上海财经大学自主招生数学试题

一、选择题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1的图像与x轴相交于点A、B、C，且A、B、C三点关于某条直线对称，则该直线的斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 30，S9 = 72，则第10项a10的值为（）A. 12B. 15C. 18D. 213. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)的图像过点(0, 1)B. 函数y = |x|的图像是y = x的图像向y轴平移1个单位C. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的图像开口向上，顶点坐标为(2, 0)D. 等比数列{an}的公比q = 1/2，则第4项a4 = 24. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/25. 下列函数中，在其定义域内连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2 - 2xC. y = 1/xD. y = x/(x - 1)二、填空题（每题5分，共25分）6. 若等差数列{an}的公差d = 2，且a1 + a2 + a3 = 18，则数列{an}的通项公式为______。

7. 已知函数f(x) = 3x^2 - 2x - 1，若f(x)的图像关于直线x = 1对称，则f(3)的值为______。

8. 设向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为______。

9. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为______。

10. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，则a、b、c的值分别为______。

三、解答题（共50分）11. （15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

2014年上海财经大学自主招生笔试经验上海财经大学2014年自主招生初审结果已于1月14日前全部公布，学校将于2014年2月22日在北京和上海两地组织自主选拔录取测试。

测试为自主招生，笔试科目包括数学和英语。

笔试合格的考生将获得资格，面试时间在2014年3月8日，学校将在上海组织自主招生面试。

中国大学网特别整理了上海财经大学自主招生，希望对考生有所帮助!同时提醒考生，多年来自主招生高校笔试内容千差万别，试题灵活，涉及面广，且没有统一的考试大纲，命题形式和高考风格迥异，主要考的是考生平时的积累。

性价比最高的自招大学在我个人看来，参加财大的自主招生考试是性价比最高的选择。

一是因为它没有面试环节，不会燃烧你更多的精力和时间;二是因为它只涵盖英语、数学这两门已经纠缠了我们十二年的基础科目，为它花费心血，其实对高考和其他自主招生考试都是一种良好的补充。

并且，能够通过财大笔试也是一件值得高兴的事情。

往年会有两三千名全国各地的考生赴沪赶考，最终只有250位左右才有幸获得A档资格(其中，江浙沪占绝大多数)。

这不到10%的存活率，足以见证你的实力和幸运。

每个人对财大考试难度评价不一，但可以肯定的是，财大的英语难不过千分考的英语部分，财大的数学难不过华约的数学部分。

对于志在复旦上海交大的同学，准备财大考试其实是一件可以顺便完成的事情;而对于财大无比专一的同学们，也不必慌张，两门科目的题型设置基本与高考相仿(英语无听力除外)。

个人认为，其考试的难度在于，部分数学题目的思想方法不常规，英语题量很大，并佐以部分四六级词汇。

本人在高三上半阶段，其实一直处于稀里糊涂+万分迷茫的阶段，在拿表格之前，心中一直惦记着上海交大。

而等到我拿到上海交大校荐表之后，我却反而义无反顾地开始准备起了千分考，这种莫名其妙的反差直到现在我自己都无法理解。

而好在幸运的是，应该做的准备工作都没有落下。

在9月到11月的时间里，因为心中的目标没有明确，所以只在英语、数学这两个基本各个学校都会考的科目上下了功夫。

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ）A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：6、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

高中自主招生练习卷数学试卷考生注意：1.本试卷共18题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）1.32++-=x x y 的最小值是.2.不等式0232≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是.3.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝cm ，PQ ＝cm.4．已知关于x 的不等式122++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为___________.5.已知关于x 的方程111112-=--+-x mx x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是.6.若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为.7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则4122+++y x 的最小值为.8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为．二、简答题（共109分）9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝D C MP N Q ABx 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.11.（8分）设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

1． 计算下列对弧长的曲线积分 1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；[解] 连接(1,0)及(0,1)两点的直线段方程为1,01x y x =-≤≤,于是⎰+Lds y x )(2101[(1')]y x x dx ++=-⎰201(1)2dx =+-=⎰2)⎰Lxds ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； [解] 直线y x =与抛物线2y x =的交点为(0,0), (1,1). 设1L 为直线y x =从(1,1)到(0,0)一段, 2L 为抛物线2y x =从(0,0)到(1,1)一段, 于是12L L Lxds xds xds=+⎰⎰⎰112201114dx x dx=+++⎰⎰21=+51)212. 3)⎰+Ly x ds e22 ， 其中L 为圆周222 x y a +=， 直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；[解] L 由线段:0(0)a OA y x ≤≤=, 圆弧:AB cos ,sin (0)2t y a t x a t π=≤≤=和线段:OB y x = (02)x π≤≤组成.221ax y x a OAe dx e +==-⎰⎰;222240()()sin cos x y ABee a a d t tt π+=-+⎰⎰404a a ae dt ae ππ==⎰;2222211x y xOBeedx +=+⎰1a e =-,于是上海财经大学《高等数学》习题十及解答2242412a a a x y a Leds e a e a a e e ππ+⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭⎰. 4)⎰++L ds zy x 2221， 其中L 为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧； [解] 因ds ==t dt =,所以⎰++L ds zy x 22212202222cos sin 1t t t t dt e t e t e =++⎰202t e dt -=⎰2(1)2e -=-. 5)⎰Lds y2， 其中L 为摆线的一拱()()sin 1cos (02)x a t t y a t t π=-=-≤≤，；[解] 因为ds ===,所以22202(1)cos Ly ds a t π=-⎰⎰52230c (os 1)t dt π=-⎰325220sin 22t dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 3205si 216n u a udu t π=⎰3423233a =⋅⋅325615a =.6)⎰+Lds y z 222， 其中L 为2222 x y z a ++=与x y =相交的圆周；[解] 因为在曲线L 上的点满足2222y z a +=，而且2222x y z a ++=与x y =相交的圆周L 的周长为2a π,所以⎰+Lds y z 222Lads =⎰22a π=.2.计算下列对坐标的曲线积分:1)⎰+Lxdy ydx ， 其中L 是圆周cos sin x R t y R t ==，上对应t 从0到/2π的一段弧；[解] 20sin (sin )cos co [s ]Lt R t R ydx xd R t t d R y t π⋅-+⋅+=⎰⎰202cos 20td Rt π==⎰.2)⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()( ， 其中L 是圆周()2220x y a a +=> (按逆时针方向绕行)； [解] L 的参数方程为cos x t a =, sin y t a =, t 从0变到2π. 于是⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()(221[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]a t t a t a t t a t dt a π+⋅---⋅=⎰2221()2a dt a ππ=-=-⎰.3)⎰-+Lydz zdy dx x 2，其中L 是曲线cos sin x kt ya t y a t ==，，上对应的t 从0到π的一段弧； [解]222co []s (sin )cos (cos )x dx zd t t a t a y ydz k k a d t a t t πΓ⋅-+-=⋅⋅+-⎰⎰2203()k t a dt π=-⎰33213k a ππ=-. 4)⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1( ，其中L 是从点(1,1,1)到点(234)，，的一段直线； [解] 直线L 的参数方程为：1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 从0变到1. 于是⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1(1[(1)1(12)2(1121)3]t t t t dt =+⋅++⋅++++-⋅⎰1(614)t dt =+⎰13=.5)⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22， 其中L 是抛物线2y x =上从点(11)-，到点(11)，的一段弧；[解]⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22112242(2)(2)2x x x x x x x dx -⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦⎰ 421531(242)x x x x dx -=--+⎰104211442()5x x dx =-+=-⎰.6) ⎰Lxyzdz ， 其中L :2221x y z ++=与y x =相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限.[解] 曲线L 可表示为：11cos ,cos ,sin 22t t z t x y ===(02t π≤≤), 于是 201122cos cos sin cos Lxyzdz t t t tdt π⋅⋅⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230(1cos co 2)s t td π=--⎰4201cos 8|t π=-0=. 3. 计算：(1)⎰++-Ldy y x dx x xy ,)()2(22其中L 分别是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线，即该区域在该方向的左边.解法一 先按曲线积分的计算公式直接计算. 记21:L y x =, x 从0变到1; 2:L x y =, y 从1变到0. 于是22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰ 122222(2)()(2)()L L xy x dx x y dy xy x dx x y dy =-+++-++⎰⎰1324342201[(2)()2][(2)2()]x x x x x dx y y y y y dy =-++⋅+-⋅++⎰⎰532542101(22)(242)x x x dx y y y dy =+++-++⎰⎰717615=-130=. 解法二 应用格林公式计算. 令22P xy x =-, 2Q x y =+,2P x y ∂=∂, 2Q x y∂=∂, 于是 22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ (12)Dx dxdy =-⎰⎰210(12)x xx dx dy =-⎰⎰21(12)()x x x dx =--⎰13122230(22)x x x x dx =--+⎰130=. (2)⎰-+-Ldy xy y dx xy x)2()(232，其中L 分别是四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解法一 L 由有向线段OA 、AB 、BC 和CO 组成.322228()(2)3OA x xy dx y xy dy x dx -+-==⎰⎰;2232028()(2)(4)83AB x xy dx y xy dy y y dy -+-=-=-⎰⎰; 0222238()(2)(8)163BC x xy dx y xy dy x x dx -+-=-=-⎰⎰;2023228()(2)3CO x xy dx y xy dy y dy -+-==-⎰⎰,于是⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(23288888163333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8=. 解法二 应用格林公式计算. 令232(,),(,)2P x y x Q x y xy y xy =-=-, 显然，22,3Q Py xy x y∂∂=-=-∂∂, 因此有⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ 2(23)Dy xy dxdy =-+⎰⎰222(23)dx y xy dy =-+⎰⎰2(84)x dx =-⎰8=.4. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222,其中L 为圆周()2212,x y L -+=的方向为逆时针方向. [解] 在L 所围的区域内的点(0,0)处, 函数(,)P x y 、(,)Q x y 均无意义. 现取r 为适当小的正数, 使圆周l (取逆时针向): cos x t r =, sin y t r =(t 从0变到2π)位于L 所围的区域内，则在由L 和l -所围成的复连通区域D 上，可应用格林公式，在D 上，22222()Q x y P x x y y∂-∂==∂+∂, 于是由格林公式得⎰+-L y x xdyydx )(2222202()D l ydx xdy Q P dxdy x y x y -⎛⎫-∂∂+=-= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰, 从而22222()2()Llydx xdyydx xdy x y x y --=++⎰⎰2202222sin co 2s r t r t dt r π--=⎰2012dt ππ=-=-⎰.5. 证明下列曲线积分在xOy 平面上与路径无关，并计算积分值.1)⎰-++)2,2()1,1(;)()(dy y x dx y x2)⎰-+-)4,3()2,1(2232;)36()6(dy xy y x dx y xy 3)⎰-++-)1,2()0,1(324.)4()32(dy xy x dx yxy[解] 1）1=∂∂=∂∂xQ y P ，积分与路径无关.⎰-++)2,2()1,1()()(dy y x dx y x =⎰212xdx =3.2)2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy =⎰⎰-+-31422)954()824(dy y y dx x =236. 3)342y x xQy P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy =⎰⎰-+1321)84(3dy y dx =5. 6. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22， 其中∑分别为如下： 1) 抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界； 2) 锥面()2223yx z +=被平面0z =和平面3z =所截得的部分．[解] 1） ∑由1∑和2∑组成，其中1∑为平面1=z 上被圆周221+=x y 所围的部分；2∑为抛物面22y x z +=(01)≤≤z . 在1∑上，=dS dxdy ; 在2∑上，==dS .⎰⎰∑+dS y x)(22=2222222211(()+≤+≤+++⎰⎰⎰⎰y x y x x y x y dxdy=⎰⎰⎰⎰++12201222041rdr r d rdr r r d ππθθ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+151535425π;2）由题设，∑的方程为=z ,因此=dS= 2=dxdy . 又由()2223yx z +=和3=z 消去z 得223+=xy , 故∑在xOy 面上的投影区域xy D 为223≤+x y , 于是⎰⎰∑+dS y x )(2222=()2+⋅⎰⎰xyD x ydxdy 230=2πθ⎰d dr (极坐标变换)9π=.7. 计算下列对面积的曲面积分：1) ⎰⎰∑++dS y x z )342(， 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分； 2)⎰⎰∑+--dS z x x xy )22(2， 其中Σ为平面132=++z y x 在第一卦限中的部分； [解] 1) 在∑上，2344z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域xy D 为x 轴、y 轴和直线123x y+=围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑++dS y x z )342(4442233xy D x y x y ⎡⎛⎫=--++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎰⎰433xyxyD Ddxdy dxdy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰1232⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2) 在∑上，123z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线231x y +=所围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑+--dS z x xxy )22(2222[22(123)]1(2)(3)xyD xy x x x y dxdy =--+--+-+-⎰⎰214(22133)Dzxy x x y dxdy =⋅-+--⎰⎰11(12)2302014(13223)x dx x x xy y dxdy -=⋅--+-⎰⎰()()12222011114(132)(12)1212396x x x x x x dx ⎡⎤=⋅---+---⎢⎥⎣⎦⎰14108=.8. 计算下列对坐标的曲面积分：1)ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑， 其中Σ为柱面122=+y x被平面z=0和z=3所截得在第一卦限中的部分的前侧；[解] 由于柱面122=+y x 在xOy 面上的投影为零，因此0zdxdy ∑=⎰⎰. 又{(,)|01,03}xy y z y z D ≤≤≤≤=, {(,)|01,03}zx x z x z D ≤≤≤≤=, 如图. 因∑取前侧，所以ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑xdydz ydzdx ∑∑=+⎰⎰⎰⎰2211yzzxD D y dydz x dzdx =-+-⎰⎰⎰⎰313120211dz y dy dz x dx =-+-⎰⎰⎰⎰21arcsin 123122y y y ⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦ 32π=. 2) ⎰⎰∑++yzdxdz yxdydz xzdxdy ，其中Σ为1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.[解] 在坐标面0x =、0y =和0z =上，积分值均为零，因此只需计算在':1x y z ∑++=(取上侧)上的积分值， 如图所示.'(1)xyD xzdxdy x x y dxdy ∑=--⎰⎰⎰⎰110(1)xxdx x y dy -=--⎰⎰124=. 由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得 '''124xydydz yzdzdx xzdxdy ∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 因此113248xzdydz yxdxdz yzdxdy ∑++=⋅=⎰⎰.9. 计算下列对坐标的曲面积分：1)⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222， 其中Σ为平面0,0,0===z y x ，a z a y a x ===,,所围成的空间 区域的整个边界曲面的外侧; 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222， 其中Σ为上半球体222a y x ≤+，0z ≤，2222z a x y ≤--的表面外侧.3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz , 其中Σ为介于0=z 与3=z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧． [解] 1) 令()2,,P x y z x =, ()2,,Q x y z y =, ()2,,R x y z z =, 应用高斯公式可得⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222P Q R dxdydz x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰6zdxdydz Ω=⎰⎰⎰(应用对称性)6aa adx dy zdz =⎰⎰⎰24632a a a a =⋅⋅⋅=. 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222()222z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰22202sin ad d r dr r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰(球面坐标)5521552a a ππ⋅⋅==. 3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz (111)dxdydz Ω=++⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰233381ππ=⋅⋅=⋅.10.求散度及旋度1) ()()()k xy z j xz y i yz x A +++++=222； 2) ()()k xz j xy i e A xy 2cos cos ++=； 3) k xz j xy i y A ++=2．[解] 1）令2P x yz =+, 2Q y xz =+, 2R z xy =+，因此 div 222P Q R A x y z x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. rot 222ij kij k A x y z x y z P QR x yzy xzz xy∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂+++0=. 2）div A =2sin()2sin()xyye x xy xz xz --，rot A =k xe xy y j xz z i xy)sin ()))sin((0()00(22--+--+-=k xe xy y j xz z xy)sin ()sin(22+-.3）div A =x x ++0=x 2，rot A =k y y j z i )2()0()00(-+-+-=k y j z--.11. 利用Gauss 公式计算下列曲面积分: (1)222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,x a =,y a =,z a =所围的立体的表面的外侧. (2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.(3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz ,其中∑是单位球面2221x y z ++=的外侧. (4)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是锥面222x y z +=与平面z h =所围成的空间区域(0)z h ≤≤的表 面, 方向取外侧.[解] (1) (2)同第9大题中的1）2）两小题，故解答略去. 3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Ω++dv )000(=0.4) ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=⎰⎰⎰Ω++dv z y x )222(=π24h . 12. 利用Gauss 公式计算椭球面2222221x y z a b c++=所围区域的体积. [解] 由Gauss 公式可得V =⎰⎰⎰Ω++dv )111(31=⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31， 又 ⎰⎰∑zdxdy =⎰⎰∑'--dxdy b y a x c 222212=dr r r abc d ⎰⎰⋅-1022012πθ=πabc 34. 由对称性可知⎰⎰∑xdydz =⎰⎰∑ydzdx =⎰⎰∑zdxdy =πabc 34. 于是V =⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31=πabc 34. 13. 设某种流体的速度为v xi y j zk =++, 求单位时间内流体流过曲面22:y x z ∑=+2(0)y h ≤≤的流量, 其中∑取左侧.[解] 所求的流量为 xdydz ydzdx zdxdy ∑Φ=++⎰⎰ =⎰⎰⎰Ω++dv )111(22203y h x z dydxdz +≤=⎰⎰⎰ =203h ydy π⎰=432h π.14. 应用Stokes 公式计算下列积分: (1) ⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2( 其中∑为平面1x y z ++=与各坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. (2) ⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(. 其中L 为以(,0,0)A a ,(0,,0)B a ,(0,0,)C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向.(3) ⎰Γ++zdz dy dx y x 32, 其中L 为圆: 2220x y a z ⎧+=⎨=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向. (4) ⎰Γ-+xydz zxdy yzdx 3 其中L 是曲线224310x y y y z ⎧+=⎨-+=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向.[解] (1) ⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰∑-++++dxdy dxdz dydz )21()11()11(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑-+zy x dxdy dxdz dydz 22=2315. 证明沿曲线AB 的曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关, 只与起点A 和终点B 有关. 并求原函数. [证明] 令223P x y z =-+, 34Q x y =-+, 2R xz =. 因为 1-=∂∂=∂∂x Q y P ，0=∂∂=∂∂y R z Q ，z zP x R 2=∂∂=∂∂， 所以曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关.原函数为：),,(z y x u =c y xz xy x +++-42316.计算222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰. 其中L 为由点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的螺线cos x a ϕ=,sin y a ϕ=,2h z ϕπ=(02ϕπ≤≤). [解] 令2P x yz =-, 2Q y xz =-, 2R z xy =-. 因为z x Q y P -=∂∂=∂∂，x y R z Q -=∂∂=∂∂，y zP x R -=∂∂=∂∂，所以曲线积分222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰与积分路径无关. 一次，积分路径取点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的直线段，于是可得222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰=⎰-hdz z 02)0(=331h .。

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2)二．不等式 (9)三．函数 (20)四．数列 (27)五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31)六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35)七．复数 (39)八．三角 (42)近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

11（1）1y x =[解] 由⎩⎨⎧≥-≠,01,02x x 得 =D [1,0)(0,1]-⋃. （2）)5lg(1312x x x y -+-+-=. [解] 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-≠-≥-,15,05,03,02x x x x 得 =D [2,3)(3,4)(4,5)⋃⋃.（3）1arcsin2x y -=.[解] 由⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-,02,1|21|2x x x 得 =D ]3,2(.（4） x y x-+=1ln arccos 21.[解] 由⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-≠,01,1|1ln |,0x x x 得 =D ]1,0()0,1[22--⋃-e e .（5）⎩⎨⎧><+=0,lg 032x x x x y ，.[解] =D ),0()0,(∞+⋃-∞.（6）xey xln 111-+=.[解] 由⎩⎨⎧≠->,0ln 1,0x x 得 =D ),(),0(∞+⋃e e .上海财经大学《高等数学》习题一及解答22.已知)(x f y =的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： （1）)4(-x f .[解] 因为)(x f ， 10≤≤x ，故)4(-x f ， 140≤-≤x ，得54≤≤x ，即 =D [4,5].（2）)(lg x f .[解] 因为)(x f ， 10≤≤x ，故)(lg x f ， 1lg 0≤≤x ，得101≤≤x ，即 =D [1,10].（3）)(sin x f .[解] 因为)(x f ， 10≤≤x ，故)(sin x f ， 1sin 0≤≤x ，得ππ)12(2+≤≤k x k ，（ ,2,1,0±±=k ）， 即 =D [2,(21)](0,1,2,)k k k ππ+=±±.3. （1）设x x x f +-=11)(，求)1(+x f 与)1(x f . [解] 2)1(1)1(1)1(+-=+++-=+x xx x x f ； 111111)1(+-=+-=x x xx xf . （2）设221)1(x x x x f +=+， 求)1(-x f . [解] 由于2)1()1(2-+=+xx x x f ， 故122)1()1(22--=--=-x x x x f . （3）设421)1(xx x x f +=-，求)(x f . [解] 由于2)1(111)1(222+-=+=-xx x xxx f ， 故21)(2+=x x f .（4）设222(1)ln 2x f x x -=-，且[()]ln f x x ϕ=，求)(x ϕ.3[解] 由于1)1(1)1(ln )1(222---+=-x x x f ， 得x x x x f ln 1)(1)(ln )]([=+-=ϕϕϕ，故11)(-+=x x x ϕ. 4.讨论下列函数的奇偶性：（1）x xxx f cos sin )(+=. [解] 由于)cos()sin()(x x x x f -+--=-)(cos sin x f x xx=+=， 故)(x f 为偶函数.（2）x x x x f tan 1)(2+-=.[解] 由于)tan(1)()(2x x x x f -+---=-)(tan 12x f x x x -=---=， 故)(x f 为奇函数.（3）)1()(x x x f -=.[解] 由于)()1()](1[)(x f x x x x x f ≠+-=---=-，)()(x f x f -≠-， 故)(x f 为非奇非偶函数.（4） )1ln()(2x x x f -+=.[解] 由于=--+-=-)](1)(ln[)(2x x x f =++)1ln(2x x xx -+11ln2)()1ln(2x f x x -=-+-=，故)(x f 为奇函数.5.已知)(x f 是以２为周期的周期函数，且在]2,0[上有2)(x x f =，求)(x f 在]6,0[ 上的表达式.[解] 由于)4()2()(+=+=x f x f x f ，所以)()2()4(x f x f x f =-=-， 当]2,0[∈x 时，]4,2[2∈-x ，]6,4[4∈-x ；故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-≤≤=64,)4(42,)2(20,)(222x x x x x x x f .46. 求下列函数的反函数： （1）x y -=9.[解] 由于x y -=9，得29y x -=，故反函数为)0(,92≥-=x x y .（2）122+=x xy .[解] 由于122+=x x y ，得y y x -=12，即y y x -=1log 2，故反函数为x xy -=1log 2.（3）⎩⎨⎧-=21xx y ，)0()0(≥<x x . [解] 由0<x 时，1-=x y ，得1+=y x ，即1+=x y ， 由0≥x 时，2x y =，得y x =，即x y =，故反函数为⎩⎨⎧≥-<+=0,1,1)(x x x x x f .（4）2xx e e y --=.[解] 由于2x x e e y --=，得012)(2=--x x ye e ，即12+±=y y e x （负值舍去），故反函数为)1ln(2++=x x y .7. 指出下列各函数是由哪些基本初等函数复合而成： （1）x y 2sin ln =.[解] x y 2sin ln =，由u y ln =，及2v u =，和x v sin =复合而成.（2）xy cos 5=.[解] xy cos5=，由uy 5=，及v u cos =，和x v =复合而成.（3）xe y 1arctan =.[解] xe y 1arctan =，由u y arctan =，及ve u =，和xv 1=复合而成.5（4）x y ln cos 2=.[解] x y ln cos 2=，由2u y =，及v u cos =，和x v ln =复合而成.8.（1）设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=1||,11||,1)(22x x x x x f ，求))((x f f .[解] 由于⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=1|)(|,1)]([1|)(|,)]([1))((22x f x f x f x f x f f ，当1||0<<x 时，11|)(|2<-=x x f ，||]1[1)]([1))((222x x x f x f f =--=-=，当1||=x 时，2)(=x f ，51)]([))((2=+=x f x f f 当0=x 时，1)(=x f ，21)]([))((2=+=x f x f f ， 当1||>x 时，11|)(|2>+=x x f ，221)1(1)]([))((24222++=++=+=x x x x f x f f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥++=<<=1||,220,21||0,||))((24x x x x x x x f f .（2）设⎩⎨⎧≥<+=0,10,1)(x x x x f ，求))((x f f . [解] 由于⎩⎨⎧≥<+=0)(,10)(,)(1))((x f x f x f x f f ，当1-<x 时，01)(<+=x x f ， x x f x f f +=+=2)(1))((， 当01<≤-x 时，01)(≥+=x x f ， 1))((=x f f ， 当0≥x 时，01)(>=x f ，1))((=x f f ， 所以⎩⎨⎧-≥-<+=1,11,2))((x x x x f f .6（3）设2||)(x x x f +=，⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x g ，求))((x g f . [解] 由于2|)(|)())((x g x g x g f +=，当0<x 时，0)(<=x x g ， 02))((=-=xx x g f ， 当0≥x 时，0)(2≥=x x g ，2222))((x x x x g f =+=，所以⎩⎨⎧≥<=0,0,0))((2x x x x g f .9. 分别讨论函数)sin lg(x a y -=，当 2=a ， 21=a ， 2-=a 时 ，是否为复 合函数？如果是复合函数，写出它的定义域. [解] 由于u y lg =，其定义域 ),0(+∞=y D ；当2=a 时，函数x a u sin -=的值域 ]3,1[=u f ，Φ≠⋂u y f D ， 故)sin 2lg(x y -=是复合函数， 由0sin 2>-x ，得定义域),(∞+-∞；当21=a 时，函数x a u sin -=的值域 ]23,21[-=u f ，Φ≠⋂u y f D ，)sin 21lg(x y -=是复合函数，由0sin 21>-x ，得定义域)62,22[ππππ+-k k ，)(Z k ∈； 当2-=a 时，函数x a u sin -=的值域]1,3[--=u f ，Φ=⋂u y f D ，)sin 21lg(x y -=不构成复合函数.10.某化肥厂日产量最多为m 吨，已知固定成本为a 元，每多生产１吨化肥，成本增 k 元.若每吨化肥的售价为p 元，试写出利润与产量的函数关系式.[解] 设日产量为x 吨，则成本函数kx a x C +=)(，([0,])x m ∈，7收益函数px x R =)(，([0,])x m ∈，利润函数a x k p x C x R x L --=-=)()()()(，([0,])x m ∈.11.生产某种产品，固定成本为２（万元），每多生产１（百台），成本增加１（万元）， 已知需求函数为=Q 20-4p (其中p 表示产品的价格，Q 表示需求量)，假设产销平衡.试写出（１）成本函数；（２）收益函数；（３）利润函数. [解] 成本函数Q Q C +=2)(， 收益函数2415)(Q Q pQ Q R -==， 利润函数2441)()()(2-+-=-=Q Q Q C Q R Q L . 12.某商场以每件a 元的价格出售某种商品，若顾客一次购买５０件以上，则超出50 件以上的以每件0.8a 元的优惠价出售，试将一次成交的销售收入表示成销售量x 的函数.[解] ⎩⎨⎧>-+≤<=50,)50(8.050500,)(x x a a x ax x R .13.某运输公司规定货物的吨公里运价为：不超过a 公里，每公里k 元，超过a 公里， 超出部分为每公里k 54元，试求运价m 与里程s 之间的函数关系式. [解] ⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=a s a s k ak a s ks m ,)(540,. 14. 用数列极限的定义验证： (1) 21121lim=++∞→n n n .[解] 0>∀ε，要使ε<+=-++)12(21|21121|n n n 成立，即2141->εn ， 取]2141[-=εN ， 可见，,0>∀ε]2141[-=∃εN ，当N n >时，有ε<-++|21121|n n 成立，8所以 21121lim=++∞→n n n .(2) 0)1(lim =-+∞→n n n . [解] 0>∀ε，要使ε<<++=-+nnn n n 2111|1|成立，即241ε>n ， 取]41[2ε=N ， 可见，,0>∀ε]41[2ε=∃N ，当N n >时，有ε=<-+|1|n n 成立， 所以 0)1(lim =-+∞→n n n .(3) 11lim 2=+∞→nn n .[解] 0>∀ε，要使ε<<++=-+22221)1(1|11|nn n n n n 成立，即ε21>n ，取]21[ε=N ，可见，,0>∀ε]21[ε=∃N ，当N n >时，有ε<-+|11|2n n 成立， 所以 11lim 2=+∞→nn n .(4) 112lim 22=++-∞→n n n n .[解] 0>∀ε，要使ε<<+++=-++-n n n n n n n 213|112|222成立，即ε1>n ，取]2[ε=N ，可见，,0>∀ε]2[ε=∃N ，当N n >时，有ε<-++-|112|22n n n 成立， 所以 112lim 22=++-∞→n n n n .15. 求)21(lim k k k n nnn n +++∞→ .（k 为常数）9[解] 由于2121lim21lim )21(lim -∞→-∞→∞→=+=+++k n k n kk k n n n n n n n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<∞=2,02,212,k k k .16.（1）设141151312-+++=n x n ，求n n x ∞→lim . [解] 由于141151312-+++=n x n )12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n )]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+--=n ，所以=+-=∞→∞→)1211(lim 21lim n x n n n 21.（2）设nn nn n x n ++++++=2222211 ，求n n x ∞→lim . [解] 由于n n nn n x n ++++++=2222211 )1(2)1(112112222++=++++++≤n n n n n n n ， n n nn n x n ++++++=2222211 )(2)1(212222n n n n n n n nn n n ++=++++++≥ ， 而21)1(2)1(lim2=++∞→n n n n ，21)(2)1(lim 2=++∞→n n n n n ，由夹逼定理，所以=++++++=∞→∞→)2211(lim lim 222nn nn n x n n n 21. 17. 利用数列极限存在准则（夹逼定理）证明： (1) 111lim =+∞→nn . [解] 由于n n 11111+<+<，而11lim =∞→n ，1)11(lim =+∞→nn ，由夹逼定理，所以111lim =+∞→n n .(2) 3)321(lim 1=++∞→nn n n .10[解] 由于n nnnnn nn33)33()321()3(3111=⋅<++<=，而33lim =∞→n ，333lim =⋅∞→n n ，由夹逼定理，所以3)321(lim 1=++∞→nnn n .18. 设数列{}n a,证明：n n a ∞→lim 存在，并求此极限值.[解]先证明lim n n a →∞存在：（1）显然{}n a 单调增加，即1+<n n a a 成立； （2）再证明数列{}n a 有界.因为221<=a ，22222212=+<+=+=a a ， ，故2<n a ，即数列{}n a 有上界.由单调有界数列必有极限，得n n a ∞→lim 存在，不妨设lim n n a A →∞=，下面求出A .由于12-+=n n a a ，两边取极限得A A +=2，即022=--A A ，解得2=A ，或1-=A .根据收敛数列的保号性的推论可知A 大于零，所以lim 2n n a →∞=.19. 设11=x ，12-=n n x x ，证明：n n x ∞→lim 存在，并求此极限值.[解]先证明n n x ∞→lim 存在：（1）用数学归纳法证明数列}{n x 单调增加. 11=x ，2212==x x ，显然21x x <； 假设k k x x <-1成立，于是02211<-=--+k k k k x x x x ，即1+<k k x x 成立；故数列}{n x 单调增加，即1+<n n x x 成立； （2）再证明数列}{n x 有界.因为211<=x ，222212=⋅<=x x ， ，故2<n x ，即数列}{n x 有上界.由单调有界数列必有极限，得n n x ∞→lim 存在，不妨设A x n n =∞→lim ，下面求出A .11由于12-=n n x x ，两边取极限得A A ⋅=2，即022=-A A ，解得2=A ，或0=A .根据收敛数列的保号性的推论可知A 大于零，所以2lim =∞→n n x .20. 设nnn x x x f +=∞→1lim )(（0>x ），求)(x f .[解] 由于=+=∞→n n n x x x f 1lim )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<<1,11,2110,0x x x . 21. 用函数极限的定义验证： (1) 0sin lim=+∞→xx x .[解] 0ε∀> ，要使ε<≤xx x 1|sin |，即21ε>x ，取21ε=M ，可见,0>∀ε，21ε=∃M ，当M x >时，有ε<|sin |xx 成立，所以 0sin lim=+∞→xx x .(2) 313lim212x x x →∞+=+.[解] 0ε∀> ，要使ε<-<+=-++)1||2(21|)12(|21|231213|x x x x ， 即)121(21||+>εx ，取11(1)22M ε=+， 可见,0>∀ε，∃11(1)22M ε=+ ，当M x >||时，有ε<-++|231213|x x 成立， 所以 313lim212x x x →∞+=+.（3）3lim(31)8x x →-=.12[解] 0ε∀> ，要使ε<-=--|3|3|8)13(|x x ，取3εδ=，可见,0>∀ε，3εδ=∃ ，当δ<-<|3|0x 时，有ε<--|8)13(|x 成立，所以 3lim(31)8x x →-=.（4）21241lim221=+--→x x x . [解] 本题1241)(2+-=x x x f 在21-=x 处没有定义，但不影响函数在该点极限存在.0ε∀> ，要使ε<--=+=+=-+-|)21(|2|21|2|12||21241|2x x x x x ，取2εδ=，可见,0>∀ε，2εδ=∃ ，当δ<--<|)21(|0x 时，有ε<-+-|21241|2x x 成立，所以 21241lim221=+--→x x x . 22. 设1|1|)(--=x x x f ，求)(lim 1x f x →.[解] 本题⎩⎨⎧><-=1,11,1)(x x x f ，在1=x 处左右两侧)(x f 的表达式不同，故求1=x 处的极限，需考虑左右极限.而1)1(lim )(lim 11-=-=--→→x x x f ，11lim )(lim 11==++→→x x x f ， ≠-→)(lim 1x f x )(lim 1x f x +→， 所以)(lim 1x f x →不存在.23. 设2()121x e f x x x ⎧⎪=+⎨⎪+⎩，1100≥<<≤x x x ，求（１）)(lim 0x f x →；（２）)(lim 1x f x →；（３）2lim ()x f x →.[解] 本题在0=x 和1=x 处左右两侧)(x f 的表达式不同，故求0=x 和1=x 处的极限，需考虑左右极限.而1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，=-→)(lim 1x f x 1)(lim 1=+→x f x ，13所以1)(lim 0=→x f x .又2)1(lim )(lim 211=+=--→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 11=+=++→→x x f x x ，≠-→)(lim 1x f x )(lim 1x f x +→， 所以)(lim 1x f x →不存在.2lim ()x f x →5)12(lim 2=+=→x x .24. 1111)(-+=x ex f ，求)(lim 1x f x →.[解] 本题)(x f 中含有特殊函数11-x e，故求1=x 处的极限，需考虑左右极限.由于0lim 111=-→-x x e ，∞=-→+111lim x x e ；所以111lim )(lim 1111=+=-→→--x x x ex f ，011lim )(lim 1111=+=-→→++x x x ex f ，得≠-→)(lim 1x f x )(lim 1x f x +→，故)(lim 1x f x →不存在. 25. 利用函数极限存在准则（夹逼定理）证明： (1) 11lim 0=+→n x x .[解] 由于求0→x 的极限，故可设11<<-x .当0>x 时，有x x n +<+<111；当0<x 时，有111<+<+n x x ， 而11lim 0=→x ，1)1(lim 0=+→x x ，由夹逼定理，所以11lim 0=+→n x x .(2) 1]1[lim 0=+→xx x . [解] 由于求+→0x 的极限， 又x x x 1]1[11≤<-，当0>x 时，有1]1[)11(≤<-xx x x ， 而1)1(lim )11(lim 00=-=-++→→x x x x x ，11lim 0=+→x ，由夹逼定理，所以1]1[lim 0=+→xx x .1426. 计算下列极限：（1）220()lim h x h x h→+-.[解] 原式 h h x hx h x h h 2)2(lim )(lim022000=+=-+=→→. （2）4x →. [解] 原式 4)2(lim 24lim4400=+=--=→→x x x x x .（3）32lim3x x →--.[解] 令t x =+35，则53-=t x ，原式 121221lim 82lim220032=++=--=→→t t t t t t .（4）2111lim(1)222nn →∞++++. [解] 原式 2211)211(1lim1=--⋅=+∞→n n . （5）))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n .[解] 原式 1)111(lim )]111()3121()211[(lim =+-=+-+-+-=∞→∞→n n n n n .（6）)21(lim 222nnn n n +++∞→ . [解] 原式 212)1(lim 2=+=∞→n nn n .15（7）221lim 21x x x x →∞--+.[解] 原式 212lim 22==∞→∞∞x x x .（8）232lim 35x x xx x →∞+-+.[解] 原式 0lim 32==∞→∞∞xx x .（9）n .[解] 原式 12lim22lim=+=++=∞→∞∞∞→nn n nn n n n .（10）3113lim()11x x x →---. [解] 原式 11)2(lim 12lim2100321-=+++-=--+=→→∞-∞xx x x x x x x . （11）)121(lim 0xx x xx ---+→.[解] 原式 111lim )1(lim 00=--=--=++→→∞-∞x x x x x x .（12）)2(lim 22++-∞→x x x x .[解] 令t x -=，则原式 )2(lim 22+-=+∞→t t t t ，再令ut 1=，16原式 12112lim 211lim 2000220-=++-=+-=++→→∞-∞uu u u u . 27. 若0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,求的值.[解] 由左边01)1()()1(lim 2=+-++--=∞→x b x b a x a x ，得⎩⎨⎧=+=-001b a a ，故1=a ，1-=b .28. 计算下列极限： （1）x x x cot lim 0→.[解] 原式 xxx x sin cos lim00→∞⋅=1)cos sin (lim 00=⋅=→x x x x . （2）xxx 3arcsin 2lim 0→.[解] 令t x =arcsin ，则t x sin =，原式 t t t sin 32lim0→=32=. （3）xx x x 2sin 3553lim 2++∞→.[解] 令t x =2，则t x 2=，原式 56)sin 310512(lim 00=⋅++=→∞⋅t t t t t .（4）n nn x 2sin 2lim ∞→，（x 为不等于零的常数）.[解]原式 x xx x nnn =⋅=∞→∞⋅)22sin (lim 0. （5）xxx -→ππsin lim .[解]原式 1)sin(lim0=--=→xx x πππ.17（6）xx x cos 1lim 0-+→.[解]原式 2sin 2lim 2xx x +→=2sin2lim 0xx x +→=22sin 2lim 20==+→x xx .（7）xx xx x 3sin 2sin lim 0+-→.[解]原式 x x x x x 3sin 12sin 1lim00+-=→4133sin 3122sin 21lim 0-=+-=→xx x x x . （8）01lim sin x x→-.[解]原式 )111sin (lim 00++⋅=→x x x x 21=. （9）xx x 20)1(lim -→.[解]原式 =-=→∞xx x 201)1(lim 2210})](1{[(lim ---→=-+e x xx .（10）12)21(lim -∞→-xx x.[解]原式 ])21()21[(lim 121-∞→--+=∞x x xx 1112})21(])21{[(lim ----∞→=--+=e xx xx . （11）21lim()xx x x→∞+. [解]原式 x x x 21)11[(lim +=∞→∞22])11[(lim e xx x =+=∞→.18（12）xx x sec 22)cos 1(lim +→π.[解]原式 2cos 121])cos 1[(lim x x x +=→∞π2e =.（13）xxx xe 10)1(lim +→.[解]原式 e xe xxe xe xx =+=→∞])1[(lim 101.（14）确定c ，使9)(lim =-+∞→xx cx c x . [解]左边 c cx cxcc x x e cx c2221])21[(lim =-+=--∞→∞， 故92=c e ，得3ln =c .（15）[]lim ln(1)ln x x x x →+∞+-.[解]左边 1ln )11ln(lim )1ln(lim 10==+=+=+∞→+∞→∞⋅∞e xx x x x x x . （16）nn n n )11(lim 2++∞→. [解]原式 =++=∞→∞n n n n )11(lim 21nn n n n )1111(lim 2+--++∞→ n n n n n n))11)1(21(lim 2++++-+=∞→1)11)(1(22)11)(1(222]))11)1(21[(lim -++++--++++∞→=++++-+=e n n n nnn n n nnn n n n .29. 当0→x 时，确定无穷小a x a -+3)0(>a 对于x 的阶数.19[解]因为 aa x a x a x a x x 211lim lim 30330=++=-+→→； 所以，当0→x 时，无穷小a x a -+3)0(>a 是x 的3阶无穷小.30. 若当0→x 时，112-+ax 与x 2sin 为等价无穷小量，求a 的值.[解]因为当0→x 时，112-+ax ~ 22ax ，x 2sin ~ 2x ，故122lim sin 11lim 220220===-+→→a x ax xax x x ，所以，2=a . 31. 计算下列极限：（1）xx x x 1sin 1lim 32+∞→.[解]因为当∞→x 时，01→x ，故132+x x ~ x 1，x 1sin ~ x 1， 所以01lim 1sin 1lim 232==+∞→∞→xx x x x x .（2）21sin)4(lim 22--→x x x . [解]因为当2→x 时，0)4(lim 22=-→x x ，而∞→-21x ，但1|21sin |≤-x ，所以021sin )4(lim 22=--→x x x .（3）201coslimsin x x x x →. [解]因为当0→x 时，x sin ~ x ，0lim sin lim 2020==→→xx x x x x20而∞→x 1，但1|1cos |≤x， 所以0sin 1coslim20=→x x x x .（4）xx xx x sin sin 2lim -+∞→.[解]因为当∞→x 时，01lim=∞→x x ，但1|sin |≤x ， 故0)sin 1(lim sin lim ==∞→∞→x x x x x x ，所以=-+∞→x x x x x sin sin 2lim 2sin 1sin 2lim=-+∞→x xx x x . 或[解] 原式22lim ==∞→∞∞x xx . （5）3231lim 1sin x x x x→∞-.[解]因为当∞→x 时，01→x ，21sin x ~ 21x， 所以，原式33lim 13lim==-=∞→∞∞∞→x xxx x x .（6）)sin 1(sin lim x x x -++∞→.[解] 原式21sin 21cos2lim xx x x x -+++=+∞→)1(21sin 21cos 2lim x x x x x ++++=+∞→，当+∞→x 时，0)1(21sinlim =+++∞→x x x ，1|21cos|≤++xx ，所以，0)sin 1(sin lim =-++∞→x x x .（7）axa x ax 2tan2sinlim π-→. [解] 令t a x =-2，则a t x +=2，原式 πππa at t a t t t t -=-=-=→→00lim tansin lim .21（8）)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x .[解] 原式)1sin 1)(11()cos 11(sin lim 320-+-+-⋅=→x x x x xxx x x x x cos )1sin 1)(11()cos 1(sin lim32-+-+-⋅-=→，因为当0→x 时，1132-+x ~ 32x ，1sin 1-+x ~ 2sin x ~ 2x，x cos 1-~ 22x ， 所以，原式3cos 232lim 220-=⋅⋅⋅-=→xxx xx x . 32.讨论下列函数在指定点处的连续性： （1）⎩⎨⎧≥-<=-1,21,)(1x x x e x f x ，在1=x 处.[解] 因为1)2()1(1=-==x x f ，1lim )(lim 111==-→→--x x x e x f ， 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ， 即==-→)(lim )1(1x f f x )(lim 1x f x +→， 所以，)(x f 在点1=x 处连续.（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ， 在0x =处. [解] 因为0)0(=f ，又当0→x 时，∞→x 1，而0lim 20=→x x ，1|1sin |≤x，所以，01sin lim )(lim 200==→→x x x f x x ，即)(lim )0(0x f f x →=，所以，)(x f 在点0=x 处连续.22（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(1x x e x f x，在0=x 处.[解] 因为0)0(=f ，∞==-→→--xx x e x f 10lim )(lim ， 0lim )(lim 1==-→→++xx x e x f ，即≠=+→)(lim )0(0x f f x)(lim 0x f x -→， 所以，)(x f 在点0=x 处不连续.（4） )1()1(21lim )(--∞→++=x n x n n e e x x x f ，在1=x 处.[解] 因为⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=--∞→1,1,11,1lim)(2)1()1(2x x x x x e e x x x f x n x n n ， 而 1)1(=f ，1lim )(lim 11==--→→x x f x x ， 1lim )(lim 211==++→→x x f x x ， 即==-→)(lim )1(1x f f x )(lim 1x f x +→， 所以，)(x f 在点1=x 处连续.33. 确定k 的值，使)(x f 在0=x 处连续：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,,1cos sin )(x k x xx x f . [解] 因为k f =)0(， 又当0→x 时，∞→x 1，而0sin lim 0=→x x ，1|1cos |≤x ，23故01cossin lim )(lim 0==→→xx x f x x ， 所以，当0=k 时，有)0()(lim 0f x f x =→，即)(x f 在点0=x 处连续.（2） ⎪⎩⎪⎨⎧=≠<<--=0,0,2121,)31ln()(2x k x x x x f x . [解] 因为k f =)0(，又∞=-=→→120)31ln(lim )(lim xx x x x f 6ln })]3(1ln{[(lim 66310-==-+---→e x xx ，所以，当6-=k 时，有)0()(lim 0f x f x =→，即)(x f 在点0=x 处连续.（3） ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+-+=0,,1111)(3x k x x x x f .[解] 因为k f =)0(，又=-+-+=→→1111lim )(lim 30x x x f x x 3223lim 0=→x x x ， 所以，当32=k 时，有)0()(lim 0f x f x =→，即)(x f 在点0=x 处连续.34. 指出下列函数的连续区间： （1）241)(xx f -=.[解] 因为)(x f 是初等函数，它的定义区间就是连续区间， 所以，连续区间即为 )2,2(-.（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+--=0,301,112)(sin x e x x x x x f x .[解] 因为)(x f 是分段函数，24当01<<-x 时，xx x +--112是连续的；当0>x 时，3sin -x e 也是连续的,因此只须考察分段点0=x 处的连续性；由于2)3()0(0sin -=-==x x e f ，xx xx f x x +--=--→→112lim )(lim 02)11(lim 0-=++--=-→x x x ， 2)3(lim )(lim sin 0-=-=++→→xx x e x f ， 即==+→)(lim )0(0x f f x)(lim 0x f x -→， 故)(x f 在点0=x 处连续，所以，连续区间即为 ),1(∞-.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤<≤-=32,2)2sin(21,110,11)(x x x x x x x f . [解] 因为)(x f 是分段函数，当10<<x 时，11-x 是连续的；当21<<x 时，1是连续的, 当32<<x 时，2)2sin(--x x 也是连续的,因此只须考察分段点1=x 及2=x 处的连续性；由于 1)1(=f ，∞=-=--→→11lim )(lim 11x x f x x ， 11lim )(lim 11==++→→x x x f ，25即≠=+→)(lim )0(0x f f x)(lim 0x f x -→， 故)(x f 在点1=x 处不连续；而 1)2(=f ，11lim )(lim 22==--→→x x x f ， 12)2sin(lim )(lim 22=--=++→→x x x f x x ，即==+→)(lim )2(2x f f x)(lim 2x f x -→， 故)(x f 在点2=x 处连续； 又)0(111lim )(lim 0f x x f x x =-=-=++→→，)3(1sin 2)2sin(lim )(lim 33f x x x f x x ==--=--→→，所以，连续区间即为 [0,1),[1,3].35. 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数，试求a 和b 的值. [解] ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-<>-=--=++<<-+=11,11,211,2111,)(2x x xx b a x b a x bx ax x f 或 ，因为)(x f 为连续函数，所以)(x f 在1=x 及1-=x 处连续；由于 21)1(++=b a f ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)(lim )(lim 211， 11lim )(lim 11==++→→xx f x x ，26即==+→)(lim )1(1x f f x )(lim 1x f x -→，得1=+b a ； 而 21)1(--=-b a f ， 11lim )(lim 11-==---→-→xx f x x ， b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)(lim )(lim 211，即==-+-→)(lim )1(1x f f x )(lim 1x f x --→，得1-=-b a ； 所以，0=a ，1=b .36.指出下列函数的间断点，并指明其类型 （1）xx xx f -=2sin )(. [解] 因为)(x f 是初等函数,定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，在0x =，1=x 处孤立无定义.在0=x 处，因为1)1(sin lim)(lim 0-=-=→→x x xx f x x ，所以，0=x 是第一类可去间断点.在1=x 处，因为∞=-=→→)1(sin lim)(lim 11x x xx f x x ，所以，1=x 是第二类无穷间断点.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>-=<-=1,0,1sin 0,00),1ln(1)(x x x x x x x x x f .[解] 因为)(x f 是它是分段函数, 其定义域为),1()1,(+∞-∞ ，0x =为分段点，1=x 处孤立无定义.当0<x 时，)1ln(1x x -是连续的；当1,0≠>x x 时，1sin -x x也是连续的,因此只须考察分段点0=x 处的性质.27由于 1ln )1ln(1lim )(lim 100-==-=-→→--e x xx f x x ，01sin lim )(lim 00=-=++→→x xx f x x ， 可见, 0x =处左右极限都存在但不相等,所以0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.在1=x 处，因为∞=-=→→1sin lim )(lim 11x xx f x x ， 所以，1=x 是第二类无穷间断点.（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0,10,1212)(11x x x f x x . [解] 因为)(x f 是它是分段函数, 0x =为分段点， 当0≠x 时，121211+-xx是连续的,因此只须考察分段点0=x 处的性质.又)(x f 含特殊函数x12，故0x =处极限应该考虑左、右极限.由于 11212lim 110-=+--→xxx ，11212lim 110=+-+→xxx ，可见, 0x =处左右极限都存在但不相等,所以0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.（4）11()1x xf x e-=-.[解] 因为)(x f 是初等函数,定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，在0x =，1=x 处孤立无定义.在0=x 处，因为∞=-=-→→111lim)(lim x x x x ex f ，所以，0=x 是第二类无穷间断点.在1=x 处，由于28111lim )(lim 111=-=-→→--x xx x ex f ，011lim )(lim 111=-=-→→++x xx x ex f ，可见, 1=x 处左右极限都存在但不相等,所以1=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.37. 试确定a 和b 的值，使)1)(()(---=x a x be xf x 有无穷间断点0=x 和可去间断点1=x .[解] 因为)(x f 是初等函数,定义域为a x ≠及1≠x ，在a x =，1=x 处孤立无定义. 由于0=x 为无穷间断点，)1)((lim)(lim 00---=→→x a x be xf x x x ∞=， 故0=a .又由于1=x 为可去间断点，)1)((lim )(lim 11---=→→x a x b e x f x x x )1(lim1--=→x x be x x ， 上式应为型，即0)(lim 1=-→b e x x ，故e b =.38. 设)(x f 对一切21,x x 满足)()()(2121x f x f x x f +=+，并且)(x f 在0=x 处连续，证明函数)(x f 在任意点0x 处连续.[解] 由于)(x f 对一切21,x x 满足)()()(2121x f x f x x f +=+，将021==x x 代入上式，有)0(2)0(f f =，即0)0(=f ，因为)(x f 在0=x 处连续，所以0)0()(lim 0==→f x f x ，又=∆→∆y x 0lim =-∆+→∆)]()([lim 000x f x x f x 0)(lim 0=∆→∆x f x ，所以，函数)(x f 在任意点0x 处连续39. 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，b x x x a n <<<<< 21,则在],[1n x x 上至少存在一点ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ.[解]由于)(x f 在],[b a 上连续，且b x x x a n <<<<< 21，故)(x f 在],[1n x x 上连续.由最值定理可知，在],[1n x x 上)(x f 有最大值M 与最小值m ，即得1()m f x M ≤≤，29M x f m n ≤≤)(，于是，可得M nx f x f x f m n ≤+++≤)()()(21 ；由介值定理可知，)(x f 在],[1n x x 上至少存在一点ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ.40.设2)(-=xe xf ，试证：在)2,0(内至少有一点ξ，使得ξξ=)(f .[解]令x e x x f x F x--=-=2)()(，由于)(x F 为初等函数，显然在]2,0[上连续，且01)0()0(<-==f F ，042)2()2(2>-=-=e f F .由零值定理可知，)2,0(内至少有一点ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . 41.试证：方程0sin =--b x a x （其中b a ,为正常数）至少有一个不超过b a +的正根.[解]令b x a x x f --=sin )(，由于)(x f 为初等函数，显然在],0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)(≥+-=+b a a b a f .当1)sin(≠+b a 时，0)]sin(1[)(>+-=+b a a b a f ，由零值定理可知，),0(b a +内至少有一点ξ，使得0)(=ξf ；当1)sin(=+b a 时，0)]sin(1[)(=+-=+b a a b a f ，即b a +=ξ，使得0)(=ξf ； 综上，ξ],0(b a +∈，使得0)(=ξf ，即方程0sin =--b x a x 至少有一个不超过b a +的正根.42. 设321,,a a a 均为正数，3210λλλ<<<，试证方程0332211=-+-+-λλλx a x a x a 有两个实根，并判定这两个根的范围. [解]由于332211λλλ-+-+-x a x a x a ))()(())(())(())((321213312321λλλλλλλλλ-----+--+--=x x x x x a x x a x x a .令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ，由于)(x F 为初等函数，显然)(x F 分别在],[21λλ及],[32λλ上连续，且 0))(()(312111>--=λλλλλa f ， 0))(()(131222<--=λλλλλa f ，300))(()(231333>--=λλλλλa f ，)(x F 在],[21λλ上由零值定理可知，在),(21λλ内至少有一点1ξ，使得0)(1=ξF ， )(x F 在],[32λλ上由零值定理可知，在),(32λλ内至少有一点2ξ，使得0)(2=ξF ；又)(x F 为二次多项式函数，至多有两个零点.综上，)(x F 有两个零点，他们分别在),(21λλ与),(32λλ内，即方程0332211=-+-+-λλλx a x a x a 有两个实根，分别在),(21λλ与),(32λλ内. 43. 设函数)(x f 在]1,0[上连续且非负，而0)1()0(==f f ，试证：对于)1,0(内的 任意实数l ，必存在一点)1,0(0∈x ，使得)()(00l x f x f +=. [解]令)()()(l x f x f x F +-=，由于)(x f 在]1,0[上连续，所以)(x F 在]1,0[l -上连续，且0)()()0()0(<-=-=l f l f f F ，0)1()1()1()1(>-=--=-l f f l f l F .由零值定理可知，⊂-)1,0(l )1,0(内至少有一点0x ，使得0)(0=x F ， 即)()(00l x f x f +=.故对于)1,0(内的任意实数l ，必存在一点)1,0(0∈x ，使得)()(00l x f x f +=.。