解析几何—全析高考常考的6大题型 教学案 河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习

双曲线 [基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________． 答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为________． 答案：72[全析考法]考法一 双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二 双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型 类型一与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x 或y ＝－b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)类型三 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)或者x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)类型五与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2)[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C [方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝ca ＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a2－9b2＝1，ba＝3，解得⎩⎨⎧a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识]标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 2a2－x 20＝1， 即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－ac，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B ．2C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝abx 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得错误!即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。

平面解析几何复习教学案一，知识要点 1直线的方程归纳2两直线的平行和垂直2.平面上两点间距离公式: 3．点到直线的距离公式： 4．（1）园的标准方程(2)方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程轴上的截距和斜率y k 轴的直线不垂直于x 点斜式k y x P 和斜率，点)(111)(11x x k yy -=-轴的直线不垂直于x 两点式)()(222111y x P y x P ，和点，点211211x x x x y y y y --=--轴的直线、不垂直于y x 截距式by a x 轴上的截距在轴上的截距在1=+by a x 不过原点的直线轴的直线、不垂直于y x 一般式两个独立的条件0=++C By Ax 不同时为零、B A5．直线和园的三种位置关系：6. 圆与圆的位置关系问题<1>圆与圆的位置关系有几种？<2>你能分别用几何方法和代数方法判断圆与圆的位置关系吗？<1>外离、外切、相交、内切、内含（特殊情况：同心圆）；<2>①几何法：若两圆的半径分别为21r r 、，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系判断如表所示：②代数法：联立两圆的方程组成方程组.则方程组解的个数与两圆的位置关系如表所示.二，基础训练1.已知一直线经过点P(-1,2)，斜率k=3，则这条直线方程的一般式为 .2.直线01553:=--y x l 在两坐标轴上的截距之和为3.两直线023)2(:,06:221=++-=++m my x m l y m x l ,当21//l l 时， m=_________ 4、圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是 5、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是 6、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y=1的距离为 7、经过点)1,2(-M 作圆522=+y x 的切线，则切线的方程为 8、若圆822=+y x 和圆04422=-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程 为_______________________三，例题例1：.求满足下列条件的圆的方程:①过A(4,3) B(5,2) C(1,0)三点②与两坐标轴都相切,且圆心在直线2x-3y+5=0上练习1; 一直线过点)23,3(--P，被圆2522=+yx截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程。

解析几何压轴大题策略指导——四大策略解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一 利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[针对训练]1．已知椭圆M ：x 24＋y 23＝1，点F 1，C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点F 1的直线l (不与x 轴重合)交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的离心率及短轴长．(2)问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，椭圆M 的离心率e ＝c a ＝12，短轴长2b ＝2 3.(2)设点B (x 0，y 0)，由题意知BC ⊥BF 1，点F 1(－1,0)，C (－2，0)， 由BC ·BF 1＝0，得(－2－x 0，－y 0)·(－1－x 0，－y 0)＝0， 即(x 0＋2)(x 0＋1)＋y 20＝0.①又知点B (x 0，y 0)满足x 204＋y 203＝1.②联立①②，解得x 0＝－2或x 0＝－10.由椭圆方程知，x 0＝－2或x 0＝－10均不满足题意，故舍去． 因此，不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上．策略二 角平分线条件的转化[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1x 2＋1＝8k ＋bx 1＋1x 2＋1k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′， 设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2， 因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴， 所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8.因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2， 所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218， 即y ＝8y 1＋y 2(x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)． [题后悟通]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．[针对训练]2．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线P Q 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠AP Q ＝∠BP Q ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2.又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝4，c ＝2 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠AP Q ＝∠BP Q ，则直线P A ，PB 的斜率互为相反数， 设直线P A 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为y －3＝k (x －2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －2，x 216＋y 24＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k 2.同理可得x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 策略三 弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)， 又直线l 的斜率为1， 故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0， 则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 故直线OM 的斜率为13－23＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立． 由题意，直线l 不与x 轴重合， 设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22m 2＋1m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得⎝⎛⎭⎫1＋m22x 2＝2， 解得x 2＝21＋m 22＝4m 2＋2.由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2， 可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝m 2＋4·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |， 所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2， 故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，代入|AB |，|CD |和|OM |， 得8m 2＋12m 2＋22＝4m 2＋4m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4m 2＋22＋m 2m 2＋22，解得m 2＝2，故m ＝± 2.所以直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1. [题后悟通]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM ||DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，则|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．[针对训练]3．已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 的半径r 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，因为a ＝2，c a ＝22，所以c ＝1，因此b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2－2＝0得(1＋2k 2)x 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2，则|AB |＝1＋k 2·81＋2k 2＝ 81＋k 21＋2k 2.因为点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2， 所以|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2. 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，与已知矛盾． 要使|AG |＝|BH |，只需|AB |＝|GH |， 即81＋k 21＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2， 所以r 2＝2k 21＋k 2＋21＋k 21＋2k 2＝23k 4＋3k 2＋12k 4＋3k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋k 42k 4＋3k 2＋1. 当k ＝0时，得r ＝ 2.当k ≠0时，r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＝3. 又显然r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＞2，所以2＜r ＜ 3.综上所述，圆M 的半径r 的取值范围是[2，3)．策略四 面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝21＋2k ＋1＋4k 251＋4k 2，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝21＋2k －1＋4k 251＋4k 2.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·41＋2k 51＋4k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22， 当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2， |EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 21＋4k 2. 根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k1＋k 2，d 2＝11＋k 2. 因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k 1＋k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝24k 2＋4k ＋11＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22， 当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [题后悟通]如果利用常规方法理解为S 四边形AEBF ＝S △AEF ＋S △BEF ＝12|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF |的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．[针对训练]4．已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P (n,0)(n ＞4)满足条件|F A ||P A |＝e .(1)求n 的值；(2)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2＝|PM ||PN |.解：(1)依题意，|F A ||P A |＝e ＝12，|F A |＝2，|P A |＝n －4(n ＞4)，得2n －4＝12，解得n ＝8.(2)证明：由S 1＝12|PF ||PM |sin ∠MPF ，S 2＝12|PF ||PN |sin ∠NPF ，则S 1S 2＝12|PF ||PM |sin ∠MPF12|PF ||PN |sin ∠NPF ＝|PM |sin ∠MPF |PN |sin ∠NPF. 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，又P (8，0)， 则k PM ＋k PN ＝y 1x 1－8＋y 2x 2－8＝y 1x 2－8＋y 2x 1－8x 1－8x 2－8＝x 2y 1＋x 1y 2－8y 1＋y 2x 1x 2－8x 1＋x 2＋64 ＝my 2＋2y 1＋my 1＋2y 2－8y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2－8[m y 1＋y 2＋4]＋64＝2my 1y 2－6y 1＋y 2m 2y 1y 2－6m y 1＋y 2＋36.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，3x 2＋4y 2＝48，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋12my －36＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－12m3m 2＋4，y 1y 2＝－363m 2＋4，所以k PM ＋k PN ＝－72m 3m 2＋4＋72m3m 2＋4－36m 23m 2＋4＋72m 23m 2＋4＋36＝0，则∠MPF ＝∠NPF ，因此S 1S 2＝|PM ||PN |.[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考：1．平行四边形条件的转化2．直角三角形条件的转化3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化。

与圆有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P Q 的中点为N (x ，y )．在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法[针对训练]1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2， 故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )．由题设知CM ―→·MP ―→＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165. 与圆有关的最值或范围问题[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝5－12＋t －42≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于 t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C.[答案] C[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型 解题思路μ＝y －b x －a 型 转化为动直线斜率的最值问题t ＝ax ＋by 型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m ＝(x －a )2＋(y －b )2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题[针对训练]1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|，则实数t 的取值范围是________．解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|，两边平方，得OM ―→·ON ―→≤0，所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤22×2＝1， 解得－2≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]．答案：[－2， 2 ]2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． 解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率． 当直线P A 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 答案：33，－33 3．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q|＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q|的最小值是________．解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ，n )，则|PN |2＝|P Q|2＋|N Q|2＝|P Q|2＋1，又|P Q|＝|PO |，所以|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，化简得3m ＋4n ＝12，即点P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q|的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离，点O到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝125，故|P Q|的最小值是125. 答案：125。

2021高三数学解析几何第一轮复习资料(共67页)第九编解析几何§9.1直线的倾角和坡度1.设直线l与x轴的交点是p，且倾斜角为?,若将此直线绕点p按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则?的范围为.答案0°＜?＜135°2.（20222国家I文本）点（1,3）处曲线y=x-2x+4切线的倾角为45°3.过点m（-2，m），n（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为.答案14.已知直线L的倾角为？，和0°≤? ＜135°，则直线L的斜率的值范围为-∞, - 1) ∪ [0, + ∞)5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-答案-三基础自测如果2的直线是垂直的，则实数a的值为。

323 例1如果？∈?,?，那么直线2xcos+倾斜角3Y+1=0的值范围为625答案?,??6.例2（14点）：已知直线L1:ax+2Y+6=0和直线L2:x+（A-1）y+A-1=0，（1）尝试判断L1和L2是否平行；（2）当L1⊥ L2，求A的值解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,L2:x-y-1=0，L1与L2不平行；树枝当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-a1x-3,l2:y=x-(a+1),21?a2二?a1l1∥l22?1?a，解得a=-1,3.（a？1）5分综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.分方法二：从a1b2-a2b1=0，a（a-1）-132=0，从A21c2-a2c1≠0，得a(a-1)-136≠0,分∴陆上通信线？？a（a？1）？1.2.01∥2.a（a2）1)160分a2？A.2.0A=-1，？a（a2）1)6分因此，当a=-1时，L1‖L2，否则L1和L2不是平行分支（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.分当≠ 1，L1:y=-a2x-3，L12:y=1？ax-（a+1），12分通过A.2.2121? a=-1？a=3。

第01讲 直线与直线的方程一、高考《考试大纲》的要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）， 了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.二、基础知识填空：1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0O.倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是__________________.2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。

通常用字母k 来表示，即k=_______________.当倾斜角0o≤α<90o时，斜率k 是______的，倾斜角越大，直线的斜率就_____;当倾斜角90o<α<180o时，斜率k 是_____的，倾斜角越大，直线的斜率就______;当倾斜角α=90o时，直线的斜率________.3.直线的斜率公式：在l 上任取两个不同的点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2).则直线l 的斜率为k=_____________.4.直线方程的五种表达形式：（1）点斜式：已知直线l 上的两点P(x o ,y o )及斜率k ，则l 的方程是____________________________. （2）斜截式：已知直线l 在y 轴上的截距b 及斜率k ，则l 的方程是____________________________.（3）两点式：已知直线l 上的一点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则l 的方程是____________________________.（4） 截距式：已知直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ，则l 的方程是_______________________. （5）一般式：任何一条直线的方程都可以表示为如下形式________________________________. 5．两条直线的位置关系：（1）设直线111b x k y :l +=,直线222b x k y :l +=，则1l ∥2l ⇔_________________； 1l ⊥2l ⇔__________________.（2）设直线0C y B x A :l 1111=++,直线0C y B x A :l 2222=++，则1l ∥2l ⇔______________________； 1l ⊥2l ⇔____________________.6.三个重要公式：（1）两点间的距离公式：已知两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AB|=____________________________. （2）点到直线的距离公式：点P(x o ,y o )到直线l ：Ax+By+C=0的距离为d=_____________________. （3）两条平行直线间的距离公式: 两平行直线0C By Ax :l 11=++与0C By Ax :l 22=++之间的距离为d=___________________________.三、例题选讲：例1．（2004全国卷Ⅳ理）过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x例2．(2005全国卷III 文、理)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为( )（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10例3.（2006北京理）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于________. 例 4.(2001江西、山西、天津文、理)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（ ）（A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x四、基础训练：1．（2005浙江文、理）点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B)32(C)22 (D)3222.(2001上海文、理) a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a －1)y=a －7平行且不重合的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.(2000春招北京、安徽文)直线(－)x ＋y ＝3和直线x ＋(－)y ＝2的位置关系是（ ）A ．相交不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合4．（2004湖南文）设直线 ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足（ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a5.（2006上海文）已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =__ __.6．(2008浙江理)已知a >0，若平面内三点A(1，-a )，B(2，2a )，C(3，3a )共线，则a = .五、巩固练习：1．（2003全国文）已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ） （A（B）2 （C1 （D12.(2005北京文、理)”m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) (A )充分必要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件3.(2008四川文、理)直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移１个单位,所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+4．（2002北京文）若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围（ ） A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ5． （2005上海文）直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________.6．（2003上海文）已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .第02讲 圆与圆的方程一、高考《考试大纲》的要求：① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.二、基础知识填空：1.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是__________________________.2.圆的一般方程：__________________________,其圆心坐标为_________,半径为______________.3.利用心线距判定直线与圆的位置关系:设圆C:222r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线 ｌ:Ax+By+C=0的距离为d. 则当__________时，直线与圆相离；当_________时，直线与圆相切；当___________时，直线与圆相交。

单元讲评教案八解析几何一、试卷分析:本试卷主要考查了直线与直线的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆锥曲线的定义与性质,及直线与圆锥曲线位置关系问题,数形结合思想始终贯彻其中.二、教学目标:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.掌握确定直线位置关系的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.3.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.4.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据两个圆的方程,判断两圆的位置关系.5.掌握椭圆及抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.6.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.三、教学重点和难点:1.重点:直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系.2.难点:直线与圆锥曲线位置关系问题.四、教学过程:课题引入:复习回顾本章的要点知识1.据两条直线的斜率如何判断两条直线平行、垂直?2.直线方程的五种形式各是什么?对比各种形式有何局限性?3.两直线平行与垂直的判定是什么?4.直线与圆的位置关系有几种?如何判定?5.圆与圆的位置关系有几种?如何判定?6.回想椭圆、双曲线、抛物线的定义,几何图形、标准方程及简单几何性质.五、典题讲解:类型一直线与圆的位置关系——弦长问题例题1(以本卷中第2题为例)反思:解决本题简单方法为几何法,计算量小;即运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.圆的弦长的求法有两种:(1)几何法;(2)代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组消y后得关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,则弦长为|AB|=(k为直线斜率且存在).“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标”与“方程”,而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性质,解题时应根据具体条件选取合适的方法.涉及直线与圆的题目有第9,18题中直线与圆以及加入向量进行综合考查,备考过程中加强训练.类型二直线与抛物线问题例题2(以本卷中第5题为例)反思:本题中通过条件可以先求得过焦点的直线方程,进而通过公式|AB|=x1+x2+p得出结论.所以在学习过程中应首先熟悉抛物线弦长公式.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:(1)|AB|=x1+x2+p或|AB|=(α为AB所在直线的倾斜角);(2)x1x2=;(3)y1y2=-p2;(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p.注意上述结论只适用于y2=2px(p>0)类的抛物线.若抛物线焦点位于y轴上,则结论应相应改变.直线与抛物线结合题目有本卷第16题.类型三圆锥曲线中的存在性问题例题3(以本卷中第21(2)题为例)反思:解决存在性问题的方法及注意事项:(1)方法:存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(2)注意:当条件和结论不唯一时要分类讨论.在本题中△FPM为等腰三角形,不能确定哪两者为腰,所以在假设存在点P的前提下进行分类讨论.存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组);(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.在本卷中第22(2)题也有涉及存在性问题,在平常练习中应大胆假设,多加训练.类型四圆锥曲线的标准方程与几何性质应用例题4(以本卷中第9题为例)反思:本题求双曲线的离心率关键是找出双曲线中a,c的关系.圆锥曲线的几何性质主要围绕焦点三角形、渐近线和离心率等问题进行考查,重点把条件转化为a,b,c的关系式.因此掌握圆锥曲线的几何性质是基础,深刻理解定义是前提.小结:1.根据已知条件求直线方程主要用待定系数法,特别注意斜率不存在的情况.2.两直线位置关系主要研究两条直线平行、垂直、交点距离等问题,在解题过程中要注意数形结合和转化思想的应用.3.直线与圆的位置关系是高考热点,判断方法有代数法和几何法两种.4.熟练掌握圆锥曲线的定义及几何性质在解题中能起到事半功倍的效果.5.直线与圆锥曲线问题,常常涉及到圆锥曲线的性质,最值的求法,定值问题,弦的中点、弦长、垂直,存在性问题等,另外,椭圆与平面向量相结合,大多与共线、垂直、夹角和求值有关,若能转化为向量的坐标运算往往更容易解题,所以要格外重视.。

2021年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第1讲 直线的方程教案理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式． 2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)． 3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题． 【复习指导】1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．基础梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的取值范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 1＝k (x －x 1) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋yb＝1(ab ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用P 1x 1y 1P 2x 2y 2(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． 两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(xx·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.答案 A4．(xx·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0 解析 由两点式得：y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0.答案 B5．(xx·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A 、B 、C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4考向一 直线的倾斜角与斜率【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2[审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．【训练1】 (xx·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．答案 D考向二 求直线的方程【例2】►求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. [审题视点] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向三 直线方程的应用【例3】►已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．[审题视点] 设直线l 的方程为截距式，利用基本不等式可求． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k 的符号． 【训练3】 在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0得B (0,2－3k )，令y ＝0得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为 2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，(当且仅当k ＝－63时，等号成立)， ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错．【示例1】► (xx·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【示例2】► (xx·济南一模)直线l 过点(－2,0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )．A.()－22，22 B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18。

第九章 平面解析几何1. （原创）设m 为常数，则过点A （2，－1），B （2，m ）的直线的倾斜角是 Ｗ. 答案：90°解析：因为过点A （2，－1），B （2，m ）的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为90°. 2. （必修2P 80练习1改编）若过点M （－2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为 Ｗ.答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，解得m ＝1.3. （原创）若直线l 的斜率k 的变化范围是[－1，3]，则它的倾斜角的变化范围是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：由－1≤k≤3，即－1≤tan α≤3，∴ α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4. （必修2P 80练习6改编）已知两点A （4，0），B （0，3），点C （8，a ）在直线AB 上，则a ＝ Ｗ.答案：－3解析：由k AB ＝k BC 得3－4＝a －38，解得a ＝－3.5. （必修2P 80练习4改编）若直线l 沿x 轴的负方向平移2个单位，再沿y 轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－32解析：设直线上任一点为（x ，y ），平移后的点为（x －2，y ＋3），利用斜率公式得直线l 的斜率为－32.1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°；直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）Ｗ.2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同.3. 过两点的斜率公式过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式为k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°Ｗ.[备课札记], 1 直线的倾斜角和斜率之间的关系), 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为 Ｗ.答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练已知经过两点A （4，2y ＋1），B （2，－3）的直线的倾斜角为3π4，则y 的值为 Ｗ.答案：－3解析：由2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2＝tan 3π4，得y ＋2＝－1，所以y ＝－3., 2 求直线的倾斜角和斜率) , 2) 已知两点A （－1，－5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l 的斜率.解：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知tan 2α＝34，∴ 2tan α1－tan 2α＝34. 整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0，解得tan α＝13或tan α＝－3.∵ tan 2α＝34>0，∴ 0°<2α<90°，∴ 0°<α<45°，∴ tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式训练如图，已知直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1，l 2的斜率.解：直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵ 直线l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴ 直线l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan （180°－60°）＝－tan 60°＝－ 3. , 3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围) , 3) 已知两点A （－3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线l 与线段AB 有公共点.（1） 求直线l 的斜率k 的取值范围； （2） 求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解：如图，由题意可知，k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.（1） 要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.（2） 由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间. 又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是[45°，135°]. 变式训练若直线mx ＋y ＋1＝0与连结点A （－3，2），B （2，3）的线段相交，求实数m 的取值范围.解：直线的斜率为k ＝－m ，且直线经过定点P （0，－1），因为直线PA ，PB 的斜率分别为－1，2，所以斜率k 的取值范围是（－∞，－1]∪[2，＋∞），即实数m 的取值范围是（－∞，－2]∪[1，＋∞）.1. 已知A （－1，23），B （0，3a ），C （a ，0）三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α的大小是 Ｗ.答案：120°解析：若a ＝0，则点B ，C 重合，不合题意.由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1，所以B （0，3）.此三点所在直线的斜率k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－ 3.又0°≤α＜180°，所以α＝120°.2. 直线xcos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：由直线的方程可知其斜率k ＝－cos α3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.设直线的倾斜角为θ，则tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，且θ∈[0，π），所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π. 3. 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值.解：如图，由于点（x ，y ）满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x≤3可知，点P （x ，y ）在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别为A （2，4），B （3，2）.由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.4. 已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0（x≥－1）有交点，求实数k 的取值范围.解：kx ＋y －k ＝0⇒k （x －1）＋y ＝0，直线过定点（1，0）⇒由题意作图可得：由题意可看出： k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.（或者由两直线方程联立，消去y 得x ＝4k －53＋4k ≥－1，即4k －14k ＋3≥0⇒k ≥14或k ＜－34）1. 已知x 轴上的点P 与点Q （－3，1）连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为 Ｗ.答案：（－23，0）解析：设P （x ，0），由题意得k PQ ＝tan 30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为（－23，0）.2. 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则它们的大小关系为 Ｗ.答案：k 1＜k 3＜k 2 解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.3. 已知函数f （x ）＝asin x －bcos x.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为 Ｗ.答案：3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知，函数f （x ）的图象关于直线x ＝π4对称，所以f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，所以直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1.设直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为α，则tan α＝－1，因为α∈[0，π），所以α＝3π4，即直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为3π4.4. 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 解析：如图，直线l ：y ＝kx －3过定点P （0，－3）.又A （3，0），所以k PA ＝0－（－3）3－0＝33，所以直线l 的斜率范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，由于直线的倾斜角的取值范围为[0，π），所以满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x 1≠x 2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tanα（α≠90°），其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈（－∞，0）.第2课时 直线的方程（对应学生用书（文）123～124页、（理）128～129页）1. （必修2P 82练习1（1）～（4）改编）过点P （－2，0），且斜率为3的直线的方程是 Ｗ.答案：y ＝3x ＋6解析：设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×（－2）＋b ＝0，∴ b ＝6，故y ＝3x ＋6.2. （必修2P 87练习4改编）如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件 Ｗ.答案：a≠0且b ＝c ＝0解析：ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，即x ＝0，∴ b ＝c ＝0，a ≠0.3. （必修2P 87练习1改编）直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为 Ｗ.答案：－1解析：令x ＝0，得y ＝－4；令y ＝0，得x ＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.4. （必修2P 85练习4改编）下列说法中正确的是 Ｗ.（填序号） ① 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0＝k （x －x 0）表示； ② 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示；③ 不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示；④ 经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）（x 2－x 1）＝（x －x 1）（y 2－y 1）表示.答案：④解析：对于①②，斜率有可能不存在，对于③，截距也有可能为0. 5. （必修2P 85练习2（2）（3）改编）若一直线经过点P （1，2），且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是 Ｗ.答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点（0，－1），又所求直线过点P （1，2），故由两点式得直线方程为y ＋12＋1＝x －01－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222（1） 当x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1Ｗ. （2） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1Ｗ. （3） 当x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0Ｗ. （4） 当x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0Ｗ. （5） 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），且线段P 1P 2的中点M 的坐标为（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式., 1 求直线方程), 1) 已知直线l 过点P （5，2），分别求满足下列条件的直线方程. （1） 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；（2） 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：（1） 当直线l 过原点时，直线l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上，直线l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. （2） 显然直线与坐标轴不垂直. ∵ 直线l 经过点P （5，2），且能与坐标轴围成三角形，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k （x －5）（k≠0），则直线在x 轴上的截距为5－2k，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12|5－2k |·|2－5k|＝52，即（5k －2）2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为（5k －2）2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为（5k －2）2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15（x －5）或y －2＝45（x －5），即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练求过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. , 2 含参直线方程问题), 2) 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 （k∈R ）. （1） 求证：直线l 过定点；（2） 若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（3） 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.（1） 证明：直线l 的方程是k （x ＋2）＋（1－y ）＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴ 无论k 取何值，直线l 总经过定点（－2，1）.（2） 解：由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k≥1，解得k>0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k≥0.（3） 解：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B （0，1＋2k ）.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵ S ＝12·OA ·OB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12·⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴ S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0. 变式训练已知直线l 的方程为（m 2－2m －3）x ＋（2m 2＋m －1）y ＋6－2m ＝0. （1） 求实数m 的取值范围；（2） 若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值；（3） 若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； （4） 若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值. 解：（1） 当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.（2） 由（1）易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在.（3） 依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由（1）知所求m ＝－53.（4） 因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1（舍去）.所以当直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43., 3 直线方程的综合应用), 3) 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图，建立平面直角坐标系，则E （30，0），F （0，20），∴ 线段EF 的方程为x 30＋y20＝1（0≤x≤30）.在线段EF 上取点P （m ，n ），作PQ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ·PR＝（100－m ）（80－n ）.又m 30＋n 20＝1（0≤m≤30），∴ n ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 30.∴ S ＝（100－m ）⎝⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23（m －5）2＋18 0503（0≤m≤30）.∴ 当m ＝5时，S 有最大值，∴ 当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点距AD 边5 m 时，草坪面积最大.备选变式（教师专享）如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点.（1） 当∠BAO＝45°时，试求OA 的长；（2） 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长.解：以l 1为x 轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O （0，0），P （3，2）. （1） 由∠BAO＝45°知，OA ＝OB ，可设A （a ，0），B （0，a ）（a ＞0），直线l 的方程为x a ＋ya＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2a＝1⇒a ＝5，即OA ＝5千米. （2） 设A （a ，0），B （0，b ）（a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.∵ 直线l 过点P （3，2），∴ 3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3（a ＞3）.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3，令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝（t ＋3）2＝t 2＋6t ＋9，故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t ＋6（t ＞0）.设f （t ）＝t ＋9t＋6，可证f （t ）在（0，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，∴ 当t ＝3时，f （t ）min ＝f （3）＝12，此时a ＝6，b ＝4，直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即OA ＝6千米，OB ＝4千米.1. 若直线（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y ＝4m －1 在x 轴上的截距为1，则实数m 的值是 Ｗ.答案：2或－12解析：令y ＝0，则（2m 2＋m －3）x ＝4m －1，∴ x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，∴ m ＝2或－12.2. 若方程（a 2－a －2）x ＋（a 2＋a －6）y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为 Ｗ.答案：－1解析：因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.3. 已知直线l 过点M （1，1），且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程是 Ｗ.答案：x ＋y －2＝0解析：设A （a ，0），B （0，b ）（a>0，b>0），直线l 的方程为x a ＋yb＝1，已知直线l 过点M （1，1），则OA ＋OB ＝a ＋b ＝（a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.4. 已知直线l 过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：5x －3y ＋15＝0解析：∵ 直线过点（0，5），∴ 直线在y 轴上的截距为5. ∵ 在两坐标轴上的截距之和为2， ∴ 直线在x 轴上的截距为－3.∴ 直线l 的方程为x －3＋y5＝1，即5x －3y ＋15＝0.5. 已知在△ABC 中，A （1，－4），B （6，6），C （－2，0）.求（1） △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； （2） BC 边的中线所在直线的一般式方程和截距式方程. 解：（1） 平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线.因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0， 化为截距式方程为x 136－y138＝1.（2） 因为BC 边上的中点为（2，3），所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.1. 若方程（2m 2＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足条件 Ｗ.答案：m≠1解析：2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0.2. 若直线（2t －3）x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是 Ｗ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：直线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t x －t 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32－t≥0，－t2≤0，解得0≤t≤32.3. 不论m 取何值，直线（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 . 答案：（－2，3）解析：把直线方程（m －1）x －y ＋2m ＋1＝0， 整理得（x ＋2）m －（x ＋y －1）＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 4. 已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点.若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则ab 的最大值为 Ｗ.答案：12解析：由题意知A （2，0），B （0，1），所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2].又动点P （a ，b ）在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2].又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.解：由题意，知P （2，3）在已知直线上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋1＝0，2a 2＋3b 2＋1＝0， ∴ 2（a 1－a 2）＋3（b 1－b 2）＝0，即b 1－b 2a 1－a 2＝－23，∴ 所求直线方程为y －b 1＝－23（x －a 1），∴ 2x ＋3y －（2a 1＋3b 1）＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况.2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系（对应学生用书（文）125～126页、（理）130～131页）1. （原创）“a＝3”是“直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1平行”的 条件. 答案：充要解析：若a ＝3，直线ax ＋3y ＝1与直线x ＋y ＝1显然平行；若直线ax ＋3y ＝1与直线x＋y ＝1平行，由a 1＝ 31 ≠ 11，易得a ＝3.2. （必修2P 93练习6改编）过点P （－1，3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －1＝0解析：设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，又直线过点P （－1，3），则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1，即所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. （必修2P 95练习3改编）若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝ Ｗ.答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴ 点（－1，－2）在x ＋ky ＝0上，即－1－2k ＝0，∴ k ＝－12.4.（必修2P 105练习1改编）已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a .1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝ 2.又∵ a＞0，∴ a ＝2－1.5. （必修2P 106习题10改编）与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是 Ｗ.答案：7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0解析：设直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c ＋5|242＋72＝3，∴ c ＝70或－80.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标Ｗ.若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.若方程组有无数组解，则两条直线重合Ｗ.3. 几种距离（1） 两点间的距离： 平面上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式：d （A ，B ）＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. （2） 点到直线的距离：点P （x 1，y 1）到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. （3） 两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.4. 常见的三大直线系方程（1） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0（m∈R 且m≠C）. （2） 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0（m∈R ）.（3） 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ∈R ），但不包括l 2.5. 中心对称（1） 点关于点对称：若点M （x 1，y 1）与N （x ，y ）关于P （a ，b ）对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解.（2） 直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程.6. 轴对称（1） 点关于直线的对称若两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连结P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A （y 1－y 2）＝B （x 1－x 2），可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标（x 2，y 2）（其中A≠0，x 1≠x 2）.特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A|＝|B|，则P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.（2） 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[备课札记], 1 两直线的平行与垂直), 1) 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：（1） l 1⊥l 2，且直线l 1过点（－3，－1）；（2） l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解：（1） ∵ l 1⊥l 2，∴ a （a －1）－b ＝0. ∵ 直线l 1过点（－3，－1），∴ －3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. （2） ∵ 直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴ 直线l 1的斜率存在.∴ k 1＝k 2，即ab＝1－a.∵ 坐标原点到这两条直线的距离相等，∴ l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.变式训练已知直线l 1经过点A （3，a ），B （a －1，2），直线l 2经过点C （1，2），D （－2，a ＋2），分别在下列条件下求a 的值：（1） l 1∥l 2； （2） l 1⊥l 2.解：设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.（1） 若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率k 1＝－a3.又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6.经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. （2） 若l 1⊥l 2.① 当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.② 当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4.由k 2k 1＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4.经检验，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. , 2 两直线的交点) , 2) 已知△ABC 的顶点B （3，4），AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求AC 的长.解：∵ k CE ＝ －23，AB ⊥CE ，∴ k AB ＝32， ∴ 直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A （1，1）， 设C （a ，b ）， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2，∵ C 点在CE 上，BC 的中点D 在AD 上， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b2＋1＝0，得C （5，2）， 由两点间距离公式得AC 的长为17. 变式训练已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解：依题意知：k AC ＝－2，A （5，1），∴ l AC ：2x ＋y －11＝0.联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴ C （4，3）.设B （x 0，y 0），则AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴ B （－1，－3）， ∴ k BC ＝65，∴ 直线BC 的方程为y －3＝65（x －4），即6x －5y －9＝0., 3 点到直线及两平行直线之间的距离) , 3) 已知点P （2，－1）.（1） 求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；（2） 求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3） 是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解：（1） 过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1）， 可见，过P （2，－1）且垂直于x 轴的直线满足条件. 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.（2） 过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线，由l⊥OP，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.（3） 不存在.理由：由（2）可知，过P 点不存在到原点距离大于5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.备选变式（教师专享）已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点. （1） 若点A （5，0）到l 的距离为3，求直线l 的方程； （2） 求点A （5，0）到直线l 的距离的最大值. 解：（1） 由直线l 经过直线l 1与l 2交点知，其直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.∵ 点A （5，0）到直线l 的距离为3，∴ |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，∴ λ＝2或λ＝12，∴ 直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.（2） 设直线l 1与l 2的交为P ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P （2，1），如图，过点P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤PA（当l⊥PA 时等号成立）.∴ d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10., 4 对称问题), 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A （－1，－2）.求： （1） 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；（2） 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； （3） 直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l′的方程. 解：（1） 设A′（x ，y ），由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. （2） 在直线m 上任取一点，如M （2，0），则M （2，0）关于直线l 的对称点必在m′上.设对称点为M′（a ，b ），则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N （4，3）.∵ m ′经过点N （4，3），∴ 由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.（3） 设P （x ，y ）为l′上任意一点，则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为P′（－2－x ，－4－y ）.∵ P ′在直线l 上，∴ 2（－2－x ）－3（－4－y ）＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享） 光线通过点A （2，3），在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B （1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程.解：设点A （2，3）关于直线l 的对称点为A′（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得A′（－4，－3）.由于反射光线经过点A′（－4，－3）和B （1，1），所以反射光线所在直线的方程为y －1－3－1＝x －1－4－1，即4x －5y ＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，得反射点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y －3－13－3＝x －2－23－2，即5x －4y ＋2＝0.1. （2016·上海卷文）已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2.解析：利用两平行线间距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255. 2. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m ＋n 的值是 Ｗ.答案：345解析：点（0，2）与点（4，0）关于y －1＝2（x －2）对称，则点（7，3）与点（m ，n ）也关于y －1＝2（x －2）对称，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.∴ m ＋n ＝345.3. 已知l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，－1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是 .答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.因为A （1，1），B （0，－1），所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12（x－1），即x ＋2y －3＝0.4. 在平面直角坐标系中，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，－1）的距离之和最小的点的坐标是 Ｗ.答案：（2，4） 解析：设P 为平面上一点，则由三角形两边之和大于第三边知PA ＋PC≥AC，PB ＋PD≥BD，所以四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2（x －1），直线BD 的方程为y －5＝－（x －1），由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为（2，4）.5. △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为（1，2），求BC 边所在直线的方程.解：可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32（x －1），y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得B （7，－7）， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得C （－2，－1）， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（2k －1）x ＋ky ＋1＝0，则当实数k 变化时，原点O 到直线l 的距离的最大值为 Ｗ.答案： 5解析：直线l 过定点P （1，－2），原点O 到直线l 的距离的最大值即为OP ＝12＋（－2）2＝ 5.2. 若过点P （1，2）作一直线l ，使点M （2，3）和点N （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为 Ｗ.答案：2x ＋y －4＝0或x ＋2y －5＝0解析：当直线l 经过MN 的中点时，其方程为x ＋2y －5＝0；当过M ，N 两点的直线平行于直线l 时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.3. 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 Ｗ.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.（若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行）∴ 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.∵ 交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.∴ 实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12. 4. 已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为 Ｗ.答案：－3或13解析：（解法1）在直线l 上任取一点P （x ，y ），点P 到直线l 1和直线l 2的距离相等.|2x －y －2|22＋（－1）2＝|x ＋2y －1|12＋22，整理得，直线l 的方程为3x ＋y －3＝0或x －3y －1＝0，所以直线l 的斜率为－3或13.（解法2）设l 1的倾斜角为α.因为l 1⊥l 2，所以l 的倾斜角为α±π4，所以直线l 的斜率为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 因为tan α＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝13， 所以直线l 的斜率为－3或13.1. 在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论.2. 运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x ，y 项系数化为相等的系数.3. 对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系.[备课札记]第4课时 圆 的 方 程（对应学生用书（文）127～128页、（理）132～133页）1. （必修2P 111练习4改编）圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 Ｗ. 答案：（2，－3）解析：由（x －2）2＋（y ＋3）2＝13知，圆心坐标为（2，－3）. 2. （必修2P 111习题7改编）已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为 Ｗ.答案：（x －2）2＋y 2＝10解析：设圆心坐标为（a ，0），易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴ 圆心为（2，0），半径为10，∴ 圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝10.3. （必修2P 111练习6改编）经过三点A （1，－1），B （1，4），C （4，－2）的圆的一般方程为 Ｗ.答案：x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴ 所求圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.4. 已知点P （1，1）在圆x 2＋y 2－ax ＋2ay －4＝0的内部，则a 的取值范围是 Ｗ. 答案：（－∞，2）解析：由圆的一般方程知a∈R ，因为点P 在圆内，所以1＋1－a ＋2a －4<0，解得a<2.5. （原创）已知实数x ，y 满足x 2＋（y ＋3）2＝4，则（x －3）2＋（y －1）2的最大值为 Ｗ.答案：49解析：（x －3）2＋（y －1）2表示圆x 2＋（y ＋3）2＝4上一动点P （x ，y ）到点（3，1）的距离d 的平方，因为圆心（0，－3）到点（3，1）的距离为5，所以d 的最大值为5＋2＝7，所以d 2的最大值为49.1. 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径Ｗ.2. 圆的标准方程（1） 以（a ，b ）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2Ｗ.（2） 特殊的，x 2＋y 2＝r 2（r>0）的圆心为（0，0），半径为r Ｗ. 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. （1） 当D 2＋E 2－4F>0时，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 22（2） 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；（3） 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系点M （x 0，y 0）与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系：（1） 若M （x 0，y 0）在圆外，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2>r 2Ｗ.（2） 若M （x 0，y 0）在圆上，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2Ｗ.（3） 若M （x 0，y 0）在圆内，则（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2<r 2Ｗ. [备课札记]1 确定圆的方程) 1) 求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B （8，6）的圆的方程.解：（解法1）设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴ k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵ 圆C 与直线l 相切，∴ k CB ·k l ＝－1，即6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1 ①.又有（－2）2＋（－4）2－2D －4E ＋F ＝0 ②，又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0 ③.联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴ 所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. （解法2）设圆的圆心为C ，则CB⊥l， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3（x －8），即3x －y －18＝0 ①. 由A （－2，－4），B （8，6），得AB 的中点坐标为（3，1）.又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－（x －3）， 即x ＋y －4＝0 ②.由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴ 所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴ 所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5）. （1） 若圆的面积最小，求圆的方程；（2） 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程. 解：（1） 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C （0，－4），半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋（y ＋4）2＝5.（2） 因为k AB ＝12，AB 中点为（0，－4），所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为（－1，－2）.根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为（x ＋1）2＋（y ＋2）2＝10.备选变式（教师专享） 已知一圆的圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，求圆的方程. 解：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心O （0，0）到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36., 2 与参数有关的圆方程问题), 2) 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.（1） 若圆C 上任意点A 关于l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；（2） 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范围.解：（1） 将圆C 的方程配方得（x －a ）2＋（y ＋1）2＝a 2－a.由题意知圆心C （a ，－1）在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.（2） 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C （a ，－1）到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1.因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为（0，1）.变式训练已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为 Ｗ. 答案：37解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C （a ，b ），半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A （6，1），B （－2，1），目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.备选变式（教师专享）设△ABC 顶点坐标为A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0），其中a>0，圆M 为△ABC 的外接圆.（1） 求圆M 的方程；（2） 当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由.解：（1） 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵ 圆M 过点A （0，a ），B （－3a ，0），C （3a ，0）∴ ⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，∴ 圆M 的方程为x 2＋y 2＋（3－a ）y －3a ＝0.（2） 圆M 的方程可化为（3＋y ）a －（x 2＋y 2＋3y ）＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. ∴ 圆M 过定点（0，－3）., 3 圆方程的应用), 3) 如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ，m ，欲再新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上（点P ，Q 分别在点O 的正东，正北方向上），且要求PQ 与圆A 相切.（1） 当点P 距O 处2百米时，求OQ 的长； （2） 当公路PQ 长最短时，求OQ 的长.。

2021年高考数学一轮复习几何概型教学案一、考点要求：学习目标：了解几何概型的特点，会进行简单的几何概型的运算，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

二、知识要点：2．几何概率计算公式：一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率，把这种概率模型称为几何概型。

三、基础回顾：1. 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为_________2. 如图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________3. 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为。

4．如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________四、例题探究：例1：如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：（1）△AMB面积大于等于1/4的概率；（2）求AM长度不小于1的概率。

内容要求A B C概率几何概型√例2：在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求的概率。

变式：在等腰直角三角形中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率。

例3：已知三个正数.(1)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率；(2)若是从中任取的三个数，且，求能构成三角形三边长的概率.★★★例4：(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。

求二人能会面的概率。

五、课堂小结：六、感悟反思：1. 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S/2的概率是_____2．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A'，连结AA'，它是一条弦，则它的长度小于或等于半径长度的概率为________3．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为4. 已知右图所示的矩形其长为12，宽为5，在矩形内随机微下1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________七、千思百练：1．如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机撒一粒豆子，则它落在阴影部分的概率为________2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为 。

专题五：解析几何【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：1．直线的倾斜角、斜率及它们间的关系。

2．两直线平行与垂直的充要条件。

3．点到直线的距离、两平行线间的距离。

4．圆的方程（标准方程和一般方程）。

5．直线与圆的位置关系。

6．椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质。

7．直线和圆锥曲线的位置关系，同时常与平面向量、数列、不等式结合，且每年必考。

第一讲直线与圆【最新考纲透析】1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。

（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

3．空间直角在系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

（2）会推导空间两点间的距离公式。

【核心要点突破】要点考向1：直线的倾斜角、斜率、距离问题考情聚焦：1．直线的倾斜角、斜率、距离问题是最基本问题，是高考中常考的知识。

2．该类问题常与平面向量结合，体现知识的交汇。

3．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．直线的倾斜角和斜率反映了直线的倾斜程度。

已知斜率求倾斜角时，通常可以结合正切函数的图象求解，要注意当斜率的取值范围有正有负时，倾斜角是分段的，如直线斜率的范围是[-1，1]，则倾斜角的取值范围是，而不是2．对于距离要熟记有关公式，并能灵活运用。

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师用书教案理新人教版班级：科目：第8章平面解析几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1。

考查形式高考在本章一般命制1~2道小题，1道解答题，分值约占20～24分。

2。

考查内容(1）对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基。

(2）对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体,重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.直线的倾斜角与斜率、直线的方程［考试要求]1。

在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。

2。

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3。

掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0,π）．2．直线的斜率(1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝tan α,倾斜角是错误!的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1,y1），P2(x2，y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝错误!。

3．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距，斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率y－y0＝k（x－x0）两点式过两点y－y1y2－y1＝错误!与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距错误!＋错误!＝1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零,而“距离”是一个非负数．[常用结论]1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图,当α∈错误!时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝错误!时，斜率不存在；当α∈错误!时，斜率k∈(－∞，0）．2．特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1;（2）直线过点P1（x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1;（3)y轴的方程为x＝0；(4）x轴的方程为y＝0。

解析几何问题的题型与方法一、知识整合高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。

1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．（一）．选择、填空题1． 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 例2已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是 （A ）26 （B ）23（C ）3 （D ）22. 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（A ）0k << （B ）0k <<（C ）0k <<（D ）05k <<例4、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量。

2019-2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 专题五 高考解析几何命题动向教案 理 新人教版解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．高考命题特点(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．高考动向透视直线与圆的方程对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．【示例1】►(xx·杭州模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程．解 (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.(2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直．∴可设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b .将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.由Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0，得2－32＜b ＜2＋3 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )， x 1x 2＝b 2－6b ＋12. ∴y 1y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b .∵OP →·OQ →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＋1＝0，解得b ＝1∈(2－32，2＋32)．∴所求的直线方程为x ＋y －1＝0.本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．【训练】 (xx·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆锥曲线的定义、标准方程(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见． 【示例2】►(xx·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1，故选A. 答案 A本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e .该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．【示例3】►(xx·新课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与双曲线C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 答案 B本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．直线与圆锥曲线的位置关系此类试题一般为高考的压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考经常设计探究是否存在的问题，也经常考查与平面向量知识的综合运用．处理此类问题，主要是在“算”上下工夫．即利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．【示例4】►(xx·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解(1)如图，设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知识，考查了数形结合思想和化归转化思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．考查圆锥曲线的综合性问题高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．【示例5】►(xx·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2＋4k 22－k 2m 2－1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题.。

五 平面解析几何中的高考热点问题[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力、分析问题、解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明一般包括两大方面：一是位置关系的证明，如证明相切、垂直、过定点等，二是数量关系的证明，如存在定值、恒成立、线段或角相等等．【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ． [解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1－x 2－.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OM综上，∠OMA ＝∠OM B ．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y ＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ．故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.最值、范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题是高考中的常考题型，以解答题为主，难度一般较大，注重方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．主要的命题角度有：(1)涉及距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之有关的一些问题．【例2】 (本题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值①，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围②.[信息提取] ①看到|EA |＋|EB |为定值，想到点E 的轨迹方程可能是椭圆．②看到四边形MPNQ 面积的取值范围，想到四边形MPNQ 对角线是否垂直，如何将四边形分成三角形求面积，可能利用弦长公式．[规范解答] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 故∠EBD ＝∠ACD ＝∠AD C.所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4. ···········································2分 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). ················4分(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.·····························6分过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.···········10分 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8， 故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83).··················12分 [易错与防范](1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．[解] (1)由c a ＝12，可得a ＝2c ，又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2＝3c 2，所以椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，又因为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以124c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1， 所以c 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知Δ＞0，y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋42－4×－93m 2＋4 ＝12m 2＋13m 2＋4， 设四边形APBQ 的面积为S ，所以S ＝12×4×12m 2＋13m 2＋4＝24m 2＋13m 2＋4， 令t ＝1＋m 2，t ≥1， 有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，设函数f (t )＝3t ＋1t，t ∈[1，＋∞)，所以f ′(t )＝3－1t2＞0，t ∈[1，＋∞)，故函数f (t )＝3t ＋1t在[1，＋∞)上递增，故3t ＋1t≥f (1)＝4，故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，当且仅当t ＝1，即m ＝0时等号成立， 即四边形 APBQ 面积的最大值为6. 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、概括等，是高考的常考题型，以解答题的形式出现，难度一般较大．主要的命题角度有：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．【例3】 (2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．[解] (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m－k3， 因此x M ＝k k －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．(2019·太原模拟)已知椭圆C 1：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)，F 为左焦点，A 为上顶点，B (2,0)为右顶点，若7|AF →|＝2|AB →|，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F .(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)是否存在过F 点的直线，与椭圆C 1和抛物线C 2的交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得S △OPQ ＝12S △OMN ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)依题意可知7|AF →|＝2|AB →|，即7a ＝2a 2＋b 2，由B (2,0)为右顶点，得a ＝2，解得b 2＝3， 所以C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意可知C 2的方程为y 2＝－4x ，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y23＝1，得(3k 2＋4)y 2－6ky －9＝0，由韦达定理得y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4，则|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12k 2＋13k 2＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，y 2＝－4x ，得y 2＋4ky －4＝0，由韦达定理得y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4， 所以|y 3－y 4|＝y 3＋y 42－4y 3y 4＝4k 2＋1，若S △OPQ ＝12S △OMN ，则|y 1－y 2|＝12|y 3－y 4|，即12k 2＋13k 2＋4＝2k 2＋1，解得k ＝±63， 所以存在符合题意的直线，直线的方程为x ＋63y ＋1＝0或x －63y ＋1＝0. [大题增分专训]1．(2018·重庆二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知不经过A 点的直线l ：y ＝32x ＋t 与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，证明：AM ＝AN .[解] (1)由c a ＝32可得b a ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (－x 1，－y 1)， 联立直线l 与椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 24＋y 2＝1，整理得x 2＋3tx ＋t 2－1＝0， 所以Δ＝4－t 2＞0，即－2＜t ＜2，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝t 2－1，易知直线AM 与直线AN 的斜率存在且不同时为0， 所以k AN ＋k AM ＝y 1－32x 1＋1＋y 2＋32x 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫y 1－32x 2－＋x 1＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋32x 1＋x 2－，因为⎝⎛⎭⎪⎫32x 1＋t －32(x 2－1)＋(x 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋t ＋32＝3x 1x 2＋t (x 1＋x 2)＋ 3＝3(t 2－1)＋t (－3t )＋3＝0， 所以k AN ＋k AM ＝0，则直线AN 与直线AM 的倾斜角互补， 所以∠AMN ＝∠ANM ，所以AM ＝AN .2．已知点F 1(－2，0)，圆F 2：(x －2)2＋y 2＝16，点M 是圆上一动点，MF 1的垂直平分线与线段MF 2交于点N .(1)求点N 的轨迹方程；(2)设点N 的轨迹为曲线E ，过点P (0,1)且斜率不为0的直线l 与E 交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B ′，证明直线AB ′过定点，并求△PAB ′面积的最大值．[解] (1)由已知得|NF 1|＝|NM |， 所以|NF 1|＋|NF 2|＝|MN |＋|NF 2|＝4，又|F 1F 2|＝22，所以点N 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长等于4的椭圆， 所以点N 的轨迹方程是x 24＋y 22＝1.(2)易知直线l 的斜率k 存在，则直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B ′(－x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝kx ＋1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝＋4k 2＞0，x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－21＋2k 2，∴k AB ′＝y 1－y 2x 1＋x 2， ∴直线AB ′∶y －y 1＝y 1－y 2x 1＋x 2(x －x 1)， 令x ＝0， 得y ＝x 1y 2＋x 2y 1x 1＋x 2＝x 1kx 2＋＋x 2kx 1＋x 1＋x 2＝2kx 1x 2x 1＋x 2＋1＝2， ∴直线AB ′过定点Q (0,2)，∴△PAB ′的面积S ＝|S △PQB ′－S △PQA |＝12|x 1＋x 2|＝2|k |1＋2k 2＝21|k |＋2|k |≤22，当且仅当k ＝±22时，等号成立．∴△PAB ′面积的最大值是22. 3．(2019·厦门模拟)已知M (－1,0)，F (1,0)，|MR →|＝22，FR →＝2FQ →，MP →＝λMR →(λ∈R )，且PQ →·FR →＝0.(1)当R 在该坐标平面上运动时，求点P 运动的轨迹C 的方程；(2)经过点H (2,0)作不过F 点且斜率存在的直线l ，若直线l 与轨迹C 相交于A ，B 两点． ①探究：直线FA ，FB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求△FAB 面积的取值范围．[解] (1)由|MR →|＝22知，点R 在以M (－1,0)为圆心，以22为半径的圆周上运动． 由FR →＝2FQ →知，Q 为FR 的中点， 又MP →＝λMR →(λ∈R )，且PQ →·FR →＝0， 得点P 为线段FR 的中垂线与MR 的交点， 所以|PF |＝|PR |，所以|PM |＋|PF |＝22(定值)， 因此点P 的轨迹C 是以M ，F 为焦点的椭圆，由a ＝2，c ＝1，得b ＝1， 所以轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①由已知，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， 直线l 与椭圆C 的交点A ，B 分别设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，化简得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，又直线FA ，FB 的斜率之和为y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k x 1－x 1－1＋k x 2－x 2－1＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1x 2－x 1＋x 2＋1，又2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝2k ·8k 2－21＋2k 2－24k 31＋2k 2＋4k ＝16k 3－4k －24k 3＋4k ＋8k31＋2k 2＝0(定值)， 所以y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝0，即直线FA ，FB 的斜率之和为定值0.②由①得Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2，由Δ＞0，得k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，因为|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝x 1＋x 22－4x 1x 2＋k2＝8－16k 21＋2k 2·1＋k 2，又点F 到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，所以S △FAB ＝12|AB |·d ＝2－4k 2·|k |1＋2k 2＝6k 2＋1k 2＋2－1，令t ＝2k 2＋1∈(1,2)，φ(t )＝3t －2t 2＝98－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342，因为1t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以φ(t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，98，所以S △FAB ＝φt －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24， 当且仅当t ＝43，即k ＝±66时，S △FAB 取到最大值24.11 所以△FAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.。

Earlybird（五）平面解析几何中的高考热点问题[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．x2 y2【例1】(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐a2 b25 x2 y2近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1 有公共焦点，则C 的方程为()2 12 3x2 y2 x2 y2A. －＝1B. －＝18 10 4 5x2 y2 x2 y2C. －＝1D. －＝15 4 4 35 b 5B[由y＝x 可得＝.①2 a 2x2 y2由椭圆＋＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)，12 3可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.x2 y2所以C 的方程为－＝1.4 5故选B.][规律方法]解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系. 掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.x2 y2(1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐a2 b2近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所截得的弦长为2，则C的离心率为()2 3A．2 B. 3 C. 2 D.3(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C交于A，B两点，直线l2 与C交于D，E两点，则|AB| ＋|DE|的最小值为()A．16B．14 C．12D．10b(1)A(2)A[(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，a圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2 得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.|2b|根据点到直线的距离公式得＝3，解得b2＝3a2.a2＋b2c c2 b2所以C的离心率e＝＝＝1＋＝2.a a2 a2故选A.(2)因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意直线l1，l2 的斜率均存在，且不为0，设l1 的斜率为k，则l2 的斜率1 1为－，故直线l1，l2 的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．k k由Error!得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.2k2＋4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，k2所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x22k2＋4 41＋k22－4＝1＋k2·( ＝.k2 )k2同理可得|DE|＝4(1＋k2)．41＋k2所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)k21＝4( ＋1＋1＋k 2)k21＝8＋4(k2＋≥8＋4×2＝16，k2)1当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．k2故选A.]圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．x2 y2【例2】(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，a2 b23 3P2(0,1)，P3( ，P4 中恰有三点在椭圆C 上．－1，1，2 ) ( 2 )(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解](1)由于P3，P4 两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P3，P4 两点．1 1 1 3又由＋＞＋知，椭圆C 不经过点P1，a2 b2 a2 4b2所以点P2 在椭圆C 上．Earlybirdx2因此Error!解得Error!故椭圆C的方程为＋y2＝1.4(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标4－t2 4－t2 4－t2－2 4－t2＋2 t，t，－分别为( ，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2 )( 2 )2t2t2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．x2将y＝kx＋m代入＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.4由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.8km4m2－4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.4k2＋1 4k2＋1y1－1 y2－1而k1＋k2＝＋x1 x2kx1＋m－1 kx2＋m－1＝＋x1 x22kx1x2＋m－1x1＋x2＝.x1x2由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.4m2－4 －8km m＋1即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.4k2＋1 4k2＋1 2当且仅当m＞－1 时，Δ＞0，m＋1于是l：y＝－x＋m，2m＋1即y＋1＝－(x－2)，2所以l过定点(2，－1)．[规律方法] 1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上.2.解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算，结果即可得到.Earlybird3.无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标.x2 y2 3已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，且离心率为.a2 b2 2(1)求椭圆E 的方程；1(2)设直线l：y＝x＋m 与椭圆E 交于A，C 两点，以AC 为对角线作正方形2ABCD，记直线l 与x 轴的交点为N，问B，N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．[解](1)由题意可知，椭圆的焦点在x 轴上，椭圆过点(0,1)，则b＝1.c b2 3 x2由椭圆的离心率e＝＝1－＝，解得a＝2，所以椭圆E 的标准方程为a a2 2 4＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC 的中点为M(x0，y0)．由Error!整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－2<m< 2，1所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2m＝m，21所以线段AC 的中点为M( m).－m，21 1＋( ×＝×＝则|AC| ＝12 x1＋x22－4x1x2 1＋4m2－4 ×2m2－22 )410－5m2.1 5l 与x 轴的交点为N(－2m,0)，所以|MN|＝－m＋2m2＋( ＝，m )2m22 41 5所以|BN|2＝|BM|2＋|MN|2＝|AC|2＋|MN|2＝.4 210故B，N 两点间的距离为定值.2圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致分为两类：一类是涉及距离、面积的最值以及与Earlybird之相关的一些问题；二类是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．x2 y2【例3】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点a2 b21的直线x＋y－3＝0 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.2(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，x21y21x y y2－y1则＋＝1，＋＝1，＝－1，a2 b2 a2 b2 x2－x12 2b2x2＋x1y2－y1由此可得＝－＝1.a2y2＋y1x2－x1y0 1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，x0 2所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为( 3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.x2 y2所以M的方程为＋＝1.6 3(2)由Error!解得Error!或Error!4 6因此|AB|＝.35 3由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－＜n＜3)，设C(x3，y3)，D(x4，3y4)．由Error!得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.－2n±29－n2于是x3,4＝.3因为直线CD的斜率为1，4所以|CD|＝2|x4－x3|＝9－n2.31 8 6由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝9－n2，2 98 6当n＝0 时，S取得最大值，最大值为.38 6所以四边形ACBD面积的最大值为.3[规律方法]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一种是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二种是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.如图所示，已知直线l：y＝kx－2 与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交→→于A，B两点，O为坐标原点，OA＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．[解](1)由Error!得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.→→因为OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以Error!解得Error!所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，又y′＝－x，所以－x0＝2，1故x0＝－2，y0＝－x ＝－2，所以P(－2，－2)．022|2 ×－2－－2－2| 4 4 5 此时点P 到直线l 的距离d＝＝＝.22＋－1 2 5 5 由Error!得x2＋4x－4＝0，故x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，所以|AB|＝1＋k2×x1＋x22－4x1x2＝1＋22×－42－4 ×－4＝4 10.4 54 10 ×5所以△ABP 面积的最大值为＝8 2.2圆锥曲线中的证明与探索性问题圆锥曲线中的证明问题是高考的常考热点，其命题切入点较多，既可以考查位置关系，也可以与定点、定值、存在性问题综合命题，有时也涉及一些否定质命题，证明时一般常用直接法或反证法．难度一般较大．x2【例4】(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝12的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.[信息提取]看到求直线方程，想到利用先求斜率再利用点斜式求直线方程；看到证明两角相等，想到利用两直线的斜率之和为0 可证明两角相等．[规范解答](1)由已知得F(1,0)，l 的方程为x＝1. 1 分2 2由已知可得，点A 的坐标为(1，或1，－. 2 分2 ) ( 2 )2 2又M(2,0)，所以AM 的方程为y＝－x＋2或y＝x－ 2.3 分2 2(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 4 分Earlybird当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.5 分当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 6 分y1 y2 则x1＜2，x2＜2，直线MA，MB的斜率之和为k MA＋k MB＝＋.7x1－2 x2－2 分由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得2kx1x2－3k x1＋x2＋4kk MA＋k MB＝. 8 分x1－2x2－2x2将y＝k(x－1)代入＋y2＝1 得2(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.4k2 2k2－2所以x1＋x2＝，x1x2＝.9 分2k2＋1 2k2＋14k3－4k－12k3＋8k3＋4k则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0. 11 分2k2＋1从而k MA＋k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB. 12 分[易错与防范]解答本题(2)时易漏掉对特殊情况讨论，即直线与x轴重合及直线与x轴垂直，想当然认为斜率一定存在而致错，解答此类问题时应特别注意直线斜率存在与否．[通性通法]圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．x2在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)4交于M，N两点．(1)当k＝0 时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．[解](1)由题设可得M(2 a，a)，N(－2 a，a)，或M(－2 a，a)，N(2 a，a)．Earlybirdx x2又y′＝，故y＝在x＝2 a处的导数值为a，所以C在点(2 a，a)处的2 4切线方程为y－a＝a(x－2 a)，即ax－y－a＝0.x2y＝在x＝－2 a处的导数值为－a，C在点(－2 a，a)处的切线方程为y－4a＝－a(x＋2 a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0 和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点．证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.y1－b y2－b从而k1＋k2＝＋x1 x22kx1x2＋a－b x1＋x2k a＋b＝＝.x1x2 a当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．[大题增分专训]x2 y21．(2019·衡水联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(－2，1)，离心率a2 b22为，直线l：kx－y＋2＝0 与椭圆C交于A，B两点．2(1)求椭圆C的标准方程；→→→→(2)是否存在实数k，使得|OA＋OB|＝|OA－OB|(其中O为坐标原点)成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．[解](1)依题意，得Error!解得a2＝4，b2＝2，c2＝2，x2 y2故椭圆C的标准方程为＋＝1.4 2Earlybird(2)假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程Error!消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0.2 2则Δ＝64k2－16(1＋2k2)>0，即k> 或k<－.(*)2 28k 4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.1＋2k2 1＋2k2→→→→→→由|OA＋OB|＝|OA－OB|，得OA·OB＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0.41＋k216k2 8－4k2∴－＋4＝0，即＝0，1＋2k2 1＋2k2 1＋2k2∴k2＝2，即k＝±2，满足(*)式．→→→→故存在实数k＝±2，使得|OA＋OB|＝|OA－OB|成立．x2 y22．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1 交4 3于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．1(1)证明：k<－；2→→→→→(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：2|FP|＝|FA→|＋|FB|.x21y21x y[证明](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.4 3 4 32 2y1－y2 x1＋x2 y1＋y2两式相减，并由＝k得＋·k＝0.x1－x2 4 3x1＋x2 y1＋y2 3由题设知＝1，＝m，于是k＝－.2 2 4m3 1由题设得0<m< ，故k<－.2 2(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.Earlybird3 3 → 3又点P在C上，所以m＝，从而P1，－，|FP|＝.4 2 2→x21x1于是|FA|＝x1－12＋y21＝x1－12＋31－＝2－.4 2→x2同理|FB|＝2－.2→→ 1所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.2→→→故2|FP|＝|FA|＋|FB|.x2 y23．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点Ma2 b21，(2.2 )(1)求椭圆E的标准方程；→→(2)设点Q(2,0)，过点F2 作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．1 1[解](1)由题易知c＝1，＋＝1，a2 2b2又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，x2故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.2(2)设直线l：x＝ky＋1，由Error!得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.－2k－1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.k2＋2 k2＋2→→4k2＋1－2k→QC＝QA＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，QB－，( k2＋2)k2＋2→→→28 8∴|QC|2＝|QA＋QB|2＝16－＋，k2＋2 k2＋22→由此可知，|QC|2 的大小与k2 的取值有关．Earlybird→→y1 1 y2由F2A＝λF2B可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．y2 λy11 y1 y2 y1＋y22－2y1y2 －6k2－4从而λ＋＝＋＝＝，λy2 y1 y1y2 k2＋21 5由λ∈[－2，－1]得( ∈，－2]，λ＋－λ) [25 －6k2－4 2从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.2 k2＋2 71 7 1令t＝，则t∈，，k2＋2 [ 2]16→7 17 1 →∴|QC|2＝8t2－28t＋16＝8 t－2－，∴当t＝时，|QC|min＝2.( 4 )2 2。