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同质(Homogeneity)：医学研究对象具有的某种共性。
变异(Variation) ：同质研究对象变量值之间的差异。
总体(Population)：根据研究目的确定的所有同质的观察单位某项观测值的全体称为总体。
样本(Sample)：来自于总体的部分观察单位的观测值称为样本。
参数(Parameter)：由总体中全部观测值所计算出的反映总体特征的统计指标。
统计量(Statistic)：由样本观测值所计算出的反映样本特征的统计指标。
变量(Variable) ：指观察单位的某项特征。
它能表现观察单位的变异性。
概率(Probability)：是随机事件发生可能性大小，用P表示，其取值为[0,1]。
频率(Frequency) ：在相同的条件下，独立地重复做n次试验，随机事件A 出现m次，则比值m/n为随机事件A出现的频率。
随机误差(Random error)：是由于一系列实验或观察条件等因素的随机波动造成的测量值与真实值之间的差异。
随机误差是不可避免的，且大小和方向都不固定。
抽样误差(Sampling error)：由个体变异产生、随机抽样造成的若干个样本统计量之间以及样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差。
系统误差(Systematic error) ：实际观测中，由于仪器未校正，测量者感官的某种偏差，医生掌握疗效标准偏高或偏低等，而使观测值有方向性、系统性或周期性地偏离真值。
四分位数间距(Quartile range) ：上四分位数与下四分位数的差值，用Q 表示。
通常用来描述偏态分布资料的离散趋势。
变异系数(Coefficient of variation) CV ：是标准差与均数之比，用于比较测量单位不同或均数相差较大的两组或以上数据的离散程度。
参考值范围(Reference range) ：绝大多数“正常人”的解剖、生理、生化等某项指标的波动范围。
构成比(Proportion) ：表示事物内部某一组成部分观察单位数与该事物各组成部分的观察单位总数之比，用以说明事物内部各组成部分所占的比重。
1.以下哪一个是mRNA条目序列号：A. J01536B. NM_15392C. NP_52280D. AAB1345062.确定某个基因在哪些组织中表达的最直接获取相关信息方式是：A.UnigeneB. EntrezC. LocusLinkD. PCR3.一个基因可能对应两个Unigene簇吗？■可能 B. 不可能4.下面哪种数据库源于mRNA信息：■dbEST B. PDB C. OMIM D. HTGS5.下面哪个数据库面向人类疾病构建：A. ESTB. PDB ■. OMIM D. HTGS6.Refseq和GenBank有什么区别：A. Refseq包括了全世界各个实验室和测序项目提交的DNA序列B. GenBank提供的是非冗余序列■. Refseq源于GenBank，提供非冗余序列信息D. GenBank源于Refseq7.如果你需要查询文献信息，下列哪个数据库是你最佳选择：A. OMIMB. Entrez ■PubMed D. PROSITE8.比较从Entrez和ExPASy中提取有关蛋白质序列信息的方法，下列哪种说法正确：A. 因为GenBank的数据比EMBL更多，Entrez给出的搜索结果将更多B. 搜索结果很可能一样，因为GenBank和EMBL的序列数据实际一样■搜索结果应该相当，但是ExPASy中的SwissProt记录的输出格式不同9.天冬酰胺、色氨酸和酪氨酸的单字母代码分别对应于：■N/W/Y B. Q/W/Y C. F/W/Y D. Q/N/W10.直系同源定义为：■不同物种中具有共同祖先的同源序列B. 具有较小的氨基酸一致性但是有较大的结构相似性的同源序列C. 同一物种中由基因复制产生的同源序列D. 同一物种中具有相似的并且通常是冗余的功能的同源序列11.下列那个氨基酸最不容易突变：A. 丙氨酸B. 谷氨酰胺C. 甲硫氨酸■半胱氨酸12.PAM250矩阵定义的进化距离为两同源序列在给定的时间有多少百分比的氨基酸发生改变：A. 1%B. 20%■. 80% D. 250%13.下列哪个句子最好的描述了两个序列全局比对和局部比对的不同：A. 全局比对通常用于比对DNA序列，而局部比对通常用于比对蛋白质序列B. 全局比对允许间隙，而局部比对不允许C. 全局比对寻找全局最大化，而局部比对寻找局部最大化■全局比对比对整体序列，而局部比对寻找最佳匹配子序列14.假设你有两条远源相关蛋白质序列。
流行病学1．流行病学：epidemiology:是研究疾病及健康状况的分布及其影响因素，并研究如何防治疾病及促进健康的策略与措施的科学。
既是一门方法学又是一门应用学科。
2．发病率incidence rate:是一定时期内，特定人群中某病新发病例的频率。
3．罹患率attack rate: 是指在某一局限范围内，短时间内的发病率，观察时间可以日、周、旬或月为单位，适用于局部地区疾病的爆发，或事物中毒、传染病及职业性中毒等爆发情况。
是发病率的特例。
4．患病率prevalence rate:指某特定时间内，可能发生某病的一定人群中某病现患病例（新旧病例）的频率。
分为时点患病率与期间患病率5．死亡率mortality rate:指某人群在一定期间内总死亡人数与该人群同期平均人口数之比。
6．病死率Fatality rate:指一定时间内，患某病的病人中因该病而死亡者的比例7．生存率survival rate:指接受某种治疗的病人或患有某病的人中，经若干年随访后，尚存活病人所占的比例。
8．散发Sporadic:指某病发病人数不多，病例间无明显的相互传播关系，或在一定地区的发病率呈历年一般水平。
9．爆发outbreak:在一个局部地区或集体单位中短时间内出现很多相同的病人10．流行epidemic: 指某地区发病率显著超过历年的散发发病率水平11．大流行Pandemic:指某病的发病蔓延迅速，涉及地域广，人口比例大，在短时间内可以跨过省界国界甚至洲界，形成世界性流行12．季节性seasonality/seasonal variation:疾病的发生率随季节而变化的现象称为季节性13．周期性periodicity:疾病在一定的时间间隔后有规律地发生流行，称为周期性。
多见于呼吸道传染病。
14．长期变异secular change:是对疾病动态的、连续数年乃至数十年的观察，其临床变现、发病率、死亡率等都发生了很大变化。
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
流行病学1.如果漏斗图呈明显的不对称，提示A.meta分析统计学检验效能不够B.meta分析的各个独立研究的同质性差C.meta分析的合并效应值没有统计学意义D.meta分析可能存在发表偏倚E.meta分析的结果更为可靠2.前瞻性队列研究是指A.从"现在"开始的前瞻性研究B.从"过去"开始追溯到"现在"的前瞻性研究C.从"过去"开始追溯到"将来"的前瞻性研究D.从"现在"追溯到"过去"的前瞻性研究E.以上均不是3.下列哪种说法是正确的A.人群易感性增高，就可导致疾病的暴发或流行B.人群易感性降低，就可终止疾病的流行C.人群人口数增加，就使人群易感性增高D.人群人口数减少，就使人群易感性降低E.人群易感性增高，只是为一次流行或暴发准备了条件4.相对危险度是指A.暴露组发病率或死亡率及非暴露组发病率或死亡率之比B.暴露组发病率或死亡率及非暴露组发病率或死亡率之差C.病例组有某因素的比例及对照组无某因素的比例之比D.病例组有某因素的比例及对照组无某因素的比例之差E.以上都不是6.实验性研究中采用双盲法的主要目的是A.尽可能减少失访B.减少抽样误差的影响C.使实验组和对照组不知道实验目的D.消除研究者和研究对象对结果的主观影响E.使实验组和对照组人口学特征更具有可比性7.关于随机对照试验的描述，下列哪项描述不正确A.将研究对象随机分配入组B.试验组和对照组要同时进行研究C.试验组和对照组的研究场所应相同D.试验组和对照组的试验期间应一致E.纳入研究的对象不能退出8.关于流行病学的用途下列不正确的是A.可用来研究疾病完整的自然史B.可以个体为研究的落脚点C.可以用于探讨未明原因疾病的病因D.可以评价疫苗的预防效果E.可以为卫生决策提供素材9.下列哪项不是经食物传播的传染病流行病学特征A.病人有进食某共同食物的历史，不食者不发病B.如食物属一次性大量污染，用餐者中可呈现暴发，并且病人临床经过往往较重C.停供该食物后，暴发立即可平息D.夏季多发E.无职业、性别差异10.关于混杂因子，下列哪项描述是错误的A.混杂因子必须同时暴露和结局有统计学关联B.混杂因子可以是暴露原因C.混杂因子可以是结局变量的病因D.混杂因子可以是结局变量的某一结果E.混杂因子不能是暴露及结局之间的中间变量11.某村人口数为60万，对该村进行了一次高血压普查，共查出高血压病例180人，由此可得出A.该村高血压发病率为30／10万B.该村高血压罹患率为30／10万C.该村高血压患病率为30／10万D.该村高血压续发率为30／10万E.该村高血压累积发病率为30／10万12.医院感染监测收集资料的核心是A.发现感染病例B.调查感染因素C.计算感染率D.计算病死率E.分析抗生素使用情况13.反映疾病严重程度的指标是A.死亡率B.病死率C.发病率D.感染率E.罹患率14.甲乙两地年龄标化死亡率相等，而甲地粗死亡率低，原因可能是A.两地人群有相同的年龄分布B.甲地诊断比乙地更准确C.甲地老年人比重高于乙地D.甲地老年人比重低于乙地E.乙地诊断比甲地更准确15.以下哪类人群不是医院感染的易感人群A.机体免疫功能严重受损者B.接受各种介入性操作的病人C.长期使用广谱抗菌药物者D.手术时间或住院时间长的患者E.偶因感冒到医院就诊的病人16.以下正确的说法是A.t检验可用于多组均数间的两两比较B.直线回归可用来定量描述两个变量的相关关系及密切程度C.方差分析有统计学意义，说明各组总体均数均不等D.对于两组均数比较的资料，t检验及方差分析等价E.以上论述都不对17.研究一种传染病在一个家庭或集体宿舍内的传染力的大小时，使用的指标是A.发病率B.感染率C.患病率D.续发率E.罹患率18.有关知情同意书的签署不正确的是A.知情同意书签署后一式两份，分别由研究机构和受试者保存B.签署一份知情同意书远比知情同意的讨论过程更加重要C.对于无自主能力或自主能力不全的受试者，经过伦理委员会审查同意，并由监护人签署知情同意书后，才可进入试验D.受试者如果同意参及试验，则由受试者或监护人签署知情同意书E.知情同意常常贯穿于整个试验过程19.进行临床疗效考核试验设计时，下列哪一条是错的A.设立对照B.随机分组C.要有明确的疗效判断标准D.要使调查者和被调查者明确受试因素E.要有足够的样本数20.医院感染分为内源性感染和外源性感染的主要依据是A.病人住院时间的长短B.感染传播方式C.病原体的来源D.病原体的种类E.病原体对药物的敏感性21.课题经费预算中，一般不包括在内的经费项目是A.科研业务费B.劳务费C.实验材料费D.仪器设备费E.管理费22.通过提倡使用避孕套、促进安全性行为来防止HIV的传播属于A.一级预防B.二级预防C.三级预防D.常规报告E.哨点监测23.平行试验较单项试验可以A.提高试验的灵敏度B.提高试验的特异度C.降低试验的阴性预测值D.提高试验的阳性预测值E.提高试验的疾病漏诊率24.临床流行病学和临床医学的关系，正确的说法是A.是相互独立的两门学科B.只和一些临床学科有关系C.临床流行病学是临床医学的一门分支学科D.是一门临床医学的基础学科E.是预防医学的一个分支25.异质性检验的目的是A.评价研究结果的不一致性B.检查各个独立研究的结果是否具有一致性C.评价一定假设条件下所获效应合并值的稳定性D.增加统计学检验效能E.计算假如能使研究结论逆转所需的阴性结果的报告数26.在病例对照研究中，研究对象选择时，下述何项考虑是正确的A.应选择有暴露的病例B.应选择无暴露的病例C.应选择有暴露的对照D.应选择无暴露的对照E.不应考虑其有无暴露27.有关假设检验结果"P<0.05"的描述，下列哪项是正确的A.差异由抽样误差造成的可能性<5％B.无效假设正确的可能性<5％C.备择假设正确的可能性>95％D.差异是由选择性偏倚造成的可能性<5％E.以上选择均不对28.传播途径是指病原体更换宿主在外界环境下所经历的途径即A.传染病在群体间的传播B.病原体由母亲到其后代间的传播C.传染病在人群中发生的过程D.病原体侵入机体，及机体相互作用、相互斗争的过程E.传染病在个体间的传播29.出生队列分析可正确地反映A.行为生活方式对疾病的影响B.环境对疾病的影响C.致病因子及年龄的关系D.遗传因素对疾病的影响E.心理因素对疾病的影响30.100名失眠患者采用气功疗法治疗，随访3个月，80人失眠有不同程度的改善，下列结论中正确的是A.因样本量小而无法下结论B.气功对失眠作用的OR为0.8C.气功对失眠作用的OR为 1.25D.因未设立对照组而无法下结论E.气功对失眠治疗的有效率为80％31.关于随机对照试验的描述，下列哪项是正确的A.研究对象的选择不必进行随机抽样B.不存在任何影响研究结果的偏倚C.各组研究对象间基线完全平衡D.必须采用盲法测量结果E.没有选择性偏倚32.有对照(比较)组的研究，其逻辑学基础是A.求同法B.求异法C.同异并用法D.共变法E.剩余法33.关于样本含量的描述，错误的说法是A.临床研究中，应选择最适的样本含量B.样本含量越大越好C.纳入全部病例进行研究，可以取得完整、无一遗漏结果，但可能出现系统误差D.以全体病例作为研究对象，不存在抽样误差E.在估计样本含量的基础上，还要审视它对总体的代表性34.患病率指标来自A.现况调查资料B.门诊病例资料C.住院病例资料D.专科医院病例资料E.对所有病人的调查35.病人排出病原体的整个时期称为A.传染期B.潜伏期C.前驱期D.临床症状期E.病原携带状态36.以下何项不是横断面研究的特点A.可观察多种疾病的发生状况B.是由因寻果的研究C.又称现况研究D.研究某一时点或短时间内的患病状况E.可观察人群抗体阳性率37.在进行两组病死率差别比较时，可用的假设检验方法是A.t检验B.单因素方差分析C.秩和检验D.X2检验E.以上方法均不是38.在分析食物中毒的可能原因时，最常用的指标是A.总发病率B.二代发病率C.患病率D.病死率E.吃不同食物者的罹患率39.严重突发事件的最初，最紧迫的任务是A.对病员进行及时的诊断和救治B.寻求合作和帮助C.稳定群众情绪D.搞好紧急情况下的公共卫生管理E.找到相关负责人40.以下哪个一般不是控制混杂偏倚的方法A.多因素分析B.随机分组C.分层分析D.配对E.盲法41.一般来说，医院感染率较高的是A.大医院B.小医院C.门诊D.校医室E.中医院42.下列哪一项不属于选择偏倚A.现患一新病例偏倚B.Berkson偏倚C.混杂偏倚D.检出症候偏倚 E.入院率偏倚43.某项临床试验治疗组和对照组的病死率分别为35％和20％，则该试验的RRR和ARR分别是A.15％，75％B.75％，25％C.35％，75％D.75％，15％E.75％，35％44.失效安全数主要是用来估计A.文献库偏倚B.发表偏倚C.纳入标准偏倚D.筛选者偏倚E.英语偏倚45.据某高速公路交警统计，蓝色车辆较其他颜色的车辆出事故更多。
大数据CDA考试(试卷编号122)说明：答案和解析在试卷最后1.[单选题]偏自相关函数ACF呈现缓慢的趋近于零，我们称ACF具有( )A)长尾性B)短尾性C)收敛性D)拖尾性2.[单选题]以下不属于分类模型评估中基于比率维度的指标是()。
A)KS值B)特异性C)Kappa统计量D)Lift值3.[单选题]聚类方法中,以下哪种方法需要指定聚类个数。
()A)层次聚类B)K 均值聚类C)基于密度的聚类D)基于网格的聚类4.[单选题]从数据表中查找记录用以下哪一项( )A)UPDATEB)FINDC)SELECTD)CREATE5.[单选题]以下关于层次聚类的描述中，错误的是( )A)层次聚类也叫作系统聚类B)层次聚类法通常分为自底向上和自顶向下C)层次聚类的过程非常清楚，会形成类似树状的聚类图谱，便于理解和检查D)层次聚类适用于数据量非常大或者变量非常多的项目6.[单选题]以下哪种说法是错误的。
()A)聚类的部分步骤与分类相似,但 度量维度的不同会导致结果不 同;B)由于聚类是无监督学习,对聚类 的结果没有严格意义的好坏之分C)应通过与理想相似矩阵比较,看分类效果D)对样本数据进行预处理时,对数 据进行标准化会影响聚类结果7.[单选题]下列哪些语句关于 Java内存回收的说明是正确的?A)程序员必须创建一 个线程来释放 内存B)内存回收程序负责释放无用内存C)内存回收程序允许程序员直接释 放内存D)内存回收程序可以在指定的时间 释放内存对象8.[单选题]逻辑回归模型中计算得到的发生概率p，一般作为( )A)绝对概率B)相对概率C)绝对概率的自然对数D)相对概率的自然对数9.[单选题]在Flask 框架中,找不到与路由匹配的视图函数会返回()错误。
A)500B)404C)302D)20010.[单选题]HDFS 的副本放置策路中,同一机架不同的服务器之间的距离是()A)3B)2C)1D)411.[单选题]以下选项中,哪个有可能是Apriori算法所挖出来的结果?()A)买计算机同会购买相关软件B)买打印机后过三个月会买墨水C)卖便携计算机较台式机所获得额 外利益D)以上皆均不是12.[单选题]以下选项哪个不属于分类算法?( )A)KNN算法B)逻辑回归C)C4.5算法D)TF-TDF 算法13.[单选题]已知中国的成人平均身高服从正态分布。
第45卷第1期Vol.45 No.12024年3月Mar. 2024宁夏大学学报（自然科学版）Journal of Ningxia University（Natural Science Edition）随机年龄结构固定资产系统倒向Euler法的p阶矩耗散性亢婷1，2（1.宁夏大学数学统计学院，宁夏银川750021； 2.宁夏大学数学基础学科研究中心，宁夏银川750021）摘要：在单边Lipschitz条件下，研究了一类随机年龄结构固定资产系统倒向Euler法数值解的p阶矩耗散性.当0<p<1时，步长满足一定条件可以得到系统的p阶矩耗散性；而p=2时，在对步长没有任何限制条件的情况下，得到了系统的均方耗散性.最后，通过数值例子验证了理论结果的可行性和有效性.关键词：随机年龄结构固定资产系统；p阶矩耗散性；均方耗散性；倒向Euler法分类号：（中图）O193；O231 文献标志码：A在过去的几十年里，由于经典资产系统为分析投资波动提供了一个有吸引力的框架，对资产系统的研究一直受到经济学家的广泛关注.经典资产系统假设资产货物是关于时间的函数［1-2］，因此，建立与年龄相关的资产系统用于识别不同年份的资产产品是有必要的，以便分析老龄化、污染和技术进步等方面的问题［3-4］.目前，对确定性年龄结构固定资产系统的分析已有一定的研究成果，结果表明经济增长模型主要取决于资产、劳动力和技术进步.然而，这些因素会不可避免地受到不确定因素的影响，如技术创新、新产品的推出，有时还会受到政府政策的影响.基于上述分析，研究随机扰动下年龄结构固定资产系统的动力学行为更适合描述资产系统的演化过程.考虑到随机系统的复杂性，通常很难得到解析解，因此，数值逼近往往是求解这类系统解析解的重要方法［5-7］.近年来，关于随机年龄结构固定资产系统数值逼近问题已取得许多有意义的结果［8-11］.例如，Zhang 等［9］分析了具有Poisson跳的随机年龄结构固定资产系统隐式Euler法的均方指数稳定性. Du等［11］在随机年龄结构固定资产系统中引入惩罚因子以保持显隐算法的正性，进而讨论了所用数值方法的收敛性.需要指出的是，上述文献中系统的所有轨迹都需要收敛到平衡点，这在某些情况下是不现实的.事实上，企业可能希望随机资产系统的所有轨迹能在有限时间内进入吸引集，然后停留在吸引集内部进行资产系统的短期价值预测和计算.上述现象通常被称为耗散性，最早出现在20世纪70年代初，其包括许多动力学行为，如稳定性、周期性和混沌［12-13］.耗散系统的研究主要是确定其不变吸引集，一旦确定了不变吸引集，就可以很容易地估计平衡态、周期态和混沌吸引子的粗略边界.因此，从应用的角度来看，研究随机系统的耗散性是很有意义的，且许多学者已采用一些数值方法来讨论随机微分方程的均方耗散问题［14-15］.基于以上分析，本文建立随机年龄结构固定资产系统：ìíîïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïdΨ(a，t)=-éëêê∂Ψ(a，t)∂a+ μ(t，a)Ψ(a，t)-ùûúúf(t，Ψ(a，t))d t+g(t，Ψ(a，t))d B t，(a，t)∈Q，Ψ(0，a)=Ψ0，a∈[0，A]，Ψ(t，0)=ϕ(t) =γ(t)A(t)Θ(L(t)，N(t))，t∈[0，T]，N(t)=∫0AΨ(t，a)d a，t∈[0，T]，（1）文章编号：0253‐2328（2024）01‐0009‐07收稿日期：2024-01-27基金项目：国家自然科学基金资助项目（12201330, 12302017）；宁夏自然科学基金资助项目（2023AAC03086）作者简介：亢婷（1984—），女，副教授，博士，主要从事随机微分方程的数值计算及生物数学研究，（电子信箱）*******************.引用格式：亢婷.随机年龄结构固定资产系统倒向Euler法的p阶矩耗散性［J］.宁夏大学学报（自然科学版），2024，45（1）：9-15，30.第 45 卷宁夏大学学报（自然科学版）其中：Q=(0，A)×(0，T)，B t表示标准Brown运动.系统参数定义如下：a表示资产货物的年龄，Ψ(a，t)表示t时刻年龄为a的资产货物储量，N(t)表示t时刻资产货物的总量，ϕ(t)是对新资产的投资，A表示资产货物的最大寿命，[0，T]表示考虑的时间范围，μ(a，t)表示资产折旧率，Ψ0：=Ψ0(a)表示初始时刻资产随年龄的分布，γ(t)表示资产货物在时刻t的累积率，A(t)表示t时刻的技术进步，Θ(L(t)，N(t))表示生产函数（L(t)为劳力），f(t，Ψ(a，t))d t+g(t，Ψ(a，t))d B t表示外部因素对资产系统的影响.基于以上讨论，本文将在一定条件下，采用倒向Euler法研究系统（1）的p（0<p<1和p=2）阶矩耗散性.与已有文献［7-8］相比，其不同点为：①漂移系数只需满足单边Lipschitz条件，这是一个更弱的条件；②同时考虑了p阶矩耗散性能和倒向Euler数值方法.1 预备知识设(Ω，F，P)是具有递增、右连续滤波{F t}t≥0且F0包含所有的P-零测度集的完备概率空间.令V=H1([0，A])≡{φ|φ∈L2([0，A])，∂φ∂a∈L2([0，A])}是Sobolev空间，其中∂φ∂a表示广义偏导数，H= L2([0，A])满足V↦H≡H'↦V'，其中V'为V的对偶空间. ⋅和|⋅|分别表示V和H中的范数.(⋅，⋅)表示H上标量的乘积，且⋅，⋅=∫0A u⋅v d a (u∈V，v∈V')表示对偶乘积.令M是可分的Hil‐bert空间.W∈L(M，H)表示从M到H的全部有界线性算子构成的空间.‖W‖22=tr(WGW T)，其中G表示包含协方差算子增量的Brown运动.C= C([0，T]；H)表示从[0，T]到H且具有上范数‖φ‖C=sup0≤s≤T|φ(s)|的全体连续函数空间.L p V= L p([0，T]；V)，L p H=L p([0，T]；H).f：[ 0，T]×L2H→H和g：[0，T]×L2H→L(M，H)表示几乎处处F t可测的非线性算子族.E(⋅)表示空间P上的数学期望.假设Ψ0是满足E|Ψ0|2<+∞的随机变量，折旧率μ(t，a)非负有界，生产函数Θ(L(t)，N(t))非负，随着劳动力L(t)的增高而变大，且生产函数的增长率在金融意义下有上极限.为了研究系统（1）的p 阶矩耗散性，给出如下假设条件：（a）μ(t，a)满足0≤μ0≤μ(a，t)≤μˉ<∞（μˉ为正常数），且在Q上非负可测；（b）γ(t)和A(t)满足0≤γ(t)A(t)≤η（η为正常数），且在[0，T]非负连续；（c）存在常数F1>0使得Θ(L，N)≥0，Θ(L，0)=0，∂Θ∂L>0， 0<∂Θ∂N<F1；（2）（d）对任意的x∈H，存在常数λ1，正常数λ2，α使得x，f(t，x)≤λ1|x|2+α， ‖g(t，x)‖22≤λ2|x|2+α.（3）定义1［16］称一个具有滤波F={F t}t≥0且满足F s⊂F t(s≤t)和F t=∩s>t F s的概率空间(Ω，F，P)为随机基.定义2 给定有界集D⊂V，若对任意初值，存在有界集B⊂R和有限时间t∗=t∗(D)使得E|Ψt|p⊂B对所有的t≥t∗都成立，则系统称（1）为p 阶矩耗散的，且称B为（1）的p阶矩吸引集.特别地，当p=2时，称系统（1）为均方耗散的.2 系统(1)的p阶矩耗散性定理1 若条件（a）—（d）成立，且存在常数ρ和D>0使得下列不等式成立：‖g(t，Ψt)‖2D+|Ψt|2-2|Ψt，g(t，Ψt)|2(D+|Ψt|2)2≤ρ+P1(|Ψt|)D+|Ψt|2+P3(|Ψt|)(D+|Ψt|2)2，（4）其中P i(|Ψt|)表示关于|Ψt|的i阶多项式，且存在p∈(0，1)使得λ=AF21η2-2μˉ+2λ1+ρ+pλ22<0，则系统（1）的解满足（ⅰ）对常数ε>0，存在t*1>0使得E|Ψt|p≤-2Cλp+ε，t≥t*1，（5）其中C为依赖于λ2，α，p，D，但独立于Ψ0的正常数；（ⅱ）对常数ε>0，系统（1）为p阶矩耗散且p阶矩吸引集为B=(0，-2Cλp+ε).证明因为-Ψt，∂Ψt∂a=-∫0AΨt d a(Ψt)=12γ2(t)A2(t)éëêêΘ(L(t)，∫0AΨt d a)-Θ(L(t)，0)ùûúú2≤12AF21η2|Ψt|2，（6）对(D+|Ψt|2)p/2应用Itô公式，可得10第 1 期亢 婷：随机年龄结构固定资产系统倒向Euler 法的p 阶矩耗散性d((D +|Ψt |2)p /2)≤p 2(D +|Ψt |2)p -22[(AF 21η2-2μˉ+2λ1)|Ψt |2+ g (t ， Ψt )22+2α]d t +p (D +|Ψt |2)p -22Ψt ，g (t ，Ψt )d B t +p (p -2)2(D +|Ψt |2)p2-2|Ψt ，g (t ，Ψt )|2d t .因此，根据条件（a ）、 （b ）和（d ）可得d ((D +|Ψt |2) p /2)≤p 2(D +|Ψt |2) p /2éëêê(AF 21η2-2μˉ+2λ1)+ρ+P 1(|Ψt |)D +|Ψt |2+P 3(|Ψt |)(D +|Ψt |2)2ùûúúd t +p (D +|Ψt |2) p /2éëêêêêp |Ψt ，g (t ，Ψt )|22(D +|Ψt |2)2d t +Ψt ，g (t ，Ψt )d B t(D +|Ψt |2)+α(D +|Ψt |2)d t ùûúú.接下来讨论(D +|Ψt |2)p /2P 1(|Ψt |)D +|Ψt |2， (D +|Ψt |2)p /2P 3(|Ψt |)(D +|Ψt |2)2.（7）因为0<p <1，所以上述两式分子的最高次数分别为p +1和p +3. 因此，对任意Ψt ∈V ，（7）式中两个分式均有界，我们有d((D +|Ψt |2)p /2)≤p2(D +|Ψt |2) p /2×[(AF 21η2-2μˉ+2λ1)+ρ+pλ22]d t +p (D +|Ψt |2) p /2Ψt ，g (t ，Ψt )d B t(D +|Ψt |2)+C d t ，其中C >0是依赖于p ，λ2，α和D 的常数. 对上式两端积分并取数学期望可得E [(D +|Ψt |2)p /2]≤E [(D +|Ψ0|2) p /2]+∫0tλp2E [(D +|Ψt |2) p /2]d t +∫0t C d t ，其中λ=AF 21η2-2μˉ+2λ1+ρ+pλ22.运用广义Bellman -Gronwall 型不等式［17］可得E |Ψt |p ≤E [(D +|Ψt |2) p /2]=-2C λp +(E [(D +|Ψ0|2) p /2]+2C λp )exp (λp2t ).（8）令J =sup x ∈D(D +|Ψ0|2)p /2，其中D 为有界集. 若对任意的初始值Ψ0∈D ，有E [(D +|Ψ0|2) p /2]+2Cλp≥0，则B =(0，-2C λp +ε)是系统（1）的p 阶矩吸引集.在（8）式中选择合适的t ∗1，可得(J +2C λp )exp λp 2t *1≤ε，其中ε>0. 若对所有的0≤t ≤T 有E [(D +|Ψ0|2) p /2]+2Cλp≤0，则有E |Ψt |p ≤-2C λp +ε. 证毕.定理2 若系统（1）满足条件（a ）—（d ）且2μˉ- AF 21η2-2λ1-λ2>0，则（ⅰ）对任意的常数ε>0，存在t *2>0使得E |Ψt |2≤3α2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2+ε， t ≥t *2；（ⅱ）对任意的常数ε>0，系统（1）是均方耗散的且吸引集为B =(0，3α(2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2)+ε).证明 定理2的证明与定理1证明类似，在此省略.3 倒向Euler 法的p 阶矩耗散性本节将基于定理1和定理2，利用倒向Euler 法研究系统（1）的p 阶矩耗散性. 给定步长Δt >0，并令Ξ0=Ψ0，则系统（1）的倒向Euler 格式可写为Ξk +1=Ξk -∂Ξk +1∂aΔt -μ(t k +1，a )Ξk +1Δt +f (t k +1，Ξk +1)Δt +g (t k ，Ξk )ΔB k ，k =0，1，⋯，（9）其中Ξk 是当t k =k Δt 时对Ψt k 的近似，ΔB k = B (t k +1)-B (t k )表示Brown 运动的增量.定理3 若条件（a ）—（d ）及不等式（4）成立，则对任意给定的ε>0，存在常数p *∈(0，1)，Δt *∈(0，1/|AF 21η2+2λ1-2μˉ|)和k *1>0，使得倒向Euler 数值解（9）满足E (|Ξk |p )≤-C '4ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ+ε，k ≥k *1， p <p *， Δt <Δt *，其中：AF 21η2+2λ1-2μˉ+ρ<0，σ∈(0，2μˉ- 2λ1-AF 21η2-ρ)，常数C '4依赖于λ1，λ2，α，μˉ，A ， F 1，η，p 和D ，但独立于Ξ0和Δt .证明 对（9）式两端平方并应用条件（a ）—（d ）11第 45 卷宁夏大学学报（自然科学版）和不等式（6）可得|Ξk +1|2≤Ξk +1，-∂Ξk +1∂aΔt -μˉ|Ξk +1|2Δt +Ξk +1，f (t k +1，Ξk +1)Δt +Ξk +1，Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k ≤-12(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt |Ξk +1|2+αΔt +12|Ξk +1|2+12|Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k |2，这意味着[1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt ]|Ξk +1|2≤2αΔt +|Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k |2.对于（6）式中的D ，有D1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt+|Ξk +1|2≤D +|Ξk |21+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt (1+ζk )，其中Δt <Δt *，且ζk =1D +|Ξk |2(2Ξk ，g (t k ，Ξk )ΔB k +g (t k ，Ξk )ΔB k 22+2αΔt ).因此，对p ∈(0，2]，应用1+ζk >0(∀k >0)和(1+u )p /2≤1+p 2u +p (p -2)8u 2+p (p -2)(p -4)23×3！u 3(u >-1)，可得(D +|Ξk +1|2) p /2≤(D +|Ξk |21+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt) p /2(1+p2ζk +p (p -2)8ζ2k +p (p -2)(p -4)23×3！ζ3k ).上式两端取数学期望，易得E [(D +|Ξk +1|2) p /2|F k Δt ]≤(D +|Ξk |21+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt )p /2E éëêê1+p2ζk +p (p -2)8ζ2k +p (p -2)(p -4)23×3！ζ3k |F k Δt ùûúú.（10）显然，由ΔB k 互相独立且独立于F k Δt ，可知E [ΔB k |F k Δt ]=E [ΔB k ]=0，E [(ΔB k )2|F k Δt ]=E [(ΔB k )2]=Δt .从而，由（10）式可得E [ζk |F k Δt ]=E éëêê1D +|Ξk |2(2Ξk ，g (t k ，Ξk )ΔB k +‖g (t k ，Ξk )ΔB k ‖22+2αΔt )|F k Δt ùûúú=1D +|Ξk |2(‖g (t k ，Ξk )‖22Δt +2αΔt ).（11）类似地，由条件（d ）可得E [ζ2k |F k Δt ]≥4(D +|Ξk |2)2Ξk ，g (t k ，Ξk )2Δt -C 1(D +|Ξk |2)2Δt 2，（12）E [ζ3k |F k Δt ] ≤C 2Δt 2+C 3(D +|Ξk |2)3Δt 2，（13）其中：常数C 1，C 3>0依赖于α，常数C 2>0依赖于λ2. 将（11）—（13）式代入（10）式并根据条件（d ）和（4）式可得E [(D +|Ξk +1|2)p /2|F k Δt ]≤(D +|Ξk |2)p /2(1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt )p /2((1+pρ2Δt +p 2λ22C 52Δt +C '2Δt 2))+C '4Δt ，其中：C '2>0依赖于λ2和p ，C '4>0依赖于λ1，λ2， α，μˉ，A ，F 1，η，p 和D ，C 5>0依赖于α和D . 上式两端取期望可得E [(D +|Ξk +1|2)p /2]≤1+(pρ+p 2λ22C 5)Δt /2+C '2Δt 2()1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δtp /2E [(D +|Ξk |2)p /2]+C '4Δt .（14）对任意σ∈(0，2μˉ-2λ1-AF 21η2-ρ)，存在充分小的p *∈(0，1)使得p *λ22C 5≤σ/4. 进一步，对充分小的Δt *∈(0，1)，p <p *和Δt <Δt *，有[1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt ]p /2≥1-p 2(AF 21η2+2λ1-2μˉ)Δt - p (2-p )8(AF 21η2+2λ1-2μˉ)2Δt 2>0.（15）在上式两端消去Δt *，则对Δt <Δt *，有C 2'Δt <pσ8， p ||||||AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ4Δt <1，(2-p )(AF 21η2+2λ1-2μˉ)2Δt <σ4.（16）运用（16）式，则由（14）式可得12第 1 期亢 婷：随机年龄结构固定资产系统倒向Euler 法的p 阶矩耗散性E [(D +|Ξk +1|2)p /2]≤1+12p (ρ+12σ)Δt 1-p 2()AF 21η2+2λ1-2μˉ+14σΔt E [(D +|Ξk |2)p /2]+C '4Δt .（17）对任意的x ∈[-0.5， 0.5]，因为(1-x )-1=1+x +x 2∑i =0∞0.5i=1+x +2x 2，所以E [(D +|Ξk +1|2)p /2]≤éëêê1+p 2(ρ+12σ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ4+)C *(p ，σ，Δt )Δt ùûúúE [(D +|Ξk |2)p /2]+C '4Δt ，其中C *(p ，σ，Δt )=p (AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ4)2Δt +(ρ+σ2)éëêêêêp 2()AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ4+p 22(AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ4)2Δt ùûúúΔt <σ/4.因此，E [(D +|Ξk +1|2)p /2]≤éëêê1+p 2(ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ)Δt ùûúúE [(D +|Ξk |2)p /2]+C '4Δt .接下来，使用迭代方法可得E [(D +|Ξk |2)p /2]≤éëêêùûúú1+p 2(ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ)Δt k×E [(D +|Ξ0|2)p /2]+1-éëêêùûúú1+p 2(ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ)Δt k -1-p2(ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ)C '4.由于AF 21η2+2λ1-2μˉ+ρ<0，令k →∞，则lim sup k →+∞E [|Ξk |p]≤lim sup k →+∞E éë(D +|Ξk |2)p /2ùû≤C 4'-p 2()ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ.因此，存在k *1>0使得对k ≥k *1有E (|Ξk |p )≤-C 4'ρ+AF 21η2+2λ1-2μˉ+σ+ε，其中ε>0是任意给定常数.定理4 若2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2>0且条件（a ）~（d ）成立，则对常数ε>0，存在常数k *2使得E |Ξk |2≤3α2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2+ε，k ≥k *2，Δt >0.（18）证明 由（9）式和条件（a ）—（d ）可得|Ξk +1|2≤12AF 21η2Δt |Ξk +1|2- μˉ|Ξk +1|2Δt +λ1Δt |Ξk +1|2+αΔt + 12|Ξk +1|2+12|Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k |2.因此[1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt ]|Ξk +1|2≤2αΔt +|Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k |2，这意味着|Ξk +1|2≤11+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt ×|Ξk +g (t k ，Ξk )ΔB k |2+2αΔt1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt .运用条件（d ）和迭代方法可得E |Ξk +1|2≤(1+λ2Δt1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt )k +1E |Ξ0|2+3αΔt1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt ×1-[(1+λ2Δt )/(1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt )]k +11-()1+λ2Δt /(1+(2μˉ-AF 21η2-2λ1)Δt )，其中2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2>0，由此可得lim sup k →+∞E (|Ξk |p )≤3α2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2.因此，对常数ε>0，存在常数k *2使得E |Ξk |2≤3α2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2+ε，k ≥k *2，Δt >0.注1 结合定理3和定理4可知，在一定的步长下，倒向Euler 法可以保持系统（1）的p (0<p <1)阶矩耗散性；当步长无限制时，系统（1）保持均方耗散. 此外，定理3和定理4也表明倒向Euler 数值解（9）在p 阶矩意义下有界.4 数值模拟本节通过一个数值例子验证所得理论结果的有效性. 考虑随机年龄结构固定资产系统：13第 45 卷宁夏大学学报（自然科学版）ìíîïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïd Ψ(a ，t )= -éëêêùûúú∂Ψ(a ，t )∂a +4Ψ(a ，t )(1-a )2+3Ψ(a ，t )-8d t + (Ψ(a ，t )+1)d B t ，Ψ∈Q ，Ψ(0，a )=exp (-11-a )，a ∈[0，0.8]，Ψ(t ，0)= -(|250-t |0.2-3.4)N (t )，t ∈[0，800]，N (t )=∫0A Ψ(t ，a )d a ，t ∈[0，800].（19）由（19）式可知H =L 2([0，0.8])，V =W p ([0，0.8])，M =R ，G =1，‖g ‖22=gGg =g 2.在（19）式中，取λ1=-2，λ2=2，α=9时，条件（a ）—（d ）满足. 取ρ=-1，P 1(|Ξk |)=2Ξk +1-D 和P 3(|Ξk |)=2D 2+2(2D -1)Ξ2k -4Ξ3k 时，不等式（4）满足. 同时，可选取正常数D 使得C =C '=1. 另外，定理1和定理3的参数选取为p =0.5，Δt =0.005，Δa =0.05，σ=0.562 8，ε=0.01，Δt *=0.015<|AF 21η2+2λ1-2μˉ|-1≈0.363 4，从而有λ=-1.752 0<0，E |Ψt |p ≤2.283 1. 根据定理1知，系统（19）为0.5阶矩耗散的且吸引集为B =(0，2.283 1). 对定理3，有AF 21η2+2λ1-2μˉ+ρ=-3.752 0<0， σ<2μˉ-AF 21η2-2λ1-ρ.从而有E |Ξk |p ≤1.254 2且Δt <Δt *. 类似地，对定理2和定理4，令Δt =0.025>Δt *，则2μˉ-AF 21η2-2λ1-λ2=0.752 0>0.经过数值计算可得E |Ψt |2=E |Ξk |2=35.904 2. 由定理2可知系统（19）是均方耗散的且正不变集和均方吸引集均为B =(0，35.904 3).数值模拟结果见图1—图4. 图1和图2给出了系统（19）倒向Euler 法数值解的均方和0.5阶耗散性， 均表明倒向Euler 法数值解的有界性. 由图3可知倒向Euler 法数值解Ξk (a )可以收敛到吸引集内.注2 当参数取值满足定理3和定理4条件的情况下， 图1—图4给出了系统（19）倒向Euler 法耗散性的数值模拟结果， 其中图1和图3刻画了p =2时数值解的有界性和吸引集， 图2和图4刻画了p =0.5时数值解的有界性和吸引集.数值结果均表明了本文理论结果的准确性. 此外， 虽然有学者研究了随机年龄结构固定资产系统或种群系统数值解的耗散性［5，14-15，18］， 但研究的都是均方耗散性（p =2）， 而本文研究的是p 阶矩耗散性， 这在一定程度上推广了文献［5，14-15，18］的结论.E |Y K a |2图 1 系统（19） 倒向Euler 法的均方耗散性E |Y K0.2 |2K K 图 3 系统 （19） 倒向Euler 法数值解的吸引集（Δt =0.025）E |Y K a |0.5图 2 系统（19） 倒向Euler 法的0.5阶矩耗散性0.40.50.60.70.80.9E |Y K0.4 |0.5KK图 4 系统（19）倒向Euler 法数值解的吸引集（Δt =0.005）14第 1 期亢婷：随机年龄结构固定资产系统倒向Euler法的p阶矩耗散性5 结论本文主要研究了单边Lipschitz条件下随机年龄结构固定资产系统倒向Euler法数值解的p阶矩耗散性，这在经济和金融领域具有非常重要的实际意义.借助于Gronwall引理和Burkholder-Davis-Gundy不等式，研究了两种类型的p阶矩：0<p<1和p=2.结果表明，当p=2时，系统达到均方耗散不依赖于步长的选取，而当0<p<1时，需要对步长加限制条件才能使系统达到p阶矩耗散性.最后，通过数值例子验证了理论结果的可行性和有效性.参考文献：［1］BOUCEKKINE R，GERMAIN M，LICANDRO O，et al. 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As both the bottom electrode and the film possess perovskite -type structures ， by altering the interface layer type and position of the substrate/bottom electrode ， two different types of interfaces can be achieved in the BFO/SRO （LSMO ）/STO heterostructure. XRD and RSM characterizations indicate that the BFO film grows epitaxially on the STO substrate. Combined with PFM characterization ， the two heterostructure films exhibit upward/downward spontaneous polarization （E b ） and c -domain 180°flipping. These research findings reveal differences in charge distribution and the direc‐tion of the built -in electric field at the interface of heterostructures caused by different choices of bottom elec‐trodes ， providing new strategies for modulating the performance of heterostructure devices.Key words: epitaxial thin film ； interface effect ； self -polarization（责任编辑 张 娣）P th Moment Dissipativity of Backward Euler Method forStochastic Age-Dependent Capital SystemsKang Ting 1，2（1.School of Mathematics and Statistics ， Ningxia University ， Yinchuan 750021， China ；2.Ningxia Basic Science Research Center of Mathematics ， Ningxia University ， Yinchuan 750021， China ）Abstract: The p th moment dissipativity issue for a class of stochastic age -dependent capital systems under one -sided Lipschitz condition is discussed using the backward Euler method. The mean -square dissipativity issue isderived without any restriction on stepsize when ， while for ， the p th moment dissipativity is obtained under a finite stepsize condition. In the end of paper ， one numerical example with simulation is presented to illustrate the effectiveness and feasibility of the derived theoretical results.Key words: stochastic age -dependent capital system ； p th moment dissipativity ； mean -square dissipativity ； backward Euler method（责任编辑 张 娣）（上接第15页）30。
