' 2寸a -x1 x =一 arctg -七 a 亠n2a _ 1 . g+c X +aa -x X =arcsi n — +CaI n J cscx ctgxdx =-cscx + C xfa xd^-^ +C ln a Jshxdx = chx +CJchxdx = shx +Cdx=ln( X + J x 2±a 2) + C2=Jsin n xdx = Jcos nxdx =0 0N x 2 -a 2dx = *J x 2 -a 22口I nd n2 , _______________________+ —l n(x +J x 2 +a 2)+C 2ln X + J x 2 - a 2+C 2222 .a - X . c-x + ——arcsi n —+C2 a2usin X = --- 7,1+u,x u=tg-,dx 严1+u 2一些初等函数: 两个重要极限:-sin (a ±P)=si n^cosP ±cos。

高等数学公式·平方关系:sin^2（α)+cos^2(α）=1tan^2(α）+1=sec^2(α）cot^2(α)+1=csc^2（α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα＊cscαsecα=tanα＊cscαcscα=secα＊cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=（tanα+tanβ)/（1—tanα·tanβ）tan(α-β）=(tanα—tanβ）/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin（α+β+γ）=s inα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ)=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1—tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）·辅助角公式:Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2）sin(α+t)，其中sint=B/（A^2+B^2）^(1/2)cost=A/（A^2+B^2）^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=（A^2+B^2)^（1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：·三倍角公式:sin（2α)=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα) sin(3α）=3sinα—4sin^3(α）cos(2α）=cos^2(α)—sin^2（α)=2cos^2（α）-1=1—2sin^2(α）cos(3α）=4cos^3（α)-3cosαtan（2α）=2tanα/[1-tan^2(α)］·半角公式：sin（α/2）=±√（(1—cosα）/2）cos(α/2）=±√(（1+cosα）/2）tan(α/2)=±√（（1-cosα)/(1+cosα))=sinα/（1+cosα)=（1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2（α）=（1-cos(2α）)/2=versin（2α）/2cos^2（α）=(1+cos(2α)）/2=covers（2α）/2tan^2（α)=(1-cos（2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan（α/2)/［1+tan^2(α/2)]cosα=［1-tan^2(α/2)］/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan(α/2)/［1-tan^2(α/2)］·积化和差公式：sinα·cosβ=（1/2)[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=(1/2）[sin（α+β）—sin(α—β)]cosα·cosβ=（1/2）［cos（α+β)+cos（α-β）］sinα·sinβ=—（1/2）［cos(α+β）-cos(α—β)］·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[（α+β)/2]cos［（α—β)/2］sinα—sinβ=2cos[（α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos［（α-β）/2]cosα—cosβ=—2sin[(α+β)/2］sin[(α—β）/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα—cotα=—2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=（sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n）+sin(α+2π＊2/n）+sin（α+2π＊3/n)+……+sin[α+2π＊(n-1）/n］=0cosα+cos（α+2π/n)+cos（α+2π*2/n）+cos(α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n—1）/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3）+sin^2(α+2π/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan(A+B）=0三角函数的角度换算［编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot(π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(－α）＝－sinαcos(－α)＝cosαtan（－α）＝－tanαcot(－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot(π－α)＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α)＝－sinαcos(2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α)＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2＋α)＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α)＝－tanαsin（π/2－α)＝cosαcos（π/2－α)＝sinαtan（π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan(3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan（3π/2－α)＝cotαcot（3π/2－α)＝tanα(以上k∈Z）部分高等内容［编辑本段］·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得)：sinx=［e^（ix)—e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^（ix）+e^（—ix)］/2 tanx=[e^（ix)-e^（-ix）]/［ie^(ix)+ie^(—ix）］泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3!＋z^4/4！＋…＋z^n/n!＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

高数公式大全1.基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππe e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx +-==+=-=----:2:2:2）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

极限的运算0sin lim=∞→x x x 1s i n l i m 0=→x x x n n n)11(lim +∞→=e导数常用等价无穷小量sinx ～x tanx ～x e x －1～x ln(1+x)～x1－cosx ～22x 11-+nx ～n x a x －1～xlnaarctanx ～arcsinx ～x导数定义)(x f x x )f(x f(x)x x Δx )f(x Δx)f(x Δx 0000lim 000lim'=--→=-+→ 导数公式()a aa xxln =' ()ax x a ln 1log ='()x x 2sec tan =' ()x x 2csc cot -=' ()x x x tan sec sec ='()x x c o t c s c c s c -='()211arcsin xx -='()211arccos xx --='()211arctan x x +='()211c o t xx a r c +-='复合函数求导 [])((x f y ϕ= 若)(u f y =;)(x u ϕ=均可导则[])((x f y ϕ=可导,且x u x u y y ''='参数方程的导数⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ t t x x dtdx dt dy xx y y dxdy y '''=''==')( 拉格朗日中值定理))(()()(a b f a f b f -'=-ξ罗比达法则)()(lim)()(lim ,00x g x f x g x f ''=∞∞不定式对于 求极值的方法)(0x f '=0若)(0x f ''＞0 则f (x 0)极小值)(0x f ''＜0 则f (x 0)极大值图像的凹凸对于y=f (x)在(a b)上有是可能拐点或不存在凸的则凹的则 0)()( 0)()( 0)(=''<''>''x f x f x f x f x f不定积分Ca x a x a a x dx Cx x dx++-=-+=⎰⎰ln 2tan cos 222第一类换元积分法()[]()⎰'dx x x f ϕϕ=()[]()x d x f ϕϕ⎰第二类换元积分法⎰⎰−−→−=)()]([)()(t d t f du u f t u ϕϕϕ=⎰'dt t t f )()]([ϕϕ=F (t)+c =c t F +-)]([ϕ 常用变量替换nb ax + 令t =n b ax + 1n x ，2nx 令x=n x22x a -令x=a sint 利用sin 2t+cos 2t=122a x +令x=a tant 利用1+tan 2t=sec 2t 22a x -令x=a sect 利用1+tan 2t=sec 2t分部积分法⎰⎰'-='vdx u uv dx v u常见选用形式)(arctan arcsin ln arctan arcsin ln )(sin cos )(cos sin )(1x dP x x x dx x x x x P x x e d x P dx x x e x P n n x nx n +⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ 定积分变上限函数 若f (x)连续则 ⎰xa)(dt t f 可导且有[⎰xa)(dt t f ]′=f (x)(⎰ax)(dt t f )′=-f (x)x dt t f '⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰）（x a )(ϕ=[])()(x x f ϕϕ' N-L 公式⎰ba)(dx x f =abx F )(=F (b)-F (a)奇偶函数积分性质 若f(x)为奇函数 则⎰aadx x f -)(=0若f(x)为偶函数 则⎰a adx x f -)(=2⎰adx x f 0)(奇+奇=奇 偶+偶=奇奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 求旋转体体积 y=(x)在[a,b]dV=πf 2(x)dx V=⎰badV =⎰badx x f )(2π空间解析几何 两点间距离M 1(x 1,y 1,z 1) M 2(x 2,y 2,z 2) │M 1 M 2│=212212212)()()(z z y y x x -+-+-两向量关系→a ={ a x a y a z } →b ={ b x b y b z }→a ∥→b ⇔x x b a =y y b a =zzb a →a ⊥→b = a x b x +a y b y +a z b z =0矢量的数量积性质→a ·→b =a x b x +a y b y +a z b z →a ·→b =→b ·→a →a (→b +→c )=→a →b +→a →c矢量的矢量积性质→a ×→b =zy x z y x b b b a a a①→a ∥→b ⇔→a ×→b = ②→a ×→b =-→b ×→a③→a ×(→b ×→c )=→a ×→b +→a ×→c=S 平行四边形 平面与直线 平面方程M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )={A B C} (法向量)M (x , y , z)A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 (点法式方程) Ax+By+Cz+D=0 (一般式方程)当A=0 平面平行x 轴，D=0 平面过原点a x +b y +cz=1 (截距式方程) 平面的位置关系A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0 A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⇔===⇔0cos 212121212121C C B B A A C C B B A A 垂直夹角平行θ 点到平面距离d=222000A CB A DCz By x +++++直线方程M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )={l , m , n } 方向向量M 0={x-x 0 ,y-y 0 ,z-z 0}①l x x 0-=m y y 0-=nz z 0-=t 标准方程 对称方程 点向式方程②⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ntz z m t y y lt x x 000 参数式 ③⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C x B x A D z C x B x A 一般式={A 1 B 1 C 1}×{A 2 B 2 C 2}直线与直线的位置关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++==212121212121cos 0n n m m l l n n m m l l θ夹角直角不平行平行 平面与直线关系⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=++=+++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==0A 0D A )cos(A 0002Cn Bm l Cz By x n C m B l 重合平行垂直相交θπ 简单的二次曲面 特殊曲面 球面方程圆心(x 0 ,y 0 ,z 0) 半径为r (x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2 椭球面方程22a x +22b y +22c z =1 柱面方程 φ (y , x)=0 ① x 2+y 2=1 圆柱面方程 ② y=x 2 抛物面方程③ 22a y -22bx =1 双曲柱面方程旋转曲面方程 f (y, z)⎪⎩⎪⎨⎧+±→22yx y z z 不变轴旋转，绕 z=221y x -- 上半单位球面x 2+y 2=1 圆柱面 z=x 2+y 2 旋转抛物面z=22y x + 上半锥面多元函数微分学 隐函数求导设F(x , y)=0 x y '=yF x F∂∂∂∂-=y x F F ''-设F(x , y , z)=0y z F z F x z F z F F F zy F F z x ''-=-=∂∂''-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂空间曲面的切平面及法线F(x , y , z)=0 M 0(x 0 , y 0 , z 0)n ={x F ∂∂,y F ∂∂,zF ∂∂}0M 曲面法向量切平面()()()0z F y F x F0M 0M 0M 000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y y x x 法线xFx x ∂∂-0=yF y y ∂∂-0=zF z z ∂∂-0二元函数z=f (x,y)的极值①⎩⎨⎧==∂∂∂00z x z 驻点②A=22x z ∂∂ B=y x z ∂∂∂2 C=22yz ∂∂③B 2－AC ＜0 有极值⎩⎨⎧小值大值有极 0＞A 有极 0＜AB 2－AC ＞0 无极值 B 2－AC=0 失效 二重积分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧、格林公式、极坐标转换、变换积分次序、直接积分二重积分4321 极坐标 包含原点⎰⎰D)sin ,cos (θθθrdrd r r f=rdr r r f d r )sin ,cos ()(020θθθθπ⎰⎰不包含原点rdr r r f d r r )sin ,cos ()()(21θθθθθβα⎰⎰曲线积分格林公式δd y Px Q Qdy Pdx D⎰⎰⎰∂∂-∂∂=++)(L 积分曲线与路径无关yPx Q ∂∂=∂∂ 级数⎩⎨⎧≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=∑∑∑∞=∞=∞=时收敛＞时发散级数）（发散（调和级数）当发散当（等比级数） 1 1 1 11 1 1 110p p p nn q q q aaq n p n n n正项级数审敛法 比值审敛法l v u n nn =∞→lim（0＜l ＜+∞）Σu n 和Σv n 有相同的敛散性比较审敛法ρ=+∞→nn n u u 1lim0＜ρ＜1 Σu n 收敛 ρ＞1 Σu n 发散 ρ=1 失效 交错级数 莱布尼茨定理 1、u n 大于u n-1 2、lim u n =0则Σ(-1)n-1u n 收敛 函数展开成幂级数e x=∑∞=0n !n x n=1+x+!22x +…+!n x n +…，R x ∈x -11=∑∞=0n n x =1+x+x 2…+x n +…，|x|＜1 ln(1+x)= ∑∞=1n 1-n 1-n x n）（ =x-22x +…+(-1)n-1n nx +…，（-1＜x ≤1）收敛半径对于Σa n x n R =1lim+∞→n nn a a常微分方程 一阶微分方程 变量可分离方程dxdy=(x)(x)ϕf ⎰⎰+=C dx x f x dy)()(ϕ齐次方程dx dy =)x y (f令u=xy得y=xu则dx dy=u+x dx du f (u)= u+x dxdu一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程⎰==+'-dxx P Ce y y x P y )( 0)(一阶线性非齐次微分方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰==+'⎰-C dx e x Q e y x Q y x P y dxx P dxx P )()()()()(二阶线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y特征方程 r 2+pr+q=0(1)r 1 , r 2为相异实根 xr xr e C e C y 2121+= (2)r 为二重实根 rx e x C C y )(21+=(3)r =α ± iβ )s i n c o s (21x C x C e y xββα+= 二阶常系数非齐次线性微分方程xme x P qy y p y λ)(=+'+'' 特解 x m k e x Q x y λ)(=*其中，⎪⎩⎪⎨⎧=是二重特征根，当是单特征根，当不是特征根，当λλλ210k )(x Q m =a 0x m +a 1x m-1+…+a m-1x+a m线性代数 克莱姆法则⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++线性齐次全为线性非齐次不全为0 , 0 ,212122112222212111212111n n n n nn n n n n n n b b b b b b b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a1、非齐次的解nnn n nna a a a a a a a a 212222111211D = D ≠0 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===DD n D Dn x x x2121D j 是把系数是行列式D 中第j 列元素依次用方程组右端的常数项b 1,b 2…b n 代替后得到的n 阶行列式。

最完整高数公式大全赶紧了以后用1.极限相关公式：- 极限定义：如果对于任意一个给定的正数ε，存在正数δ，使得只要x与a的距离小于δ，则必有f(x)与L的距离小于ε，即lim(x→a)f(x)=L。

2.一元函数相关公式：- 基本求导法则：(C)'=0，(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec²x，(cotx)'=-csc²x，(secx)'=secxtanx，(cscx)'=-cscxcotx。

- 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则y'=(dy)/(dx)=(dy)/(du)*(du)/(dx)=f'(u)*g'(x)。

-高阶导数：(fⁿ(x))'=fⁿ⁻¹(x)·f'(x)，其中n为正整数。

-函数泰勒级数展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+…+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rⁿ(x)，其中Rⁿ(x)为剩余项。

- 微分方程：设y=f(x)，则dy/dx=f'(x)，d²y/dx²=f''(x)，…3.多元函数相关公式：-偏导数：设z=f(x,y)，则∂z/∂x表示在y固定的条件下对x的变化率，∂z/∂y表示在x固定的条件下对y的变化率。

-链式法则：设z=f(x,y)，x=g(u,v)，y=h(u,v)，则∂z/∂u=∂z/∂x*∂x/∂u+∂z/∂y*∂y/∂u，…- 梯度：设z=f(x₁,x₂,…,xₙ)，则gradz=(∂z/∂x₁,∂z/∂x₂,…,∂z/∂xₙ)。

- 散度：设F=(P,Q,R)为一个三维向量场，则divF=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z。