人教初中数学九下 28.2《方位角、坡度、坡角》教案

教学目标1、了解测量中方位角，坡度、坡角的概念；2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：有关方位角及坡度的计算教学难点：构造直角三角形的思路。

教学过程一．复习提问什么是仰角，什么是俯角？例如：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。

沿着水平地面向前300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。

二、新课方位角：•指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.•如图：点A在O的北偏东30°•点B在点O的南偏西45°（西南方向）例1：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向AB C D3045B OA东西北南行驶40海里到达C 地,则A,C 两地的距离为 ____例2： 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远（精确到0.01海里）？例3、如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？坡度，坡角： 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如右图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝ 坡度通常用l ：m 的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tana ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

例如: 一个钢球沿坡角31 °的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）A. 5cos31 °B. 5sin31 °C. 5tan31 °D. 5cot31 °2．例题例1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路19.4.5l h AD C B基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。

锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方位角与解直角三角形置疑导入复习导入悬念激趣如图28－2－71，一架外国侦察机沿ED方向入侵我国领空，我空军战斗机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与外机在B处的距离为50 m，∠CAB＝30°，这时外机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，外机在C处故意撞击我机，问外机由B到C的速度是多少？图28－2－71[说明与建议] 说明：用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师在新课导入的过程中，引导学生理解方位角的含义，帮助学生根据题意建立方位坐标，选择合适的边角关系．随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，2015年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图28－2－72，你能求出DC的长吗？图28－2－72分析：(1)在Rt△ADE中，你能利用解直角三角形的知识求出DE的长吗？(2)在Rt△BCF中，你能利用解直角三角形的知识求出FC的长吗？(3)DC可分为哪些线段长的和？[说明与建议] 说明：通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长度．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上．76页例5如图28－2－73，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?图28－2－73【模型建立】根据方位角的概念，南北方向线与东西方向线一定垂直，常可以过目标点或观察点作南北方向线或东西方向线的平行线或垂线，构造直角三角形来解决问题．【变式变形】1．临沂中考如图28－2－74，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)A．20海里B．10 3海里C．20 2海里D．30海里图28－2－74 图28－2－752．苏州中考如图28－2－75，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 k m，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°方向上，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)A．4 k m B．2 3 k m C．2 2 k m D.()3＋1k m3．邵阳中考如图28－2－76，一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)图28－2－76 28－2－77解：如图28－2－77，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意，得∠CAD＝30°，∠CBD ＝53°，AC ＝80海里，∴CD ＝40海里．在Rt △CBD 中，sin53°＝CD CB ，∴CB ＝CD sin53°≈400.8＝50(海里)．行驶时间为5040＝1.25(时)． 答：海警船到达C 处约需1.25小时．素材三 考情考向分析 [解决此类问题，一般是根据方位角的定义构造直角三角形．如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度2] 坡度问题求斜坡的长、滑梯的长、电梯的长等问题，是近年中考的一个热点．这类题目常需通过坡度和坡高，再应用勾股定理，求坡长．例1 巴中中考如图28－2－78，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)图28－2－78[答案：坝底AD 的长度约为90.6米]例2 广安中考如图28－2－79，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i ＝1∶2.(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．图28－2－79[答案：(1)10米 (2)19200立方米]素材四 教材习题答案P 74 练习在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形：(1)c ＝30，b ＝20；(2)∠B ＝72°，c ＝14；(3)∠B ＝30°，a ＝7.解： (1)∵c ＝30，b ＝20，∴a ＝10 5.∴sin A ＝10530＝53，∴∠A ≈48.19°， ∴∠B ≈41.81°.(2)∵sin72°＝b 14，∴b ≈13.3148. ∵ cos72°＝a 14，∴a ≈4.3262.∵∠B ＝72°，∠C ＝90°，∴∠A ＝18°.(3)∵cos B ＝a c ＝7c ，∴c ＝2213. ∵tan B ＝b a ＝b 7，∴b ＝213. ∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.P 76 练习1．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距 40 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，∴BC ＝DC ＝40 m.在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝40×tan50°≈47.7(m)．∴AB ＝AC －BC ≈47.7－40＝7.7(m)．答：旗杆AB 的高度约为7.7 m.2．如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝520 m ，∠D ＝50°.那么另一边开挖点E 离D 多远正好能使A ，C ，E 三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?解： ∵∠DBC ＝180°－40°＝40°. 当A ，C ，E 三点在一直线上时，∠BED ＝180°－40°－50°＝90°.在Rt △BED 中，DE ＝BD · cos50°≈334.2(m)．即另一边开挖点E 离点D 334.2 m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．P 77 练习1．如图，海中有一个小岛A ，它周围8 n m ile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n m ile 到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解： 过点A 作AH ⊥BD 交BD 的延长线于H .易得∠ABD ＝30°，∠DAH ＝30°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝30°.∴AD ＝BD ＝12 n m ile .在Rt △ADH 中，AH ＝AD · cos30°＝12×32＝63≈10.4(n m ile )>8(n m ile )． 故如果渔船不改变航向继续向东航行，不会触礁．2．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i ＝1∶3是指DE 与CE 的比．根据图中的数据，求：(1)坡角α和β的度数；(2)斜坡AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： (1)tan α＝11.5≈0.6667， ∴α≈33°41′，tan β＝13≈0.3333，β≈18°26′. (2)在Rt △AFB 中 ，sin α＝AF AB ， ∴AB ＝AF sin α＝6sin 33°41′≈10.8(m)． P 77 习题28.21．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝8，∠A ＝30°；(2)b ＝7，∠A ＝15°；(3)a ＝5，b ＝12.解：(1)a ＝4，b ＝43，∠B ＝60°.(2)a ≈1.9，c ≈7.2，∠B ＝75°.(3)c ＝13，∠A ≈22°37′，∠B ≈67°23′.2．如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC ＝10 m ，∠B ＝36°，求中柱AD (D 为底边中点)和上弦AB 的长(结果保留小数点后一位)．解： 在Rt △ADB 中，BD ＝12BC ＝12×10＝5(m)，AD ＝BD ·tan36°＝5×tan36°≈3.6(m)．AB ＝BD cos 36°＝5 cos 36°≈6.2(m)． 3．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝16°31′.求飞机A 与指挥台B 的距离(结果取整数)．解： 在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ， AB ＝1200sin 16°31′≈4221(m)． 答：飞机A 与指挥台B 的距离约为4221 m.4．从高出海平面55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)?解： 设帆船离灯塔x m.x ＝55tan 21°≈143 (m)． 答：帆船距灯塔约143 m.5．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m ．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位)．解： 设斜坡上相邻两树之间的坡面距离为l m , cos24°＝5.5l ，l ＝ 5.5 cos 24°≈6.0. 答：斜坡上相邻两树间坡面距离为6.0 m.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知∠A ，c ，写出解Rt △ABC 的过程；(2)已知∠A ，a ，写出解Rt △ABC 的过程；(3)已知a ，c ，写出解Rt △ABC 的过程．解：(1)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c，∴a ＝c sin A . ∵cos A ＝b c，∴b ＝c cos A . (2)∠B ＝90°－∠A .∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A. ∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A. (3)b ＝c 2－a 2.∵sin A ＝a c， ∴∠A ＝sin －1(a c )． ∠B ＝90°－∠A .7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为130 m 的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高(结果取整数)?解： 设金字塔原来的高为h m ， ∵tan65°＝h 12×130，∴h ＝65·tan65°≈139(m)． 答：这个金字塔原来的高度约为139 m.8．如图，一枚运载火箭从地面L 处发射．当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km ，仰角为43°；1 s 后火箭到达B 点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果取小数点后两位)?解： 在Rt △ALR 中，sin43°＝AL AR，AL ＝AR ·sin43°＝6×sin43°≈4.092(km)． cos43°＝RL AR，RL ＝6·cos43°， 在Rt △BLR 中，tan45.54°＝BL RL， BL ＝RL tan45.54°≈4.472(km)．BL －AL ≈4.472－4.092＝0.38(km)＝380(m)，∴火箭从A 到B 的平均速度为380÷1＝380(m/s )．答：这个火箭从A 到B 的平均速度是380 m/s .9．为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB 的长度(结果取整数)．解：∵tan α＝5BH ＝11.5，∴BH ＝7.5 m ， ∴AB ≈9 m.答：斜坡AB 的长度约为9 m.10．海中有一小岛P ，在以P 为圆心、半径为16 2 n m ile 的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P 位于北偏东60°方向上，且A ，P 之间的距离为32 n m ile .若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？解：∵32×sin30°＝16(n m ile )<162(n m ile )，∴若轮船继续向东航行，轮船有触礁的危险． 16232＝22，sin45°＝22，45°－30°＝15°，90°－15°＝75°， ∴轮船自A 处开始至少沿南偏东75°的方向航行，才能安全通过这一海域．11．根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积(结果取整数)．(提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积．)解： 如图：用A ，B ，C 分别表示两个观测点和百慕大岛的位置．过点C 作水平线EF 分别交过点A ，B 的铅垂线于E ，F ，则四边形ABFE 为直角梯形．在Rt △BCF 中，FC ＝BC ·sin54°≈2720×0.8090＝2200．48(km)，FB ＝BC ·cos54°≈2720×0.5878＝1598．816(km)．在Rt △AEC 中，EC ＝AC ·sin62°≈1700×0.8829＝1500．93(km)，EA ＝AC ·cos62°≈1700×0.4695＝798．15(km)．∵S △ABC ＝S 梯形ABFE －S △AEC －S BFC ＝12(EA ＋FB )(EC ＋FC )－12EA ·EC －12FB ·FC ＝12(EA ·FC ＋FB ·EC ) ≈12(798.15×2200.48＋1598.816×1500.93) ≈2 078 012(km 2)．答：百慕大三角的面积约为2 078 012 km 2.P 84 复习题281．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，a ＝2，c ＝6，求sin A ，cos A 和tan A 的值．解： ∵a ＝2，c ＝6，∴b ＝42，∴sin A ＝26＝13，cos A ＝426＝223，tan A ＝242＝24. 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，AC ＝43，求BC 的长．解： ∵ cos A ＝AC AB ，∴AB ＝ACcos A ＝8.∴BC ＝AB 2－AC 2＝82－（43）2＝4.3．求下列各式的值：(1)2cos45°－tan45°； (2)3sin60°＋tan60°－2cos 230°.解： (1)原式＝2×22－1＝0.(2)原式＝3×32＋3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32＋3－32＝ 3.4．用计算器求下列各式的值：(1)cos76°39′＋sin17°52′；(2)sin57°18′－tan22°30′；(3)tan83°6′－cos4°59′；(4)tan12°30′－sin15°.解： (1)0.5377；(2)0.4273；(3)7.2673；(4)－0.0371.5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A 的度数：(1)cos A ＝0.7651；(2)sin A ＝0.9343；(3)tan A ＝35.26；(4)tan A ＝0.707.解： (1) 40.08°；(2) 69.12°；(3) 88.38°；(4) 35.26°.6．等腰三角形的底角是30°，腰长为2 3.求它的周长．解： 如图，设∠B ＝∠C ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，则AB ＝23，BD ＝AB · cos 30°＝23×32＝3, BC ＝6，故△ABC 的周长为6＋4 3.7．从一艘船上测得海岸上高为42 m 的灯塔顶部的仰角为33°时，船离海岸多远(结果取整数)?解： 设船离海岸的距离为x m ，则tan33°＝42x ，x ＝42tan 33°≈65(m)． 答：船离海岸的距离约为65 m.8．如图，两建筑物的水平距离BC 为32.6 m ，从A 点测得D 点的俯角α为35°12′，测得C 点的俯角β为43°24′，求这两座建筑物的高度(结果保留小数点后一位)．解： 因为β为43°24′，所以∠ACB ＝43°24′.又因为BC 为32.6 m ，根据tan ∠ACB ＝AB BC， 即可计算出AB ≈30.8 m.过点D 作DE ⊥AB 于点E ，所以DE ＝BC ＝32.6 m ，再根据α为35°12′，可知∠ADE ＝35°12′，利用tan ∠ADE ＝AE DE， 即可计算出AE ≈23.0 m.所以CD ＝AB －AE ≈7.8(m)．答：这两座建筑物的高度分别约为30.8 m ，7.8 m.9．某型号飞机的机翼形状如图所示．根据图中数据计算AC ，BD 和AB 的长度(结果保留小数点后两位)．解： 设过B 的CD 的垂线交CD 的延长线于G ，作AH ⊥CG 于H .在Rt △DGB 中，BG ＝5.00 m ，∠DBG ＝30°，∴BD ＝5 cos 30°≈5.77(m)， DG ＝5×tan30°≈2.887(m)．在Rt △AHC 中，AH ＝5.00 m ，∠CAH ＝45°，∴AC ＝5×2≈7.07(m)．∵CH ＝AH ＝5.00 m ，CD ＝3.40 m ，∴DH ＝1.60 m ．∴HG ＝2.887－1.60≈1.29(m)，即AB 长约为1.29 m. 即AC ，BD ，AB 的长度分别约为7.07 m ，5.77 m ，1.29 m.10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α ≤75°.现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，α等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？解： (1)∵sin75°＝BC6，∴BC ≈5.8 m.∴使用这个梯子能安全攀到墙面的最大高度约为5.8 m. (2)∵ cos α＝2.46，∴α≈66°.∵50°≤α≤75°，∴可以安全使用．11．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5 5 cm ，且tan ∠EFC ＝34.(1)△AFB 与△FEC 有什么关系？ (2)求矩形ABCD 的周长．解： (1)相似．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∵AD 沿AE 折叠，点D 落在BC 边的点F 处， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE . ∴∠AFB ＋∠CFE ＝90°. ∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∴∠CFE ＝∠BAF ，∴△AFB ∽△FEC . (2)在Rt △EFC 中， ∵tan ∠EFC ＝EC FC ＝34，∴设EC ＝3x cm ，则FC ＝4x cm ，DE ＝EF ＝EC 2＋FC 2＝5x (cm)，AB ＝CD ＝8x cm. ∵△AFB ∽△FEC ， ∴AF FE ＝AB FC ，即AF 5x ＝8x 4x，∴AF ＝10x cm.由折叠知AD ＝AF ， ∴AD ＝10x cm.在Rt △ADE 中，AD ＝10x cm ，DE ＝5x cm ，AE ＝5 5 cm ，由勾股定理得AD 2＋DE 2＝AE 2，即(10x )2＋(5x )2＝(55)2，解这个方程得x 1＝1，x 2＝－1(负数不合题意，舍去)． ∴AD ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，∴矩形ABCD 的周长为2(AB ＋AD )＝36 (cm)．12．▱ABCD 中，已知AB ，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出▱ABCD 的面积S 吗？如果能，用AB ，BC 及其夹角∠B 表示S .解： 能．过A 作BC 边垂线，垂足为H ，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ·sin B . ∴S ▱ABCD ＝BC ·AH ＝AB ·BC ·sin B . 13．已知圆的半径为R .(1)求这个圆的内接正n 边形的周长和面积； (2)利用(1)的结果填写下表：观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势？与圆的周长(面积)进行比较，你能得出什么结论？ 解： (1)如图，AB 为正n 边形的一边，OM 为边心距．在Rt △OAM 中，∵OA ＝R ，∠AOM ＝180°n ，∴AM ＝R sin 180°n ，OM ＝R cos 180°n.设正n 边形的边长为a n ，边心距为r n ，则a n ＝2AM ＝2R sin 180°n ，r n ＝R cos 180°n .∴正n 边形的周长为 na n ＝2nR sin 180°n ，正n 边形的面积为 n ·12a n r n ＝nR 2sin180°n cos 180°n或 nS △OAB ＝n ·12OA ·OB sin360°n＝ nR 22sin 360°n.(2)正六边形、正十二边形和正二十四边形的周长分别为6R ，24R sin 15°，48R sin 7.5°，面积分别是332R 2，3R 2，12R 2sin15°.随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR ，面积逐渐接近圆的面积πR 2.14．如图，在锐角△ABC 中，探究asin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系．(提示：分别作AB 和BC 边上的高．)解： 如图，过点A 作BC 边的高线AD .∴sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝ c sin B ＝b sin C . 可得bsin B ＝c sin C .① 过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴sin A ＝CEb ，CE ＝b sin A ，sin B ＝CEa ，CE ＝a sin B ，可得b sin A ＝a sin B ， 即bsin B ＝a sin A.② 由①②得a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 素材五 图书增值练习 [当堂检测]1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤坝高BC =50 m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100 mB ．1003 mC ．150 mD ．503 m2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A ．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i =1:5，则AC 的长度是 cm ．5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点． （1）求A 、C 两点之间的距离；（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向？参考答案 1．A 2．A 3．2534．2105．解：（1）过B 点作BE ∥AD ， 如图，∴∠DAB =∠ABE =60°. ∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.由已知可得：BC =500 m ，AB 3， 由勾股定理可得：AC 2=BC 2+AB 2，∴22500(5003)1000(m)+AC .（2）在Rt△ABC中，∵BC=500 m，AC=1000 m，∴∠CAB=30°.∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.[能力培优]专题一利用解直角三角形测河宽与山高1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m 选取点B,并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到1米）专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i＝CE:ED，单位：m)专题三 利用解直角三角形解决太阳能问题4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28°，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12 m ，⊙O 的半径为1.5 m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m ）（参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）【知识要点】１.解直角三角形的几种基本图形： 图形1：tan30°＝33=+a x x ， ∠ABD ＝∠A ，BD ＝AD ＝a ， tan60°＝xxa + ， x a x 333=+，2360sin =︒=a x ， x a x +=3，213+=x a ． a x 23= . a a x 21313+=-= . 图形2：tan30°＝33=-x a x ， tan60°＝3=-xa x ， a a x 21313-=+=． a a x 233133-=+= .图形3：AC ＝CD ＝a ＋x ， AC ＝BE ＝DE ＝x , ∠BAD ＝∠BDA ＝30°,tan30°＝33=+a x x ， tan60°＝3=+x x a , AB ＝BD ＝a ， a a x 21313+=-=. a a x 21313+=-= . x ＝21BD ＝21a .【温馨提示】１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.【方法技巧】１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.参考答案1．解：示意图如下：连接AC ，B C ，过点C 作CE ⊥AD 于E .由题意得，∠ACB ＝∠CBE －∠CAD =60°－30°＝30°， ∴∠CAD ＝∠ACB ， ∴BC ＝AB ＝30.在Rt △BEC 中，CE ＝BC sin60°＝30×23＝153（m ）. 答:小河的宽度为153m.2．解：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有1122100tan 30tan 45100.tan 45tan 60h h h h ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩o o o o，解得150(31)137h =+≈（米），2h 50(33)237=+≈(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .3．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于F ，可得矩形BCEF ， ∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4．在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4， 由勾股定理可得22543AF =-=． ∵Rt △CED 中，12CE i ED ==， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8．∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．4．解：过点O 作水平地面的垂线，垂足为E ．在Rt△AOB 中，cos∠OAB ＝OAAB， 即cos28°＝OA 12，∴OA ＝121213.333cos 280.9≈≈︒. ∵∠BAE ＝16°，∴∠OAE ＝28°＋16°＝44°. 在Rt△AOE 中，sin∠OAE ＝OAOE， 即sin44°333.13OE≈，∴OE 333.97.0333.13≈⨯≈， 9.333＋1.5≈10.83(m).∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m ． 素材六 数学素养提升太阳光测高是谁最先发现的？金字塔是古埃及国王为自己建造的巨大陵墓.塔基呈四方形，越往上去越狭窄，直到塔顶.从四面看，塔都像我国汉字的“金”字，因此，我国称为“金字塔”.两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。

28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程教师出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。

28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝h l.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝h l＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】利用方位角求垂直距离如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD 中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝33CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB 的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB ＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。

28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。

二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65o方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34o方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。

部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。

本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。

教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。

但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。

2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。

2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。

2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。

3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。

2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。

同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。

义务教育学校课时教案备课时间：上课时间：PB 之间的距离.分析与解：易知P 点正东方向与AC 具有垂直关系，即图中 PC 丄AB ，若记垂足为C ，则图中出现了两个直角三角形APC 和直角三角形BPC.而在Rt △APC 中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC 的长，即由AP PC=∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PCPB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈︒=︒=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里.你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？ 归纳：a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案. 练习1.海中有一个小岛A ，它周围8n mile 内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12n mile 到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？知识点2 坡度类型的解直角三角形问题问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？你能根据图示给出坡度的定义吗？1.坡面的垂直高度h 和水平宽度L 的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为Lh i =. 2.坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则 tan α=Lh i =. 练习2.如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1:3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求： （1）坡角α 和 β 的度数；（2）斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位)．三、随堂演练1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A.南偏东50° B.南偏东40° C.北偏东50° D.北偏东40°2.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m ，则这两棵树在坡面上的距离AB 为 m.（结果保留根号）3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB 的长度(结果取整数).4.某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD 和AB 的长度(结果保留小数点后两位).。

最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。