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分计算出摩擦力矩。
dM
r
mg
πR2
(2πr)dr
2mg r 2dr
R2
水平桌面
M
2mg
R2
R r 2dr 2 Rmg
0
3
o
dr r
(1) 由转动定律求 (J=mR2/2)
M 4g （作匀加速转动）
由
J 3R
0 t
可求得 t 3R 4g
１隔离物(刚)体， ２受力(矩)分析 ３由牛顿(转动)定律列方程 ４找出约束关系 ５解方程
注意此定律中的力矩和转动惯量都是针对同一转轴
解： 对 m: mg T ma
对 M：M z＝TR＝J
a R
J＝1 MR2 2
解方程得：a
m
m M
2
g
Mg
v 2ah 4mgh 2m M
2 角加速度
ur
ur
d
dt
r
d 2
dt 2
z
0
显然:定轴转动的描述仅需一个坐标．
z
0
3.角量和线量的关系
r v v r
a r
v r
anv2 rr 2当刚体绕定轴转动的 ( t ) 时，
质点直线运动
t
v v0
adt
0
t
x x0
vdt
0
刚体绕定轴转动
t
0
dt
0
t
0
dt
0
例:在高速旋转的微型电动机里,有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面并通过中心的转轴旋转.开始起动时,角 速度为零.起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 et / ) 且m 540 r s1， 2.0 s
力在转动平面内的分量；
对轴的力矩方向是沿着轴的方向
显然 : 与轴平行的力,过轴(或延长线过轴)的力对轴的
力矩均为零!!
3.刚体受到的(对轴的)合力矩
刚体是特殊的质点系, 首先考察其内两个小质元间的一对内力的合力
矩
r1
f
r
1
2
f
2
(r2 r1)
f
2
r 21
f
2
0
f1
r1
f2
r2
m,l θ mg
O
细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细
杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
解:细杆只受重力矩作用,由转动定律
1 mgl sin J 式中 J 1 ml2
2
得 3g sin
3
m,l FN θ
由角加速度的定义
2l
dω
dω
dθ
ω
dOω
2 一定要明确转轴，角动量等是针对同一转轴的。
例3:工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的
转速一起转动.如图所示.A和B两飞轮的轴杆在同一中
心 线 上 ,A 轮 的 转 动 惯 量 为 IA=10kgm2,B 的 转 动 惯 量 为 IB=20kgm2.开始时A轮的转速为600r/min,B轮静止.C为
3定轴转动的力矩和角(加)速度量的方向都沿着转轴, 可以用标量形式代替矢量形式.
4 M是刚体所受的对转轴的合外力矩；
三 角动量定理(守恒定律)--力矩的时间积累效应
由转动定律，M
dL
d (J) , 得
dt
dt
t2
Mdt
t1
L L0
dL
L2
L1
J
(2) 由 2 02
转过的角度为
2
3
可得在0到t的时间内,
2R
8g
圈数N o2 3o2R 2 2 16 g
上题若用定理(角动量定理和转动动能定理)来呢?
上题若是杆呢? 用积分法求力(矩)的例题可见教材p107 例1
系统角动量守恒的应用 (啮合、相对运动、冲击) 注意： 1 一定要注意研究系统的圈定,并分析过程，条件
mg
dt dθ dt dθ
ωdω 3g sin θdθ
2l
代入初始条件积分得 ω 3g (1 cos θ) l
其他题目
例:匀质圆盘:质量m、半径R,以o的角速度转动.现将
盘置于粗糙的水平桌面上,摩擦系数为µ,求圆盘经多少
时间、转几圈将停下来？
解: 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环，用积
Q M内
M 外
L Z
常量
４、守恒条件 M 0 Z
若 J 不变，不变；若 J变， 也变,但 L J不变. Z
如 回转仪
如:旋转的舞蹈演员
推广：若系统由多个刚体（和质点）构成，则对轴的角动量守恒怎样描述？
定轴转动的动能定理、机械能守恒定律 －力矩的空间积累效应（理解）
1.转动动能 力矩功
J0
刚体对轴的
角动量定理
即：外力矩对刚体的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。
若M 0
则 L2 L1
即 J 22 J11
刚体对轴的角动量守恒定律！！
讨论 L J 常量 Z
1、角动量守恒定律是自然界的一条基本定律.
２、内力矩不改变系统的角动量.
３、在冲击等问题中
o
刚体所受的合力矩等于所有外力矩之和。
强调： 1 求合力矩时,所有力矩必须针对同一轴
2 力矩是矢量,但对定轴转动而言,其方向是沿着轴方 向,因此可以说是所有外力矩之代数和
3 求合力矩时,因各力的位矢不同不能先求合力!!
练习：分别列出两圆柱受到的对各自转轴的合力矩
1
T2
R T3 M2
M
T2
2
r
M1 T1
E
mghc
1 2
J2
式中, hc为刚体质心到零势面的高度。
转动定律的应用
滑轮模型:例1:一个质量为Ｍ半径为Ｒ的定
滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳,绳的一
端固定在滑轮边上,另一端挂一质量为ｍ的
物体而下垂.忽略轴处摩擦,求物体由静止
下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。
此类题的一般解题步骤：
Mg
J是表示转动状态的物理量，用L表示，称角动量或动量矩
刚体定轴转动定律，是刚体转动力学的基本定律
讨论 １定轴转动定律说明力矩是刚体获得角加速度的原因; 此定理形式和作用与牛顿第二定律类似;此式具有瞬时性
２转动惯量J是描述刚体转动惯性的物理量;M一定时, J大获得的角加速度小;Ｊ小,则获得的角加速度就大.
m
明确研究对象；隔离物（刚）体；受力（受力矩）分析
注意：此类问题平动方向和转动方向最好整体一致性
二 转动定律（重点）-力矩的瞬时效应
力矩是刚体转动状态改变的根本原因.类比质点,可猜测?
当J一定时，有M J
理论推导及实验证明亦是如此。
刚体定 轴转动
定律
J是表示转动惯性大小的物理量，称转动惯量
求(1)t=6s时电动机的转速. (2)起动后,电动机在t=6s时间内转过的圈数.
(3)角加速度随时间变化的规律．
解: (1) 将 t=6s 代入 ω m (1 et / )
ω 0.95ωm 513 r s1
(2) 电动机在6s内转过的圈数为
N
6
ωdt
0
v 1 4mgh
R R 2m M
还有其他解题方法吗？
如图,若细绳绕过两个滑轮,如何求滑轮的角加速度？ 绳子的张力? 当重物下落h时,滑轮的角速度
1
T1
R m1
T1
2
r
m2
v2 2ah
T2
解:各物体受力情况如图所示
m1： T1 R
1 2
m1
R2
1
m2： T2r
m： mg
那力是不是刚体转动状态改变的根本原因呢？刚体定轴
转动的体系是怎样的呢？
以开关
门为例 首先回答第一个问题：刚体要获得角加速度,仅有力还不行
还跟力的作用点以及力的方向有关
因此对于转动问题要引入一个新的物理量来表示这种效果,
这个物理量就是力矩
**力矩 转动定律 角动量定理及守恒定律（掌握）
一力矩
1.力对点的力矩
r 是点0到作用点的位矢
o
2.力对某轴（直线）的力矩！方向 用右手螺旋法规定 M Z r F (转动平面内)
Z
是从效果角度定义力矩的
1. 若Mv力z在转rv动平Fv面内
MZ
O r
F F//
F
2.
若M力Z 不在r 转 动F平面内Fr:
: 交点O到作用点的位矢；
T1rT212m2mr 2a
2
m mg
联立方程可得解.略
a R1 r2
练习：求刚体的角加速度
1 R
r
m2
m1
体会P111例题２
杆模型
例2:一长为l、质量为m匀质细
杆竖直放置,其下端与一固定铰
链O相接,并可绕其转动.由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平 衡状态,当其受到微小扰动时，
刚体运动的描述
一.基本运动形式
A
A
刚体运动
平动 转动
定轴转动 B
A
B
一般运动 非定轴转动
B
1.平动
刚体在运动中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
平动的运动学特点：
