高二数学教案：9.7直线与平面所成的角和二面角(三)

《学棋》教学设计教案教学设计来源：admin《学棋》第二课时一、教学目标：1、能正确、流利、有感情地朗读课文。

2、理解课文内容，懂得读书学习要专心致志。

二、教学重点和难点：1、理解“能手、远近闻名、专心致志”等词语的意思。

2、能用“一边……一边……”说一句话。

3、通过朗读，对比两位学生学棋的不同表现，懂得读书要专心致志的道理。

三、教具：挂图，卡片，教学过程：一、复习导入这节课我们继续学习第13课（齐读课题）。

在学习之前我们先复习一下生字，好吗？（好）指名朗读，齐读。

二、精读课文1、回忆课文讲了一件什么事？指名交流，“学棋”2、学习第一自然段（1）请自由读第一自然段，说说你懂了什么？（2）交流：秋是下围棋的能手。

（板书：能手）什么是能手？（3）从哪儿你可以看出他是下围棋的能手？因为他的棋艺远近闻名。

换词理解“远近闻名”（世界文明，非常有名。

）读词语。

（4）秋的棋艺真的是很高超，你们佩服他吗？谁来读第一自然段？3、学习第三自然段（1）过渡：秋的棋艺是这样的高超，那么跟他学下棋会学得怎么样呢？谁来说说看。

（一定也能学到高超的棋艺）有这么两位学生，他们拜秋为师学下棋，他们学得怎么样呢？（2）请默读第三自然段。

指名回答，一个成了出色的棋手，理解“出色”另一个棋艺一直没有多大长进。

理解“没有多大长进”比较：没有长进。

没有多大长进。

这两句话有什么不同？（前面：没有一点进步，后者：有进步但进步不大。

）同学们，他们两个学生同去拜秋为师，秋的棋艺又那么高超，不怕成不了下棋的高手，可学习后的结果却截然不同。

学到这里你们有什么疑问吗？（为什么一个棋手能成为出色的棋手？而另一个却没有多大的长进呢？）4、学习第二自然段是啊，他们同拜秋为师，为什么一个能成为出色的棋手，而另一个却没有多大长进呢？（1）看图，初步了解他们两个学生不同的表现。

他们是怎么学的？交流（一个学得认真，另一个学得心不在焉。

）（2）学习句子，进一步明白两个学生学棋的表现的截然不同。

浙江省金华市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系二面角教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省金华市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系二面角教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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二面角教学过程设计意图时间安排1、创设情境引入新课本板块的主要教学内容为认识二面角，具体过程是:(1)用多媒体演示动画我国神舟“五号”载人飞船的发射过程和第一颗人造卫星轨道平面与地球赤道平面所成的角（2）用多媒体演示动画演示拦洪坝与水平面所成的角（3)图片展示二面角在现实生活中的应用2、师生互动探求新知首先提问平面几何的角的概念，并动画演示平面几何的角与二面角的形成过程,让学生类比角与二面角，其次提出问题：二面角的大小应该怎样度量？再次，教师通过多煤体演示演示二面角的平面角的作法，加深学生的记忆，让学生探索求二面角大小的方法——定义法、三垂线定理法、垂面法。

3、运用新知探索实践：本板块的主要教学内容三道例题和练习题，练习与例题对应，按由易到难,由浅入深的顺序给出.设计目的是创设情境，增加学生的神圣感和使命感，让学生从不同角度观看二面角,初步了解二面角，动态演示可以激发学生的兴趣，使学生产生想深入研究二面角的想法。

同时，直观形象的演示，使新课引入更生动自然，易于接受完成从平面几何的角到二面角的过渡，培养学生的空间想象能力再通过多媒体演示二面角的平面角的形成过程，理解二面角的范围和直二面角的定义培养学生发散思维,学会在交流中学生，并学会二面角的平面角的作法通过例题的教学，加深对知识的理解,提高解决问题的能力。

CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角（2） 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念；2、掌握求直线与平面所成的角的方法；3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角；2、直线和平面所成的角：一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成的角是0︒的角。

直线和平面所成的角范围：[0，2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。

在长方体ABC D －A'B'C'D'中，AB=4，BC=3，AA'=5，试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。

解：作B'E ⊥A'B ，又因为A'D'⊥平面ABB'A'， 所以A'D'⊥B'E 。

由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影， 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角； 在直角B D E ''∆中，有sin EB B D E D B '''∠=''但是，5D B ''==，又1122A BB S AB EB A B BB ''∆'''''==g gA B '==EB '∴==sin 41B D E ''∴∠==解法2：如图建立空间直角坐标系，则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B '''，()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-u u u u r u u u r u u u u r， 设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =r则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩r u u u r r r u u u u r。

的树》教学教案一、教学目标【知识与能力】学会本课4个生字，理解文章所讲的故事。

【过程与方法】学生通过自主读文、讨论、交流等过程，感受课文情感。

【情感态度与价值观】培养学生珍惜友谊，信守承诺的良好品质，体会人和物之间的相互依存、和谐发展。

二、教学重难点【重点】理解课文内容，感受童话的趣味以及体会鸟与树的友谊。

【难点】感受鸟儿对树的真挚情谊，体会鸟儿对树的情感。

三、教学过程(一)创设情境，导入新课导入时，让学生们畅所欲言，讲一讲他们熟悉或喜欢的童话故事，这样做一方面是为了激发学生学习童话故事的兴趣;另一方面是为了锻炼学生的口语表达能力。

(板书标题)(二)初读课文，整体感知1.初读课文，解决生字词。

(屏幕出示生字词，指名学生读)(一两个即可)2.学生朗读课文思考：主要讲了一件什么事?可以分为几部分?每部分主要讲了什么内容?明确：①写了一只鸟儿为了实现自己去年的诺言，去寻找好朋友“树”并为它歌唱的事情。

②可分为三个部分，第一部分(第1自然段)树与鸟儿是好朋友，鸟儿天天为树唱歌;第二部分(第2~4自然段)鸟儿离开树到南方过冬，答应明年春天继续为树唱歌;第三部分(第5~17自然段)写鸟儿飞回时不见树的踪影，四处寻找，最终实现了自己的诺言。

(三)抓住重点，理解道理1.这篇童话一共有几次对话?怎样通过对话推动故事的发展的?(小组讨论)明确：共出现四次对话。

第一次对话，鸟与树，约定明年春天相见时鸟再唱歌给树听，第二次对话是鸟与树根，鸟向树根询问树到什么地方去了，树根告诉鸟“伐木人用斧子把他砍倒了，拉到山谷里去了”。

第三次对话是鸟向门打听树的去处，门先生告诉她树根切成细条条儿做成火柴卖到村子里去了。

第四次对话是鸟与小姑娘打听火柴的下落，小姑娘告诉她“火柴已经用光了”，只剩下用火柴点燃的灯光。

这四次对话，分别就是本篇童话的起因、经过和结果。

2.在小鸟与大门的对话中出现了哪些动词?表达了作者怎样的感情?明确：作者运用了“切、做、运、卖”四个动词描述了树的动向。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DC BAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小 解：取BC 的中点E，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=方法二：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1， ∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||EA ED ==，∴1cos 3AED ∠=即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，112AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线则已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴2DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --四、课堂练习： 1如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令ABa =，则,2AH a BE a ===∴HF a =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B --的大小为arctan33．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD∴12CO BD ==∴cos ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 所成角的大小为6π（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵1122OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan AO AEO OE ∠==∴arctan AEO ∠=即二面角A BC D --的大小为arctan2（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45 五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。

【课 题】直线与平面所成的角与二面角（7） 【教学目标】1、进一步理解二面角及其平面角的概念；2、重点掌握利用向量的方法求二面角的平面角【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、 复习引入二、 讲解新课【例1】在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝a ，AD ＝3a ，sin ∠ADC ＝55， PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ，求二面角P －CD －A 的正切值。

xy解法1：在梯形ABCD 中，过A 作CD 的垂线AE ，连接PE ，∵ PA 是底面ABCD 的垂线，AE 是PE 在底面的射影， ∴ PE ⊥CD ，∠AEP 是二面角P －CD －A 的平面角，∵ 在△AED 中，AD ＝3a ，sin ∠ADC =55, ∴AE =AD ·sin ∠ADC =553a , 在Rt △PAE 中，PA ＝a ，∴ t g ∠AEP ＝AE PA =35. 解法2：以A 为原点，AP AD AB ,,所在的单位向量为基向量，建立直角坐标系。

过C 作AD CE ⊥于E ，则a ADCCECD a AB CE 5sin ,=∠===，所以a AE BC a DE 2,===从而)0,3,0(),0,,(),,0,0(a D a a C a P ，且)0,3,0(),,(a a a a =-=， 又易知AP 为平面ABCD 的法向量。

设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⊥⊥,，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-+⇒⎩⎨⎧=-⋅=-⋅zy zx az ay az ay ax a a z y x a a a z y x 31320300),3,0(),,(0),(),,(取,3=z 则⎪⎩⎪⎨⎧==-=312z y x ，所以)3,1,2(-=n则1414314314),0,0()3,1,2(,cos =⋅⋅-==〉〈a a ， 所以所求的二面角为14143arccos，即正切值为35【注】二面角的两个平面的法向量的夹角就是所求的二面角或是其补角设θ表示二面角l αβ--的平面角的值，12,n n 分别表示平面,αβ的法向量，当其中一个半平面绕着棱l 转动到与另一个半平面重合时，如果两个法向量的方向相同，则θ角就是二面角的平面角的大小，否则就是πθ-。

直线和平面所成的角与二面角（3）——面面垂直一、课题：直线和平面所成角与二面角（3）——面面垂直 二、教学目标：1．进一步巩固二面角的概念；2．掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用．三、教学重点、难点：两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用． 四、教学过程： （一）复习：1．二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法； 2．求二面角的步骤：作——证——算——答； （二）新课讲解：1．两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平 面．2．两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ，求证：αβ⊥．证明：如图所示，令CD αβ= ，则B CD ∈，在β内过B 作BE CD ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直． 3．两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面． 已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥ 于点B ，求证：AB β⊥． 证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角，ED CBAβα∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥，∴AB β⊥．4．例题分析：例1．如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(三)教学目的：1．两个平面垂直的定义、画法． 2．两个平面垂直的判定定理．3．两个平面垂直的性质定理．教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．直线和平面所成角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经2．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21= 3 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示： 第一种是卧式法，也称为平卧式：A B CDFGHIKLϕ2ϕ1cbaθPαO ABED CB Aβα第二种是立式法，也称为直立式：4．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]o o；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面二、讲解新课：1两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫2．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么已知：直线AB ⊂平面α，AB ⊥平面β，垂足为B ， 求证：αβ⊥．（线面垂直⇒面面垂直） 证明：如图所示，令CD αβ=I ，则B CD ∈， 在β内过B 作BE CD ⊥，∵,AB CD ββ⊥⊂，∴AB CD ⊥， ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角， 又∵AB BE ⊥，∴ABE ∠是直角，l B'O'A'B O A βαNMPCBA aγβαPOABC所以，α与β所成的二面角是直角，即αβ⊥．3．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于已知：,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥I 于点B ， 求证：AB β⊥．（面面垂直⇒线面垂直）证明：在β内过B 作BE CD ⊥，则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角， ∵αβ⊥知AB BE ⊥，又∵AB CD ⊥， ∴AB β⊥．三、讲解范例：例1 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ． 分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂解：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，又∵PA 垂直于O e 所在的平面，∴PA BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中， 所以，平面PAC ⊥平面PBC ．说明：由于平面PAC 与平面PBC 相交于PC ，所以如果平面PAC ⊥平面PBC ，则在平面PBC 中，垂直于PC 的直线一定垂直于平面PAC ，这是寻例2．已知,,a αβαγβγ=⊥⊥I ，求证：a γ⊥． 证明：设,AB AC αγβγ==I I ，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥，∴PM α⊥， 又∵a αβ=I ，∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥，αHDCBADCBA∴a γ⊥．例3．已知在一个60o 的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求CD解：由已知,,,18060120CA AB AB BD CA BD ⊥⊥<>=-=o o o u u u r u u u r，∴22||()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||268cos120CA AB BD =+++⨯⨯⨯o u u u r u u u r u u u r 22216482682=++-⨯⨯⨯68=， ||)CD cm =u u u r四、课堂练习：1．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45o o，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=o ，45CBH ∠=o ，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CH a =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC ∆中，有3AC BC CD a AB ⋅== 在Rt CDH ∆中，sin CH CD θ==∴CD 与平面α.βαlP CB图1AE D'B'C'A'ODACB2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时，∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC I 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1sin 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=o在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠=o 故304575ACB ∠=+=o o o （图1）或453015ACB ∠=-=o o o （图2） 即二面角l αβ--的大小为75o 或15o 说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线3．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ βαlPCB图2A∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）在Rt AOC ∆中， OC AC ==∴30OAC ∠=o （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角在Rt OAE ∆中，1,2OE AE ===∴tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90o 说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角(0,]2π，直线和平面所成角[0,]2π，二面角[0,]π三种；求角度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结五、小结 ：1．两个平面垂直的定义、画法2．两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．） 3．应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题；4．两个平面垂直的性质. 六、课后作业： 七、板书设计八、课后记：。