高中物理竞赛微积分基础教学文案

高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。

2
式中已略去高阶小量 (Δri ) 。 ，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为
Δqi 2σΔS i 2σ 0 ri
2
2
2π ri Δri
4π 0 Δri ri
设时刻 t，细圆环转动的角速度为 w
0 t
单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流
ΔI i Δqi
2 3 4k 2 0 πa 0 (a 2 a1 ) 2 2 a12 a 2 R
0 t
(12)
由（12）式可见，张力 F 随时间 t 线性减小
五、 （23 届复赛） （25 分）磁悬浮列车是一种高速运载的工具，它具有两个重要系统， 一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接 触，另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随 时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体 获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为
d
得
2nπ k
n 0,1,2,
（8）
F0 0 （9）
当 kd
2n 1 π ，即 d
2n 1 π k
n 0,1,2,
（10）
F0 达最大值
F0 max
4 B02l 2 v k （11） R
当 d 取其它值时， F0 介于 0 与最大值 F0 max 之间．
（1）
平移速度 v0 为恒量．由此可见，题给出的磁场 B x, t B0 cos t kx 可视为一在 空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度 v0 沿 x 轴的正方向平移． 如果金属框移动的 速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框 中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用． 由题已知，在时刻 t，金属框移动的速度为 v ，金属框 MN 边位于坐标 x 处，PQ 边位于 坐标 x d 处．设此时金属框的磁通为 （规定由纸内到纸外 为正） ；经过一很短的时 间间隔 t ，整个磁场分布区域向 x 方向移动了一段距离 v0 t ，金属框向 x 方向移动了一 段距离 vt ，其结果是：MN 边左侧穿过面积为 金属框，PQ 边左侧穿过面积为

物理竞赛微积分知识点总结1.导数与微分导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

对于物理竞赛而言，导数在描述速度、加速度等动力学量时有着重要的应用。

另外，在曲线的切线方程、求解最值等问题中，导数也发挥着重要作用。

微分是导数的一种运算形式，它可以捕捉函数在某一点附近的局部线性变化。

在物理问题中，微分常用于描述微小的变化量，比如位移、速度、加速度等。

2.积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数的原函数或不定积分。

在物理竞赛中，积分常用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量、平均值等。

定积分是对指定区间上的函数值进行积分，它可以用于求解质点在一段时间内的位移、速度、加速度等物理量，还可以用于计算某些物理量的平均值、总量等问题。

3.微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理，它建立了积分与导数之间的联系。

第一积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，可以将积分问题转化为求解原函数的问题。

第二积分基本定理则给出了定积分的计算方法，它将定积分与不定积分联系在一起，为求解定积分提供了便利。

在物理竞赛中，微积分基本定理在积分问题的求解中起着十分重要的作用。

4.微分方程微分方程是描述变化规律的数学工具，在物理竞赛中经常出现。

一阶微分方程描述了变量的变化率与变量本身之间的关系，它常用于描述弹簧振子、RC电路、衰减问题等。

对于线性微分方程，可以通过特征方程的求解来求解微分方程的通解。

在物理竞赛中，熟练掌握微分方程的解法对于解决物理问题是十分重要的。

5.级数与收敛性级数是无穷个数项的和，它在物理问题中也常常出现。

级数的收敛性是级数是否有意义的重要标志，熟练掌握级数的收敛性判别方法对于求解物理问题十分重要。

常见的级数有等比级数、调和级数、幂级数等，在物理竞赛中需要能够熟练应用级数的性质及收敛性的判别方法。

6.多元函数微积分多元函数微积分是微积分的拓展，它描述的是多元函数的变化规律。

对于物理竞赛而言，多元函数微积分在描述多变量物理量之间的关系、求解多元函数的极值等问题中有着重要的应用。

A
A
几何公理：两点之间直线距离最短
∫B ds 的极小值为直线 AB . A
光在均匀介质中沿直线传播
ii. 用费马原理证明折射定律
证: 通过空间两点A、B可以作无数个
平面，其中必有一个平面垂直于两 种介质 n1和n2 之间的界面，OO’是 它们的交线。通过A点折射到B点的 入射线交界面于C点，求C点的位置。
M0
L
N
αϕ
o
AB x
tan α = lim tan ϕ = lim Δy = lim f ( x0 + x) − f ( x0 )
Δx→0
Δ x Δx → 0
Δx→0
x − x0
曲线 y = f (x)在点M0处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标
x的增量Δx之比，当Δx → 0时的极限即为曲线在M0点处
即： f ′′(x0 ) = [f ′(x)]′ x=x0
依次类推，可得三阶、四阶导数等.
导数的几何意义与物理意义
z导数的几何意义： 函数 y = f (x) 在点x0处的导数等于函数所
表示的曲线L在相应点（x0,y0)处的切线斜率.
y
y = f (x)
M T
M0
L
N
αϕ
o
AB x
z导数的物理意义： 变速直线运动的速率
(a) C点必在OO'上
如果有另一点C'位于线外，则对应于C’，必可在OO’线上找 到它的垂足C''
因为 AC' > AC' ' C' B > C'' B AC'+C' B > AC''+C'' B 而非极小值．