全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)

1全等模型-倍长中线与截长补短模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角

形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助

线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知

识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】

1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.

证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅

ΔECD；

2、中点型:如图2，C为AB的中点.

证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;

若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.

3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.

证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.

1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．

可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系

即可判断中线AD的取值范围是；

(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交

AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并

2说明理由．

2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交

流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．

(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关

系，并说明理由．

3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明

“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，

证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．

类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：

AC=BF．

小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．

证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯

请根据小亮的思路完成证明过程．

方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段

CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD

3的数量关系，并给出证明．

4(2022·河南商丘·一模)阅读材料

如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等

于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形

DBCF是平行四边形即得证．

(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=

BF．

小明发现可以类比材料中的思路进行证明．

证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．

(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段

CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与

AD的数量关系，并给出证明；

模型2.截长补短模型

【模型解读】

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可

以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)。

截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

【常见模型及证法】

(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。

1.如图，求证BE+DC=AD

方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE

(2)补短：将短线段延长，证与长线段相等

5如图，求证BE+DC=AD

方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE

例1．(2023·重庆·九年级专题练习)如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，

CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

46(2023·广东肇庆·校考一模)课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的

方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角

形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画

法，并在图1中画出相应的辅助线；

(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求

证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：

如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断

这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

7(2023·广西·九年级专题练习)在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

(1)如图(1)，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；

(直接写出答案)；(2)如图(2)，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

58(2023·广东·九年级期末)(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+

∠C=180°．求证：DA=DC．

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．

方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．

(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量

关系，并说明理由；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE

⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．课后专项训练：

1(2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC的中点，

则AD的长可能是()

A.1B.2C.3D.4

2(2022·浙江湖州·二模)如图，在四边形ABCD中，AB⎳CD，AB⊥BD，AB=5，BD=4，CD=3，

点E是AC的中点，则BE的长为( )．

6A.2B.

52C.5D.3

3(2022·广东湛江·校考二模)已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，

∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，则AD的长为．4(2023秋·江西九江·八年级校考期末)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，

AD=6，则BC的长为．

5(2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习)(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=3，AC=5．

求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE=AD，连接BE．利用全

等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小

聪同学证三角形全等用到的判定方法是，中线AD的取值范围是；

(2)问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN．DM交AB于点M，DN交AC于点

N．求证：BM+CN>MN；

(3)问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM

和Rt△ACN，其中∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM，AC=AN，连接MN，请你探索AD与MN的数量

与位置关系．

6(2023·黑龙江大庆·统考三模)如图，四边形ABDE中，∠ABD=∠BDE=90°，C为边BD上一点，连

7接AC，EC，M为AE的中点，延长BM交DE的延长线于点F，AC交BM于点G，连接DM交CE于点

H．

(1)求证MB=MD；(2)若AB=BC，DC=DE，求证：四边形MGCH为矩形．

7(2023·广东云浮·八年级统考期中)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边

上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC

于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一

个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．

8(2023·江苏·九年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接

CE．

①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；

(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，

求证：BE+CF>EF．

9(2022秋·北京昌平·九年级校联考期中)如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA=