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常微分方程第三版全文

常微分方程第三版全文
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克,试确定在 任意t时该时镭元素的量.
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。

常微分方程讲义精简

常微分方程讲义精简

例2 求解方程 .解令，有原方程的参数形式为由基本关系式有积分得到从而原方程的参数形式通解为也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为通解为例4 求解方程解令原方程的参数形式为(1.72)由基本关系式有或上式又可化为由，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 .再由，解得，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解例5求解方程(1.73)这里，假定是二次可微函数.解 (1.73)的参数形式为(1.74）由基本关系式有整理得由，得，代入(1.74)的第三式，得原方程通解(1.75)由于，由解得隐函数 ,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解(1.76)（第7讲几种可降阶的高阶方程例1求解方程解令则有通解为从而积分四次，得到原方程的通解第二种可降阶的高阶方程例2求解方程．解令,则代入原方程得或积分后得"其中a"为任意常数. 解出p"得或积分后得其中 b为任意常数. 于是有或其中为任意常数.1.7.3恰当导数方程假如方程（ 1.80）的左端恰为某一函数对 x的导数，即(1.80)可化为则(1.80)称为恰当导数方程.这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为之后再设法求解这个方程.例3求解方程.解易知可将方程写成故有即.积分后即得通解例4 求解方程.解先将两端同乘不为0的因子，则有故，从而通解为参数法第10讲解的延展2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设是初值问题（2，2）在区间上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间上的解，且满足(1)(2)当时，则称解是可延展的，并称是在I２上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解，则称是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I１和Ｉ２可以是开的也可以是闭的..3.2 不可延展解的存在性定义2.2设定义在开区域上，如果对于D上任一点，都存在以为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称在D上关于y满足局部李普希兹条件“柯西收敛准则收敛对，N，使当1．数列，就有，存在对，N，使当2．，时，总有．存在对，A> 0，使当3．，总有．”例1试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是故通过(1,1)的积分曲线为它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10通过(3,-1)的积分曲线为它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞).顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2讨论方程解的存在区间.解方程右端函数在无界区域内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为过D１内任一点的初值解.图 2-11在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D１的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3考虑方程及在平面上连续，试证明：对于任意及假设,方程满足的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12).2.4.1 奇解在本章 2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1求方程的所有解.解该方程的通解是此外还有两个特解和.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。

常微分方程34奇解

常微分方程34奇解

的通解 y cx f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
x f '( p) 0
x f '(c) 0
y xp f ( p) 或 y xc f (c)
20是19/1C0/1l4airaut方程的奇积分常曲微分线方程, 所对应的解是奇解.
例4:
求解方程
常微分方程
从而得到二元函数 c c(x, y), (x, y) l 使得
(x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l.
若 l 可用参数形式表示为:
x (t),

y


(t),
t (, )
记 c c((t), (t)) c(t), 则
((t), (t),c(t)) 0, t (, )
(x, y, c) 0
其c I是参数.
如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求?
根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的
x, y l, 存在唯一的 c I, 使得 x, y lc .
于是得到对应关系:
c:l I,
2019/10/14
(x, y) c(x, y).
曲线F(x, y) 0称为(3.23)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
2019/10/14
常微分方程
例1: 求曲线族 ( y c)2 2 (x c)3 0 的包络.
解:
记
(x,
y,
c)

(
y
3
c)2

2
(x

c)3

0,
3

常微分方程12

常微分方程12

diffe:= qx1 (1 t)1 5x(1 t) x(2 t)
t
diffe:= qx1 (2 t)2 x(1 t) 3x (2 t)
t
( 4 t )
( 4 t )
sy { : x ( s t = ) 2 1 e g ( _ _ C t C _ 1 ) , x C ( 2 t ) 1 e 2 ( _ _ C t ) } C
解上述方程得
选取
则得原方程组的特解为
xp




1 2
t2
1 t2 2
e4t.
t 1
用Maple求齐次方程的解为 restart:diffeq11:=diff(x1(t),t)=-5*x1(t)-x2(t); diffeq12:=diff(x2(t),t)=x1(t)-3*x2(t); sys1g:=dsolve({diffeq11,diffeq12},{x1(t),x2(t)});
不取定常数时非齐次线性微分方程组的特解为
关于常系数非齐次线性微分方程组的解法, 这里 介绍了三种方法, 其中常数变易法具有一般性, 而 线性变换法和待定系数法都具有某种局限性. 前面我们还介绍了消元法和首次积分法, 这些方法 仍然是有效的, 下面举例比较各种方法的优劣.
例4.5.5 求方程组
的通解. 解法1(常数变易法): 系数矩阵
§4.5常系数非齐次线性微分方程组
考虑常系数非齐次线性微分方程组 (4.5.1)
其对应的齐次线性微分方程组为
这里 是
实常数矩阵,
是
(4.5.2) 维列向量
函数. 根据解的结构定理知, 方程(4.5.1) 的通解为 (4.5.2) 的通解与方程 (4.5.1) 的一个特解之和. 上一节我们

第7章_常微分方程

第7章_常微分方程

第2步：求解。
[t,y]=ode45('ode1',[0 12],[0 1 -1]); plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'*',t,y(:,3),'-.')
MATLAB常微分方程解题器 解题器(solver) 解题器
解决非刚性问题 ode45 : 四阶/五阶龙格—库塔算法 首先使用的最好方法。 首先使用的最好方法。 计算精度：中等 ode23 : 二阶/三阶龙格—库塔算法 二阶/三阶龙格— 计算精度：较低 ode113 : 多步解法 计算精度：较高
y' = y − 2 x / y 在区间x ∈ [0,5]内的数值解。 y (0) = 2
1. 普通2-3阶Runge-Kutta法解ODE
[X, Y]=ode23(‘DY’, xspan,Y0) 方程的解； %根据初值Y0,求微分
或 ode23(‘DY’, xspan,Y0) %根据初值Y0,求解并绘制 微分方程的解 其中： 若 xspan=[xi,xf]，表示微分方程的积分上下限分 别为xi和xf； 若 xspan=[x1,x2,…,xn]，表示给出微分方程在离散点 x1,x2,…,xn处的解。
u' = −2u + v + 2 sin x 例2：常微分方程组 v' = 10u − 9v + 9(cosx − sin x) u(0) = 2 的初始条件为 ，求其在区间∈[0,9]内的数值解。 x v(0) = 3
第一步：编制微分方程组的函数文件dfun.m function dy=dfun(x,y) dy(1)=-2*y(1)+y(2)+2*sin(x); dy(2)=10*y(1)-9*y(2)+9*(cos(x)-sin(x)); 第二步：编制如下程序 clear;clc; X12=linspace(0,9,30); ode45('dfun',X12,[2,3]);

常微分方程

常微分方程
若存在 ( x, c1 ,
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t

常微分方程


x
dy u x du , 代入原式 u x du f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
即 du dx , 积分即可. f (u) u x
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y
代入方程, 得 2Ax
B
x(
Ax B)e2x
2A x
,
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
设原方程的通解为y u(x)
代入得u(x) sin x
x
xx
u(x) cosx c
通解为y 1 cosx C.
x
x e ( y)dy ( y 3e ( y)dy dy C)
y2
e2 (
y
3
e
y2 2
dy
C)
y2
2
Ce
y2 2
二、伯努利方程
伯努利方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,

常微分方程Ch2.1


n (x) y0
x x0
f ( , n1 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （另半区间的证明类似）
命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求
初值问题的解
命题 5 证明唯一性
常微分方程
§ 2.1 解的存在唯一性
9/40
定理1的证明
命题1
y
(x)
是初值问题
dy

dx

f (x, y)........(.3.1.1)
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0

x0 )n d

MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:
k (x) k1 (x)

MLk 1 k!
(x
x0 )k
x0 x x0 h
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f ( ,1( ))d
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
常微分方程
k 1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义、连续且

常微分方程PPT

解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条

常微分方程讲义全文


6、恰当方程
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
判定：全微分 ⇔ ∂M ≡ ∂N ∂y ∂x
x
y
∫ ∫ 解法： M (x, y)dx + x0
y0 N (x0 , y)dy = C
初值问题: C = 0
例 2xydx + (x2 − y2 )dy = 0
解： ∂M ∂y
≡ ∂N ∂x
uz′ = −(z −1)(z − 2) /(z + 1)
z = 1, z = 2 ⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2x
⎛ ⎝⎜
z
3 −
2
−
z
2 −
1
⎞ ⎠⎟
dz
= − du u
⇒
(z − 2)3 (z −1)2
= C /u
( y − 2x)3 = C( y − x −1)2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
d x = x2 dt
一阶齐线性方程
d2 y d x2
+
b
d d
y x
+
cy
=
sin
x
二阶非齐线性方程
⎜⎛ d x ⎞⎟2 − x2 = t3 ⎝ dt ⎠
一阶非齐非线性方程
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为 F (x, y′, y′′,L, y(n) ) = 0 。
F
(x,
y′,
y′′)
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常微分方程一、填空题1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。

如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，此时其通解可用曲线积分表示为 .2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题⎩⎨⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两个基解矩阵，则它们之间有关系5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx的奇点是 ，其类型和稳定性为.6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（），其奇解是（ ）二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）1．)0(2<=+x y xy dx dy x .2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .3．()0'3'33=-+xy y x (这里dx dy y ='). 4．.0)'("2=+y yy三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）1．)5(332233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t2. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 3、 t t x x 2cos sin -=+四、 讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ答案一、填空题1． 如果方程的左端恰好 是某个二元函数 u(x,y) 的全微分 。

x Ny M ∂∂=∂∂， ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+c dy dx y x M y N dx y x M ),(),(.2． 20≤≤x . 3．],[,0)()()()(')(')(')()()()](,),([)1()1(2)1(121211b a x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y W n n n n n n n ∈∀≠=---4． C t t C n )()(,Φ=ψ使得阶非异矩阵存在. 5．奇点是 (1,3) ， 中心奇点, 稳定 .6、 克莱洛 ； )(C Cx y φ+=； ⎩⎨⎧='++=0)()(C x C Cx y φφ 二、求下列微分方程的解1．)0(2<=+x y xy dx dy x .解: 这是奇次方程. 令x yu =得, u dx du x dx dy +=,于是原方程变为: u dx du x 2=…………..(4分)分离变量,得到x dxudu =2 两边积分,得到c x u +-=)ln(,即2])[ln(c x u +-=, )0)(ln(>+-c x ,这里c 是任意常数. 此外,还有解0=u ……………………...(8分) 代回原来的方程,即得原方程的通解2])[ln(c x x y +-=, )0)(ln(>+-c x及解0=y ……………………………………….(10分)2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .解: 因为21y yM -=∂∂, 21y x N -=∂∂, 故方程为恰当方程………..(4分) 把方程重新“分项组合”,得到:011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++dy y x dx y dy y xdx即0||ln sin 2=-++y xdyydx y d x d或0||ln sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x d ………………(8分)于是,方程的通解为cy xy x =++||ln sin这里c 是任意常数………………….(10分)3．()0'3'33=-+xy y x (这里dx dy y ='). 解：令tx p y =='，则由方程得到313t tx +=，从而3213t t p +=. 于是dt t t t dy 3323)1()21(9+-=，……(4分) 积分之，得到c t t dt t t t y +++=+-=⎰2333323)1(4123)1()21(9………………(8分)因此，方程的通解表成参数形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+=c t t y t t x 2333)1(412313…………………(10分)4．.0)'("2=+y yy解: 令p y =',直接计算可得dy dp py =",于是原方程化为02=+p dy dpyp 得到0=p 或0=+p dy dpy……………………(5分)积分后得y c p =即y c y ='所以 )2(1212c c c x c y =+=即为原方程的通解………………………(10分)三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）1．)5(332233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t解: 特征方程0)1(133323=+=+++λλλλ有三重根13,2,1-=λ……….(2分) 故有形式为te Bt A t x -+=)(*3的特解……………………………………(5分)它代入方程得)5()246(-=+--t e e Bt A t t ……………………..(8分)比较系数求得241,65=-=B A ……………………….(12分) 从而te t t x --=)20(241*3………………………………..(13分)故方程的通解为t t e t t e t c t c c x ---+++=)20(241)(32321其中321,,c c c 为任意常数…………………………………………..(15分)2. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x解：方程的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，它的特征值为 11=λ （1重）；22=λ（2重）.(2分)对11=λ，求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=αα01u ；（4分） 对22=λ，求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=γββ2u .（8分） 于是求得基解矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--++--+=t e t e t e t e t e t te t te t e t e t t e t te t te t e t At 222222)1(222)1()exp(，（13分）故原方程组的通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--++--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321222222)1(222)1(c c c t e t e t e t e t e t te t te t e t e t t e t te t te t e t x x x x .（15分）3、 t t x x 2cos sin -=+齐次方程.1,0,0-==+λx x 通解为te c c x -+=21t x x s i n =+，设x b x a x sin cos 1+=，21-==b a ， t x x 2c o s -=+，设x d x c x 2sin 2cos 2+=，1022=-=b a ， 故 xx x x e c c x t 2s i n 1012cos 102)sin (cos 2121-++-+=-四、 讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ（1）（1）一次近似的特征方程为011=---kkλ，24,012-±==+-λλλk k k ，3分 当 0>λ，零解不稳定，当 0<λ，零解稳定。

6分或（2）．取)(2122y x v +=，则 )()()(423x x x y x y x x y y x x v-=-+-+=+=λλλ ， 3分 在)0,0(充分小邻域，当0>λ，vv ,定正，零解不稳定，当,0<λv 定正，v定负， 零解渐近稳定，当,0=λ0=v，为常负，故为稳定，但不渐近稳定。

6分一水池充满了10000升的清水，设它和A ，B ，C 三管相连。

从A 管每分钟流进清水1升，从B 管每分钟流进糖水1升（其含糖量为每升1两）。

假定流进的水经充分混合后每分钟由C 管流出2升。

求时刻t 时池水的含糖量。

又问+∞→t 时池水的含糖量是多少？解:设在t 时池水中的含糖量为)(t x 两, 则由题意可得微分方程的Cauchy 问题:⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=0)0(5000)(2110000)(21)('x t x t x t x (5分)解之得: )1(5000)(5000te t x --=(两) (2分) 令+∞→t ,得5000)(→t x (两)即当 +∞→t 时, 池水中的含糖量为5.010*******=(两/升)第13套一．一．填空题 ()5153('='⨯ 1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是（ ），其充要条件是（ ），其通解可用曲线积分表示为（）。

2．当区域D 为有界时，方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy, Dy x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定理是（）3．若)(t Φ是线性齐次方程组 Xt A dt dX)(=的基解方阵，则非齐次方程组)()(t F X t A dt dX+=的通解可表示为 （) 4. 设 0),,(='y y x F 的通积分是 0),,(=ΦC y x , 则其 p-判别曲线是( ), c-判别曲线是( )5. 方程组⎩⎨⎧-++=++=1sin 42ye y x y x y x x 的奇点是 ( ),其类型和稳定性是( )二. 求下列方程的通解 )4264('='⨯ 1. 1. 0)(222=++dy y x y dx xy2. 2.2y x y dx dy +=3. 3. y y x '='+214. 4. 02=''''-''y y y三. 三. 求下列方程的通解 03512'='⨯1. 1. t t x x cos sin -=+2. 2.X dt dX ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=401010011四．)2162('='⨯1．1．讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ2．2．利用李雅普诺夫函数讨论无阻尼单摆运动方程0sin =+θθl g平衡点的稳定性。