二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一：如图，抛物线()2
230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；
（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.
例二、如图，抛物线y=-x 2
+mx+n 与x 轴分别交于点A （4，0），B （-2，0），与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ACM 的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得△PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A 在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM＝5
（1）求点M的坐标；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）
2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP
是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？
若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （12，52）和B(4，m)，点P 是线
段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．
6、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-3，0)、C(0，4)，点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角
三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．
