1集合的概念与表示
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一、 集合的概念1. 集合:某些指定的对象集在一起成为集合.集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作A a ∈;若b 不是集合A 的元素,记作A b ∉; 2. 集合的性质:确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;二、 集合的表示:表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;例如:{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,5,} 2. 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内.例如:大于3的所有整数表示为:{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为:{x ∈R |2250x x --=}具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.3. 常用数集及其记法:非负整数集(或自然数集),记作N ;正整数集,记作*N 或N +;整数集,记作Z ;有理数集,记作Q ;实数集,记作R .三、 集合之间的关系1. 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ⊆B (或B A ⊂); 2. 简单性质:1)A ⊆A ;2)∅⊆A ;3)若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;3. 真子集关系:对于两个集合A 与B ,若A B ⊆且.A B ≠,则集合A 是集合B 的真子集,记作A B (或B A ) 4. 相等关系:对于两个集合A 与B ,如果A B ⊆,且B A ⊆ ,那么集合A 与B 相等,记作A B =5. 0,{0},∅,{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的,0只是一个数字,而{0}则表示集合,这个集合中含有一个元素0,它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的,∅中没有任何元素,{0}则表示含有一个元素0的集合,它们的关系是两个集合之间的关系({}0∅)③∅与{}∅是不同的,∅中没有任何元素,{}∅则表示含有一个元素∅的集合,它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然,0∉∅,0{}∉∅集合的概念及其关系6. 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ,则①子集的个数为2n ,②真子集的个数为21n -,③非空真子集的个数为22n - 一、 交集、并集、补集概念1. 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集. 记作A B (读作“A 交B ”),即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示:{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映:2. 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集.并集{|}A B x x A x B =∈∈或.(读作“A 并B ”)① 数学符号表示: {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映:3. 补集的概念:全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记作U A ,即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示:{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映:二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算(1),,;A A A A A B B A =∅=∅=(2),;A A A B BA ∅==(3)()();AB A B ⊆ (4);A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=;(5)()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、 容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-.。
1.1集合的概念及表示【知识储备】1.集合的概念(1)含义:一般地,我们把所研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质:(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素,就说a属于集合Aa∈A a属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.3.集合的表示法(1)自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于3的实数组成的集合.(2)字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示元素,如a,b,c等.常用数集的表示:名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R(3)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.(4)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.【题型精讲】【题型一集合概念的理解】必备技巧判断一组对象是否能构成集合的三个依据判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.例1下列对象中不能构成一个集合的是()A.某校比较出名的教师B.方程−2=0的根C.不小于3的自然数D.所有锐角三角形例2(多选)下列各组对象能构成集合的是()A.拥有手机的人B.2024年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数【题型精练】1.给出下列说法:①在一个集合中可以找到两个相同的元素;②好听的歌能组成一个集合;③高一(1)班所有姓氏能构成集合;④把1,2,3三个数排列,共有6种情况,因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.32.下列各组对象中能构成集合的是()A.充分接近的实数的全体B.数学成绩比较好的同学C.小于20的所有自然数D.未来世界的高科技产品【题型二用列举法表示集合】例3用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合;(2)方程(+1)(2−4)=0的所有实数根组成的集合;(3)一次函数=2与=+1的图象的交点组成的集合.【题型精练】1.用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;(2)方程2−9=0的实数根组成的集合B;(3)一次函数=+2与=−2+5的图象的交点组成的集合C.2.用列举法表示下列集合.(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;(2)小于8的质数组成的集合B;(3)方程22−−3=0的实数根组成的集合C;(4)一次函数=+3与=−2+6的图象的交点组成的集合D.【题型三用描述法表示集合】必备技巧利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.(3)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例4用适当的方法表示下列集合:(1)方程组2314,328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集;(2)方程2210x x -+=的实数根组成的集合;(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合;(4)二次函数2210y x x =+-的图象上所有的点组成的集合;(5)二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【题型精练】1.用描述法表示下列集合:(1)不等式3+2>5的解集;(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合;(3)二次函数=2−2+3图象上的点组成的集合.(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合;(5)集合1,12,13,14(6)所有被3整除的整数组成的集合;(7)方程2++1=0的所有实数解组成的集合.2.试说明下列集合各表示什么?1|A y yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭;{|B x y ==;()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭;{}0,1E x y ===;{}1,1F x y x y =+=-=-.【题型四元素与集合的关系】必备技巧判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法:集合中的元素是直接给出的.(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.例5用符号“∈”或“∉”填空:(1)0______∅;(2)2-_______2{|5}x x <;(3)(2,3)_______{(,)|23}x y x y +=;(4)2017_______{|41,}x x n n =-∈Z .例6(吉林长春市期中)已知集合M=6*,5a N a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈,则M 等于()A .{2,3}B .{1,2,3,4}C .{1,2,3,6}D .{1-,2,3,4}【题型精练】1.(多选)(浙江高一期末)若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ,则()A .1A∈B .2A∈C .3A∈D .4A∈2.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是()①1+;;A .4B .3C .2D .1【题型五确定集合中的元素】必备技巧确定集合中的元素(1)充分理解集合的描述法,(2)注意检验元素互异性.例7(1)(山东济南高一期末)已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈,则A 中元素的个数为()A .1B .5C .6D .无数个(2)集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为()A .4B .6C .8D .12例8(1)(江苏苏州市期中)设集合{123}{45}}A C x B y x A y B ===+∈∈,,,,,,,则C 中元素的个数为()A .3B .4C .5D .6(2)(江苏南通市月考)已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为()A .9B .10C .12D .13(3)(黑龙江大庆市期中)由实数2,,|,x x x -所组成的集合,最多可含有()个元素A .2B .3C .4D .51.若集合()(){}326A x N x x =∈--<,则A 中的元素个数为()A .3B .4C .5D .62.若集合{}0123A =,,,,()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,,则B 中所含元素的个数为()A .4B .6C .7D .103.(青海高一月考)已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为()A .3B .6C .8D .10【题型六元素特性中的求参问题】必备技巧利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.例9(上海市进才中学高一期末)已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++,且1A∈,则实数a 的值为________.例10(山东济南月考)已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.1.(吴起高级中学高一月考)若{}22111a a ∈++,,,则a =()A .2B .1或-1C .1D .-12.已知{}222,(1),33A a a a a =++++,若1A∈,则实数a 构成的集合B 的元素个数是()A .0B .1C .2D .33.(云南丽江市期末)若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素,则k 的值为___________.。
高一数学必修一知识点集合的含义与表示1.集合的概念一般地,把一些确定能够确定的多种不同的对象看成一个整体,就说生成元这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个叫做这个集合的元素(或成员)。
集合概念的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道自同态元素有两大性质特征性质:⑴确定性特征:集合中的元素必须是恰当中的,不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定,若有一具体对象,则要么是的元素,要么不是的元素,二者必居其一,且只居其一。
⑵互异性特征:集合中的成分元素必须是互不相同的。
设集合给定,的元素是指含于其中的相互相同元素,相同的对象归于同一集合时只能更何况算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系二元关系与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如:是集合的元素,记作,读作“属于”;不是集合的元素,记作,读作“不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和拆成无限集。
特殊地,不符合要求任何元素的集合叫做空集,记作。
5.集合的表示方法⑴例举法是把元素不重复、所获不计顺序的一一列举出来的方法,非常直观,一目了然。
⑵特征顺磁性描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如:集合可以用它的特征性质描述为{},这表示在集合中,属于集合的任一一个元素新元素都具有性质,而不属于集合的元素都一般性不具有性质。
除此之外,高二,给定还常用韦恩图来表示,韦恩图是用封闭曲线内部结构的点来表示集合的方法(有时,也用小写字母分别定出集合中的某些元素)【同步练习题】1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k;5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}解析:选D.A中小于18的正奇数除给定集合中给定的金属元素外,还有3,7,11,15;B中k取负数,多了若干元素;C中t=0时多了-3这个元素,只有D是正确的.2.集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},S={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈M,设c=a+b,则有()A.c∈PB.c∈MC.c∈SD.以上都不对解析:选B.∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6解析:选D.∵z=xy,x∈A,y∈B,∴z的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,故A*B={0,2,4},∴集合A*B的绝大多数元素之和为:0+2+4=6.4.已知集合A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|x∈A,y∈B},则用罗列法表示集合C=____________.解析:∵C={(x,y)|x∈A,y∈B},∴满足条件的点为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}。
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念(1)集合:把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……2、元素与集合的关系(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a AÏ要注意“∈”的方向,不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类:(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф(2)含有有限个元素的集合叫做有限集(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集注:应区分F,{}F,}0{,0等符号的含义根据集合的不同类型,可以把集合分为:数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N*或N+(3)整数集:全体整数的集合.记作Z(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q(5)实数集:全体实数的集合.记作R注:(1)自然数集包括数0.,(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例:用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. (2)互异性:集合中的元素一定是不同的.(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练:1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地,我们把研究对象统称为元素(element ),通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。
把一些元素组成的总体叫集合(set ),也简称集,通常用大写拉丁字母A,B,C ,…表示。
集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样,是集合论中的原始概念,只进行描述说明,无法定义概念。
某些教材中对集合的描述是:指定的某些对象的全体称为集合。
其中,注意理解(1)指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性,说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准,而不是随意组合。
(2)对象在不同的集合中,应有不同的内涵。
在不同的集合中,元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。
(3)全体说明集合是一个整体概念,针对全部对象而言,并且在这个整体中各元素间无先后排列要求,没有一定的顺序关系。
【注】(1)只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
(2)构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外,还可以是其他任何确定的对象。
2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。
(1)确定性集合中的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。
如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合,因为“个子高”这个标准不够明确,而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。
(2)互异性集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)也就是说,相同的元素在一个集合中只能出现一次。
如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1},而不能写成{1,1}(3)无序性集合中元素的排列次序无先后之分,如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。
3、集合与元素的关系元素与集合有属于(∈)和不属于(∉)两种关系。
如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ,记作a ∈A ;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A ,记作a ∉A 。