立体几何中的实际应用问题

微点突破 立体几何中的实际应用问题

【例】 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的四倍.

(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？

解 (1)容积为下部正四棱柱的容积与上部正四棱锥的容积的和，则V ＝62×4×2

＋13×62×2＝62×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫4＋13＝312(m 3). (2)设PO 1＝x m.

则A 1O 1＝62－x 2(0

V ＝2×(36－x 2)×4x ＋13

×2×(36－x 2)x ＝2×(36－x 2)x ×⎝

⎛⎭⎪⎫4＋13＝263(－x 3＋36x )， V ′＝－26x 2＋12×26＝26×(－x 2＋12)，

令V ′＝0，得x ＝2 3.

当00，V 是单调增函数；

当23

所以当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积V 取得最大值.

探究提高 立体几何中的实际应用问题常以几何体的表面积、体积为载体，借助于公式计算或基本不等式、导数等为工具，抽象为函数模型进行求解，解答过程中要注意变量的实际意义.

【训练1】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，高为l ，左、右两端均为半球形，半径为r ，按照设计要求容

器的体积为80π3 m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元.设该容器的建造费用为y 千元.

(1)求y 关于r 的函数解析式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时半径r 的值.

解 (1)因为容器的体积为803π m 3，

所以43πr 3＋πr 2l ＝803π，解得l ＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭

⎪⎫20r 2－r ， 由于l ≥2r ，所以0

所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c

＝2πr ×43⎝ ⎛⎭

⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ， 所以y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0，2].

(2)y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8π[（c －2）r 3－20]r 2

， 因为c >3，所以c －2>0，当r 3＝20c －2

时，即y ′＝0， 令320c －2

＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π（c －2）r

2(r －m )(r 2＋mr ＋m 2). ①当092时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m ，2)时，y ′>0，

所以当r ＝m 时，函数y 取得极小值，也是最小值.

②当m ≥2，即3

当r ∈(0，2)时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2时函数y 取得最小值. 综上，当392时，建造费用最小时r ＝320c －2

.

【训练2】(2017·江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).

(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

解(1)由正棱柱的定义，

CC1⊥平面ABCD，

所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.

记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC＝107，AM＝40，

所以MC＝402－（107）2＝30，

从而sin∠MAC＝3

4.记AM与水面的交点为P1，

过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，

则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，

从而AP1＝

P1Q1

sin∠MAC

＝16.

答：玻璃棒l没入水中的部分的长度为16 cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm) (2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1.

记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.

过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK ＝OO 1＝32.

因为EG ＝14，E 1G 1＝62，

所以KG 1＝62－142＝24，

从而GG 1＝KG 21＋GK 2＝242＋322＝40.

设∠EGG 1＝α，∠ENG ＝β，

则sin α＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋∠KGG 1＝cos ∠KGG 1＝45. 因为π2<α<π，所以cos α＝－35.

在△ENG 中，由正弦定理可得40sin α＝14sin β，

解得sin β＝725.

因为0<β<π2，所以cos β＝2425.

于是sin ∠NEG ＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)

＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×2425＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×725＝35.

记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2＝12，从而EP 2＝P 2Q 2sin ∠NEG

＝20. 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)