2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第15讲导数的概念及运算练习文(含解析)新人教A版

3.1 导数的概念及运算1、导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. ②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．2、基本初等函数的导数公式原函数导函数C x f =)(0)('=x ff (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3、导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎡⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 第三章 导数及其应用突破点一 导数的运算例1 1、求下列函数的导数：(1)y ＝e x ln x ； (2)f (x )＝xe x ； （3） y ＝x cos x －sin x[解] (1)y ′＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)y ′＝1－xe x （3） y ′＝－x sin x 2、若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝_____2e ___.3、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( C )A ．－eB ．1C ．－1D ．e4、f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( B )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于___－94_____.[方法技巧] 导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f ′(x 0)，a ，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导突破点二 导数的几何意义例2 （求切线方程）“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．1、函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ A ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-=2、曲线在点处的切线方程为_____3202x y --=_____3、已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 4、设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( D )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x5、已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝____4____.6、已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为_x －y －1＝0__．7、已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( C )A ．4B ．5C ．254D ．132[方法技巧] 求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．例 3 （求切点坐标）已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 1、曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( C )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3) 2、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是___(e ，e)_____． 3、设曲线1y x=在点(1,1)处的切线与曲线e 1xy =+在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为___(0,2)P ___. 4、若曲线22ln y x x =-的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为____2____．例4（求参数的值）1、曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝___-3_____.2、已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( D )A ．－1B ．1C ．3D ．－33、已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x (其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x －y －1＝0平行，则a ＝( C )A ．1B ．－1C ．2D ．－24、已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( B )A ．2B ．－1C ．－12D ．15、直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于___1_____． [方法技巧] 利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( C )A ．(1－e)x －y ＋1＝0B ．(1－e)x －y －1＝0C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝02、曲线y=21xx -在点（1，1）处的切线方程为( B ) A ．x-y-2=0B ．x+y-2=0C ．x+4y-5=0D ．x-4y-5=03、函数()1x f x e =+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ B ） A ．1y x =-B ．2y x =+C ．21y x =-D ．22y x =+4、已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( A )A ．－2B ．2C ．－12D.125、设()f x 是(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当0x >时，2()f x x x =-，则()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为（ D ）A ．01=--y xB ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y ++=6、设函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R)，若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( B )A.72B.52C.32D.127、若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝____8____. 8、已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝____3____.9、曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为____y ＝2x －2__________．10、函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝____2____．11、已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝___1_____.12、设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.则f (x )的解析式为 f (x )＝x －3x. 。

第三章导数及其应用内 容要 求ABC导数的概念导数的几何意义 导数的运算利用导数研究函数的单调性与极值 导数在实际问题中的应用*简单的复合函数的导数1.导数是高中数学中的重要内容,是解决实际问题的强有力的数学工具.高考对导数的考查也主要是突出它的工具性 ,即考查应用导数的知识㊁方法解决相关问题的能力.重点考查的内容包括导数的概念和计算及一些简单的应用,在考查的过程中注重与应用问题相结合,不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明.2.在近几年的高考中,对导数知识的考查由浅入深,已成为每年必考的知识点.若以填空题的形式出现,应是基础题,难度不大;但若以解答题的形式出现,应属综合题,不排除将导数知识与解析几何㊁立体几何(如2011年高考江苏卷第17题㊁2013年高考重庆文科卷第20题就考查了导数与立体几何相结合的问题)㊁函数的单调性(如2013年高考江苏卷第20题就考查了利用导数来确定含参函数的单调性问题)㊁极值㊁最值,二次函数,方程,不等式(如2014年高考江苏卷第19题就考查了导数与含参不等式恒成立相结合的问题),代数证明等知识进行交汇㊁综合.3.从这几年的高考来看,导数的常考题型有:①简单的函数求导(若是复合函数仅限于形如f (a x +b )的形式的函数求导)和利用导数的几何意义解决曲线斜率㊁倾斜角及切线的有关问题.其中 函数y =f (x )在x =x 0处的导数即表示曲线在点P (x 0,f (x 0))处的切线斜率 是最常考的几何意义之一(如2014年北京卷第20题,福建卷第22题,广东卷第11题就考查了导数的几何意义).②应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,应用导数求函数的极值和最值等.这里的函数若是多项式函数,则它的次数要求不超过三次(如2011年江西理科卷第19题,就考查了利用导数来解决三次函数的单调性问题及求函数最值问题).③应用导数解决实际问题,即从实际问题出发,建立函数模型,解决实际问题(如2013年重庆文科卷第20题就考查了利用导数来求实际问题的最值).1.复习这部分知识时应强化以下几个基本思想:(1)数形结合思想:复习本章时,要注意无论是导数概念的建立㊁利用导数的几何意义求过曲线上的任意一点的切线方程,还是解决函数的单调性㊁极值㊁最值问题,利用定积分求平面图形的面积问题,都是借助图形来帮助理解或解决的,因此本章自始至终都贯穿了数形结合的思想.(2)极限思想:导数的引入源于 局部以直代曲 ㊁ 由近似到精确 ㊁ 由有限到无限 的极限思想.在研究导数概念时,先是 局部以直代曲 研究平均变化率,进而 由近似到精确 研究瞬时变化率,从而导出导数的概念.(3)分类讨论思想:分类讨论思想也应贯穿本章复习的始终,在研究函数的平均变化率㊁瞬时变化率㊁在点x 0的导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性㊁极值㊁最值以及最优化问题中无不蕴含着分类讨论思想.许多热点问题中也蕴含着分类讨论的思想,如在解决由已知函数的单调性确定参数范围问题时,一般将问题转化为不等式的恒成立问题,再经过分类讨论求得参数的范围.(4)化归与转化思想:求函数的极值㊁最值㊁单调性㊁过点x 0处的切线方程等都是一种程序化的运算过程.在解决相关问题时只需将问题转化到上述问题,就可按程序进行解决.2.复习这部分知识时还应注意:(1)在复习时要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率,解决函数的单调性㊁极值㊁最值等方面的作用,这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径,还在于让我们掌握一种科学的语言和工具,能够加深对函数的理解和直观认识.(2)要重视导数与解析几何(特别是切线㊁最值),导数与函数的性质(特别是单调性㊁极值㊁最值),导数与方程㊁不等式㊁代数式的证明等知识进行交汇㊁综合运用的题.(3)应以课本为主,夯实基础,注重课本的例习题的改编.内 容要 求ABC导数的概念导数的几何意义1.了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义,了解导数概念的实际背景,理解导数的概念.2.理解导数的几何意义,会求简单函数的导数和曲线在一点处的切线方程.3.导数的几何意义是高考的重点㊁热点,具体考查时往往体现在求曲线的切线方程㊁切线的斜率等.因此,复习时应在求导数㊁导数的几何意义等方面多下功夫.(第1题)1.一般地,函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1,即它是函数值的改变量Δy 与相应的自变量的改变量Δx 的比;如图,平均变化率的几何意义是过点(x 1,f (x 1))及点(x 2,f (x 2))的割线的斜率.2.设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0ɪ(a ,b ).当Δx 无限趋近于0时,比值Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称该常数A 为函数f (x )在x =x 0处的导数,记作f '(x 0).3.若f (x )在区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称为f (x )的导函数,也可简称为f (x )的导数,记作f '(x ).4.导数f '(x 0)的几何意义是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.5.一般地,设s =s (t )是运动物体的位移函数,那么s '(t )的物理意义是运动物体在t 时刻的瞬时速度v (t );设v =v (t )是运动物体的速度函数,那么v '(t )的物理意义是运动物体在t 时刻的瞬时加速度a (t ).1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,则该婴儿从第6个月到第12个月体重的平均变化率为0.4k g/月.(第1题)(第2题)2.如图,曲线y =f (x )在点P 处的切线方程是y =-x +8,则f (5)+3f'(5)=0.3.一质点的运动方程为s =t 2+10(位移单位:m ,时间单位:s ),则该质点在t =3s 时的瞬时速度为6m/s .4.已知曲线y =f (x )在x =-2处的切线的倾斜角为34π,则f '(-2)=-1,[f (-2)]'=0.5.曲线y =x 2的一条切线的斜率是-4,则切点的坐标为(-2,4).6.球半径以2c m /s 的速度膨胀,当半径为5c m 时,表面积的变化率是80πc m 2/s .(例1)1.理解平均变化率㊁瞬时变化率的联系与区别例1 如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8c m ,上口宽6c m ,水以20c m 3/s 的流量倒入杯中,当水深为4c m 时,水升高的瞬时变化率为 c m /s .(结果保留π)(本题改编自选修22P 17习题1.1第13题㊁选修11P 68习题3.1第13题)点拨一 要求水升高的瞬时变化率,先得求出杯中水高度的变化量Δh ,再求出Δh Δt ,当Δt ң0时,比值ΔhΔt趋近的常数值即为水升高的瞬时变化率.解本题的另一个关键在于弄清 水流量为20c m 3/s的含义.解法一 设t s 时,水面半径为r c m ,水深为h c m ,则r h=38,于是r =38h .若此时杯中水的体积为V c m 3,则V =13πr 2h =364πh3,于是ΔV =364π[(h +Δh )3-h3]=364π[3h 2(Δh )+3h (Δh )2+(Δh )3],ΔVΔt =364π[3h2Δh Δt +3h Δh Δt(Δh )+Δh Δt (Δh )2].当Δt ң0时,若记水升高的瞬时变化率为h 't ,则Δh Δtңh 't .又水流量为20c m 3/s ,因此当Δt ң0时,ΔV Δt ң20.于是有20=364πˑ3h 2㊃h 't ,当h =4时,解得h 't =809πc m /s .反思 理解平均变化率与瞬时变化率的联系和区别是解本题的关键.设函数y =f (x )在x 0处及附近有定义,当自变量x 在x 0附近的改变量为Δx 时,函数值相应地改变Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0),则Δy Δx称作y =f (x )在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的平均变化率;当Δx ң0时,平均变化率Δy Δx趋近一个常数A ,则常数A 为函数f (x )在x 0处的瞬时变化率.点拨二 当Δt ң0时,增加的水的体积可用圆柱的体积来近似计算.解法二 当水面高度为4c m 时,可求得水面半径为32c m .设水面高度增加Δh 时,水的体积增加ΔV ,从而ΔV ʈπ322㊃(Δh )(用圆柱体积近似表示增加的水的体积),所以ΔV Δt ʈ9π4Δh Δt .当Δt ң0时,得20=94π㊃h 't ,解得h 't =809πc m /s .反思 在研究导数概念时,先是 局部以直代曲 研究平均变化率,进而 由近似到精确 研究瞬时变化率,从而导出导数的概念,这种极限的思想在解题中有着重要作用.如本例的解法二简洁㊁明了,让人耳目一新.2.利用导数的几何意义解决曲线斜率㊁倾斜角及切线的有关问题例2 (1)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,π4,则点P 横坐标的取值范围为 ;(2)(由2010年江苏卷改编)函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,k 为正整数.若a 1=16,则该函数图象在点P (a 5,a 25)处的切线方程为.点拨 第(1)题已知切线倾斜角的取值范围,从而可确定切线斜率的取值范围.不论是(1)还是(2)中曲线上点x =x 0处的切线斜率均为f '(x 0),从而将切线的斜率与切点的横坐标x 0联系起来求解.解 (1)设切点P 的横坐标为x 0,又y '=2x +2,所以切线的斜率y 'x =x 0=2x 0+2=t a n α(α为点P 处切线的倾斜角).又因为αɪ0,π4,则0ɤt a n αɤ1,即0ɤ2x 0+2ɤ1,所以x 0ɪ-1,-12.(2)因为y '=2x ,所以函数图象在点(a k ,a 2k )处的切线的斜率y '|x =a k =2a k ,此时切线方程为y -a 2k =2a k (x -a k ).令y =0,解得x =a k 2.由题知a k +1=a k2,因此数列{a n }是以a 1=16为首项㊁12为公比的等比数列,于是a 5=a 1124=16ˑ124=1,故点P 的坐标为(1,1),在P 处切线的斜率为2a 5=2,于是切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.反思 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于确定切点P 的坐标(x 0,y0)及切线的斜率.在这基础上有:若P (x 0,y0)是曲线y =f (x )上的一点,则以P 为切点的切线方程为y -y0=f '(x 0)(x -x 0).此时,特别要注意:①斜率f '(x 0)中的x 0必须是切点的横坐标;②若曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x =x 0.例3 已知曲线y =13x 3+43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程;(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.点拨 (1)求导数ң求切线斜率ң写切线方程(2)设切点ң求切点坐标ң写切线方程(3)设切点ң由k =1求切点坐标ң写切线方程解 (1)ȵy '=x 2,ʑ曲线在点P (2,4)处的切线的斜率k =y '|x =2=4,ʑ曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(2)设曲线y =13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A x 0,13x 30+43,则切线的斜率k =y '|x =x 0=x 20,ʑ切线方程为y -13x 30+43=x 20(x -x 0),即y =x 20㊃x -23x 30+43.ȵ点P (2,4)在切线上,ʑ4=2x 20-23x 30+43,即x 30-3x 20+4=0,ʑx 30+x 20-4x 20+4=0,ʑx 20(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,ʑ(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.(3)设切点坐标为(x 0,y0),故切线的斜率k =x 20=1,解得x 0=ʃ1,故切点坐标为1,53,(-1,1),故所求的切线方程为y -53=x -1和y -1=x +1,即3x -3y +2=0和x -y +2=0.反思 由(1)(2)两问的结果可以看出在点P (2,4)处的切线与过点P (2,4)的切线的区别.过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题时可先设切点坐标,再求切点,然后利用导数的几何意义确定斜率,从而求得切线方程.第(3)问已知切线斜率求切线方程,可设切点坐标,然后利用导数的几何意义求切点,从而求得切线方程.拓展 已知函数y =x 3-3x ,过点A (0,16)作曲线y =f (x )的切线,求此切线方程.提示 点A (0,16)不在曲线y =x 3-3x 上.设切点为M (x 0,x 30-3x 0),又f '(x 0)=3(x 20-1),所以切线的方程为y -(x 30-3x 0)=3(x 20-1)(x -x 0).又点A (0,16)在切线上,代入上式解得x 0=-2.因此,切点为M (-2,-2),切线方程为9x -y +16=0.提醒 圆的切线就是 与圆只有一个交点的直线 ,这个定义符合圆㊁椭圆等一类曲线,但对任意一条曲线C 不能用 与曲线C 只有一个交点 来定义曲线C 的切线.曲线的切线不再是 圆的切线 的定义,而是通过 割线逼近切线 的方法来定义曲线在某点处的切线的.如本例曲线y =x 3-2x 的一条切线5x +4y -1=0就过了曲线上-12,78和(1,-1)两点,这也说明若直线与曲线相切,公共点未必只有一个.(例4)3.深刻理解函数及其导函数之间的联系,并能灵活地用于解题例4 已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如右图所示,那么y =f (x ),y =g (x )的图象不可能是 .(填序号)点拨 本题考查的是导函数的几何意义,从导函数的图象能反映斜率的变化情况.解 从导函数的图象可知这两个函数在x 0处的切线的斜率相同,因此②是错误的;再者导函数的函数值反映的是原函数的切线的斜率大小,从图中可明显看出导函数y =f'(x )的值随着x 的变大而减小,所以反映在原函数的图象应该是随着x 的增大,在点(x ,f (x ))处切线的斜率慢慢变小,所以①③也是错误的.同理,再由y =g '(x )的值的变化情况去验证y =g (x )的斜率变化情况,可知④是正确的.所以本题应填①②③.反思 导函数y =f '(x )表示曲线在点(x ,f (x ))处的切线的斜率,当y =f '(x )的值随着x 增大而增大时,原函数y =f (x )图象上各点处的切线的斜率越来越大,它的图象是 下凸 的;而当y =f '(x )的值随着x 增大而减小时,原函数y =f (x )图象上各点处的切线的斜率越来越小,它的图象是 上凸 的.反之,若已知函数图象是 下凸 的,则说明图象上各点处的切线的斜率越来越大,y =f '(x )的值则随x 增大而增大;若已知函数图象是 上凸 的,则说明图象上各点处的切线的斜率越来越小,y =f '(x )的值则随x 增大而减小.由此可见函数的 凸性 反映了函数值的变化速率,各点处切线斜率的变化快慢,它是高等数学中的一个概念,对这类知识迁移的题的复习也应引起我们的注意.拓展 已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f '(x )在R 上也可导,且[f'(x )]'<0,则y =f (x )的图象可能是下列各图中的②③.(只需填相应的序号即可)提示 由[f'(x )]'<0可知函数f '(x )在(-ɕ,+ɕ)上是减函数,说明函数f (x )图象上各点处的切线的斜率随着x 的增大而减小(f (x )图象呈 上凸 形),只有②③正确.1.要正确理解平均变化率㊁瞬时变化率㊁导数的概念及其相互关系.2.注意导数的意义.几何意义:f'(x 0)是曲线y =f (x )在切点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率;物理意义:s '(t 0)是当物体的运动方程为s =s (t )时,物体在t 0时的瞬时速度.3.求函数图象的切线时,要分清是在某点处的切线还是过某点的切线.若是过某点的切线,则通常先设出切点坐标,写出切线方程,通过建立方程或方程组求解.需要注意的是直线与曲线相切时,公共点未必只有一个.1.(根据选修22P 16习题1.1第9题㊁选修11P 67习题3.1第9题改编)若g (x +h )-g (x )=h x 2+h x(x ʂ0),用割线逼近切线的方法求得g '(x )=1x2.2.(根据选修22P 7练习第2题㊁选修11P 59练习第2题(第2题)改编)甲㊁乙两家企业在1~4月的利润情况如图所示(其中W 1(t ),W 2(t )分别表示甲㊁乙两企业的利润),比较这两家企业的利润增长快慢,企业乙好些.3.(根据选修22P 16习题1.1第11题㊁选修11P 68习题3.1第11题改编)函数f (x )=5x +4在区间[0,1]上的平均变化率为5.4.(根据选修22P 16习题1.1第4题㊁选修11P 67习题3.1第4题改编)曲线y =x 2在点P (-2,4)处的切线方程为4x +y +4=0,在点(a ,a 2)处的切线方程为2a x -y-a 2=0.5.(根据选修22P 16习题1.1第10题㊁选修11P 68习题3.1第10题改编)已知曲线f (x )=-x 3在点P (x 0,f (x 0))(x 0<0)处的切线与直线x -27y -135=0垂直.(1)求f (x 0)+f '(x 0)的值;(2)求该切线与坐标轴所围成三角形的面积.(答案:(1)0;(2)54)内 容要 求ABC导数的运算*简单的复合函数的导数1.理解导数的定义,能根据导数的定义,求函数y =c ,y =x ,y =x 2,y =1x,y =x 的导数.2.了解基本初等函数的导数公式;了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.*3.能求简单的复合函数(仅限于形如f (a x +b ))的导数.4.本部分的知识在高考中常以计算为主,主要在填空题或解答题的某个环节中出现.注意本部分知识作为工具和其他知识(如函数㊁方程㊁不等式㊁解析几何)结合起来综合应用的题.1.几个常见函数的求导公式:(1)(k x +b )'=k (k ,b 为常数);(2)C '=0(C 为常数); (3)(x )'=1;(4)(x 2)'=2x ;(5)(x 3)'=3x 2;(6)1x'=-1x 2;(7)(x )'=12x.2.基本初等函数的求导公式:(1)幂函数的导数:(x α)'=αx α-1(α为常数);(2)指数函数的导数:(a x '=a x l n a (a >0,且a ʂ1);(e x )'=e x ;(3)对数函数的导数:(l o ga x )'=1x l o g a e =1x l n a(a >0,且a ʂ1);(l n x )'=1x;(4)三角函数的导数:(s i n x )'=c o s x ;(c o s x )'=-s i n x .3.函数的和㊁差㊁积㊁商的求导法则:设f (x ),g (x )是可导的,则(1)[f (x )ʃg (x )]'=f '(x )ʃg '(x );(2)[C f (x )]'=C f'(x )(C 为常数);(3)[f (x )g (x )]'=f '(x )g (x )+f (x )g'(x );(4)f (x )g (x )'=f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g 2(x )(g (x )ʂ0).*4.简单复合函数的求导法则:一般地,若y =f (u ),u =a x +b ,则y 'x =y 'u ㊃u 'x ,即y 'x =y 'u ㊃a .也就是说y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.1.(1)函数f (x )=x 2+x 的导数f '(x )=2x +12x ;(2)函数g (x )=x 3-32x 2-6x +2的导数g '(x )=3x 2-3x -6;(3)函数h (x )=x 2+1x 的导数h '(x )=1-1x 2;(4)函数y =x e x 的导数y '=(1+x )e x .2.下列算式中正确的序号是②③.①x +1x '=1+1x 2; ②(l o g2x )'=1x l n 2; ③(3x )'=3x ㊃l n 3; ④(x 2c o s x )'=-2x s i n x .3.设函数f (x )=x 2-2x -4l n x ,则f '(x )>0的解集为(2,+ɕ).4.曲线y =1x在点2,12处的切线方程为x +4y -4=0.5.已知点P (2,2)在曲线y =a x 3+b x 上,如果该曲线在点P 处切线的斜率为9,那么a b =-3.6.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是2,过点P 的切线恰好过原点,则c =4.1.利用求导公式㊁求导法则求导例1 求下列函数的导数:(1)y =(2x 2+3)(3x -2);(2)y =x -si n x 2c o s x 2;(3)y =ta n x ;*(4)y =2x +ln (1-5x ).点拨 第(1)题可利用函数积的求导法则进行求导,还可利用多项式乘法,先将原函数解析式化为多项式后再求导;第(2)题利用三角恒等变化对函数解析式化简后再求导;第(3)题t a n x =s i n x c o s x,将原函数化归为熟知的求导公式的函数的商后,再求导;第(4)题复合函数的求导.解 (1)方法一:y'=(2x 2+3)'(3x -2)+(2x 2+3)(3x -2)'=4x (3x -2)+(2x 2+3)ˑ3=18x 2-8x +9.方法二:因为y =(2x 2+3)(3x -2)=6x 3-4x 2+9x -6,所以y '=18x 2-8x +9.(2)因为y =x -s i n x 2c o s x 2=x -12s i n x ,所以y '=1-12c o s x .(3)y '=s i n x c o s x '=(s i n x )'c o s x -s i n x (c o s x )'(c o s x )2=c o s 2x +s i n 2x c o s 2x =1c o s2x .(4)y'=(2x )'+[l n (1-5x )]'=2x l n 2+(1-5x )'1-5x=2xl n 2+55x -1.反思 (1)求导数时,先化简再求导是运算的基本方法,这样可以减少运算量.一般地,分式函数求导,要尽可能先将原函数化为整式函数或较简单的分式函数;对数函数求导要先化成和㊁差形式;三角函数求导,要先利用恒等变换进行变形或化简(如第(2)题),然后再利用求导公式或求导法则进行求导.(2)复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层求导,每次求导针对的均是外层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指已可以直接引用基本公式进行求导(如第(4)题).(3)注意化归思想在解题中的应用(如第(3)题).拓展 求下列函数的导数.(1)y =(x 2-2x +3)e 2x ;(2)y =3x 2-x x +5x -9x.(答案:(1)y'=2(x 2-x +2)e 2x ;(2)y '=9x 21+1x2-1)提醒 牢记求导公式㊁求导法则的结构和形式,不要混淆.如:f (x )g (x )'ʂf '(x )g '(x ),且f (x )g (x)'ʂf '(x )g (x )+f (x )g '(x )g 2(x);[f (x )g (x )]'ʂf '(x )g '(x )等.2.数形结合,利用导数的几何意义解题(例2)例2 如图,已知抛物线y =x -x 2上两点A ,B 的横坐标分别是-1,1,在抛物线的弧A B ︵上求一点C ,使әA B C的面积最大.点拨一 依题可知A B 为定值,所以只要点C 到A B 的距离最大,әAB C 的面积就最大.尝试从导数的几何意义出发进行分析,可知当C 为抛物线上与直线A B 平行的切线的切点时满足题意,于是问题转化为求此时点C的坐标.解法一 设C (x 0,y0)(-1<x 0<1).要使әA B C 的面积最大,只需点C 到直线A B 的距离最大即可,此时抛物线在点C 处的切线与直线A B 平行.因为y =x -x 2,所以y '=1-2x ,所以y 'x =x 0=1-2x 0.又直线A B 的斜率为1,所以1-2x 0=1,解得x 0=0.所以当点C 的坐标为(0,0)时,әA B C 的面积最大.点拨二 尝试设出点C 的坐标,构建点C 到直线A B 的距离d 的函数来求解.解法二 设C (x 0,x 0-x 20)(-1<x 0<1).要使әA B C 的面积最大,只需点C 到直线A B 距离最大即可.又直线A B 经过点A (-1,-2),B (1,0),所以直线A B 的方程为x -y -1=0.设点C 到直线A B 的距离为d ,则d =|x 0-(x 0-x 20)-1|2=12|x 20-1|.又-1<x 0<1,所以当x 0=0时,d 取得最大值.所以当点C 的坐标为(0,0)时,әA B C 的面积最大.反思 (1)解法一是通过数形结合,利用切线的性质,将问题转化为切线问题,从而利用导数知识来求解,解法直观㊁明了.此时,注意若在弧A B ︵上求出的点C 不止一个,需比较它们到直线A B 的距离大小来取舍,这是因为在函数y =f (x )可导条件下,过点C 与A B 平行的直线与曲线相切仅仅是әA B C 的面积最大的必要不充分条件.(2)解法二是利用函数思想来求解的,这也是一种常用的思想方法.此时,特别要注意根据题意确定自变量的取值范围.拓展 曲线y =l n (2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是 5 .3.待定系数法与导数结合确定函数的解析式或曲线的方程例3 (由2011年湖北文科卷20题改编)设函数f (x )=x 3+2a x 2+b x +a ,g (x )=x 2-3x +2,其中x ɪR ,a ,b 为常数.已知曲线y =f (x )与y =g (x )在点P (2,0)处有相同的切线l ,求y =f (x )的解析式及切线l 的方程.点拨 求参数a ,b 的值,尝试通过条件点P 分别在切线和函数的图象上,及f '(2)的几何意义来联立方程组求解.解 f '(x )=3x 2+4a x +b ,g'(x )=2x -3.由于曲线y =f (x )与y =g (x )在点P (2,0)处有相同的切线,所以有f (2)=g (2)=0,f '(2)=g '(2)=1.由此得8+8a +2b +a =0,12+8a +b =1,解得a =-2,b =5.所以f (x )=x 3-4x 2+5x -2,切线l 的方程为x -y -2=0.反思 (1)待定系数法是一类常用的确定参数值的方法.在许多涉及导数知识的综合题中,确定函数的解析式或曲线的方程往往是解题的最基础的一步,而待定系数法与导数的运算法则㊁几何意义㊁单调性㊁极大(小)值等知识的结合,通过列方程(组)来确定参数的值也是我们常用的一种解题的思路.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘和运用.如本题已知点P (2,0)处的切线方程,这就意味着点P 的坐标既适合曲线方程又适合该点处的切线方程.拓展 已知函数f (x )的导函数f '(x )是一次函数,且对任意的x 均有x 2f '(x )-(2x -1)f (x )=1成立,试确定f (x )的解析式.提示 由f '(x )是一次函数可知f (x )是二次函数,设f (x )=ax 2+b x +c (a ʂ0)①,则f '(x )=2a x +b ②.将①②代入已知条件,得x 2(2a x +b )-(2x -1)(a x 2+b x +c )=1,即(a -b )x 2+(b -2c )x +c -1=0.要使该方程对任意的x 都成立,则需满足a =b ,b =2c ,c =1,解得a =2,b =2,c =1,所以f (x )=2x 2+2x +1.4.应用导数的工具性,分析㊁解决与其他数学知识交汇的问题例4 (1)设函数f (x )=x m +a x 的导数f '(x )=2x +1,试求数列1f (n )(n ɪN *)的前n 项和;(2)对正整数n ,设曲线y =x n (1-x )在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,试求数列a nn +1的前n 项和.点拨 这两题均是导数与数列的综合应用题,第(1)题的关键是根据导数的相关知识确定f (x )的解析式;第(2)题确定a n 为关键.解 (1)因为f '(x )=m x m -1+a ,又f '(x )=2x +1,所以m =2,a =1,即f (x )=x 2+x .所以f (n )=n2+n =n (n +1).于是数列1f (n)(n ɪN *)的前n 项和S n =11ˑ2+12ˑ3+13ˑ4+ +1n (n +1)=1-12+12-13+13-14+ +1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.即S n =n n +1.(2)因为y 'x =2=-2n -1(n +2),所以切线方程为y +2n=-2n -1(n +2)(x -2).令x =0,求出切线与y 轴的交点的纵坐标y 0=(n +1)2n ,即a n =(n +1)2n ,所以a n n +1=2n ,则数列a n n +1的前n 项和S n =2+22+ +2n=2(1-2n )1-2=2n +1-2.即S n =2n+1-2.反思 灵活㊁综合地运用导数的有关知识,创造性地分析㊁解决相关问题,这是导数的应用在高考中的重要体现,也是高考的热点问题之一.复习这部分知识时要注意对求导公式进行归纳㊁比较,从而形成知识网络,这样即有利于增强知识的记忆,又有利于灵活应用所学知识.如f (x )=1x 可以化为f (x )=x -1,这样由幂函数的导数可得f '(x )=-1㊃x -2=-1x2;同理,(x )',(x 2)',(x 3)',(x )'均可归纳为幂函数的求导.又如指数函数(e x )'可归纳为(a x )'的求导;对数函数(l n x )'可归纳为(l o ga x)'的求导.1.(根据选修22P 24练习第2题㊁选修11P 71练习第2题改编)曲线y =c o s x 在点P π2,0处的切线方程为2x +2y -π=0.2.(根据选修22P 20练习第4题㊁选修11P 71练习第4题改编)有以下函数:①f (x )=1x3;②f (x )=x 4;③f (x )=c o s x ;④f (x )=l n x ,其中能以直线y =12x +b 作为其图象的切线的函数有②③④.(只需填相应的序号即可)3.(根据选修22P 22练习第6题改编)已知函数f (x )(f (x )ʂ0)的导数是f '(x ),则函数1f (x )的导数为-f '(x )f 2(x).4.(根据选修22P 26习题1.2第10题改编)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系S (t )=3s i n π12t +2π3(0ɤt ɤ24),其中S 的单位是m ,t 的单位是h ,则20时潮水起落的速度为π8m /h .(结果保留π)5.(根据选修22P 22例3(2),选修11P 72例3(2)改编)已知曲线y =x 2+1x(x >0).(1)求曲线在x =2处的切线方程;(2)求曲线上的点到直线3x -4y -11=0的距离的最小值.(答案:(1)3x -4y +4=0;(2)3)内 容要 求A BC利用导数研究函数的单调性与极值ɿ 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.了解函数的极大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值.3.高考对这部分知识的考查主要是导数的工具性.命题时,往往与函数结合在一起,还涉及不等式㊁方程的解的情况等知识.题型主要以综合解答为主,也有填空题,主要考查利用导数来研究函数的单调性及函数的极值等问题,这是近几年高考的一大热点问题,应引起我们的关注.1.一般地,对于函数y =f (x ),如果在某区间上f '(x )>0,那么f (x )为该区间上的增函数;如果在某区间上f'(x )<0,那么f (x )为该区间上的减函数.2.一般地,确定函数y =f (x )单调区间的步骤:(1)确定函数y =f (x )的定义域;(2)求导函数f '(x );(3)在定义域范围内解不等式f '(x )>0,求得的相应区间是函数f (x )的单调增区间;解不等式f '(x )<0,求得的相应区间是函数f (x )的单调减区间.3.设函数f (x )在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有点,都有f (x )<f (x 0),则f (x 0)是函数f (x )的一个极大值;如果对x 0附近的所有点,都有f (x )>f (x 0),则f (x 0)是函数f (x )的一个极小值.4.一般地,确定函数y =f (x )的极值的步骤:(1)确定函数y =f (x )的定义域;(2)求函数f (x )的导数f '(x ),令f '(x )=0,求方程f'(x )=0的所有实数根;(3)考察f '(x )在各实数根左㊁右的值的符号:①如果在x 0两侧f '(x )符号相同,说明x 0不是f (x )的极值点;②如果在x 0附近的左侧f '(x )>0,右侧f '(x )<0,那么f (x 0)是极大值;③如果在x 0附近的左侧f '(x )<0,右侧f'(x )>0,那么f (x 0)是极小值.1.函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调增区间为(-ɕ,0),(2,+ɕ),单调减区间为(0,2),极大值为7,极小值为-1.2.函数f (x )=1x l n x(x >0且x ʂ1)的单调减区间为1e ,1,(1,+ɕ).3.若函数f (x )=x 3+b x 2+c x +d 的单调减区间为[-1,2],则b =-32,c =-6.4.函数f (x )=x 3+mx 2+x +1在R 上没有极值点,则m 的取值范围为[-3,3].5.函数f (x )=2x 3-3x 2+a 的极大值为6,那么a 的值为6.6.已知函数f (x )=x 3+a x 在[1,+ɕ)上是增函数,则a 的最小值是-3.1.确定函数的单调性及由函数的单调性确定参数的取值范围例1 (1)(2012年苏州调研)函数y =1x+2l n x 的单调减区间为 ;(2)已知二次函数f (x )=-a 2x 2+(a -2)2x +1在区间(-1,1)上是单调增函数,则a 的取值范围为 ;*(3)若f (x )=-12x 2+b l n (x +2)在(-1,+ɕ)上是单调减函数,则b 的取值范围是 .点拨 第(1)问可先求出导数f '(x ),再令f '(x )<0,解出x 的取值范围,即可求出单调减区间.第(2)㊁(3)问由f (x )在区间D 上单调递增(减),知f (x )的导数f '(x )在区间D 上f '(x )ȡ0(f '(x )ɤ0)恒成立,由此将问题转化为不等式恒成立问题求解.解 (1)函数的定义域为(0,+ɕ),y'=-1x2+2x =2x -1x2.令y '<0,即2x -1<0,可得x <12.又x >0,所以单调减区间为0,12.(2)由f (x )在区间(-1,1)上是增函数,可知在区间(-1,1)上导数f '(x )=-a x +(a -2)2ȡ0恒成立.此时,只需满足条件f'(-1)ȡ0,f'(1)ȡ0,即a 2-3a +4ȡ0,a 2-5a +4ȡ0,解得a ȡ4或a ɤ1.经检验a =4或1时,也符合条件.又由f (x )为二次函数,所以a ʂ0,所以a 的取值范围为(-ɕ,0)ɣ(0,1]ɣ[4,+ɕ).(3)由f (x )=-12x 2+b l n (x +2)在(-1,+ɕ)上是减函数,可知在区间(-1,+ɕ)上导数f '(x )=-x +bx +2ɤ0恒成立.因为x >-1,x +2>0,所以只需b ɤx (x +2)=(x +1)2-1恒成立即可,而(x +1)2-1的最小值为-1,所以只需b ɤ-1即可.当b =-1时,f'(x )=-x -1x +2在x ɪ(-1,+ɕ)恒不为零,即此时f (x )在(-1,+ɕ)上为减函数,符合题意.所以b 的取值范围是(-ɕ,-1].反思 (1)利用导数确定函数的单调区间时,首先得确定函数的定义域,这是易错之处.(2)已知函数f (x )在区间D 上是增函数(或减函数)求参数的取值范围,一般可用不等式恒成立理论来求解,即令f '(x )ȡ0(或f'(x )ɤ0)在区间D 上恒成立解出参数的取值范围.此时,应注意对取等号时的参数值进行检验,看这个值是否使f '(x )恒等于0,若恒等于0,则参数的这个值应舍去(检验过程可以不写,但这个过程不能省略).如本例(3)中当b =-1时,f '(x )=-x -1x +2恒不为零,所以能取-1.由此可知f '(x )>0(或f '(x )<0)是f (x )在区间D 上的增(减)函数的充分不必要条件.(3)恒成立问题是高考的热点问题之一,常用的解题策略有两种:① 分离变量法 .即若关于x 的不等式f (x ,λ)ȡ0(或f (x ,λ)ɤ0)(*)在区间D 上恒成立,要求实参数λ的取值范围,如果能将不等式(*)化为F (λ)ȡG (x )(或F (λ)ɤG (x ))的形式,且可求出G (x )在区间D 上的最大(最小)值,那么不等式(*)在区间D 上恒成立的充要条件是F (λ)ȡG (x )m a x (或F (λ)ɤG (x )m i n ).② 函数法 .本例(2)若用 分离变量法 解则相当复杂,但从一次函数的角度来求解,则简便多了.对于一次函数f (x )=ax +b (a ʂ0),若它在x ɪ[m ,n ]上恒大于零⇔f (m )>0,f (n )>0;若它在x ɪ[m ,n ]上恒小于零⇔f (m )<0,f (n )<0.拓展 已知函数f (x )=a x +1x +2在(-2,+ɕ)内单调递减,则实数a 的取值范围为-ɕ,12.反思 想想看,为什么不能取a =12.提醒 求函数y =f (x )的单调增(减)区间,只需在定义域范围内解不等式f '(x )>0(f'(x )<0)即可.反过来,若已知f (x )在区间D 上单调递增(减),求f (x )中参数的取值范围,此时可将问题转化为f '(x )ȡ0(f'(x )ɤ0)在D 上恒成立问题求解.但此时一定要注意对结果中参数能否取等号进行检验.2.由函数的极值确定参数的值例2 已知函数f (x )=x 3+a x 2+b x +c ,当x =-1时,取得极大值7;当x =3时,取得极小值.求a ,b ,c 的值及函数的极小值.点拨 通过极值点与导数的关系,可知函数f (x )的极值点为f'(x )=0的根,这样可得到两个相等关系f '(-1)=0,。

第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数f ()和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f ()，∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f ()，∈A 中，叫做自变量，的取值范围A 叫做函数的定义域；与的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f ()|∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f ()＝2，g ()＝x 2B ．f ()＝(x )2x ，g ()＝x(x )2C ．f ()＝1，g ()＝(－1)0D ．f ()＝x 2－9x ＋3，g ()＝－3解析：选B 选项A 中，f ()＝2与g ()＝x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B 中，二者的定义域都为{|＞0}，对应关系也相同；选项C 中，f ()＝1的定义域为R ，g ()＝(－1)0的定义域为{|≠1}；选项D 中，f ()＝x 2－9x ＋3的定义域为{|≠－3}，g ()＝－3的定义域为R .2．若函数y ＝f ()的定义域为{|－3≤≤8，≠5}，值域为{y |－1≤y ≤2，y ≠0}，则y ＝f ()的图象可能是( )解析：选B 根据函数的概念，任意一个只能有唯一的y 值和它对应，故排除C 项；由定义域为{|－3≤≤8，≠5}排除A 、D 两项，故选B.3．函数f ()＝2x －1＋1x －2的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得≥0且≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝________. 解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案：15．已知函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________. 解析：∵函数f ()＝a 3－2的图象过点(－1,4)， ∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f ()＝－23－2， ∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20. 答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2＋x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f ()＝2的解为________．解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝0. 当＞0时，log 2＝2，得＝4；当≤0时，2＋＝2，得＝－2或＝1(舍去)． 所以f ()＝2的解为－2或4. 答案：0 －2或42．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2＋5，则f ()＝________. 解析：令t ＝1x ， ∴＝1t . ∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f ()＝5x ＋1x 2(≠0)．答案：5x ＋1x 2(≠0)考点一 函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．y ＝x －12x－log 2(4－2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y ＝f (2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f ()的定义域为________．解析：因为y ＝f (2－1)的定义域为[－3，3]，所以∈[－3， 3 ]，2－1∈[－1,2]，所以y ＝f ()的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． 解析：若函数f ()＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ， 则2＋a ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为[－2,2]． 答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f ()的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g ())的定义域由不等式a ≤g ()≤b 求出； ②若已知函数f (g ())的定义域为[a ，b ]，则f ()的定义域为g ()在∈[a ，b ]时的值域． 考点二 求函数的解析式(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2，求f ()的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg ，求f ()的解析式；(3)已知f ()是二次函数，且f (0)＝0，f (＋1)＝f ()＋＋1，求f ()； (4)已知函数f ()满足f (－)＋2f ()＝2，求f ()的解析式． 解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f ()＝2－2，≥2或≤－2，故f ()的解析式是f ()＝2－2，≥2或≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又＞0，所以t ＞1，故f ()的解析式是f ()＝lg2x －1，＞1. (3)(待定系数法)设f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f ()＝a 2＋b ， 又由f (＋1)＝f ()＋＋1，得a (＋1)2＋b (＋1)＝a 2＋b ＋＋1， 即a 2＋(2a ＋b )＋a ＋b ＝a 2＋(b ＋1)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f ()＝122＋12，∈R .(4)(解方程组法)由f (－)＋2f ()＝2，① 得f ()＋2f (－)＝2－，② ①×2－②，得，3f ()＝2＋1－2－. 即f ()＝2x ＋1－2－x3.所以f ()的解析式是f ()＝2x ＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f (－1)＝xx ＋1，则函数f ()的解析式为( ) A ．f ()＝x ＋1x ＋2B ．f ()＝x x ＋1 C ．f ()＝x －1xD ．f ()＝1x ＋2解析：选A 令－1＝t ，则＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f ()＝x ＋1x ＋2. 2．若二次函数g ()满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g ()＝________. 解析：设g ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g ()＝32－2.答案：32－23．已知f ()满足2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，则f ()＝________. 解析：∵2f ()＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，① 把①中的换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f ()＝2－1x (≠0)． 答案：2－1x(≠0)考点三 分段函数(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x ，x ＜0，则f (－2)＋f (4)＝( )A.109 B.19 C ．87D.7309解析：选B 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜1，3x －7，x ≥1，则不等式f ()＜2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：选A 当＜1时，f ()＜2可化为log 2(1－)＜2，即0＜1－＜4，解得－3＜＜1；当≥1时，f ()＜2可化为3－7＜2，即3＜9，得1≤＜2.综上，不等式f ()＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝________，若f (f (a ))＝1，则实数a 的值为________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫23＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝2.对f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )＜1，2f (a )，f (a )≥1，当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1；当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1；当a ≥1时，f (a )＝2a ≥2＞1，∴f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a ＜23，23a －1，23≤a ＜1，22a，a ≥1，由f (f (a ))＝1，得3(3a －1)－1＝1，∴a ＝59＜23，符合题意；23a －1＝1，a ＝13＜23，舍去；22a ＝1不成立，舍去．故所求实数a 的值为59.答案：2 59[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起．[演练冲关]1．已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＋2x －2，x ≥0，f (x ＋3)，x ＜0，则f (－2 019)＝________.解析：因为当＜0时，f ()＝f (＋3)，所以f (－2 019)＝f (－3×673)＝f (0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，－(x －1)2＋1，x ＜0，作出函数f ()的大致图象如图所示，由图象可知，函数f ()在R 上单调递增，由f (2－a 2)＞f (|a |)，得2－a 2＞|a |.当a ≥0时，有2－a 2＞a ，即(a ＋2)(a －1)＜0，解得－2＜a ＜1，所以0≤a ＜1；当a ＜0时，有2－a 2＞－a ，即(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2，所以－1＜a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·杭州调研)函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得＞2且≠3，所以函数y ＝log 2(2－4)＋1x －3的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2－5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B 令t ＝12－1，则＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 3．(2018·萧山质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.4．已知f ()满足f ⎝⎛⎭⎫3x －1＝lg ，则f ⎝⎛⎭⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得＝10，∴f ⎝⎛⎭⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．(2018·绍兴模拟)设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________，方程f (f ())＝1的解集为____________．解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12. ∵＜0时，0＜e ＜1，＝0时，e ＝1， ∴当f ()≤0时，由方程f (f ())＝1，可得f ()＝0， 即ln ＝0，解得＝1.当f ()＞0时，由方程f (f ())＝1， 可得ln f ()＝1，f ()＝e ， 即ln ＝e ，解得＝e e . 答案：12{1，e e }二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝||，若f (0)＝4，则0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B 当≥0时，f ()＝2，f (0)＝4， 即20＝4，解得0＝2.当＜0时，f ()＝－2，f (0)＝4，即－20＝4，无解． 所以0＝2，故选B.2．(2019·台州模拟)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.3．(2018·金华模拟)函数f ()＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x ＞2且x ≠3， ∴3＜≤4或2＜＜3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．4．(2018·金华联考)若函数f ()的定义域是[1,2 019]，则函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[0,2 018] B ．[0,1)∪(1,2 018] C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知，1≤＋1≤2 019，解得0≤≤2 018，又≠1，所以函数g ()＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．5．(2019·义乌质检)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎫－1，12C.⎣⎡⎭⎫－1，12D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意知y ＝ln (≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f ()的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12，故选C.6．(2018·湖州月考)定义在R 上的函数g ()满足：g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9，则g ()＝________.解析：∵g ()＋2g (－)＝e ＋2e x －9， ①∴g (－)＋2g ()＝e －＋2e －x－9， 即g (－)＋2g ()＝2e ＋1e x －9，②由①②联立解得g ()＝e －3. 答案：e －37．(2018·嘉兴高三测试)已知a 为实数，设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，则f (2a ＋2)的值为________．解析：∵函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x ＜2，log 2(x －2)，x ≥2，而2a ＋2＞2，∴f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a . 答案：a8．(2018·稽阳联考)已知f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝12，则a ＝________；若f ()的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋4x －a ，x ＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋1＝12， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋412－a ＝12＋8－a ＝12，得a ＝8. 由y ＝＋1，≤0，得y ≤1； 由y ＝＋4x －a ，＞0，得y ≥4－a ， ∵f ()的值域为R ，∴4－a ≤1，解得a ≥3.答案：8 [3，＋∞)9．记为不超过的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2[x ]－1，x ≥1，x 2＋1，x ＜1，则f (f (－1.2))＝________，f ()≤3的解集为________．解析：根据的定义，得f (f (－1.2))＝f (2.44)＝2[2.44]－1＝3. 当≥1时，由f ()＝2－1≤3， 得≤2，所以∈[1,3)； 当＜1时，由f ()＝2＋1≤3，得－2≤＜1.故原不等式的解集为[－2，3)． 答案：3 [－2，3)10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x ，y ＝2＋2.(2)因为y ＝2＋2，令＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，若f (m )＞f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x ＜0，－ln x ，x ＞0，当m ＞0时，f (m )＞f (－m )，即－ln m ＞ln m ，即ln m＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )＞f (－m )，即ln(－m )＞－ln(－m )， 即ln(－m )＞0，解得m ＜－1. 综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(0,1)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋m ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)的关系图．(1)求出y 关于的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x100(≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤≤70.∵≥0，∴0≤≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f()的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，2当1＜2时，都有f(1)＜f(2)，那么就说函数f()在区间D上是增函数当1＜2时，都有f(1)＞f(2)，那么就说函数f()在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f()在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f()在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f()的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f()的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的∈I，都有f()≤M；②存在0∈I，使得f(0)＝M①对于任意∈I，都有f()≥M；②存在0∈I，使得f(0)＝M结论M为函数y＝f()的最大值M为函数y＝f()的最小值[小题体验]1．给定函数①y＝12，②y＝log12(＋1)，③y＝|－1|，④y＝2＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A．①②B．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝12在(0,1)上递增；②∵t ＝＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，∴y ＝log 12(＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|－1|在(0,1)上递减；④∵u ＝＋1在(0,1)上递增，且2＞1，∴y ＝2＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2019·绍兴调研)函数f ()＝⎝⎛⎭⎫13－log 2(＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13在R 上单调递减，y ＝log 2(＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f ()在[－1,1]上单调递减，故f ()在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：33．(2018·丽水模拟)已知函数 f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x ＞1，－x 2－2x ＋3，x ≤1，则f (f (3))＝________，f ()的单调递减区间是________．解析：∵f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋3＝4. 当≤1时，f ()＝－2－2＋3＝－(＋1)2＋4，对称轴＝－1，f ()在[－1,1]上单调递减，且f (1)＝0， 当＞1时，f ()单调递减，且f ()＜f (1)＝0， ∴f ()在[－1，＋∞)上单调递减． 答案：4 [－1，＋∞)1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f ()在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f ()＝1x.3．两函数f ()，g ()在∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f ()＋g ()也为增(减)函数，但f ()·g ()，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f ()的图象如图所示，则函数y ＝f ()的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7] 2．函数f ()＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________，最小值是________． 解析：因为f ()＝2x －1在[－6，－2]上是减函数，所以当＝－6时，f ()取得最大值－27.当＝－2时，f ()取得最小值－23.答案：－27 －23考点一 函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f ()＝3－ B ．f ()＝2－3 C ．f ()＝－1x ＋1D ．f ()＝－||解析：选C 当＞0时，f ()＝3－为减函数； 当∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f ()＝2－3为减函数， 当∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f ()＝2－3为增函数； 当∈(0，＋∞)时，f ()＝－1x ＋1为增函数；当∈(0，＋∞)时，f ()＝－||为减函数． 2．试讨论函数f ()＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：(定义法)设－1＜1＜2＜1，f ()＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (1)－f (2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜1＜2＜1，所以2－1＞0，1－1＜0，2－1＜0， 故当a ＞0时，f (1)－f (2)＞0，即f (1)＞f (2)， 函数f ()在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (1)－f (2)＜0，即f (1)＜f (2)， 函数f ()在(－1,1)上递增． 法二：(导数法)f ′()＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a (x －1)2. 当a ＞0时，f ′()＜0，函数f ()在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′()＞0，函数f ()在(－1,1)上递增． 3．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性． 解：法一：任取1，2∈(－1，＋∞)，且1＜2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵1＞－1，2＞－1，∴1＋1＞0，2＋1＞0， 又1＜2，∴2－1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即y 1－y 2＞0.∴y 1＞y 2， ∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． 法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1. ∵y ＝＋1在(－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数， ∴y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－2＋2||＋1； (2)y ＝log 12(2－3＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝2－3＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝2－3＋2的复合函数．令u ＝2－3＋2＞0，则＜1或＞2.∴函数y ＝log 12(2－3＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝2－3＋2的对称轴＝32，且开口向上．∴u ＝2－3＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(2－3＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．函数f ()＝⎝⎛⎭⎫122x x -的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由－2≥0，得0≤≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f ()的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1. 2．(2018·温州十校联考)函数f ()＝lg(9－2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f ()＝lg(9－2)，令t ＝9－2＞0，解得－3＜＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g ()＝9－2，则函数f ()＝lg(g ())，又函数g ()在定义域内的增区间为(－3,0]． 所以函数f ()＝lg(9－2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]． 答案：(－3,3) (－3,0]考点三 函数单调性的应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．(2018·台州三区适应性考试)已知函数f ()＝2＋a 3＋b sin (a ＞0，b ＞0)，若∈[0,1]时，f ()的最大值为3，则∈[－1,0)时，f ()的最小值是________．解析：因为函数f ()＝2＋a 3＋b sin 在区间[－1,1]上为单调递增函数．所以当∈[0,1]时，f ()的最大值为f (1)＝2＋a ·13＋b sin 1＝3，a ＋b sin 1＝1，当∈[－1,0)时，f ()的最小值为f (－1)＝2－1＋a ·(－1)3＋b sin(－1)＝12－(a ＋b sin 1)＝－12.答案：－12角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2018·杭州模拟)已知函数f ()的图象关于直线＝1对称，当2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选D 因f ()的图象关于直线＝1对称． 由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52. 由2＞1＞1时，[f (2)－f (1)](2－1)＜0恒成立，知f ()在(1，＋∞)上单调递减． ∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫52＞f (e)，∴b ＞a ＞c . 角度三：解函数不等式3．已知函数f ()为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f ()为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0. ∴－1＜＜0或0＜＜1.故选C.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．若f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析：选A 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]1．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数f ()在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f ()的图象如图所示，由图象可知，若f ()在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.2．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－2)＞f ()，则实数的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当≤0时，函数f ()＝3为增函数，当＞0时，f ()＝ln(＋1)也是增函数，∴函数f ()是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－2)＞f ()等价于2－2＞，即2＋－2＜0，解得－2＜＜1.3．(2017·浙江名校高考联盟联考)若函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________，实数b 的取值范围是________．解析：当a ＞0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是减函数，在(－b ，＋∞)上是增函数，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＝0时，f ()＝－1，不满足函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数；当a ＜0时，函数f ()＝a |＋b |－1在(－∞，－b ]上是增函数，在(－b ，＋∞)上是减函数，因为函数f ()＝a |＋b |－1在(1，＋∞)上是减函数，所以a ＜0且－b ≤1，即a ＜0且b ≥－1.答案：(－∞，0) [－1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－B ．y ＝C ．y ＝log 2D ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－与y ＝的定义域为R ，且只有y ＝在R 上是增函数． 2．(2018·绍兴模拟)已知函数f ()的图象关于(1,0)对称，当＞1时，f ()＝log a (－1)，且f (3)＝－1，若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0，则( )A ．f (1)＋f (2)＜0B ．f (1)＋f (2)＞0C ．f (1)＋f (2)可能为0D ．f (1)＋f (2)可正可负解析：选B ∵当＞1时，f ()＝log a (－1)， f (3)＝log a 2＝－1，∴a ＝12，故函数f ()在(1，＋∞)上为减函数， 若1＋2＜2，(1－1)(2－1)＜0， 不妨令1＜1，2＞1，则2＜2－1， f (2)＞f (2－1)，又∵函数f ()的图象关于(1,0)对称， ∴f (1)＝－f (2－1)，此时f (1)＋f (2)＝－f (2－1)＋f (2)＞0，故选B.3．已知函数f ()＝log 4(4－||)，则f ()的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________. 解析：令y ＝log 4u ，其中u ＝4－||，且u ＝4－||＞0，由于函数y ＝log 4u 是单调递增函数，故要求f ()的单调递增区间，只需求u ＝4－||的单调递增区间，得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |＞0，x ≤0，解得－4＜≤0，所以f ()的单调递增区间是(－4,0]；易得f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 42＝1＋2＝3.答案：(－4,0] 34．函数y ＝x －(≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即＝14时，y ma ＝14.答案：145．(2018·杭州十二校联考)设min{，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x ＜y ，若定义域为R 的函数f ()，g ()满足f ()＋g ()＝2xx 2＋8，则min{f ()，g ()}的最大值为____________．解析：设min{f ()，g ()}＝m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤f (x )，m ≤g (x )⇒2m ≤f ()＋g ()⇒m ≤xx 2＋8，显然当m 取到最大值时，＞0，∴x x 2＋8＝1x ＋8x ≤12 x ·8x＝28，∴m ≤28，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )，x ＝8x ，x ＞0时等号成立，即m 的最大值是28. 答案：28二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f ()＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝2－2－3，由t ≥0， 即2－2－3≥0，解得≤－1或≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝2－2－3的图象的对称轴为＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f ()的单调递增区间为[3，＋∞)．2．(2018·浙江名校协作体联考)函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为( )A ．[1＋2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选D 因为函数y ＝＋x 2－2x ＋3＝＋(x －1)2＋2，所以当≥1时，函数为增函数，所以y ≥2＋1；当＜1时，设－1＝t ，则t ＜0，函数y ＝t ＋t 2＋2＋1＝2t 2＋2－t＋1，所以函数在(－∞，0)上为增函数，当t →0时，y →2＋1，当t →－∞时，y →1，所以1＜y ＜2＋1.综上所述，函数y ＝＋x 2－2x ＋3的值域为(1，＋∞)．3．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f ()＝(1⊕)－(2⊕)，∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤≤1时，f ()＝－2， 当1＜≤2时，f ()＝3－2.∵f ()＝－2，f ()＝3－2在定义域内都为增函数． ∴f ()的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a ＞0，且a ≠1.又函数f ()在R 上单调，则二次函数y ＝a 2－－14的图象开口向上，所以函数f ()在R 上单调递减， 故有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，0＜a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.5．(2018·湖州模拟)若f ()是定义在(－1,1)上的减函数，则下列不等式正确的是( ) A ．f (sin )＞f (cos )B ．f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＞f () C ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1D ．f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x解析：选D A ．∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，sin ＞cos ， ∵f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f (sin )＜f (cos )，∴该选项错误； B ．∈(－1,1)，∴x 2＋12－＝12(－1)2＞0，∴x 2＋12＞，且f ()在(－1,1)上单调递减，∴f⎝⎛⎭⎫x 2＋12＜f ()，∴该选项错误；C.13x ＋1－12x ＋1＝2x－3x(3x ＋1)(2x ＋1)＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1(3x ＋1)(2x ＋1)， ∵∈(－1,1)，∴∈(－1,0)时，⎝⎛⎭⎫23＞1， ∴13x＋1＞12x ＋1，且f ()在(－1,1)上为减函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋1＜f ⎝⎛⎭⎫12x ＋1，∴该选项错误；D.13x ＋3－x －12x ＋2－x ＝3x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x －1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫16x (3x ＋3－x )(2x ＋2－x )， ∴①∈(－1,0]时，⎝⎛⎭⎫23－1≥0,1－⎝⎛⎭⎫16≤0， ∴13x＋3－x ≤12x ＋2－x. ②∈(0,1)时，⎝⎛⎭⎫23－1＜0,1－⎝⎛⎭⎫16＞0， ∴13x ＋3－x ＜12x ＋2－x，∴综上得，13x ＋3－x ≤12x ＋2－x ，∵f ()为(－1,1)上的减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫13x ＋3－x ≥f ⎝⎛⎭⎫12x ＋2－x ，∴该选项正确．6．(2019·金华四校联考)若函数f ()＝2＋a |－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ()＝2＋a |－2|，∴f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f ()在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]7．设函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，函数g ()是二次函数，若函数f (g ())的值域是[0，＋∞)，则函数g ()的值域是________．解析：因为函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1.画出函数y ＝f ()的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f ()的值域是(－1，＋∞)， f (g ())的值域是[0，＋∞)， 因为g ()是二次函数， 所以g ()的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)8．若函数f ()＝a (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g ()＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g ()在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f ()在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f ()在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．(2018·杭州五校联考)函数y ＝f ()的定义域为R ，若存在常数M ＞0，使得|f ()|≥M ||对一切实数均成立，则称f ()为“圆锥托底型”函数．(1)判断函数f ()＝2，g ()＝3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． (2)若f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，求出M 的最大值．解：(1)函数f ()＝2.∵|2|＝2||≥2||，即对于一切实数使得|f ()|≥2||成立， ∴函数f ()＝2是“圆锥托底型”函数． 对于g ()＝3，如果存在M ＞0满足|3|≥M ||， 而当＝M 2时，由⎪⎪⎪⎪M 23≥M ⎪⎪⎪⎪M 2， ∴M2≥M ，得M ≤0，矛盾， ∴g ()＝3不是“圆锥托底型”函数．(2)∵f ()＝2＋1是“圆锥托底型”函数，故存在M ＞0，使得|f ()|＝|2＋1|≥M ||对于任意实数恒成立．∴≠0时，M ≤⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝||＋1|x |，此时当＝±1时，||＋1|x |取得最小值2， ∴M ≤2.而当＝0时，也成立． ∴M 的最大值等于2. 10．已知函数f ()＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f ()在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f ()＜2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当∈(0，＋∞)时，f ()＝a －1x ，设0＜1＜2，则12＞0，2－1＞0，f (2)－f (1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f ()在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2在(1，＋∞)上恒成立， 设h ()＝2＋1x ，则a ＜h ()在(1，＋∞)上恒成立． 任取1，2∈(1，＋∞)且1＜2，h (1)－h (2)＝(1－2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜1＜2，所以1－2＜0，12＞1，所以2－1x 1x 2＞0， 所以h (1)＜h (2)，所以h ()在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知减函数f ()的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是( )A ．m －n ＜0B ．m －n ＞0C ．m ＋n ＜0D ．m ＋n ＞0解析：选A 设F ()＝f ()－f (－)， 由于f ()是R 上的减函数，∴f (－)是R 上的增函数，－f (－)是R 上的减函数， ∴F ()是R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )， 即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立．因此，当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选A. 2．已知函数f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f ()的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f ()在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，2－2＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a ＝1时，定义域为{|＞0且≠1}；当0＜a ＜1时，定义域为{|0＜＜1－1－a 或＞1＋1－a }．(2)设g ()＝＋a x －2，当a ∈(1,4)，∈[2，＋∞)时，g ′()＝1－a x 2＝x 2－ax 2＞0恒成立，所以g ()＝＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数．所以f ()＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意∈[2，＋∞)恒有f ()＞0， 即＋ax －2＞1对任意∈[2，＋∞)恒成立．所以a ＞3－2，令h ()＝3－2，而h ()＝3－2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h ()ma ＝h (2)＝2，所以a ＞2. 即a 的取值范围为(2，＋∞)．第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝f ()，那么函数f ()就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f ()的定义域内任意一个，都有f (－)＝－f ()，那么函数f ()就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的任何值时，都有f (＋T )＝f ()，那么就称函数f ()为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f ()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f ()的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f ()是奇函数，且当＜0时，f ()＝22－1x ，则f (1)的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 因为函数f ()为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－1(－1)＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f ()在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－π) B ．f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (－1)＞f (－π) C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝⎛⎭⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A. 3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f ()为R 上的偶函数，当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当≥0时，f ()＝log 2(＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f ()为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f ()的奇偶性时，必须对定义域内的每一个，均有f (－)＝－f ()或f (－)＝f ()，而不能说存在0使f (－0)＝－f (0)或f (－0)＝f (0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f ()＝a 2＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－)＝f ()，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(2018·宁波模拟)若函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2)＝f ()， 所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f ()＝(＋1)1－x1＋x； (2)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f ()＝4－x 2x 2；(4)f ()＝log a (＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f ()有意义，则满足1－x1＋x≥0， 所以－1＜≤1，所以f ()的定义域不关于原点对称， 所以f ()为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当＞0时，f ()＝－2＋2＋1，－＜0，f (－)＝(－)2＋2(－)－1＝2－2－1＝－f ()； 当＜0时，f ()＝2＋2－1，－＞0，f (－)＝－(－)2＋2(－)＋1＝－2－2＋1＝－f ()． 所以f ()为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f ()的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f ()为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤≤2且≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－)＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－)＝f ()．故函数f ()为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－)＋f ()＝log a [－＋(－x )2＋1]＋log a (＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－)＋log a (x 2＋1＋) ＝log a [(x 2＋1－)(x 2＋1＋)] ＝log a (2＋1－2)＝log a 1＝0， 即f (－)＝－f ()，所以f ()为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f ()，g ()的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－)与f ()的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二 函数的周期性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n ()＝f {f [f …n 个f ()]}，则f 2019(2)的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f ()满足f (＋2)＝f ()，且当∈[0,2)时，f ()＝2－2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：(1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (＋2)＝f ()， ∴函数f ()的周期T ＝2， ∵当∈[0,2)时，f ()＝2－2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论 (1)若f (＋a )＝－f ()，则T ＝2a . (2)若f (＋a )＝1f (x )，则T ＝2a . (3)若f (＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． [即时应用]1．已知函数f ()的定义域为R ，当＜0时，f ()＝3－1；当－1≤≤1时，f (－)＝－f ()；当。