第七章课后习题答案
7.2 设总体12~(12,4),,,
,n X N X X X 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之
差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N ,
~(0,1)X N
{1}1{1}1P X P X P μμ⎫->=--≤=-≤
112(11(20.86861)0.262822P ⎡⎤=-≤=-Φ-=-⨯-=⎢⎥⎣⎦⎪⎭
7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =⎧⎫
>⎨⎬⎩⎭
∑.
解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故
~(0,1)0.3
i i X X N σ
--=
所以
10
2
21
(
)~(10)0.3
i i X χ=∑ 所以{}1010222
11 1.441.44()160.10.3
0.09i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎧⎫>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑
7.4 设总体2
~(,),X N μσ12,,
,n X X X 为简单随机样本, X 为样本均值，2S 为样
本方差，问2
X U n μσ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
服从什么分布？
解：
2
2
2
X X X U n μσ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎝⎭,由于2
~(,)X N μσ，
~(0,1)N
，故2
2
~(1)X U χ⎛⎫=。
7.6 设总体2~(,),X N μσ2
~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取
1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22
12,S S ，求2212(40)P S S ->。
解： 22
22211
2
1
2
22(40)(4)4S P S S P S S P S ⎛⎫
->=>=> ⎪⎝⎭
由于2~(,),X N μσ2
~(,)Y N μσ且相互独立
所以2
122
~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F =
即()40.01P F >=
第八章课后习题答案
8.1 设总体X 的密度函数为(1)
,
()010,
C x x C f x C x C 为已知，θθθθ-+⎧>=>>⎨
≤⎩
。
12,,
,n X X X 为简单随机样本,（1）求θ的矩估计量。（2）求θ的极大似然估计量。
解：（1）(1)
[1(1)]()()C
C
C
E X xf x dx x C x
dx C
x dx θθθ
θμθθ+∞
+∞
+∞
-+-+==
==⎰
⎰
⎰
11(0)11
C
C x dx C C C X θθθ
θθ
θθθθ+∞
--==-==--⎰
故X
X C
θ=
-。 （2） 似然函数
121
(,,
;)()n n i i L x x x f x θ==∏(1)
(1)1
1
()n
n
n
n i
i i i C x C x θ
θθ
θθθ-+-+====∏∏
取对数
12ln (,,
;)n L x x x θ=1
ln ln (1)ln n
i i n n C x θθθ=+-+∑
方程两侧对θ求导得
1
ln ln ln n
i i d L n
n C x d θθ==+-∑ 令
1
ln ln ln 0n
i i d L n
n C x d θθ==+-=∑ 得 1
ln ln n
i
i n
x n C
θ==-∑
即极大似然估计量为1
ln ln n
i
i n
X
n C
θ==
-∑
8.4 设总体X 的密度函数为10,()00,
x
x e x f x x α
αλλα--⎧>⎪=⎨
≤⎪⎩
其中0α>是已知常
数，0λ>是未知参数，12,,
,n X X X 为简单随机样本,求λ的极大似然估计量。
解：似然函数
121
(,,
;)()n n i i L x x x f x λ==∏1
11
1
1
()
n
i i i n
n
x x n
n
i
i i i x e
x e
α
α
λ
λααλαλα=----==∑==∏∏
取对数
12ln (,,
;)n L x x x λ=1
1
ln ln (1)ln n n
i i i i n n x x αλααλ==+---∑∑
方程两侧对λ求导得
1
ln n i i d L n x d α
λλ==-∑ 令
1
ln 0n i i d L n x d α
λλ==-=∑ 得 1
n
i
i n
x
αλ==∑
即极大似然估计量为1
n
i
i n
X α
λ==
∑
8.6 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h ）分别为
6.0，5.7,5.8,6.5,
7.0,6.3,5.6,6.1,5.0
设干燥时间2
~(,),T N μσ就下面两种情况μ的置信度为0.95的双侧置信区间。 （1）0.6()h σ= （2）σ未知
解：由已知可得2
6,0.574,0.33x s s ===
（1）由于0.6σ=，9n =，0.05α=，0.025 1.96z =
取统计量~(0,1)X Z N =
所以μ
的置信区间为2
2
(X z X z α
α
-+
即0.60.6(6 1.96,6 1.96)(5.608,6.392)33
-⨯
+⨯=
