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第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义： 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛， 则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义： 形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论 如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0， 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。
第四章 解析函数的幂级数表示法级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。
第一节 复级数的基本性质（1）教学课题：第一节 复级数的基本性质（1）教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。
6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。
教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。
教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。
教学过程：1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是：,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，nz 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作lim z z n n =+∞→。
如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。
令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。
由不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。
注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。
注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是......21++++n z z z或记为∑∞+=1n n z，或∑nz ，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：n n z z z +++=...21σ如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说∑n z的和是σ，或者说∑n z收敛于σ，记作σ=∑∞+=1n n z ，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数∑nz 发散。
注解1、对于一个复数序列}{n z，我们可以作一个复数项级数如下...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。
注解2、级数∑nz 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀εεσ<-∑=||1nk k z ，注解3、如果级数∑n z 收敛，那么,0)(lim lim 1=-=++∞→+∞→n n n n n z σσ定理4.1、令 σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a nn n n n n ，我们有∑∑==+=nk kn k k n b i a 11σ因此，级数∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n a 收敛（于a ）以及级数∑nb收敛（于b ）。
注解、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑nz 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，ε<++++++|...|21p n n n z z z柯西收敛原理（复数序列）：序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，ε<-||m n z z对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数...||...||||21++++n z z z收敛，我们称级数∑nz 绝对收敛。
注解1、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛：事实上，有,||||||||||11122111∑∑∑∑∑∑======+≤+=≤k k nk k nk kk n k nk n k k n k k b a b a z b a 及注解2、若级数∑n z 绝对收敛，则∑nz一定收敛。
例、当1||<α时，......12+++++n ααα绝对收敛；并且有0lim ,11 (111)2=--=++++++∞→+n n n nαααααα我们有，当1||<α时，.11......12αααα-=+++++n如果复数项级数'∑n z 及"∑n z 绝对收敛，并且它们的和分别为",'αα，那么级数)...("1'"1'21"'1z z z z z z n n n n +++-∞+=∑ 也绝对收敛，并且它的和为"'αα。
第一节 复级数的基本性质（2）教学课题：第一节 复级数的基本性质教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。
6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。
教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。
教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。
2、一致收敛的复函数项级数和复函数序列：定义4.3 设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为∑+∞=1)(n nz f，或∑)(z f n 。
设函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作),()(1z f z fn n=∑+∞=设),...(),...,(),(21z f z f z f n是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。
设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注解1、复变函数项级数∑)(z f n收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f n k k注解2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n定义4.4 如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k或 .|)()(|εϕ<-z z f n 那么我们说级数∑)(z f n或序列)}({z fn在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ϕ）。
注解、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理： 定理4.5 柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复变函数项级数∑)(z f n在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n柯西一致收敛原理 （复变函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n m ∈>,,时，有.|)()(|ε<-z f z f m n注解、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。
设在E 上，,...),2,1( |)(|=≤n a z f n n那么级数∑)(z f n在E 上一致收敛。
定理4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。
设,...)2,1)}(({=n z f n 在集E 上连续，并且级数∑)(z f n或序列)}({z fn在E 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在E 上连续。
定理4.7 设,...)2,1)((=n z f n 在简单曲线C 上连续，并且级数∑)(z f n或序列)}({z fn在C 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么,)()(1⎰∑⎰=+∞=Cn Cn dz z f dz z f或.)()(⎰⎰=CCn dz z dz z f ϕ注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。
设函数,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面C 上的区域D 内解析。
