4.3洛朗级数

z z0
1 f (z) g ( z ) 这里 g ( z )在 z z0 m ( z z0 ) 内是解析函数且g( z0 ) 0.
ez 1 z 1 1 如f ( z ) e , f (z) 3 z z z 1 z
lim( z z0 ) f ( z ) c m , c m是不为零的复数
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1 1 1 1 f (z) 1 z 2 z z 2 1 ( z 2)
1 ( 1)n ( z 2)n z 2 n 0 1 1 ( z 2) ( z 2)2 z2
小结
(2) 遇到f (z)在奇点z0的邻域内解析，需要 把 f (z)展成级数，那么就展开成Laurent 级数。
四、函数的Laurent级数展开式
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由唯一性，将函数展开成Laurent级数， 主要用间接法。
例1
将下列函数在0 z ＋展开成洛朗级数。
sin z e 1) ; 2) 3 ; z z
z
3) e
1 z
解答
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1 例2 将 f ( z ) 在以下圆环域 ( z 1)( z 2) ( i ) 0 z 1; ( ii ) 1 z 2; ( iii ) 2 z 内展开成z0 0点的Laurent级数。
y y 解答 y
一、 引入
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回顾：f ( z )在z0解析 f ( z )在z0的某一个圆域
| z z0 | R内展开成z z0的幂级数。
思考：

当0 z 1 1时, 1 1 1 f ( z) z (1 z ) 1 z 1 (1 z )
zn
z 1 1
1 2 n 1 (1 z ) (1 z ) (1 z ) 1 z 1 1 (1 z ) (1 z ) n 1 1 z
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) (1)
其中z0及cn (n 0,1,2,)都是常数 ---双边幂级数
正幂项(包括常数项)部分
n c ( z z ) 收敛域： n 0 是一幂级数，设收敛半径为R2 ， n 0 收敛域：z - z0<R2 。
故sin z,cos z在全平面上解析，它们的半径R
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1 1 (1) f ( z ) (2) f ( z ) (3) f ( z) ln(1 z) 2 1 z (1 z )
解： (1)
1 1 z z2 1 z
zn
1 又f ( z ) 2 i
联合(I),(II)
f ( ) k z d
(II)
z0
z

k
D
f ( ) f ( ) n 需证 ( z z ) (*) 0 n 1 z n0 ( z0 ) z z0 q 1, z0
1 1 1 1 , z z0 ( z z 0 ) z 0 1 z z0 z0
函数f ( z)在z0处的Talor级数
f ( z )在解析点z0处的Taylor级数收敛半径至少等于 从z0到D的边界上各点的最短距离.
注： (1)

n
n 1 1 f ( ) d 2 i 1 z n 1 z
1 f ( ) n f ( z) d z n 1 2 i n 0 2 1 f ( ) n d z n 1 n 1 2 i 1
n
c z
n

n

c1 2 c0 c1 z c2 z z
称为双边幂级数。
定理1：双边幂级数在收敛圆环r|z-|R内收敛，并且一致收
敛，它的和函数为收敛环内的解析函数。
2、解析函数的Laurant展开
定理2(Laurant)：在圆环H: r|z-|R内的解析函数函数f(z)必
1 而： f ( ) f ( ) z 1 z f ( ) f ( ) 1 z z 1
当2 时： 1 z 当1 时： 1
z
n
1
z n0
z z n 1

1
n 1
f ( ) 1 所以：f ( z ) 2 i 2
z d n 1
第三节 Laurant展开
由于Taylor展开只能对区域D内解析的函数进行展开，若
区域内包含奇点，若采用Taylor展开，就必须将奇点扣去后再 进行Taylor展开。而Laurant级数展开方法就是讨论函数在奇 点附近的展开。
1、双边幂级数
考虑两个级数：
cn z c0 c1 z c2 z

f (5) a n1 d n 0 , 1, 2 ,, 2 i 圆周 : a r R , 并且展式是唯一的(即 f (z ) 及圆环H唯一地决定
其中
n
cn
1
了系数 c n ).
证法分析 由 f (z ) 的解析性及要证的(5)式,可联想到利用解析函数的
例4 求函数 f z z 3e z 在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式. sin z 练习 1. 求 在其孤立奇点去心邻域内的洛朗展式. z
z 11z 2
1
在孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式.
n

1.1孤立奇点的三种类型 定义1.1 如果 f (z ) 在点a不解析, 但a点某一去心邻域 0 z a 内解析, 则称a为 f (z ) 的一个孤立奇点. (1) 分类依据 如果a为 f (z ) 的一个孤立奇点, 则必存在正数R, 使得在点a的去心邻
f1 z c-n z-a
n 1


-n
在内 z a r 0 r 解析;
n
cn z a 在内 z a R 0 R 解析,
n 0
(3) f ( z ) cn z a 在H内可逐项求导至任意阶,可沿H内任意可求长曲 n 线 逐项积分.
积分表达式—柯西积分公式来证明,并可借鉴泰勒定理的证明方法.
证明过程分三步: (1)级数展开; (2)系数整合; (3)展式唯一.
f z AH : r z a R r 0, R f ( z )
n
cn z a , c n
n

1 f d 2 i a n 1
3.1双边幂级数及其收敛圆环