常用逻辑用语知识总结

常用逻辑用语知识总结

1.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）

2.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为

（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11

x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 3.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2

） 1．命题p ：0x ∃∈R ，()02f x ≥，则p ⌝为

A ．x ∀∈R ，()2f x ≥

B ．x ∀∈R ，()2f x <

C ．0x ∃∈R ，()2f x ≤

D ．0x ∃∈R ，()2f x <

【答案】B 【解析】根据特称命题的否定为全称命题,易知原命题的否定为:(),2x f x ∀∈

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可

2．命题p ：若复数2i 1i

z =-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在第二象限，命题q ：若复数z 满足z z ⋅为实数，则复数z 一定为实数，那么

A ．p q ∧是真命题

B ．()p q ∧⌝是真命题

C ．()p q ⌝∨是真命题

D ．()p q ∨⌝是假命题

【答案】B

3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当2211

a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩

时，b ＋c ＋d 等于

A ．1

B ．1-

C ．0

D ．i

【答案】B 【解析】∵S ＝{a ，b ，c ，d }，∴由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝1-，则c 2＝1-，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，

∴b ＋c ＋d ＝(1-)＋0＝1-.

4．命题“若，则”的逆否命题是 A ．若，则

B ．若，则

C ．若，则

D ．若，则 【答案】B

【解析】由逆否命题的概念可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

四种命题及其相互关系：

用p 、q 表示一个命题的条件和结论，p ⌝和q ⌝分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p 则q ；则逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝. 四种命题间的关系如下： 5．“12m ≤≤”是“方程22

112

x y m m +=--表示双曲线”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

充分、必要条件的判断方法

（1）命题判断法 设“若p ，则q ”为原命题，那么：

①若原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件；

②若原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件；

③若原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；

④若原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

（2）集合判断法

从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p （x ）成立}，q ：B ＝{x |q （x ）成立}，那么： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；

②若A B ⊇，则p 是q 的必要不充分条件，或q 是p 的充分不必要条件；

③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；

④若A B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

（3）等价转化法

利用p ⇒q 与q p ⌝⇒⌝，q ⇒p 与p q ⌝⇒⌝，p ⇔q 与q p ⌝⇔⌝的等价

6．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为

A ．[]21,2,320x x x ∀∈-+>

B ．[]21,2,320x x x ∀∉-+>

C ．[]2

0001,2,320x x x ∃-+> D ．[]2

0001,2,320x x x ∃∉-+>

7．设p ：01x <<，q ：21x ≥，则p 是q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．下列有关命题的说法一定正确的是

A ．命题“x ∀∈R ， sin 1x ≥”的否定是“0x ∃∈R ， 0sin 1x ≤”

B ．若向量∥a b ，则存在唯一的实数λ使得λ=a b

C ．若函数()f x 在R 上可导，则()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件

D ．若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题

9．命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x <∈R 恒成立.若p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________.