二次函数小综合题经典题型

二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与线段有关的问题（专题训练）1.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．2.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234P P P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．5.如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE+BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点D 的坐标．10.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx+x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．14，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．15.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．16.已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．17.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求35PC+PB的最小值．。

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

庞圣洁（二次函数难题）之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣215．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．119．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④20．（•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c,0）,以该抛物线与坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为S,则S可暗示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．21．（•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数,k＞0）②y=kx+b（k,b为常数,k＞0）③y=（k为常数,k＞0,x＞0）④y=ax2（a为常数,a＞0）其中,函数y的值随着x值得增年夜而减少的是（）A．①B．②C．③D．④22．（•碑林区校级一模）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,而且a,b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根,则实数m,n,a,b的年夜小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b二．解答题（共8小题）23．（•本溪）如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标；（3）点P从点C动身,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B 动身,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单元长度,当Q点达到C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为极点的四边形为菱形？若存在,直接写出点D的坐标；若不存在,说明理由．24．（•黔南州）如图,在平面直角坐标系中,极点为（4,﹣1）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧）,已知A点坐标为（0,3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最年夜？并求出此时P点的坐标和△PAC的最年夜面积．25．（•遵义）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3,0）,B（﹣1,0）,与y轴交于点C．若点P,Q同时从A点动身,都以每秒1个单元长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点达到端点时,另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为极点的三角形为等腰三角形？若存在,请求出E点坐标；若不存在,请说明理由．（3）当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标．26．（•兰州）如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A（﹣1,0）,C（0,2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最年夜？求出四边形CDBF的最年夜面积及此时E点的坐标．27．（•义乌市）如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积；②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F．是否存在这样的点P,使以P,E,F为极点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．28．（•黄冈模拟）已知：如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3,0）、B（6,0）,与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y 轴交直线BC于点Q．①当x取何值时,线段PQ的长度取得最年夜值,其最年夜值是几多？②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．29．（•武汉）如图,已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点．（1）直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积即是5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最年夜距离．30．（•六盘水）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是（2,0）,B点的坐标是（8,6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的极点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD？若存在,请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．庞圣洁（二次函数难题）参考谜底与试题解析一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比力,可知当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系,可获得OA•OB的值,当x=0时,可获得OC的值．通过c建立等量关系求证．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴,解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c,a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴直线MN的解析式为y﹣2=,即y=﹣2x,根据抛物线的图象的特点肯定是当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在y=﹣2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2,a+c=0,即c=﹣a＜0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不成能在同一条直线上．故该选项毛病．④当a=1时,c=﹣1,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时,0=x2﹣2x+c,利用根与系数的关系可得x1•x2=c,即OA•OB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,∴若a=1,则OA•OB=OC2,故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式简直定．2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得：x=1或x=,当x=1时,y=x﹣2=﹣1,当x=时,y=x﹣2=﹣,∴点A的坐标为（,﹣）,点B的坐标为（1,﹣1）,∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++（1﹣）=1,B′C=1+=,∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义,分母不即是0,得出x2﹣2x+c≠0,再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质,可知当二次项系数a＞0,△＜0时,有y＞0,此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意,得△=（﹣2）2﹣4c＜0,解得c＞1．故选C．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义,必需满足分母不即是0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必需满足△＜0．4．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】①由极点坐标公式判断即可；②根据图象获得一次函数y=kx+b为增函数,抛物线当x年夜于0时为增函数,本选项正确；③AB长不成能为5,由A、B的横坐标求出AB为5时,直线AB与x 轴平行,即k=0,与已知矛盾；④三角形OAB不成能为等边三角形,因为OA与OB不成能相等；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,作出对称后的图象,故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2,利用极点坐标公式得：极点坐标为（0,0）,本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数,则x＞0时,直线与抛物线函数值都随着x的增年夜而增年夜,本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不成能为5,本选项毛病；④若OA=OB,获得直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不成能为等边三角形,本选项毛病；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示：可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3,2,由图象可得：当﹣3＜x＜2时,ax2＜﹣kx+b,即ax2+kx＜b,则正确的结论有①②⑤．故选B．【点评】此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有：抛物线极点坐标公式,一次函数与二次函数的增减性,关于y轴对称点的性质,利用了数形结合的思想,熟练对称性质及数形结合思想是判毕命题⑤的关键．5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图象获得x=﹣2时对应的函数值小于0,获得N=4a﹣2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=﹣1右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下获得a小于0,变形即可对P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴左侧,∴a,b同号,∴a＜0,b＜0,∵图象经过y轴正半轴,∴c＞0,∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c＜0,∴N=4a﹣2b+c＜0,∵﹣＞﹣1,∴＜1,∵a＜0,∴b＞2a,∴2a﹣b＜0,∴P=2a﹣b＜0,则M,N,P中,值小于0的数有M,N,P．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,根据图象判断出对称轴以及a,b,c的符号是解题关键．6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8,判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8,b＞8,从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且极点坐标在第四象限,向上平移2个单元,与x轴纷歧定有交点,判定③毛病,向下平移2个单元,极点一定在第四象限,判定④正确．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根,∴2×4+2a+b=0,∴2a+b=﹣8＜0,故①正确；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根,∴﹣＞2+2,＞2×2,∴a＜﹣8,b＞8,∴ab＜0,故②正确；∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且对称轴在直线x=2的右边,∴二次函数y=2x2+ax+b极点坐标在第四象限,向上平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b+2,与x轴纷歧定有交点,∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根毛病,故③毛病；向下平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b﹣2,极点坐标一定在第四象限,故④正确；综上所述,正确的结论有①②④共3个．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,主要利用了一元二次方程的根的界说,根与系数的关系,二次函数图象与几何变换,③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出点P的坐标,从而获得OP的长,再设点A的横坐标为m,暗示出AD,再暗示出OD、OF、PF、AF,然后根据△PEF和△PDO相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,然后利用勾股定理暗示出PA2、PE、PD,从而获得=,再根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似解答．【解答】解：令x=0,则y=1,∴OP=1,设点A的横坐标为m,则AD=﹣m2+1,∵AB⊥y轴,AD⊥x轴,∴AF=OD=m,OF=﹣m2+1,PF=1﹣（﹣m2+1）=m2,在Rt△PAF中,PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2,在Rt△POD中,PD===,由AB∥x轴得,△PEF∽△PDO,∴=,即=,解得,PE=m2,∴PA2=PD•PE=m4+m2,∴=,∵∠APE=∠DPA,∴△PAD∽△PEA,即,△PAD与△PEA始终相似．故选B．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,暗示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,得出判别式的表达式,然后根据m的取值进行判断,另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2,①当m≠3,m=±1时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故毛病；②当m=3时,△=0,与x轴有一个公共点,与y轴有一个公共点,总共两个,故正确；③若只有两个公共点,m=3或m=±1,故毛病；④若有三个公共点,则m≠3且m≠±1,故正确；综上可得只有②④正确,共2个．故选B．【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识,同学们容易忽略m=±1时,函数是一次函数的情况,这是我们要注意的处所．9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围．【解答】解：令m=0,则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1,0）,（2,0）,故此函数的图象为：∵m＞0,∴原极点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增年夜,∴α＜1,β＞2．故选D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键．10．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别暗示出所求式子的各项,拆项后抵消即可获得结果．【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1）,∴==2（﹣）,∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A【点评】此题考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】求出抛物线的对称轴,求出A关于对称轴的对称点的坐标,根据抛物线的开口方向和增减性,即可求出谜底．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0）,对称轴是直线x=﹣=1,即二次函数的开口向下,对称轴是直线x=1,即在对称轴的右侧y随x的增年夜而减小,A点关于直线x=1的对称点是D（3,y1）,∵2＜3＜4,∴y2＞y1＞y3,故选D．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用,主要考查学生的观察能力和分析能力,本题比力典范,可是一道比力容易犯错的题目．12．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征,首先判断出M中的各代数式的符号,然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下,故a＜0；当x=﹣2时,y＞0,则4a﹣2b+c＞0；当x=1时,y＜0,则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0,又a＜0,则b＜0,故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1,则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b,因为2a﹣b＜0,a＜0,∴3a﹣b＜0,即M＜0,故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定．13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,即抛物线的开口向下,因而a＜0．求抛物线的极点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的极点坐标为（,）,对称轴是x=；代入就可以求召盘点坐标,从而确定极点所在象限．【解答】解：极点横坐标x==,纵坐标y==；∵二次函数有最年夜值,即抛物线的开口向下,a＜0,∴,,即：横坐标x＞0,纵坐标y＜0,极点在第四象限．故选D．【点评】考查求抛物线的极点坐标、对称轴及最值的方法：14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理,及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2,化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0,∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n,2）是图象上的一点,∴an2+bn+c=2,∴﹣4a=2,∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是注意数形结合思想．15．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0,即可获得y1＞y2．【解答】解：将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中,得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①,y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②,②﹣①得：y2﹣y1=（x2﹣x1）[a（3﹣a）],因为x1＜x2,3﹣a＞0,则y2﹣y1＞0,即y1＜y2．故选B．【点评】本题难度较年夜,要充沛利用数据特点,进行计算．16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据函数图象,找出抛物线在直线上方的部份的自变量x 的取值范围即可．【解答】解：由图可知,当x＜1或x＞6时,抛物线在直线的上方,所以,当y1＞y2时,x的取值范围是x＜1或x＞6．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象,利用数形结合的思想解答即可,比力简单．17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】依照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时,图象开口向上,只要极点纵坐标为正即可；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可．【解答】解：当a＞0时,图象开口向上,极点纵坐标为=6a﹣3,当6a﹣3＞0,即a＞时,y＞0；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可,此时y=25a+10a+7a﹣3＞0,解得a＞,不符合题意,舍去．故选A．【点评】本题考查了二次函数开口方向,极点坐标,对称轴在实际问题中的运用,还考查了分类讨论的数学思想．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】解：通过计算发现,当O与C重合时,S△ABC=2,据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点C1、C2,再作CC3∥AB,使得C3与C到AB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点,使得以AB为底的三角形面积为2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2,可见,当O与C重合时,S△ABC=2,作CD⊥AB,∵AO=BO=2,可见,△ACB为等腰直角三角形,CD=2×cos45°=2×=．由图易得,到AB距离为的点有C、C1、C2,作CC3∥AB,则CC3的解析式为y=﹣x,将y=﹣x和y=x2组成方程组得,,解得,,,则C3坐标为（﹣1,1）,可见,有四个点,使得S△ABC=2．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．19．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数的解析式,找出二次项系数a,一次项系数b及常数项c,将a,b及c的值代入b2﹣4ac,利用完全平方公式化简后,根据完全平方式恒年夜于即是0,可得出b2﹣4ac年夜于即是0,进而确定出该抛物线与x轴有交点,故①正确；将x=1代入抛物线解析式,求出y=0,可得出此抛物线恒过（1,0）,故②正确；令抛物线解析式中y=0,获得关于x的一元二次方程,设方程的两个解分别为x1,x2,利用根与系数的关系暗示出x1+x2,x1x2,AB的长可以用|x1﹣x2|暗示,利用二次根式的化简根式=|a|变形后,再利用完全平方公式化简,将暗示出的x1+x2及x1x2代入,化简后根据m年夜于6,可得出AB的长年夜于1,故③正确；利用极点坐标公式暗示出抛物线的极点坐标,代入y=﹣2（x﹣1）2中经验,可得出抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,获得正确的序号．【解答】解：二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,∵a=2,b=﹣m,c=m﹣2,∴b2﹣4ac=（﹣m）2﹣8（m﹣2）=（m﹣4）2≥0,则抛物线与x轴有交点,故①正确；∵当x=1时,y=2﹣m+m﹣2=0,∴不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）,故②正确；设A的坐标为（x1,0）,B（x2,0）,令y=0,获得2x2﹣mx+m﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴AB=|x1﹣x2|===||,当m＞6时,可得m﹣4＞2,即＞1,∴AB＞1,故③正确；∵抛物线的极点坐标为（,）,∴将x=代入得：y=﹣2（﹣1）2=﹣2（﹣+1）=,∴抛物线的极点坐标在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,正确的序号有①②③④．故选A【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数的性质,涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法,根与系数的关系,极点坐标公式,以及判断一个点是否在抛物线上,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．。

题型九 二次函数综合题类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练）1.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ^于点D ，当n 为何值时，PDG BNG V V ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB Ð=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）n =；（3）①12；②或．【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；②先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．【详解】解：（1）将点(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得：309330a b a b --=ìí+-=î，解得12a b =ìí=-î，则抛物线的解析式为223y x x =--；（2）由题意得：点P 的坐标为2(,23)P n n n --，对于二次函数223y x x =--，当0x =时，3y =-，即(0,3)C -，设直线BC 的解析式为y kx c =+，将点(3,0)B ，(0,3)C -代入得：303k c c +=ìí=-î，解得13k c =ìí=-î，则直线BC 的解析式为3y x =-，(,3)G n n \-，223(23)3PG n n n n n \=----=-+，(3BG n ==-PDG BNG @V QV ，PG BG \=，即23(3n n n -+=-，解得n =3n =（与3n <不符，舍去），故当n =PDG BNG @V V ；（3）①如图，设线段OC 的中点为点D ，过点B 作x 轴的垂线，交直线1OB 于点E ，则点D 的坐标为3(0,2D -，点E 的横坐标为3，设直线BD 的解析式为00y k x c =+，将点(3,0)B ，3(0,2D -代入得：0003032k c c +=ìïí=-ïî，解得001232k c ì=ïïíï=-ïî，则直线BD 的解析式为1322y x =-，由平移的性质得：直线1OB 的解析式为12y x =，当3x =时，32y =，即3(3,)2E ，33,2OB BE \==，11tan 2BE BOB OB Ð==\，故答案为：12；②由题意得：11NN OB ^，则设直线1NN 的解析式为12y x c =-+，将点(,0)N n 代入得：120n c -+=，解得12c n =，则直线1NN 的解析式为22y x n =-+，联立2212y x n y x =-+ìïí=ïî，解得4525x n y n ì=ïïíï=ïî，即直线1NN 与直线1OB 的交点坐标为42(,)55n n ，设点1N 的坐标为1(,)N s t ，则4250225s n n t n +ì=ïïí+ï=ïî，解得3545s n t n ì=ïïíï=ïî，即134(,)55N n n ，将点134(,)55N n n 代入223y x x =--得：2334()55235n n n -´-=，整理得：2507509n n --=，解得n =或n =则点N的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．2.二次函数2()40y ax bx a =++¹的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ^轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO Ð=Ð时，求直线BP的表达式；（3）请判断：PQ QB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】（1）234y x x =--+；（2）151588y x =-+；（3）PQ QB 有最大值为45，P 点坐标为()2,6-【分析】（1）将(4,0)A -，(1,0)B 代入2()40y ax bx a =++¹中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；（2）设BP 与y 轴交于点E ，根据//PD y 轴可知，DPB OEB Ð=Ð，当2DPB BCO Ð=Ð，即2OEB BCO Ð=Ð，由此推断OEB V 为等腰三角形，设OE a =，则4CE a =-，所以4BE a =-，由勾股定理得222BE OE OB =+，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；（3）设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得 M 点坐标，则5BM =，由//BM PN ，可得PNQ BMQ △∽△，5PQ PN PN QB BM ==，设20000(,34)(40)P a a a a --+-<<，则00(,4)N a a +22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：2(4)(4)40+40a b a b ì×-+×-+=í+=î解得：13a b =-ìí=-î，∴二次函数的表达式为234y x x =--+；（2）设BP 与y 轴交于点E ，∵//PD y 轴，DPB OEB Ð=Ð∴，2DPB BCO Ð=Ð∵，2OEB BCO Ð=Ð∴，ECB EBC \Ð=Ð，BE CE \=，设OE a =，则4CE a =-，4BE a =-∴，在Rt BOE V 中，由勾股定理得222BE OE OB =+，222(4)1a a -=+∴解得158a =，150,8E æöç÷èø∴，设BE 所在直线表达式为(0)y kx e k =+¹150,81+0.k e k e ì×+=ï\íï×=î解得15,815.8k e ì=-ïïíï=ïî∴直线BP 的表达式为151588y x =-+．（3）设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M．由A 、C 两点坐标分别为(4,0)-，(0,4)可得AC 所在直线表达式为4y x =+∴M 点坐标为(1,5)，5BM =由//BM PN ，可得PNQ BMQ △∽△，5PQ PN PN QB BM ==∴设20000(,34)(40)P a a a a --+-<<，则00(,4)N a a +22200000034(4)4(2)4555a a a a a a PQ QB --+-+---++===∴，∴当02a =-时，PQ QB有最大值0.8，此时P 点坐标为()2,6-．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．3.如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ Ð=°，求点Q 的坐标．【答案】（1）1m =-，3y x =-；（2）()2,1P ，P ，P ；（3）75,24æö-ç÷èøQ 【分析】（1）求出A ，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A 关于BC 的平行线1AP ，联立直线1AP 与抛物线的表达式可求出1P 的坐标，设出直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移，平移的距离为GC 的长度，可得到直线23P P ，联立方程组即可求出P ；（3）取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ^于点D ，过点D 作DF x ^轴于点F ，过点C 作CE DF ^于点E ，得直线CD 对应的表达式为132y x =-，即可求出结果；【详解】（1）将()3,0B 代入()()22369=++-+y mx m x m ，化简得20m m +=，则0m =（舍）或1m =-，∴1m =-，得：243y x x =-+-，则()0,3C -．设直线BC 对应的函数表达式为y kx b =+，将()3,0B 、()0,3C -代入可得033k b b =+ìí-=î，解得1k =，则直线BC 对应的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1AP ∥BC ，设直线1AP 与y 轴的交点为G ，将直线BC 向下平移 GC 个单位，得到直线23P P ，由（1）得直线BC 的解析式为3y x =-，()1,0A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-ìí=-+-î，解得：10x y =ìí=î（舍），或21x y =ìí=î，∴()12,1P ，由直线AG 的表达式可得()1,0G -，∴2GC =，2CH =，∴直线23P P 的表达式为5y x =-，联立2543y x y x x =-ìí=-+-î，解得：11x y ìïïíï=ï，22xy ìïïíï=ïî，∴3P ，2P ，∴()2,1P ，P ，P ．（3）如图，取点Q ，连接CQ ，过点A 作AD CQ ^于点D ，过点D 作DF x ^轴于点F ，过点C 作CE DF ^于点E ，∵45ACQ Ð=°，∴AD=CD ，又∵90ADC Ð=°，∴90ADF CDE Ð+Ð=°，∵90CDE DCE Ð+Ð=°，∴DCE ADF Ð=Ð，又∵90E AFD Ð=Ð=°，∴CDE DAF D D ≌，则AF DE =，CE DF =．设==DE AF a ，∵1OA =，OF CE =，∴1CE DF a ==+．由3OC =，则3=-DF a ，即13+=-a a ，解之得，1a =．所以()2,2D -，又()0,3C -，可得直线CD 对应的表达式为132y x =-，设1,32Q m m æö-ç÷èø，代入243y x x =-+-，得213432-=-+-m m m ，2142=-+m m m ，2702-=m m ，又0m ¹，则72m =．所以75,24æö-ç÷èøQ ．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．4.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA Ð的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC V 的外心，且BCD △与ACO △:4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA Ð=Ð若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a +1；（2）2y x x 2=--；（3）存在，P 1（12-，54-），P 2（1，-2）．【分析】（1）根据二次函数解析式可得A （a ，0），C （0，-a ），B （-1，0），即可得出OA=OB=a ，OB=1，即可证明△OCA 是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB 的长；（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D ，根据等腰直角三角形的性质可得，利用两点间距离公式可用a 表示出BC 的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC 是等腰直角三角形，即可证明△DBC ∽△OCA ，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a 值即可得答案；（3）如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点C 作AC 的垂线，交x 轴于F ，过点O 作OG ⊥AC 于G ，连接AP 交CF 于E ，可得△OCF 是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF 的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D 坐标，即可得出BH 、DH 的长，根据CAP DBA Ð=Ð，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD ∽△ACE ，根据相似三角形的性质可求出CE 的长，根据两点间距离公式可得点E 坐标，利用待定系数法可得直线AE 解析式，联立直线AE 与抛物线的解析式求出点P 坐标即可得答案．【详解】（1）∵抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．∴当x=0时，y=-a ，当y=0时，(1)()0x x a +-=，解得：11x =-，2x a =，∴A （a ，0），C （0，-a ），B （-1，0），∴OB=1，OA=OC=a ，∴△OCA 是等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如图，作△ABC 的外接圆⊙D ，∵点D 为ABC V 的外心，∴DB=DC ，∵△OCA 是等腰直角三角形，OA=a ，∴∠OAC=45°，，∵∠BDC 和∠BAC 是 BC所对的圆心角和圆周角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠OAC ，∴△DBC ∽△OCA ，∵BCD △与ACO △:4，∴BC AC ==，解得：2a =±，经检验：2a =±是原方程的根，∵1a >,∴a=2，∴抛物线解析式为：(1)(2)y x x =+-=22x x --．（3）如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点C 作AC 的垂线，交x 轴于F ，过点O 作OG ⊥AC 于G ，连接AP 交CF 于E ，∵a=2，∴C （0，-2），A （2，0），AC=，∵∠OCA=45°，∴∠OCF=45°，∴△OCF 是等腰直角三角形，∴F （-2，0），设直线CF 的解析式为y=kx+b ，∴202k b b -+=ìí=-î，解得：12k b =-ìí=-î，∴直线CF 的解析式为2y x =--，∵△OCA 是等腰直角三角形，OG ⊥AC ，∴OG 所在直线为AC 的垂直平分线，点G 为AC 中点，∵点D 为ABC V 的外心，∴点D 在直线OG 上，∵A （2，0），C （0，-2），∴G （1，-1），设直线OG 的解析式y=mx ，∴m=-1，∴直线OG 的解析式y=-x ，∵点D 为△ABC 的外心，∴点D 在AB 的垂直平分线上，∴点D 的横坐标为122-+=12，把x=12代入y=-x 得y=-12，∴D （12，-12），∴DH=12，BH=1+12=32，∵CAP DBA Ð=Ð，∠BHD=∠ACE=90°，∴△BHD ∽△ACE ，∴DH BHCE AC=，即12CE =解得：CE =，∵点E 在直线CF 上，∴设点E 坐标为（n ，-n-2），∴，解得：23n =±，∴1E （23-，43-），2E （23，83-），设直线AE 1的解析式为y=k 1x+b 1，∴1111243320k b k b ì-+=-ïíï+=î，解得：11121k b ì=ïíï=-î，∴直线AE 1的解析式为112y x =-，同理：直线AE 2的解析式为24y x =-，联立直线AE 1解析式与抛物线解析式得21122y x y x x ì=-ïíï=--î，解得：111254x y ì=-ïïíï=-ïî，1220x y =ìí=î（与点A 重合，舍去），∴P 1（12-，54-），联立直线AE 2解析式与抛物线解析式得2242y x y x x =-ìí=--î，解得：1112x y =ìí=-î，2220x y =ìí=î（与点A 重合，舍去），∴P 2（1，-2）．综上所述：存在点P ，使得CAP DBA Ð=Ð，点P 坐标为P 1（12-，54-），P 2（1，-2）．【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键5.已知二次函数图象过点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P 为AC 的中点时，在线段PB 上是否存在点M ，使得∠BMC ＝90°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K 在抛物线上，点D 为AB 的中点，直线KD 与直线BC 的夹角为锐角θ，且tan θ=53，求点K 的坐标．【分析】（1）设二次函数的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4），将点C 坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P （﹣1，2），点Q （2，2），由勾股定理可求BC 的长，由待定系数法可求PB 解析式，设点M （c ，―25c +85），由两点距离公式可得（c ﹣2）2+（―25c +85―2）2＝8，可求c ＝4或―2429，即可求解；（3）过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，先求出DE ＝BE=角三角函数可求NE =DEtanθDK 与射线EC 交于点N （m ，4﹣m ）和DK 与射线EB 交于N （m ，4﹣m ）两种情况讨论，求出直线DK 解析式，联立方程组可求点K 坐标．【解析】（1）∵二次函数图象过点B （4，0），点A （﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y ＝a （x+2）（x ﹣4），∵二次函数图象过点C （0，4），∴4＝a （0+2）（0﹣4），∴a =―12，∴二次函数的解析式为y =―12（x+2）（x ﹣4）=―12x 2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC 中点Q ，连接MQ ，∵点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4），点P 是AC 中点，点Q 是BC 中点，∴P （﹣1，2），点Q （2，2），BC =设直线BP 解析式为：y ＝kx+b ，由题意可得：2=―k +b 0=4k +b ，解得：k =―25b =85∴直线BP 的解析式为：y =―25x +85，∵∠BMC ＝90°∴点M 在以BC 为直径的圆上，∴设点M （c ，―25c +85），∵点Q 是Rt △BCM 的中点，∴MQ =12BC ＝∴MQ 2＝8，∴（c ﹣2）2+（―25c +85―2）2＝8，∴c ＝4或―2429，当c ＝4时，点B ，点M 重合，即c ＝4，不合题意舍去，∴c =―2429，则点M 坐标（―2429，5629），故线段PB 上存在点M （―2429，5629），使得∠BMC ＝90°；（3）如图2，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设直线DK 与BC 交于点N ，∵点A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4），点D 是AB 中点，∴点D （1，0），OB ＝OC ＝4，AB ＝6，BD ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝45°，∴DE ＝BE∵点B （4，0），C （0，4），∴直线BC 解析式为：y ＝﹣x+4，设点E （n ，﹣n+4），∴﹣n+4=32，∴n =52，∴点E （52，32），在Rt △DNE 中，NE =DEtanθ253=①若DK 与射线EC 交于点N （m ，4﹣m ），∵NE ＝BN ﹣BE ，4﹣m ）―∴m =85，∴点N （85，125），∴直线DK 解析式为：y ＝4x ﹣4，联立方程组可得：y =4x ―4y =―12x 2+x +4，解得：x 1=2y 1=4或x 2=―8y 2=―36，∴点K 坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK 与射线EB 交于N （m ，4﹣m ），∵NE ＝BE ﹣BN ，―4﹣m ），∴m =175，∴点N （175，35），∴直线DK 解析式为：y =14x ―14，联立方程组可得：y =14x ―14y =―12x 2+x +4，解得：x 3=y 3=x 4=y 4=∴点K ，综上所述：点K 的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣3616）．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+3分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，经过A ，B 两点的抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴的正半轴相交于点C （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 为线段AB 上一点，∠APO ＝∠ACB ，求AP 的长；（3）在（2）的条件下，设M 是y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），∴c=3―1+b+c=0，解得b=―2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC =AOAB，∴AP4∴AP＝（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．。

二次函数试题论：①抛物线1212--=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2)1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？③抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2)1(21+-=x y 怎样移动得到的？⑤抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）A -1B 2C -1或2D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—25、抛物线y= 21x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）A （—6，—6）B （—6，6）C （6，6）6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２A １ B ２ C ３ D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则c b a + =c a b + =ba c+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

专题01 二次函数的相关概念（五大题型）【题型1 二次函数的判段】【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】【题型3 二次函数的一般形式】【题型4 二次函数的函数值】【题型5 根据实际问题列出二次函数】【题型1 二次函数的判段】1.（2023•大埔县开学）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A．y＝3x﹣1B．y＝C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝2x2﹣3【答案】D【解答】解：A、不含有x的二次项，不是二次函数，不符合题意；B、是复合函数，不是二次函数，不符合题意；C、化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，不符合题意；D．y＝﹣2x2﹣3，符合二次函数的定义，符合题意．故选：D．2.（2022秋•道外区期末）下列函数中，表示y是x的二次函数的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、y＝﹣+x，不是二次函数，故A不符合题意；B、y＝x2+x，是二次函数，故B符合题意；C、y＝，不是二次函数，故C不符合题意；D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；故选：B3．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）A．①是反比例函数，②是二次函数B．①是二次函数，②是反比例函数C．①②都是二次函数D．①②都是反比例函数【答案】B【解析】解：①∵矩形的周长为20，一边长x∴另一边长为10−x∴y=x(10−x)=−x2+10x为二次函数；②∵矩形的面积为20，矩形的长x∴y=20x是反比例函数．故答案为：B．4．（2022九上·陵城期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）A．y≥3x B．y=x2+(3−x)x C．y=(x−1)2D．y=a x2+bx+c【答案】C【解析】解：A．y≥3x，不是函数，故该选项不符合题意；B．y=x2+(3−x)x=x2+3x−x2=3x，是一次函数，故该选项不符合题意；C．y=(x−1)2，是二次函数，符合题意；D．y=a x2+bx+c，当a=0时，不是二次函数，故该选项不符合题意．故答案为：C．5．（2022九上·义乌月考）下列函数中（x，t是自变量），是二次函数的是（ ）A．y=−x3+25B．y=−12+5x2C．y=1xD．S=1+t【答案】B【解析】解：A、y=−x3+25不是二次函数，不符合题意；B、y=−1+5x2是二次函数，符合题意；2C、y=1不是二次函数，不符合题意；xD、S=1+t不是二次函数，不符合题意.故答案为：B.6．（2022九上·桐乡市期中）下列函数中，属于二次函数的是（ ）.C．y=x2(x+3)D．y=x(x+1) A．y=2x−1B．y=1x【答案】D【解析】解：A、y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；B、y=1函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意；xC、y=x2(x+3)=x3+3x2，x的最高次数是3，不是二次函数，故C不符合题意；D、y=x(x+1)=x2+x是二次函数，故D符合题意.故答案为：D.7．（2022九上·萧山月考）下列y和x之间的函数表达式中，属于二次函数的是（ ）B．y=2x3+5A．y=x2+1xC．y=(x+4)(x−1)D．y=2x−7【答案】C，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；【解析】解：A、y=x2+1xB、y=2x3+5，最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；C、y=(x+4)(x−1)=x2+3x−4，是二次函数，符合题意；D、y=2x−7，最高次数是1，不是二次函数，不符合题意；故答案为：C【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】8．（2022九上·北仑期中）若关于x的函数y=（2−a）x2−x是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞2【答案】B【解析】解：∵函数y＝（2−a）x2−x是二次函数，∴2−a≠0，即a≠2，故答案为：B．9．（2022九上·中山期中）已知函数y=(m+3)x2+1是二次函数，则m的取值范围为（ ）A．m>−3B．m<−3C．m≠−3D．任意实数【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，m+3≠0，解得：m≠−3；故答案为：C．可解答.10.（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）A．±2B．1C．﹣2D．±1【答案】C【解答】解：由题意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故选：C．11.（2022秋•桥西区校级期末）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（ ）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2【答案】A【解答】解：由题意，解得m＝﹣3．故选：A12．（2021九上·砀山期末）如果y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）A．m≠1B．m≠2 C．m≠2且m≠1D．全体实数【答案】B【解析】解：∵y=(m−2)x2+(m−1)x是关于x的二次函数，∴m−2≠0，∴m≠2，故答案为：B【题型3 二次函数的一般形式】13．（2022九上·济南期末）二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，−6，-1B．1，6，1C．0，-6，1 D．0，6，-1【答案】A【解析】解：二次函数y=x2−6x−1，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．故答案为：A．14.（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）A．y＝3x B．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3【答案】B【解答】解：y＝3x不是二次函数；y＝3x2是二次函数，且二次项系数是3；y＝不是二次函数；y＝x2+3是二次函数，但二次项系数是1．故选：B．15.（2020秋•房山区期中）二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，4，3B．0，4，3C．1，﹣4，3D．0，﹣4，3【答案】C【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数是1，一次项系数是﹣4，常数项是3；故选：C．16．（2022九上·东阳月考）二次函数y＝2x2﹣3x+4的一次项系数是（ ）A．2B．3C．﹣3D．4【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣3x+4，∴一次项系数是-3.故答案为：C.【题型4 二次函数的函数值】17.y=-3x2﹣x+9函数中自变量为2，则函数值等于.【答案】-5【解答】解：∵y=-3x2﹣x+9函数中的自变量为2，则函数值为y=-（3×22）-2+9=-5，故答案为：-518．二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5【答案】D【解析】根据题意，得x2+2x﹣7=8，即x2+2x﹣15=0，解得x=3或﹣5，故选D．【题型5 根据实际问题列出二次函数】19．（2021九上·宜昌期末）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染.则y与x 的函数关系式为（ ）A．y=2(1+x)2B．y=(2+x)2C．y=2+2x2D．y=(1+2x)2【答案】A【解析】解：∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 2(1+x)2人；∴y=2(1+x)2，故答案为：A.20．（2020九上·沧州开学考）正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x【答案】C【解析】解：原来正方形的边长是3，面积是9，增加后的边长是(x+3)，面积是(x+3)2，增加的面积y=(x+3)2−9，整理得y=x2+6x．故答案为：C．21．（2020九上·合肥月考）据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）A．y=7.9（1＋2x）B．y=7.9（1－x）2C．y=7.9（1＋x）2D．y=7.9＋7.9（1＋x）＋7.9（1＋x）2【答案】C【解析】设平均每个季度GDP增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=7.9(1＋x)2．故答案为：y=7.9(1＋x)2．22．（2021九上·甘州期末）一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y c m2，那么y与x的关系式是 【答案】y=-x2+8x【解析】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，∴另一边长为（8-x）cm，∵长方形面积为ycm2，∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.故答案为：y=-x2+8x.23．（2019九上·邯郸月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为x，那么矩形面积S与边长x之间的函数关系式为 .【答案】S=−x2+20x【解析】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，∴由矩形的面积公式，得S=x(20−x)=−x2+20x24．（2021九上·温州月考）半径是2的圆，如果半径增加x时，增加的面积s 与x之间的关系表达式为 .【答案】S=πx2+4πx【解析】解：由题意，得S=π（2+x）2-4π=πx2+4πx.故答案为：S=πx2+4πx.。

二次函数(十二大题型综合归纳)题型1：二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2：二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5，当x=3时，y=．4已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2，则代数式2a+b的值为．题型3：二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4：列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为．题型5：特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像，下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0，那么必有()A.a >0，m 取任意实数B.a >0，m >0C.a <0，m >0D.a ，m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时，y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数：①y =-13x 2+1；②y =12(x +1)2-2；③y =-12(x +1)2+2；④y =12x 2；⑤y =-12(x -1)2；⑥y =12(x -1)2．(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号)；(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号)．14设函数y 1=x -a 12，y 2=x -a 22，y 3=x -a 3 2．直线x =b 的图象与函数y 1，y 2，y 3的图象分别交于点A b ,c 1，B b ,c 2 ，C b ,c 3，()A.若b <a 1<a 2<a 3，则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3，则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3，则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ，则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ，b ，则代数式a 2-ab +b 2的最小值为．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⎳x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P(3，1)、Q(9，1)，若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a的取值范围是．19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为．题型7：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中，与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”)．23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1，B5,y2两个点，下列选项正确的是()A.若m<1，则y1>y2B.若1<m<3，则y1<y2C.若1<m<5，则y1>y2D.若m>5，则y1<y2题型8：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0，且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点，当-2≤a≤2时，m的取值范围是．27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1，-2)，(-2，13)．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内，有最小值-3，有最大值1，求m的取值范围．28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m>0)．(1)若点(-2，9)在该二次函数的图象上．①求m的值：②当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最大值为18，求a的值；(2)若点P(x，y)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤-3，求m的取值范围．题型9：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示，现有以下结论：①c=3；②k=3；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+b-1x+c<0．其中正确的为．(填写序号即可)30如图，已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=k i(k i>0，i=1，2，3，⋯，2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10：二次函数的应用31如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y (单位：米)与飞行的水平距离x (单位：米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32，则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．有下列结论：①AB =30m ；②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5；③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上)，设AB =x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．37如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B，与y轴交于点C0，-52．CD∥x轴交抛物线于点D．(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB，CD于点F，G，且GE= 2GD，求点E的坐标．38在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．(1)已知a=1．①若函数的图象经过0，3和-1，0两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．(2)若函数图象经过-2，m，-3，n和x0,c，且c<n<m，求x0的取值范围．题型12：二次函数压轴题39在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为-5,0．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。