拔高训练题一

小学数学三年级应用题拔高训练系列一（含答案及解析）1、一列火车早上5时从甲地开往乙地,按原计划每小时行驶120千米,下午3时到达乙地,但实际到达时间是下午5时整,晚点2小时。

问火车实际每小时行驶多少千米?2、—辆汽车早上8点从甲地开往乙地,按原计划每小时行驶60千米,下午4时到达乙地。

但实际晚点2小时到达,这辆汽车实际每小时行驶多少千米?3、小宁、小红、小佳去买铅笔,小宁买了7支,小红买了5支,小佳没有买。

回家后,三个人平均分铅笔,小佳拿出8角钱,小佳应给小宁多少钱?给小红多少钱?4、三个好朋友去买饮料,小亮买了5瓶,小华买了4瓶,阳阳没有买。

到家后,三个人平均喝完饮料,阳阳拿出6元钱,他应给小亮多少钱?给小华多少钱？5、用一个杯子向空瓶里倒牛奶,如果倒进去2杯牛奶,连瓶共重450克;如果倒进去5杯牛奶,连瓶共重750克。

一杯牛奶和一个空瓶各重多少克?6、(1)两个因数分别是7和12,积是多少?(2)250的3倍是多少?7、一只虎体重180千克,一只熊的体重是虎的2倍,这只熊的体重是多少千克?8、水果店运来20箱梨,每箱25千克。

卖出325千克,还剩多少千克?9、王老师买排球用了40元,买篮球用的钱数是排球的3倍。

王老师买球一共用了多少元?10、学校美术小组一共有36个同学,其中有女同学27人。

女同学人数是男同学的几倍?11、同学们采集树种子。

已经采集了15千克,再采集多少千克,树种的总重量正好是原来的3倍?12、一个数乘10,得到的数比原来的数多72。

原来的数是多少?13、一辆自行车的价钱是182元,一辆摩托车的价钱比一辆自行车的10倍还多700元。

一辆摩托车的价钱是多少元?一辆摩托车比一辆自行车贵多少元?14、(1)最小的两个两位数的积是多少?(2)最大的两位数和最小的两位数的积是多少?15、一次排球锦标赛,有32个队参加,每对有12名运动员。

一共有多少名运动员?奥数思维训练系列一（含答案及解析）1、【答案】100千米【详解】下午3时=15时，15 -5 =10（时），即原计划火车行驶10小时；据此可求总里程=120×10=1200（千米）。

1. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 ．第1题图 第2题图 第3题图 第 4 题图2. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，P A 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠ABC ==320，则∠P 的度数为 。

3. （2011山东威海，15，3分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5,BE =1,CD 则∠AED= . 4. （2011浙江杭州，14，4）如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，的度数等于84°，CA是∠OCD 的平分线，则∠ABD 十∠CAO = °．5. （2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即可）6. （2011江苏连云港，15，3分）如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO .以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF .若（第13题）NM OCB AA∠BAC =22º，则∠EFG =_____.第7题图7. （2011四川广安，19，3分）如图3所示，若⊙O 的半径为13cm ，点p 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为________cm8. （ 2011重庆江津， 16，4分）已知如图,在圆内接四边形ABCD 中,∠B=30º,则∠D=-____________.9. (2011重庆綦江，13，4分) 如图,已知AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°,则∠D ＝ . 10、如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB = 度. 11、(2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值为______°．第9题图 第10题图 第11题图 第12题图13、（2011江苏无锡，18，2分）如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．14. （2011内蒙古乌兰察布，14，4分）如图， BE是半径为 6 的⊙D 的41圆周，C 点是 BE 上的任意一点， △ABD 是等边三角形,则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是第14题图 第15题图15. （2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是 . 二、解答题1. （2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和CPE .第8题图（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.2.（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )（2011浙江省，5，3分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A. 12个单位B. 10个单位C.4个单位D. 15个单位.如图1，已知Rt△ABC的制直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE=DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=3，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC。

高一化学拔高训练试题一、1、离子反应发生的条件：①生成难溶的物质；②生成难电离的物质；③生成易挥发物质；④发生氧化还原反应。

2、离子共存是指离子之间不发生任何反应；若离子之间能发生反应，则不能大量共存。

同一溶液中若离子间符合①生成难溶物或微溶物，②生成气体或挥发性物质，③生成难电离物质，④发生氧化还原反应中任意一个条件，就会发生离子反应，离子之间便不能在溶液中大量共存。

3、离子方程式的意义：表示同一类型的所有的离子反应。

如Ba2＋＋CO32-===BaCO3↓，表示可溶性钡盐和可溶性碳酸盐在溶液中进行的反应。

4、离子反应实质：离子之间发生反应，生成沉淀、难电离的物质、挥发性气体，或者发生氧化还原反应等，使溶液中的离子浓度减小，反应向着离子浓度减小的方向进行。

二.对电解质和非电解质定义的理解，应注意如下几点：(1)电解质与非电解质都属于化合物，单质、混合物既不是电解质，也不是非电解质。

(2)电解质溶液导电是因为电解质在水溶液中发生电离，溶液才能导电。

(3)某化合物是否是电解质与溶解性无关。

如蔗糖溶于水，但是蔗糖是非电解质；难溶或不溶于水的盐，由于溶解度很小，很难测出其溶液的导电性，但它们溶于水的那部分，却完全电离成离子，在熔融状态下也完全电离，所以它们是电解质，如BaSO4、CaCO3等。

(4)有些溶于水能导电的化合物，还需要分析其导电原因。

如CO2、SO2的水溶液能导电，但并不是CO2、SO2分子电离所致，而是由于它们与水反应生成的H2CO3、H2SO3电离出自由移动的离子而导电，所以只能说H2CO3、H2SO3是电解质，不能说CO2、SO2是电解质。

1、下列关于电解质电离的叙述中，正确的是( )A．碳酸钙在水中的溶解度很小，其溶液的导电性很弱，所以碳酸钙是弱电解质 B．碳酸钙在水中的溶解度虽小，但被溶解的碳酸钙全部电离，所以碳酸钙是强电解质C．氯气和氨气的水溶液导电性都很好，所以它们是强电解质 D．纯水几乎不导电，所以水是非电解质变式1下列物质中，属于强电解质的是__________(均填序号)；属于弱电解质的是__________；属于非电解质的是________ __。

难点题型拔高练(一)1．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若△ABC 为正三角形，则其边长为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，设为k (k ≠0)，则该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，∴x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，设线段AB 的中点为M ，则M (2k ，2k 2＋1)，|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋k216k 2＋16＝4(1＋k 2)，设C (m ，－1)，连接MC ，∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k 2＝32×4(1＋k 2)，∴2k 4＋4k 2＋21＋k2＝23(1＋k 2)，∴1＋k 2＝3，∴k ＝±2，∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12. 2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )A ．ω＝12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝6－22 C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增D ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称解析：选C 由题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω，因为f (x )在(0，π)上单调，所以T 2＝πω≥π，得0<ω≤1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f (x )在(0，π)上单调递减，又0<φ<π，0<ω≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ8＋φ＝3π4，ωπ2＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋2π3.选项A 显然不正确．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝2sin －23×π8＋2π3＝2sin 7π12＝6＋22，所以B 不正确． 因为当－π≤x ≤－π2时，0≤23x ＋2π3≤π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增，故C 正确．因为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3π4＋2π3＝2sin 7π6≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0不是函数f (x )图象的对称中心，故D 不正确．3．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1，g (x )＝ln xx ，若函数y ＝f (g (x ))＋a 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3(其中x 1<x 2<x 3)，则2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为__________．解析：∵g (x )＝ln xx，∴g ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．作出函数g (x )的大致图象如图所示，令g (x )＝t ，由f (t )＋a ＝t 2－t ＋1t －1＋a ＝0，得关于t 的一元二次方程t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝0，又f (g (x ))＋a ＝0有三个根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，∴结合g (x )的图象可知关于t 的一元二次方程有两个不等实根，不妨设为t 1，t 2，且t 1<t 2，则0<t 1<1e ，t 2＝1e 或t 1<0<t 2<1e ，t 1＋t 2＝1－a ，由Δ＝(a －1)2－4(1－a )>0，得1－a <0或1－a >4.当0<t 1<1e ，t 2＝1e 时，0<t 1＋t 2<4，不符合题意，舍去．∴t 1<0<t 2<1e ，∴g (x 1)＝t 1，g (x 2)＝g (x 3)＝t 2，∴2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)＝2t 1＋2t 2＝2(t 1＋t 2)＝2(1－a )．令λ＝1－a ，φ(t )＝t 2＋(a －1)t ＋1－a ＝t 2－λt ＋λ， 由t 1<0<t 2<1e可知，⎩⎪⎨⎪⎧φ0<0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >0，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，1e2－λ×1e ＋λ>0，解得1e －e2<λ<0.综上，2g (x 1)＋g (x 2)＋g (x 3)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －e 2，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2e －e 2，04．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当∠F 1MF 2＝90°时，△F 1MF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长AF 1，AF 2，分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为k 1，直线OA 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，求证：k 1·k 2为定值．解：(1)设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，12r 1·r 2＝1，∴a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：易知直线AF 1，AF 2的斜率均不为0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 当直线AF 1的斜率不存在时，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴直线AF 2的方程为y ＝－24(x －1)，将其代入x 22＋y 2＝1，整理可得5x 2－2x －7＝0，∴x 2＝75，y 2＝－210，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，－210，∴直线BD 的斜率k 1＝－210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2275－－1＝26，直线OA 的斜率k 2＝－22，∴k 1·k 2＝26×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－16. 当直线AF 2的斜率不存在时，同理可得k 1·k 2＝－16.当直线AF 1，AF 2的斜率都存在且不为0时，设A (x 0，y 0)，则x 0y 0≠0， 则直线AF 1的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0＋1x ＋1，x22＋y 2＝1，消去y 可得，[(x 0＋1)2＋2y 20]x 2＋4y 20x ＋2y 20－2(x 0＋1)2＝0， 又x 202＋y 20＝1，∴2y 20＝2－x 20， ∴(3＋2x 0)x 2＋2(2－x 20)x －3x 20－4x 0＝0， ∴x 1·x 0＝－3x 20－4x 03＋2x 0，∴x 1＝－3x 0－43＋2x 0，则y 1＝y 0x 0＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0－43＋2x 0＋1＝－y 03＋2x 0， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 0＋42x 0＋3，－y 02x 0＋3.直线AF 2的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，同理可得D 3x 0－42x 0－3，y 02x 0－3，∴直线BD 的斜率k 1＝y 02x 0－3＋y 02x 0＋33x 0－42x 0－3＋3x 0＋42x 0＋3＝4x 0y 012x 20－24＝x 0y 03x 20－6，∵直线OA 的斜率k 2＝y 0x 0，∴k 1·k 2＝x 0y 03x 20－6·y 0x 0＝y 203x 20－6＝1－x 2023x 20－6＝－16.综上，k 1·k 2为定值，且定值为－16.5.已知函数f (x )＝(x ＋b )(e x－a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求a ，b ；(2)若方程f (x )＝m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋m 1－2e1－e.解：(1)由题意得f (－1)＝0，所以f (－1)＝(－1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －a ＝0，所以a ＝1e 或b ＝1. 又f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x－a ，所以f ′(－1)＝b e －a ＝－1＋1e，若a ＝1e，则b ＝2－e<0，与b >0矛盾，故a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)可知f (x )＝(x ＋1)(e x－1)，f (0)＝0，f (－1)＝0， 设曲线y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为y ＝h (x )，则h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)， 令F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x )＝(x ＋1)(e x－1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e，当x ≤－2时，F ′(x )＝(x ＋2)e x－1e ≤－1e<0，当x >－2时，设G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x －1e ，则G ′(x )＝(x ＋3)e x>0，故函数F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又F ′(－1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0， 所以函数F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故F (x )≥F (－1)＝0，所以f (x )≥h (x )， 所以f (x 1)≥h (x 1)．设h (x )＝m 的根为x 1′，则x 1′＝－1＋m e1－e，又函数h (x )单调递减，且h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，所以x 1′≤x 1， 设曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝t (x )，易得t (x )＝x ， 令T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x－1)－x ，T ′(x )＝(x ＋2)e x－2， 当x ≤－2时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当x >－2时，设H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x－2，则H ′(x )＝(x ＋3)e x>0，故函数T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又T ′(0)＝0，所以当x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0， 所以函数T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以T (x )≥T (0)＝0，所以f (x )≥t (x )， 所以f (x 2)≥t (x 2)．设t (x )＝m 的根为x 2′，则x 2′＝m ，又函数t (x )单调递增，且t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)， 所以x 2′≥x 2. 又x 1′≤x 1，所以x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m －⎝⎛⎭⎪⎫－1＋m e 1－e ＝1＋m 1－2e 1－e . 难点题型拔高练(二)1．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB ＝AC ＝AD ＝25，BC ＝BD ＝42，CD ＝8.若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由题意，得BC 2＋BD 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，所以△BCD 为等腰直角三角形．如图，设CD 的中点为O ，则O 为△BCD 的外心，且外接圆半径r ＝4.连接AO ，BO ，因为AC ＝AD ＝25，所以AO ⊥CD ，AO ＝2，又BO ＝4，所以AO 2＋BO 2＝AB 2，所以AO ⊥BO ，所以AO ⊥平面BCD ，所以球心O 1在直线AO 上．设球O 1的半径为R ，则有r 2＋OO 21＝R 2，即16＋(R －2)2＝R 2，解得R ＝5.当球O 2直径最大时，球O 2与平面BCD 相切，且与球O 1内切，此时A ，O ，O 1，O 2四点共线，所以球O 2直径的最大值为R ＋OO 1＝8.2．已知函数f (x )＝(x －a )3－3x ＋a (a >0)在[－1，b ]上的值域为[－2－2a,0]，则b 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(－1,3]解析：选A 由题意，得f ′(x )＝3(x －a )2－3＝3(x －a ＋1)(x －a －1)．由f ′(x )＝0，得x ＝a ＋1或x ＝a －1，所以当a －1<x <a ＋1时，f ′(x )<0，当x <a －1或x >a ＋1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(a －1，a ＋1)上单调递减，在(－∞，a －1)，(a ＋1，＋∞)上单调递增．又f (a ＋1)＝－2a －2，f (a －1)＝－2a ＋2.若f (－1)＝－2a －2，即(－1－a )3＋3＋a ＝－2a －2，则a ＝1，此时f (x )＝(x －1)3－3x ＋1，且f (x )＝－4时，x ＝－1或x ＝2；由f (x )＝0，解得x ＝0或x ＝3.因为函数f (x )在[－1，b ]上的值域为[－4,0]，所以0≤b ≤3.若f (－1)>－2a －2，因为a >0，所以a －1>－1，要使函数f (x )在[－1，b ]上的值域为[－2－2a,0]，需a ＋1≤b ，此时a －1∈[－1，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f－1>－2a －2，f a －1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 3＋3＋a >－2a －2，－2a ＋2≤0，无解．综上所述，b 的取值范围是[0,3]．3．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，AC ＝5，BD ⊥BC ，BD ＝2BC ，则AD 的最小值为________． 解析：设∠BAC ＝α，∠ABD ＝β(β∈(0，π))，则∠ABC ＝β＋π2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos α＝6－25cos α，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2，即BC ＝5sin αcos β.在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB cos β＝1＋4BC 2－4BC cos β＝1＋4(6－25cos α)－4·5sin αcos β·cos β＝25－85cos α－45sin α＝25－20sin(α＋θ)（其中sin θ＝255，cos θ＝55），所以当sin(α＋θ)＝1，即sin α＝55，cos α＝255时，AD 2取得最小值5，所以AD 的最小值为 5. 答案： 54．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B ，C ，|AB |＝7，直线CF 交线段AB 于点D ，且|BD |＝2|DA |.(1)求E 的标准方程；(2)是否存在直线l ，使得l 交椭圆于M ，N 两点，且F 恰是△BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)法一：由题意知F (c,0)，A (a,0)，B (0，b )，C (0，－b )， 所以直线AB 的方程为x a ＋y b＝1， 直线CF 的方程为x c －y b＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x a ＋y b ＝1，x c －y b ＝1得，x D ＝2aca ＋c. 因为|BD |＝2|DA |，所以BD ―→＝2DA ―→，所以BD ―→＝23| BA ―→|，得2ac a ＋c ＝23a ，解得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c .因为|AB |＝7，即a 2＋b 2＝7，所以7c ＝7， 所以c ＝1，a ＝2，b ＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：如图，设椭圆E 的左焦点为G ，连接BG ， 由椭圆的对称性得BG ∥CF ， 则|GF ||FA |＝|BD ||DA |＝2， 即|GF |＝2|FA |，由题意知F (c,0)，则|GF |＝2c ， |FA |＝a －c ，所以2c ＝2(a －c )，得a ＝2c ， 所以b ＝a 2－c 2＝3c .因为|AB |＝7，即a 2＋b 2＝7，即7c ＝7， 所以c ＝1，a ＝2，b ＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l ，使得F 是△BMN 的垂心，连接BF ，并延长，连接MF ，并延长，如图，则BF ⊥MN ，MF ⊥BN .由(1)知，B (0，3)，F (1,0)， 所以直线BF 的斜率k BF ＝－3，33， 易知l 的斜率存在，设为k ，则k BF ·k ＝－1，所以k ＝设l 的方程为y ＝33x ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得13x 2＋83mx ＋12(m 2－3)＝0，由Δ＝(83m )2－4×13×12(m 2－3)>0得， －393<m <393.x 1＋x 2＝－83m 13，x 1x 2＝12m 2－313.因为MF ⊥BN ，所以MF ―→·BN ―→＝0，因为MF ―→＝(1－x 1，－y 1)，BN ―→＝(x 2，y 2－3)， 所以(1－x 1)x 2－y 1(y 2－3)＝0， 即(1－x 1)x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 2＋m ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋m ＝0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33m (x 1＋x 2)－43x 1x 2－m 2＋3m ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－33m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 13－43·12m 2－313－m 2＋3m ＝0， 整理得21m 2－53m －48＝0， 解得m ＝3或m ＝－16321.当m ＝3时，M 或N 与B 重合，不符合题意，舍去； 当m ＝－16321时，满足－393<m <393.所以存在直线l ，使得F 是△BMN 的垂心，l 的方程为y ＝33x －16321. 5．已知函数f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x－2. (1)讨论f (x )的单调区间；(2)若a <－17，求证：当x ≥0时，f (x )<0.解：(1)因为f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x－2， 所以f ′(x )＝(ax 2＋4ax ＋2a ＋1)e x， 令u (x )＝ax 2＋4ax ＋2a ＋1，①当a ＝0时，u (x )>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a >0时，Δ＝(4a )2－4a (2a ＋1)＝4a (2a －1)，(ⅰ)当a >12时，Δ>0，令u (x )＝0，得x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－aa ，且x 1<x 2.所以当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，u (x )>0，f ′(x )>0， 当x ∈(x 1，x 2)时，u (x )<0，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a －2a 2－a a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a .(ⅱ)当0<a ≤12时，Δ≤0，所以u (x )≥0，f ′(x )≥0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．③当a <0时，Δ>0，令u (x )＝0，得x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－aa，且x 2<x 1，所以当x ∈(x 2，x 1)时，u (x )>0，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，x 2)∪(x 1，＋∞)时，u (x )<0，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为－⎝ ⎛⎭⎪⎫∞，－2a ＋2a 2－a a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，＋∞.综上，当a >12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a －2a 2－a a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a ；当0≤a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a ＋2a 2－a a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，＋∞.(2)证明：f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2＝a e x (x 2＋2x )＋e x－2， 令φ(a )＝a e x (x 2＋2x )＋e x－2， 显然当x ≥0时，e x(x 2＋2x )≥0，所以当a <－17时，φ(a )<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－e x x 2＋2x 7＋e x－2.所以要证当x ≥0时，f (x )<0，只需证当x ≥0时， －exx 2＋2x7＋e x－2≤0，即证当x ≥0时，e x(x 2＋2x －7)＋14≥0. 令g (x )＝e x (x 2＋2x －7)＋14，则g ′(x )＝e x(x 2＋4x －5)＝(x －1)(x ＋5)e x，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )在(0,1)上单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g (x )≥g (1)＝14－4e>0，从而当x ≥0时，f (x )<0.难点题型拔高练(三)1．已知函数f (x )＝exx2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 24 B ． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由题意可得f ′(x )＝exx －2x 3＋k 2－x x＝x －2e x －kx2x 3，x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x＝kx 2(x >0)，由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x >0)恒成立或e x ≤kx 2(x >0)恒成立，由y ＝e x (x >0)和y ＝kx 2(x >0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x >0)恒成立．法一：由x >0知，e x≥kx 2，则k ≤exx2，设g (x )＝exx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝exx －2x 3，得当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当0<x <2，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e24.法二：e x ≥kx 2(x >0)恒成立，则y ＝e x (x >0)的图象在y ＝kx 2(x >0)的图象的上方(含相切)， ①若k ≤0，易知满足题意；②若k >0，设y ＝e x(x >0)与y ＝kx 2(x >0)的图象在点(x 0，y 0)处有相同的切线，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝e x 0，y 0＝kx 20，e x 0＝2kx 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝e 2，k ＝e 24，数形结合可知，0<k ≤e24.综上，k 的取值范围是(－∞，0]∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 24. 2．定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，a t <a t ＋1，且∃s ∈N *，a s >a s ＋1.已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }(i ＝1,2,3,4)，且x <y <z ，则数列{a n }共有( )A ．64个B ．57个C ．56个D ．54个解析：选D 法一：不妨设x＝1，y＝2，z＝3，则a i∈{1,2,3}(i＝1,2,3,4)，所以a i ＝1或2或3.考虑反面，即数列{a n}不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列(a1≥a2≥a3≥a4，且等号不同时成立)及不减数列(a1≤a2≤a3≤a4，且等号不同时成立)．①常数数列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3个．②不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C23＝3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2；1,1,2,2；1,2,2,2，共3个，所以含两个数的不减数列共有3×3＝9个．若含三个数，则不减数列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3个．所以不减数列共有9＋3＝12个．③不增数列，同理②，共有12个．综上，数列{a n}不是“有增有减”数列共有3＋12×2＝27个．所以，数列{a n}是“有增有减”数列共有34－27＝54个．法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列{a n}共有两类．第一类：数列{a n}的4项只含有x，y，z中的两个，则有C23＝3种情况，以只含x，y 为例，满足条件的数列{a n}有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8个，所以此类共有3×8＝24个．第二类：数列{a n}的4项含有x，y，z中的三个，必有两项是同一个，有C13＝3种情况，以两项是x，另两项分别为y，z为例，满足条件的数列{a n}有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10个，所以此类共有3×10＝30个．综上，数列{a n}共有24＋30＝54个．3．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB＝4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点．平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′(P′∉平面α)．若点P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB中，∵PA⊥PB，AB＝4，∴PA＝PB＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD . 连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ， ∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022－HG 2，∴0＜P ′H ≤32. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°.(1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．解：(1)连接AF ，EF ，由题意及抛物线的定义，得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，即△AEF 是边长为4的正三角形，所以∠FAE ＝60°，设准线l 与x 轴交于点D ，在Rt △ADF 中，∠FAD ＝30°，所以p ＝|DF |＝12|AF |＝12×4＝2.(2)由题意知直线QR 的斜率不为0，设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t . 又点P ，Q 在抛物线C 上，所以k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1， 同理可得k PR ＝4y 2－1.因为k PQ ＋k PR ＝－1， 所以4y 1－1＋4y 2－1＝4y 1＋y 2－8y 1y 2－y 1＋y 2＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，则t ＝3m －74.由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×－1＋3m －74，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－72∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)， 所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74，则直线QR 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，－3. 5．已知函数f (x )＝e 2x(x 3＋ax ＋4x cos x ＋1)，g (x )＝e x－m (x ＋1)． (1)当m ≥1时，求函数g (x )的极值；(2)若a ≥－72，证明：当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1.解：(1)由题意可知g ′(x )＝e x－m ， 当m ≥1时，由g ′(x )＝0得x ＝ln m ，由x >ln m 得g ′(x )>0，g (x )单调递增；由x <ln m 得g ′(x )<0，g (x )单调递减． 所以函数g (x )只有极小值，且极小值为g (ln m )＝m －m (ln m ＋1)＝－m ln m . (2)证明：当x ∈(0,1)时，要证f (x )>x ＋1， 即证x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x.由(1)得，当m ＝1时，g (x )＝e x－(x ＋1)≥0， 即e x≥x ＋1，所以e 2x≥(x ＋1)2，所以x ＋1e2x<1x ＋1，x ∈(0,1)，x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－x ＋1e 2x >x 3＋ax ＋4x cos x ＋1－1x ＋1＝x 3＋ax ＋4x cos x ＋x x ＋1＝x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1令h (x )＝x 2＋4cos x ＋a ＋1x ＋1，则h ′(x )＝2x －4sin x －1x ＋12，令I (x )＝2x －4sin x ，则I ′(x )＝2－4cos x ＝2(1－2cos x )， 当x ∈(0,1)时，cos x >cos 1>cos π3＝12，所以1－2cos x <0，所以I ′(x )<0，所以I (x )在(0,1)上为减函数， 所以当x ∈(0,1)时，I (x )<I (0)＝0，h ′(x )<0， 所以h (x )在(0,1)上为减函数，因此，当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝a ＋32＋4cos 1，因为4cos 1>4cos π3＝2，而a ≥－72，所以a ＋32＋4cos 1>0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，所以x 3＋ax ＋4x cos x ＋1>x ＋1e2x成立，所以当x ∈(0,1)时，f (x )>x ＋1成立．难点题型拔高练(四)1．已知函数f (x )＝mx －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤e ＋2e 2＋e ＋1，e 2＋1 B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e ＋1，e 2＋1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e ＋1，1D ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，e 2＋1 解析：选A f ′(x )＝－m x2－n x＝－m ＋nx x 2，当n ＝0时，f ′(x )＝－mx2＜0，当0＜n ≤e 时，令f ′(x )＝0，则x ＝－mn＜0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减，由函数f (x )在区间[1，e]内有唯一零点，得⎩⎪⎨⎪⎧ f1≥0，f e ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，me－1－n ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，m －e －e n ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＞0，fe ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，m －e －e n ≤0，又m ＞0,0≤n ≤e，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，m －e －e n ＜0，m ＞0，0≤n ≤e，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，m －e －e n ≤0，m ＞0，0≤n ≤e，(2)所以m ，n 满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则n ＋2m ＋1＝n －－2m －－1表示点(m ，n )与点(－1，－2)所在直线的斜率，当m ，n 满足不等式组(1)时，n ＋2m ＋1的最大值在点(1，e)处取得，为e ＋21＋1＝e2＋1， 当m ，n 满足不等式组(2)时，n ＋2m ＋1的最小值在A 点处取得，根据⎩⎪⎨⎪⎧m －e －e n ＝0，n ＝e ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝e 2＋e ，n ＝e ，所以最小值为e ＋2e 2＋e ＋1，故选A.2．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP ―→＝12PB ―→时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为( )A.329B.169C.89D.49解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由AP ―→＝12PB ―→，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 1＋13y 22b 2＝1.易知点A 在直线y ＝bax 上，点B 在直线y ＝－b ax 上， 则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22b 2＝1，即b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22＝a 2b 2，化简可得a 2＝89x 1x 2.由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx ＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOxtan 2∠AOx ＋1＝2b a⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝2ab b 2＋a 2，所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21×x 22＋y 22×sin∠AOB＝12 x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 12×x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x 22×2ab b 2＋a 2＝x 1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2×ab b 2＋a 2＝98a 2×ab b 2＋a 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＝98a 2×ab b 2＋a 2×b 2＋a 2a 2＝98ab ＝2b ， 得a ＝169，所以双曲线C 的实轴长为329.3．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．解析：f n ′(x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]，令f n ′(x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f 8′(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8，当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1,5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1,2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176. 答案： 1 1764．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1面积的最大值为2－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l ′.若直线l ′与直线l 相交于点P ，与直线x ＝2相交于点Q ，求|PQ ||MN |的最小值．解：(1)由已知得e ＝c a ＝22，即a 2＝2c 2. ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c .设B 点的纵坐标为y 0(y 0≠0)，则S △ABF 1＝12(a －c )·|y 0|≤12(a －c )b ＝2－12，即(2b －b )b ＝2－1，∴b ＝1，a ＝ 2. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：x ＝my －1， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，Q (2，y Q )．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0， 此时Δ＝8(m 2＋1)＞0， ∴y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 由弦长公式，得|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 24m 2＋4m 2＋8m 2＋2＝22·m 2＋1m 2＋2. 又y P ＝y 1＋y 22＝mm 2＋2，∴x P ＝my P －1＝－2m 2＋2， ∴|PQ |＝1＋m 2|x P －2|＝1＋m 2·2m 2＋6m 2＋2，∴|PQ ||MN |＝2m 2＋622m 2＋1＝22·m 2＋3m 2＋1＝22（m 2＋1＋2m 2＋1）≥2， 当且仅当m 2＋1＝2m 2＋1，即m ＝±1时等号成立，∴当m ＝±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ ||MN |取得最小值2.5．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋1，a ∈R.(1)当x ＞0时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)当n ∈N *时，证明：n 2n ＋4＜(ln 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜n n ＋1. 解：(1)由f (x )≥0，得x ln x ＋ax ＋1≥0(x ＞0)， 即－a ≤ln x ＋1x恒成立，即－a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x min .令F (x )＝ln x ＋1x (x ＞0)，则F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴函数F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴函数F (x )＝ln x ＋1x的最小值为F (1)＝1，∴－a ≤1，即a ≥－1， ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：∵n 2n ＋4为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1n ＋2的前n 项和，n n ＋1为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n n ＋1的前n 项和，∴只需证明1n ＋1n ＋2＜⎝⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜1n n ＋1即可． 由(1)知，当a ＝－1时，x ln x －x ＋1≥0，即ln x ≥1－1x， 令x ＝n ＋1n ＞1，得ln n ＋1n >1－n n ＋1＝1n ＋1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋12＞1n ＋1n ＋2. 现证明⎝⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2＜1n n ＋1， 即2lnn ＋1n ＜1n n ＋1＝n ＋1－nn n ＋1＝ n ＋1n－ n n ＋1.(*)现证明2ln x ＜x －1x(x ＞1)， 构造函数G (x )＝x －1x－2ln x (x ＞1)，则G ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x2＞0， ∴函数G (x )在(1，＋∞)上是增函数， 即G (x )＞G (1)＝0， 即2ln x ＜x －1x成立．令x ＝ n ＋1n，则(*)式成立． 综上，得1n ＋1n ＋2＜⎝⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜1n n ＋1. 对数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1n ＋2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n n ＋1分别求前n 项和，得n2n ＋4＜(ln 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜n n ＋1.难点题型拔高练(五)1．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为( )A ．[2π，4π] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，9π2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13π6，25π6D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，25π6 解析：选C 法一：由函数f (x )在[0,1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π＋π2，4π＋π2，则13π6≤ω＜25π6. 法二：取ω＝2π，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，得x ＝112＋k ，k ∈Z ，则在[0,1]上只有x ＝112，不满足题意，排除A 、B 、D ，故选C.2．过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，M 两点，O 为坐标原点，则△PEM 与△OAB 的面积的比值为( )A.32B.33C.12D.34解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1＜x 2， 则y 1＝x 214，y 2＝x 224，由y ＝14x 2得y ′＝12x ，则直线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －x 214＝12x 1(x －x 1)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，0，将P (2，－1)代入得x 1－y 1＋1＝0，同理可得直线PB 的方程为x 2－y 2＋1＝0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，0，∴直线AB 的方程为x －y ＋1＝0， 则AB 过定点F (0,1)，S △AOB ＝12|OF |(x 2－x 1)＝12(x 2－x 1)，S △PEM ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12x 1＝14(x 2－x 1)，∴S △PEM S △OAB ＝12. 3．在四面体ABCD 中，AD ＝DB ＝AC ＝CB ＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R ＝________.解析：当平面ADC 与平面BCD 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，因为AD ＝AC ＝1， 所以可设等腰三角形ACD 的底边CD ＝2x ，高为h ，则x 2＋h 2＝1，此时四面体的体积V ＝13×12×2x ×h 2＝13x (1－x 2)，则V ′＝13－x 2，令V ′＝0，得x ＝33，从而h ＝63， 则CD ＝AB ＝233，故可将四面体ABCD 放入长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体中，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，b 2＋c 2＝1，a 2＋c 2＝43，解得a 2＝c 2＝23，b 2＝13，则长方体的体对角线即四面体ABCD 的外接球直径，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝53，R ＝156.答案：1564．已知椭圆Γ∶x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作斜率互为相反数的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为AB 的中点，求直线l 1的方程； (2)记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围．解：(1)易知直线l 1的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0，∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0. 判别式Δ＝[4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4] ＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，x 1x 2＝2k －12－42k 2＋1.∵AB 的中点为P (1,1)，∴12(x 1＋x 2)＝2k k －12k 2＋1＝1，则k ＝－12. ∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·83k 2＋2k ＋12k 2＋1. 由题可得直线l 2的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)， 同理可得|CD |＝1＋k 2·83k 2－2k ＋12k 2＋1， ∴λ＝|AB ||CD |＝3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)， ∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k ＝1＋43k ＋1k－2.令t ＝3k ＋1k，则g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)． 易知g (t )在(－∞，－2 3 ]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋3， 故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋3，即λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.5．已知函数f (x )＝x e x－a (ln x ＋x )，a ∈R. (1)当a ＝e 时，判断f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝e 时，f ′(x )＝1＋xx e x －e x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴f (x )在(0,1)上为减函数；在(1，＋∞)上为增函数．(2)记t ＝ln x ＋x ，则t ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，且t ∈R. ∴f (x )＝x e x－a (ln x ＋x )＝e t－at ，令g (t )＝e t－at .∴f (x )在x ＞0上有两个零点等价于g (t )＝e t－at 在t ∈R 上有两个零点． ①当a ＝0时，g (t )＝e t，在R 上单调递增，且g (t )＞0，故g (t )无零点； ②当a ＜0时，g ′(t )＝e t －a ＞0，g (t )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a －1＜0，故g (t )在R 上只有一个零点；③当a ＞0时，由g ′(t )＝e t－a ＝0可知g (t )在t ＝ln a 时有唯一的一个极小值g (ln a )＝a (1－ln a )．若0＜a ＜e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＞0，g (t )无零点； 若a ＝e ，g (t )极小值＝0，g (t )只有一个零点；若a ＞e ，g (t )极小值＝a (1－ln a )＜0，而g (0)＝1＞0， 由y ＝ln x x在x ＞e 时为减函数，可知当a ＞e 时，e a ＞a e ＞a 2，从而g (a )＝e a －a 2＞0， ∴g (x )在(0，ln a )和(ln a ，＋∞)上各有一个零点．综上，当a ＞e 时，f (x )有两个零点，即实数a 的取值范围是(e ，＋∞)．难点题型拔高练(六)1．已知函数f (x )＝sin x2＋cos x，当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：选 B f ′(x )＝cos x 2＋cos x －sin x－sin x2＋cos x2＝2cos x ＋12＋cos x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数f (x )在x ＝2π3＋2k π，k ∈Z 时取得极大值33，当直线y ＝kx 与f (x )＝sin x 2＋cos x 的图象在原点处相切时，可得k ＝f ′(0)＝13，由图(图略)易得k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 2．已知f (x )是定义在R 上的可导函数，若3f (x )>f ′(x )恒成立，且f (1)＝e 3(e 为自然对数的底数)，则下列结论正确的是( )A ．f (0)＝1B ．f (0)<1C ．f (2)<e 6D ．f (2)>e 6解析：选C 由3f (x )>f ′(x )可得3f (x )－f ′(x )>0， 令h (x )＝f xe3x ＝f (x )e－3x，则h ′(x )＝e －3x[f ′(x )－3f (x )]<0，所以函数h (x )在R 上单调递减， 所以h (0)>h (1)，即f 0e>f 1e3＝e3e3＝1， 所以f (0)>1，同理有h (2)<h (1)， 即f 2e6<f 1e3＝e 3e3＝1，所以f (2)<e 6. 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n＝________.解析：由a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)， 得a n a n －1－a n －1a n ＋1＝2(a n －1a n ＋1－a n a n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)， 得1a n ＋1－1a n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)， 因为1a 2－1a 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以1a n ＋1－1a n＝2n，所以1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋1a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1，所以a n ＝12n －1.答案：12n－14．已知F 1，F 2分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于点A ，C 和点B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，a ＝2，椭圆E 的方程为x 24＋y 2b2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)若直线AC 的斜率为零或不存在，易知1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712，此时，存在λ＝724，使1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．若直线AC 的斜率存在，且不为0，设直线AC 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入方程x 24＋y 23＝1，化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，于是|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝121＋k23＋4k2，将k 换为－1k，得|BD |＝121＋k24＋3k2，所以1|AC |＋1|BD |＝3＋4k 2121＋k 2＋4＋3k 2121＋k 2＝712， 此时，存在λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列 .综上，存在λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．。

五年级上册思维拔高题
以下是基于五年级上册数学课程的思维拔高题：
1. 题目一：小明手里有一些糖果，如果他把这些糖果平均分给4个朋友，每人可以得到7颗糖果；如果他把这些糖果平均分给6个朋友，每人可以得到5颗糖果。

请问小明手里最少有多少颗糖果？
2. 题目二：某天，一辆火车从A地开往B地，途中经过一座桥，桥长1000米。

当火车行驶到桥的一半时，司机发现一只鹦鹉停在了火车头部。

火车以匀速行驶，鹦鹉以每秒10米的速度向火车飞去，当鹦鹉到达火车头部时，火车刚好驶出桥。

请问火车的速度是多少？
3. 题目三：某商店进行促销活动，购买3件商品可以打8折，购买5件商品可以打7折，购买8件商品可以打5折。

如果小明购买了足够多的商品，并且总共花费了180元，求小明购买了几件商品？
4. 题目四：有一条长为36厘米的线段，现在要将它分成三段，使得这三段线段组成一个等边三角形。

请问每段线段的长度是多少？
5. 题目五：甲乙两人一起搬运货物，如果甲单独搬运需要5小时，乙单独搬运需要7小时。

如果甲和乙一起搬运，需要多少时间才能完成工作？
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初一线段问题的拔高训练1．如图（1），线段上有3个点时，线段共有3 条；如图（2）线段上有4个点时，线段共有6条；如图（3）线段上有5个点时，线段共有10条．（1）当线段上有6个点时，线段共有条；（2）当线段上有n个点时，线段共有条；（用n的代数式表示）（3）当n=100时，线段共有条．2．先阅读下面材料，然后解答问题：材料一：如图（1），直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A1和A2之间的任何地方，此时距离之和为A1到A2的距离．如图（2），直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2、A3的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A2处，此时距离之和为A1到A3的距离．（想一想，这是为什么）不难知道，如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点A2和A3之间的任何地方；如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，则相应点P的位置应取在点A3的位置．材料二：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为|a﹣b|．问题一：若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、…、A25共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在；若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、…、A50共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在．问题二：现要求|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣97|的最小值，根据问题一的解答思路，可知当x值为时，上式有最小值为．3．在平面内有若干条直线，在下列情形下，可将平面最多分成几部分？（1）有一条直线时，最多分成部分；（2）有两条直线时，最多分成部分；（3）有三条直线时，最多分成部分；…（n）有n条直线时，最多分成部分．4．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．5．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=AB；（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．7．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=6cm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．8．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度）．慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车A 在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+6|与（b﹣18）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A、C相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值），你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持续的时间；若不正确，请说明理由．9．如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB=m，CD=n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2=0．（1）求线段AB，CD的长；（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC的长；（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC=24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在那一个时间段内．10．点A，B，C在同一直线上，（1）若AB=8，AC：BC=3：1，求线段AC的长度；（2）若AB=m，AC：BC=n：1（n为大于1的整数），求线段AC的长度．11．如图，A，B，C是同一平面内的三点，且A与B距离为5，B与C距离为6，A与C距离为8，直线l经过点A，且可以绕点A转动，点P是直线l上的任意一点．（1）若直线l与线段BC有交点，在图1中画出使BP+PC取最小值的点P，并写出BP+PC的最小值；（2）如图2．①若图中表示的是直线l的一个确定的位置，画图表示线段BP长度最小的位置，并说明理由；②当直线l绕点A转动时，设点B到直线l的距离的最大值为m，直接写出m的值．12．如图，已知AB=14，C、D是线段AB上的两个点，且满足AC：CD：DB=1：2：4，点M是线段AC的中点．（1）若点N是线段CB的中点，求线段MN的长度；（2）若点N是线段AB上一点，满足DN=DB，求线段MN的长度．。

尺规作图能力拔高训练题(能力拔高训练题)一、实践操作题:(10分)1.如图所示,△ABC是一块直角三角形余料,∠C=90°,工人师傅把它加工成一个正方形零件,使C为正方形的一个顶点,其余三个顶点分割在AB、BC、AC边上,请你协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写画法,保留作图痕迹).BA二、竞赛题:(10分)2.如图所示,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树,田村预备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍, 又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法)C DBA三、趣味题:(10分)3.依照题意,完成下列填空:如图所示,L1与L2是同一平面内的两条相交直线,它们有1个交点,假如在那个平面内,再画第三条直线L3, 那么这三条直线最多可有___个交点;假如在那个平面内再画第4条直线L4,那么这4条直线最多可有_____个交点,由此能够猜想,在同一平面内6条直线最多有_____个交点,n(n为大于1的整数)条直线最多可有______个交点(用含n的代数式表示).l2l1Ｃ卷答案一、1.画法:第一步:画出∠C的平分线交AB于E;第二步:作CE的垂直平分线, 分别交AC、BC于点F、D;第三步:连结EF、ED.CD BAEF二、2.能.如答图所示.理由:∵S △ABE =S △AOB ,S △AOD =S △AHD ,S △BOC =S △BFC ,S △OOD =S △OGD ,∴S △ABE +S △AHD +S △OGD +S △BCF =S △AOB +S △BOC +S △OOD + S △AOD = S 四边形ABCD , 即EFGH 的面积为四边形ABCD 面积的2倍.C H DBA E GF三、3.3;6;15;(1)2n n . 更多资料请访问 :// 。

以下是一些一年级思维拔高训练题，这些题目旨在提升孩子们的逻辑推理、数学思维和问题解决能力。

### 数学思维题
1. **分糖果**：小明有10颗糖果，他想把它们平均分成两份，每份应该有多少颗糖果？
2. **找规律**：观察数列：1, 3, 5, 7, ... ，下一个数字是什么？
3. **简单加法**：小华买了两支铅笔，每支铅笔2元，他付给售货员5元，售货员应该找给他多少钱？
### 逻辑推理题
1. **动物排序**：按照从小到大的顺序排列以下动物：猫、老鼠、大象、狗。

2. **形状分类**：将以下形状分类为圆形和方形：○ □ ○ □ □ ○
3. **颜色匹配**：小红有红色、黄色和蓝色的三块积木，她想把相同颜色的积木放在一起，应该如何操作？
### 问题解决题
1. **分水果**：小丽有6个苹果和4个香蕉，她想把它们平均分给两个朋友，每个朋友应该得到多少个水果？
2. **时间计算**：小明早上7点起床，刷牙洗脸用了10分钟，吃早饭用了20分钟，他几点可以出门上学？
3. **路径选择**：小刚从家到学校有两条路可以走，一条路要经过一个公园，另一条路要经过一个超市。

如果他想在放学后买零食，他应该走哪条路？
这些题目可以根据孩子们的实际情况进行调整和扩展，以激发他们的思维活力和解决问题的能力。

在孩子们完成这些题目后，鼓励他们解释自己的答案和思考过程，这有助于进一步提升他们的逻辑思维和表达能力。

五年级正方体与长方体拔高训练题1 姓名：一、填空题1、一个正方体纸盒的棱长是7cm,这个纸盒的棱长总和是（）cm.2、一个正方体每个面的面积都是9cm2 ,它的棱长是（）cm.3、6400ml=（）L 6m3 = （）L4、一个魔方的表面积是54cn）2,它的一个面的面积是（）cm?.5、长方体的高一定，底面积越大，体积（）。

6、一个长方体的棱长总和是72cm,相交于一个顶点的三条棱的总和是（）cm.7、一个正方体的底面周长是32cm,棱长总和是（）cm,表面积是（）cn?,体积是（）cm38、一根96厘米长的铁丝正好能做成一个长12厘米、宽8厘米、高（）厘米的长方体框架，它的表面积是（）。

9、一块20立方厘米的铁块沉入一个长为5厘米，宽为2厘米的长方体玻璃容器中，水面会上升（）厘米。

10 一个正方体木箱的表面积是72dm2 ,这个木箱占地面积是（）dm2 o二、判断题1、用4个小正方体能拼成一个稍大的正方体。

（）2、两个正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积等于这两个正方体表面积和。

（）3、一个长方体中，可能有4个面是正方形。

（）4、长方体最多有4个面的面积相等。

（）5、长方体中相交于一个顶点的三条棱长度不可能相等。

（）三选择题1、一个长方体有四个面完全相同，其他两个面是（）。

A长方形 B正方形 C无法确定2、一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体纸盒，最多能放个棱长为2分米的正方体木块。

A、 14B、 15C、 123、一个长方体的棱长总和是36厘米，它的长、宽、高（一组）的和是（）。

①3厘米②12厘米③9厘米4、下列三个图形中，不能拼成正方体的是（）。

①口 ..，②口 .口③..口 .Ill I I I I I III5、一个长方体的底面积扩大到原来的2倍，高不变，它的体积（）。

A、扩大到原来的2倍，B、扩大到原来的4倍C、不变四、应用题1、现在有一根150cm长的铁丝，用这根铁丝焊成了一个正方体的框架，还剩铁丝6cm,这个正方体框架的棱长是多少厘米？2、用一根长48cm的铁丝做一个长是6cm,宽是4cm的铁笼，它的高是多少厘米？3、一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体。

集合补充训练题1．下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。

A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或03．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-4．若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）（1）若()()U B C A C B A U U == 则,φ（2）若()()φ==B C A C U B A U U 则,（3）若φφ===B A B A ，则A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设集合},412|{Z k kx x M ∈+==，},214|{Z k kx x N ∈+==，则（ ）A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N φ=6．下列表述中错误的是（ ）A ．若AB A B A =⊆ 则,B ．若B A B B A ⊆=，则C ．)(B A A )(B AD ．()()()B C A C B A C U U U =7．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 8．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。

9.已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________。