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§9.2 导数及其应用考点核心整合1.导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义,始终贯穿着函数思想.2.求函数y=f(x)在点x 0处的导数的两种方法:导数定义法和导函数的函数法.3.导数的意义:①几何意义,f ′(x 0)是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率；②物理意义,s ′(t 0)是当物体的运动过程为s=s(t)时,物体运动在时刻t 0时的瞬时速度.4.要熟记常见函数的导数,掌握两个函数的和、差、积、商和复合函数的求导法则.5.掌握可导函数的单调性与其导数的关系,可导函数在某点取得极值的充要条件是导数在极值点两侧异号.链接·提示在相邻两区间单调性一致时,应考查相邻点函数是否连续.如函数y=x 3的单调性.6.设函数f(x)在\[a,b\]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在\[a,b\]上的最值步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 链接·拓展极值与最值有什么区别?提示:极值是相对于邻域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小,而最值是函数在给定区间上的全部函数值中最大(小)的值.极值是局部的概念,最值则是整体的概念. 考题名师诠释【例1】求下列函数的导数. (1)y=(x +1)(x 1-1)+ln xx +-11； (2)y=cos n (x+21x +).解：(1)y=21-x -21x +21ln(1-x)-21ln(1+x), y ′=-2123-x -2121-x +21·x -11(-1)-21·x+11 =-21(2212x x x xx -++). (2)y ′=ncos n-1(x+21x +)[cos(x+21x +)]′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(x+21x +)′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·［1+21212)1(-+x (1+x 2)′］ =-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(1+21x x+).评述：在求复合函数的导数时可不写中间变量而直接对x 求导，对多次复合的函数求导时要把握由外向里逐次求导.【例2】（2006山东高考，18)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1), 其中a ≥-1.求f(x)的单调区间. 解：由已知得：函数f(x)的定义域为（-1，+∞），且f ′(x)=11+-x ax (a ≥-1). (1)当-1≤a ≤0时，f ′(x)＜0,函数f(x)在（-1,+∞）上单调递减.(2)当a ＞0时，由f ′(x)＞0,得x ＞a 1; 由f ′(x)＜0得,-1＜x ＜a1. 综上所述，当-1≤a ≤0时，函数f(x)在（-1，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f(x)在（-1，a 1）上单调递减，在（a1,+∞）上单调递增. 【例3】（2006福建福州质量检查)已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+1在区间（-∞,-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，且b ≥0.(1)求f(x)的表达式；(2)设0＜m ≤2，若对任意的x 1、x 2∈［m-2,m ］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤16m 恒成立，求实数m 的最小值.解：（1）由题意知x=-2是该函数的一个极值点,由于f ′(x)=3x 2+2bx+c,∴f ′(-2)=0,即：12-4b+c=0,又f(x)在［-2，2］上单调递减，∴f ′(x)=3x 2+2bx+c 在［-2，2］上恒有f(x)≤0，∴f ′(2)≤0,即：12+4b+c ≤0.∴12+4b+4b-12≤0,∴b ≤0,又b ≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x 3-12x+1.(2)∵f ′(x)=3x 2-12=3(x-2)(x+2),0＜m ≤2,而当m-2≤x ≤m 时,0<m ≤x+2≤m+2,m-4≤x-2≤m-2≤0,∴f ′(x)≤0(x ∈［m-2,m ］).因此f(x)为［m-2,m ］上的减函数，∴对任意x 1,x 2∈［m-2,m ］都有|f(x 1)-f(x 2)|≤［f(x)］max -［f(x)］min =f(m-2)-f(m),=-6m 2+12m+16≤16m,∴m ≥34 即m min =34. 【例4】（2005全国高考Ⅲ，22理)已知函数f(x)=xx --2742,x ∈［0,1］. (1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a ≥1,函数g(x)=x 3-3a 2x-2a,x ∈［0,1］,若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.解：(1)对函数f(x)求导,得f ′(x)=222)2()72)(12()2(7164x x x x x x ---=--+-. 令f ′(x)=0,解得x=21或x=27.所以,当x ∈(0,2)时,f(x)是减函数; 当x ∈(21,1)时,f(x)是增函数. 当x ∈［0,1］时,f(x)的值域为［-4,-3］.(2)对函数g(x)求导,得g ′(x)=3(x 2-a 2).因为a ≥1,当x ∈(0,1)时,g ′(x)＜3(1-a 2)≤0, 因此当x ∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［g(1),g(0)］.又g(1)=1-2a-3a 2,g(0)=-2a,即当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［1-2a-3a 2,-2a ］.任给x 1∈［0,1］,f(x 1)∈［-4,-3］,存在x 0∈［0,1］使得g(x 0)=f(x 1),则［1-2a-3a 2,-2a ］⊇［-4,-3］,即⎩⎨⎧-≥--≤--)2(,32)1(,43212a a a 解①式得a ≥1或a ≤-35; 解②式得a ≤23. 又a ≥1,故a 的取值范围是1≤a ≤23. 评述：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是:求导;令导数等于0;求y ′=0的根;求出最值点;写出范围.。
第5讲 导数及其应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为____________．2．(原创题)已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩(∁I N )＝__________.3．(2011·辽宁改编)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是____________．5．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．6．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )·g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x·g (x )，(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ＝1,2，…10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是______．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．9．已知函数f (x )＝1－xax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．11．函数f (x )＝2m cos 2x 2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．12．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是______．二、解答题13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)14.若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得图象过点P (0，1)，且在x ＝1处的切线方程为x －y －2＝0，求函数y ＝f (x )的解析式．15．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围． 答 案1．(1,0) 2.[32，2] 3．(－1，＋∞)4．(－∞，10) 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 6．[1，＋∞) 7.358．0<t <1或2<t <3 9．[1，＋∞)10．[－2，－1] 11．±1 12.12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e13．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时， 由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．14．解 因为f (x )图象过点P (0,1)， 所以c ＝1，即f (x )＝ax 4＋bx 2＋1， 则f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，所以k ＝f ′(1)＝4a ＋2b ＝1. ①由f (x )在x ＝1的切线方程为x －y －2＝0得切点为M (1，－1)，将M (1，－1)代入f (x )＝ax 4＋bx 2＋1，得a ＋b ＋1＝－1.②由①②解得a ＝52，b ＝－92，所以f (x )＝52x 4－92x 2＋1.15．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)．而过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，－a ＋c －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0， ①c －a ＝3. ②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值， 故f ′(－2)＝0. ∴－4a ＋b ＝－12. ③由①②③联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， ∴f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝23或x ＝－2.∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527.又∵f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13. (3)y ＝f (x )在[－2,1]上单调递增． 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由(1)知2a ＋b ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b .依题意在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0， 即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立，当x ＝b 6≥1时，即b ≥6时，[f ′(x )]min ＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6时符合要求．当x ＝b6≤－2时，即b ≤－12时，[f ′(x )]min ＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b 不存在．当－2<b 6<1即－12<b <6时，[f ′(x )]min ＝12b －b 212≥0，∴0≤b <6，综上所述b ≥0.。
