2010年四川省成都市中考数学试卷(教师版)一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1．(3分)下列各数中,最大的数是()A．﹣2 B．0 C．D．3【考点】18：有理数大小比较．【分析】先在数轴上标出各选项中的数,再根据数轴上表示的数,越在右边的数越大,得出结果．【解答】解：∵0.5,∴在数轴上表示出来如图所示．根据这些点在数轴上的排列顺序,从右至左分别用“＞”连接为：30＞﹣2．故选：D．【点评】由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．(3分)x3表示()A．3x B．x+x+x C．x•x•x D．x+3【考点】1E：有理数的乘方．【分析】根据乘方的意义即可回答：a n表示n个a相乘．【解答】解：根据乘方的意义,知x3表示3个x相乘．故选：C．【点评】此题考查了乘方的意义．3．(3分)上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观．据统计,2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000,这一人数用科学记数法表示为()A．2.56×105B．25.6×105C．2.56×104D．25.6×104【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时,n是正数；当原数的绝对值小于1时,n是负数．【解答】解：256 000这一人数用科学记数法表示为2.56×105．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．(3分)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的形状是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．长方体【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形．【解答】解：俯视图为圆的有球,圆锥,圆柱等几何体,主视图和左视图为三角形的只有圆锥．故选：B．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5．(3分)把抛物线y＝x2向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为() A．y＝x2+1 B．y＝(x+1)2C．y＝x2﹣1 D．y＝(x﹣1)2【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位,那么新抛物线的顶点为(1,0)；可设新抛物线的解析式为y＝(x﹣h)2+k代入得：y＝(x﹣1)2,故选：D．【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值,解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．6．(3分)如图,已知：AB∥EF,CE＝CA,∠E＝65°,则∠CAB的度数为()A．25°B．50°C．60°D．65°【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】CE＝CA即△ACE是等腰三角形．∠E是底角,根据等腰三角形的两底角相等得到∠E＝∠EAC＝65°,由平行线的性质得到：∠EAB＝115°,从而求出∠CAB的度数．【解答】解：∵CE＝CA,∴∠E＝∠EAC＝65°,又∵AB∥EF,∴∠EAB＝180°﹣∠E＝115°,∴∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝50°．故选：B．【点评】本题是等腰三角形的性质：等边对等角,与平行线的性质的综合应用．7．(3分)为了解某班学生每天使用零花钱的情况,小红随机调查了15名同学,结果如下表：每天使用零花钱1 2 3 5 6(单位：元)人数 2 5 4 3 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是()A．3,3 B．2,3 C．2,2 D．3,5【考点】W4：中位数；W5：众数．【分析】由于小红随机调查了15名同学,根据表格数据可以知道中位数在第三组,再利用众数的定义可以确定众数在第二组．【解答】解：∵小红随机调查了15名同学,∴根据表格数据可以知道中位数在第三组,即中位数为3．∵2出现了5次,它的次数最多,∴众数为2．故选：B．【点评】此题考查中位数、众数的求法：①给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据,都一定存在中位数的,但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据,出现次数最多的那个数,称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数,则众数一定是数据集里的数．8．(3分)已知两圆的半径分别为6和4,圆心距为7,则两圆的位置关系是() A．相交B．内切C．外切D．内含【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是相交．【解答】解：∵两圆的半径分别为6和4,圆心距为7,6﹣4＝2,6+4＝10,2＜7＜10,∴两圆相交．故选：A．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P：外离P＞R+r；外切P＝R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P＝R﹣r；内含P＜R﹣r．9．(3分)若一次函数y＝kx+b的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是()A．k＞0,b＞0 B．k＞0,b＜0 C．k＜0,b＞0 D．k＜0,b＜0【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数的增减性判断出k的符号,再根据图象与y轴的负半轴相交判断出b 的符号．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的函数值y随x的增大而减小,∴k＜0；∵图象与y轴的负半轴相交,∴b＜0．故选：D．【点评】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0,b＞0,函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限,为增函数；②当k＞0,b＜0,函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限,为增函数；③当k＜0,b＞0时,函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限,为减函数；④当k＜0,b＜0时,函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限,为减函数．10．(3分)已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC ＝AD．从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有()A．6种B．5种C．4种D．3种【考点】L6：平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：(1)两组对边平行①③；(2)两组对边相等②④；(3)一组对边平行且相等①②或③④,所以有四种组合．【解答】解：依题意得有四种组合方式：(1)①③,利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；(2)②④,利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；(3)①②或③④,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．二、填空题(共10小题,满分35分)11．(3分)在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)位于第四象限．【考点】D1：点的坐标．【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号,进而判断其所在的象限．【解答】解：因为点A(2,﹣3)的横坐标是正数,纵坐标是负数,所以点A在平面直角坐标系的第四象限．故答案为：四．【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正,第二象限负正,第三象限负负,第四象限正负．12．(3分)若x,y为实数,且,则(x+y)2010的值为1．【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．【分析】先根据非负数的性质列出方程组,求出x、y的值,然后代入(x+y)2010中求解即可．【解答】解：由题意,得：x+2＝0,y﹣3＝0,解得x＝﹣2,y＝3；因此(x+y)2010＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零．13．(3分)如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B＝60°,∠C＝70°,则∠BOD的度数是100度．【考点】M5：圆周角定理．【分析】欲求∠BOD的度数,需先求出同弧所对的圆周角∠A的度数；△ABC中,已知了∠B、∠C的度数,由三角形内角和定理即可求得∠A的度数,由此得解．【解答】解：△ABC中,∠B＝60°,∠C＝70°；∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°；∴∠BOD＝2∠A＝100°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及圆周角定理的应用．14．(3分)甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x,则x的值是6．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题意,得到甲、乙的工效都是．根据结果提前两天完成任务,知：整个过程中,甲做了(x﹣2)天,乙做了(x﹣4)天．再根据甲、乙做的工作量等于1,列方程求解．【解答】解：根据题意,得1,解得x＝6,经检验x＝6是原分式方程的解．故答案是：6．【点评】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的公式有：工作总量＝工作时间×工效．弄清此题中每个人的工作时间是解决此题的关键．15．(3分)若一个圆锥的侧面积是18π,侧面展开图是半圆,则该圆锥的底面圆半径是3．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长,进而求得扇形的弧长,除以2π即为圆锥的底面圆半径．【解答】解：设圆锥的母线长为R,π×R2÷2＝18π,解得：R＝6,∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π,∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π＝3．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16．(4分)设x1,x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根,则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系,可求出x1+x2以及x1x2的值,然后根据x12+3x1x2+x22＝(x1+x2)2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意,得：x1+x2＝3,x1x2＝﹣2；原式＝(x1+x2)2+x1x2＝9﹣2＝7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．17．(4分)如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过3秒,四边形APQC 的面积最小．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Smm2,则有：S＝S△ABC﹣S△PBQ＝4t2﹣24t+144＝4(t﹣3)2+108．∵4＞0∴当t＝3s时,S取得最小值．故答案为：3．【点评】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．18．(4分)有背面完全相同,正面上分别标有两个连续自然数k,k+1(其中k＝0,1,2,…,19)的卡片20张．小李将其混合后,正面朝下放置在桌面上,并从中随机地抽取一张,则该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0＝10)不小于14的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】用列表法列举出所有情况,看所求的情况与总情况的比值即可得答案．【解答】解：根据题意,列表可得：0 1 1 2 2 3 3 4 4 55 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 11 11 12 12 13 13 14 14 1515 16 16 17 17 18 18 19 19 20分析可得,在20种情况中有5种符合条件,故其概率为；故答案为：．【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．(4分)已知n是正整数,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P n(x n,y n),…是反比例函数图象上的一列点,其中x1＝1,x2＝2,…,x n＝n,…．记A1＝x1y2,A2＝x2y3,…,A n＝x n y n+1,…若A1＝a(a是非零常数),则A1•A2•…•A n的值是(用含a和n的代数式表示)．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】应先得到k与a之间的关系,进而根据反比例函数上的点的特点得到相应规律作答．【解答】解：易得x1y1＝k,x2y2＝k,…x n y n＝k,且由x2y2＝k得到：y2,∵x1＝1,x2＝2,则A1＝x1y2＝a,∴k＝2a．∵x n+1y n+1＝k,x n+1＝n+1,∴y n+1,又∵x1＝1,∴A1•A2•…•A n＝x1y2•x2y3…x n y n+1＝x1(y2•x2)•(y3•x3)y4•x n y n+1＝k•k…k×x1y n+1＝k•k…k k n﹣1•．故答案为：．【点评】用到的知识点为：反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数,难点是得到相应规律．20．(4分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B＝90°,AB＝BC,D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点,P是BC边上一点,连接AD、DC、AP．已知AB＝8,CP＝2,Q是线段AP上一动点,连接BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R,且满足AP＝BR,则的值为1或．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LF：正方形的判定；M5：圆周角定理．【分析】先证明四边形ABCD是正方形,得出AD∥BC．根据题意,可知点R所在的位置可能有两种情况：①点R在线段AD上；②点R在线段CD上．针对每一种情况,分别求出BQ：QR的值．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O,∠B＝90°,AB＝BC,D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点,∴四边形ABCD是正方形．∴AD∥BC,当AP＝BR时,分两种情况：①点R在线段AD上,∵AD∥BC,∴∠ARB＝∠PBR,∠RAQ＝∠APB,∵AP＝BR,∴△BAP≌ABR,∴AR＝BP,在△AQR与△PQB中,∵,∴△AQR≌△PQB,∴BQ＝QR∴BQ：QR＝1；②点R在线段CD上,此时△ABP≌△BCR,∴∠BAP＝∠CBR．∵∠CBR+∠ABR＝90°,∴∠BAP+∠ABR＝90°,∴BQ是直角△ABP斜边上的高,∴BQ 4.8,∴QR＝BR﹣BQ＝10﹣4.8＝5.2,∴BQ：QR＝4.8：5.2．故答案为：1或．【点评】本题综合考查了平行线的判定,及正方形的判定,及全等三角形的判定及性质．三、解答题(共8小题,满分85分)21．(15分)解答下列各题：(1)计算：(2)若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个实数根,求k的取值范围及k的非负整数值．【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；AA：根的判别式；CC：一元一次不等式组的整数解；T5：特殊角的三角函数值．【分析】(1)本题涉及0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简运算,在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则计算结果．(2)若一元二次方程有两实数根,则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围后,再求非负整数值．【解答】解：(1)原式3；(2)∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个实数根,∴△＝42﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0,解得k≤2．∴k的非负整数值为0,1,2．【点评】本题考查了实数的运算,一元二次方程根的情况与待定系数的关系的问题．22．(8分)已知：如图,AB与⊙O相切于点C,OA＝OB,⊙O的直径为4,AB＝8．(1)求OB的长；(2)求sin A的值．【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质．【分析】(1)先由OA＝OB可知△OAB是等腰三角形,再根据切线的性质可知OC⊥AB,故可求出BC的长,再利用勾股定理求出OB的长即可．(2)根据OA＝OB求出OA的长,再根据角的三角函数值求出sin A的值即可．【解答】解：(1)由已知,OC＝2,BC＝4．在Rt△OBC中,由勾股定理,得；(2)在Rt△OAC中,∵OA＝OB,OC＝2,∴sin A．【点评】本题综合考查了切线的性质及直角三角形的性质、锐角三角函数的定义．23．(10分)如图,已知反比例函数与一次函数y＝x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4)．(1)试确定这两个函数的表达式；(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】(1)把A(1,﹣k+4)代入解析式y,即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y＝x+b的解析式,即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；(2)将两个函数的解析式组成方程组,其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x 的取值范围．【解答】解：(1)∵已知反比例函数经过点A(1,﹣k+4),∴,即﹣k+4＝k,∴k＝2,∴A(1,2),∵一次函数y＝x+b的图象经过点A(1,2),∴2＝1+b,∴b＝1,∴反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y＝x+1．(2)由,消去y,得x2+x﹣2＝0．即(x+2)(x﹣1)＝0,∴x＝﹣2或x＝1．∴y＝﹣1或y＝2．∴或．∵点B在第三象限,∴点B的坐标为(﹣2,﹣1),由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义．24．(10分)某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观,公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：(1)将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；(2)若A馆门票仅剩下一张,而员工小明和小华都想要,他们决定采用抽扑克牌的方法来确定,规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1,2,3,4的四张牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字,将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上,再由另一人抽．若小明抽得的数字比小华抽得的数字大,门票给小明,否则给小华．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率,并说明这个规则对双方是否公平？【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性．【分析】(1)A展馆的门票数除以它所占的百分比,算出门票总数,乘以B展馆门票所占的百分比即为B展馆门票数；C所占的百分比等于整体1减去其余百分比；(2)列举出所有情况,看小明抽得的数字比小华抽得的数字大的情况占所有情况的多少即可求得小明赢的概率,进而求得小明赢的概率,比较即可．【解答】解：(1)B展馆门票的数量＝20÷10%×25%＝50(张)；C所占的百分比＝1﹣10%﹣25%﹣10%﹣40%＝15%．(2)画树状图或列表格法．小华抽到的数1 2 3 4字小明抽到的数字1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有16种可能的结果,且每种结果的可能性相同,其中小明可能获得门票的结果有6种,分别是(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)．∴小明获得门票的概率,小华获得门票的概率．∵P1＜P2,∴这个规则对双方不公平．【点评】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A ),注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率,概率相等就公平,否则就不公平．25．(12分)已知：在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点．(1)如图甲,P为线段BC上一点,连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证：OP＝OQ；(2)如图乙,连接AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S．若AD＝4,∠DCB＝60°,BS＝10,求AS和OR的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证△ODQ≌△OBP．(2)首先求AS的长,要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线,设垂足为T,在Rt△ABT 中,易证得∠ABT＝∠DCB＝60°,又已知了斜边AB的长,通过解直角三角形可求出AT、BT 的长；进而可在Rt△ATS中,由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形,则AD∥BC,易证得△ADO∽△SBO,已知了AD、BS的长,根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式,即可求出OA、OS的长；同理,可通过相似三角形△ADR 和△SCR求得AR、RS的值；由OR＝OS﹣RS即可求出OR的长．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC．∴∠OBP＝∠ODQ∵O是BD的中点,∴OB＝OD在△BOP和△DOQ中,∵∠OBP＝∠ODQ,OB＝OD,∠BOP＝∠DOQ∴△BOP≌△DOQ(ASA)∴OP＝OQ．(2)解：如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T．∵ABCD是菱形,∠DCB＝60°∴AB＝AD＝4,∠ABT＝60°∴在Rt△ATB中,AT＝AB sin60°TB＝AB cos60°＝2∵BS＝10,∴TS＝TB+BS＝12,在Rt△ATS中,∴AS．∵AD∥BS,∴△AOD∽△SOB．∴,则,∴∵AS,∴OS AS．同理可得△ARD∽△SRC．∴,则,∴,∴．∴OR＝OS﹣RS．【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；(2)中能够正确的构建出直角三角形,求出AS的长是解答此题的关键．26．(8分)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为150万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆．(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】(1)设年平均增长率x,根据等量关系“2007年底汽车拥有量×(1+年平均增长率)×(1+年平均增长率)”列出一元二次方程求得．(2)设出每年新增汽车的数量y,根据已知得出2009年报废的车辆是2009年底拥有量×10%,推出2009年底汽车拥有量是2009年底拥有量﹣2009年报废的车辆＝2009年拥有量×(1﹣10%),得出等量关系是：【2009年拥有量×(1﹣10%)+新增汽车数量]×(1﹣10%)+新增汽车数量”,列出一元一次不等式求得．【解答】解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意,得150(1+x)2＝216,则1+x＝±1.2,解得x1＝0.2＝20%,x2＝﹣2.2(不合题意,舍去)．答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(216×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(216×90%+y)×90%+y]万辆．根据题意得(216×90%+y)×90%+y≤231.96,解得y≤30．答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．【点评】同学们应加强培养对应用题的理解能力,判断出题干信息,借用方程、不等式去求解．27．(10分)已知：如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是的中点,连接BD 并延长交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q．(1)求证：P是△ACQ的外心；(2)若,求CQ的长；(3)求证：(FP+PQ)2＝FP•FG．【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由于AB是⊙O的直径,则∠ACB＝90°,只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC＝弧AE,而C是弧AD的中点,那么弧CD＝弧AE,即∠P AC ＝∠PCA,根据等角的余角相等,还可得到∠AQC＝∠PCQ,由此可证得AP＝PC＝PQ,即P 是△ACQ的外心；(2)由(1)的相等弧可知：∠ABC＝∠ACE＝∠CAQ,那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中,根据CF的长及∠ACF的正切值,通过解直角三角形可求得AC的长,进而可在Rt△CAQ 中,根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；(3)由(1)知：PQ＝CP,则所求的乘积式可化为：CF2＝FP•FG；在Rt△ACB中,由射影定理得：CF2＝AF•FB,因此只需证明AF•FB＝FG•FP即可,将上式化成比例式,证线段所在的三角形相似即可,即证Rt△AFP∽Rt△GFB．【解答】(1)证明：∵C是的中点,∴,∴∠CAD＝∠ABC∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°．∴∠CAD+∠AQC＝90°又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ＝90°∴∠AQC＝∠PCQ∴在△PCQ中,PC＝PQ,∵CE⊥直径AB,∴∴∴∠CAD＝∠ACE．∴在△APC中,有P A＝PC,∴P A＝PC＝PQ∴P是△ACQ的外心．(2)解：∵CE⊥直径AB于F,∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC,CF＝8,得．∴由勾股定理,得BC∵AB是⊙O的直径,∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC,BC,∴AC＝10,易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴AC2＝CQ•BC,∴CQ；(3)证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB＝90°∴∠DAB+∠ABD＝90°又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G＝90°∴∠DAB＝∠G；∴Rt△AFP∽Rt△GFB,∴,即AF•BF＝FP•FG易知Rt△ACF∽Rt△CBF,∴CF2＝AF•BF(或由射影定理得)∴FC2＝PF•FG,由(1),知PC＝PQ,∴FP+PQ＝FP+PC＝FC∴(FP+PQ)2＝FP•FG．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系,圆周角定理,三角形的外接圆,勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识．28．(12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣3,0),若将经过A、C两点的直线y＝kx+b1沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．(1)求直线AC及抛物线的函数表达式；(2)如果P是线段AC上一点,设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC,且S△ABP：S＝2：3,求点P的坐标；△BPC(3)设⊙Q的半径为1,圆心Q在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在,求出圆心Q的坐标；若不存在,请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】(1)根据“过A、C两点的直线y＝kx+b1沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点”,即可得到c﹣3＝0,由此可得到C点的坐标,根据A、C的坐标即可求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由于△ABP和△BPC等高不等底,那么它们的面积比等于底边的比,由此可求出AP、PC 的比例关系,过P作x轴的垂线,通过构建的相似三角形的相似比即可求出P点的坐标；(3)①此题要分成两种情况讨论：一、⊙Q与x轴相切,可设出Q点的横坐标,根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标,若⊙Q 与x轴相切,那么Q点的纵坐标的绝对值即为⊙Q的半径1,由此可列方程求出Q点的坐标；二、⊙Q与y轴相切,方法同一；②若⊙Q与x、y轴都相切,那么Q点的横、纵坐标的绝对值相等,可据此列方程求出Q点的坐标,进而可得到⊙Q的半径．【解答】解：(1)∵y＝kx+b1沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,∴b1＝3,C(0,3)．将A(﹣3,0)代入y＝kx+3,得﹣3k+3＝0．解得k＝1．∴直线AC的函数表达式为y＝x+3．∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣2∴,解得；∴抛物线的函数表达式为y＝x2+4x+3；(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D．∵S△ABP：S△BPC＝2：3,∴AP•BD：PC•BD＝2：3∴AP：PC＝2：3．过点P作PE⊥x轴于点E,∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,∴．∴PE OC,∴,解得∴点P的坐标为；(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在⊙Q与坐标轴相切的情况．设点Q的坐标为(x0,y0)．①当⊙Q与y轴相切时,有|x0|＝1,即x0＝±1．当x0＝﹣1时,得y0＝(﹣1)2+4×(﹣1)+3＝0,∴Q1(﹣1,0)当x0＝1时,得y0＝12+4×1+3＝8,∴Q2(1,8)②当⊙Q与x轴相切时,有|y0|＝1,即y0＝±1当y0＝﹣1时,得﹣1＝x02+4x0+3,即x02+4x0+4＝0,解得x0＝﹣2,∴Q3(﹣2,﹣1)当y0＝1时,得1＝x02+4x0+3,即x02+4x0+2＝0,解得,∴,．综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为Q1(﹣1,0),Q2(1,8),Q3(﹣2,﹣1),,．(Ⅱ)设点Q的坐标为(x0,y0)．当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有y0＝±x0．由y0＝x0,得x02+4x0+3＝x0,即x02+3x0+3＝0,∵△＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0∴此方程无解．由y0＝﹣x0,得x02+4x0+3＝﹣x0,即x02+5x0+3＝0,解得∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切．【点评】此题是二次函数的综合题,主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定,三角形面积的求法,相似三角形的判定和性质以及直线与圆的位置关系等知识；需要注意的是(3)①所求的是⊙Q与坐标轴相切,并没有说明是x轴,还是y轴,因此要将所有的情况都考虑到,以免漏解．2010年四川省成都市中考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)1．(3分)下列各数中,最大的数是()A．﹣2 B．0 C．D．32．(3分)x3表示()。
