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高等数学教学课件：v-9-2

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高等数学教学课件PPT

高等数学教学课件PPT

注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射

《高等数学》PPT课件

《高等数学》PPT课件

因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：

高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程

高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程

2
两边积分, 得 1 ln 1 2u 3 ln x ln C 2 1 y 3 或 ln 1 2( ) ln x ln C . 2 x
21
课堂练习
1 求下列齐次方程的通解: x x x y y (2) (1 2e ) 2e (1 )dy 0 y x dx du 解令 u, x yu, u y , y dy dy du u 代入原方程 ， 得 (1 2e )( u y ) 2e u (1 u) 0, dy u 1 2e 1 即 du dy , u y u 2e 两边积分， 得 ln u 2e u ln y ln C
解
分离变量
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c 2x
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7e

C 7e
2x
4
例题讲解

例 3 求解微分方程
4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx的通解
dy x y 解： dx 2 xy
2
2
dy ( y x) 1 dx 2( y x)
2
y 令u , y ux x
18
例题讲解(续)
dy dux du 1 u 2 ux dx dx dx 2u dx 2u 1 1 du ( )du 2 x 1 u 1 u 1 u ~ ln x ln(1 u ) ln(1 u ) ln c
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx

4 5

高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义

高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2

=
2
, 3

=
3
.

(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2

=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31


12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33

= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12

⋱
⋮ ，则 = ⋮

高等数学 课件 PPT 第九章 重积分

高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4

高等数学 9-2二重积分的计算法

高等数学 9-2二重积分的计算法
2 2 2 2 2 2
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
D1
x + y = a ⇒ r = a,
2 2 2
( x + y ) = 2a ( x − y )
2 2 2 2 2 2
⇒ r = a 2 cos 2θ ,
r = a 2 cos 2θ π , 得交点 A = ( a, ) , 由 6 r=a
1
2− y 1− y
2
f ( x , y )dx .
例 3 求 ∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
2
所围平面闭区域. y = x 和 x = y 所围平面闭区域
2 2
D
解 两曲线的交点
x = y2
y = x ⇒ (0,0) , (1,1), 2 x = y
2
y = x2
y
A(x0 )
x
y = ϕ1(x)
ϕ2 ( x) ϕ1 ( x )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ dx ∫
a D
f ( x , y )dy .
c 如果积分区域为： 如果积分区域为： ≤ y ≤ d , ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ).
［Y－型］ －
d
d
x = ϕ1( y)
x2 + y2 = 1
1 , 直线方程为r = sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ dθ ∫
2
π
1
D
0
1 sinθ +cosθ
f (r cosθ , r sinθ )rdr.

高等数学下9-2

1）积分次序(Y-型域 ：先 x 后 y ; ）积分次序 型域 型域)： 2）积分限确定法： ）积分限确定法： “域中一针穿”，须用平行于 x 轴的射线 域中一针穿” 穿插区域 。
4、利用直角坐标计算二重积分的步骤 、利用直角坐标计算二重积分的步骤 角坐标
（1）画出积分区域的图形，求出边界曲线交点坐标； ）画出积分区域的图形，求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型， 确定积分次序； ）根据积分域类型， 确定积分次序； （3）确定积分限，化为二次定积分； ）确定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出结果。 ）计算两次定积分，即可得出结果。 注意：二重积分转化为二次定积分时， 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在 于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。 于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。
例1. 计算 y＝x 所围的闭区域 ＝ 所围的闭区域.
其中D 其中 是直线 y＝1, x＝2, 及 ＝ ＝
解法1. 看作X–型区域 解法 将D看作 型区域 则 看作 型区域,
y
x
解法2. 看作Y–型区域 解法 将D看作 型区域 则 看作 型区域,
例 2 求 ∫∫ ( x 2 + y )dxdy ，其中 D 是由抛物线 所围平面闭区域. y = x 2 和 x = y 2 所围平面闭区域
c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y) ≤ x ≤ ϕ2 ( y).
d
d
x = ϕ1( y)
x = ϕ1( y)
D
c
x = ϕ2( y)
c
Dx
= ϕ2( y)
［Y－型］ － Y型区域的特点：a. 穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界的交点不多于两个； 线与区域边界的交点不多于两个； b. ϕ1( y) ≤ ϕ2 ( y).

高教社2024高等数学第五版教学课件-9.3 矩阵的定义与运算

2108 422 22 38
例2 含有个未知量个方程的线性方程组
11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 = 1
21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 = 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 1 + 2 2 + ⋯ + =
把它的系数​ ( = 1,2, ⋯ , ; = 1,2, ⋯ , )与常数项 ( = 1,2, ⋯ , )按照
⋮
2
⋯
⋯
⋱⋯Leabharlann 12⋮
称为行列矩阵，简称 × 矩阵．矩阵通常用大写字母, , , ⋯，表示．例
如，上述矩阵可以记为或× ，也可记为 = [ ]．
特别地，
当 = 1时，矩阵只有一行，即 = (11
12
⋯ 1 )，称为行矩阵；


当 = 1时，矩阵只有一列，即 = ⋮ ，称为列矩阵；
12
22
⋮
2
11
⋯ 1
21
⋯ 2
， = ⋮
⋱
⋮
1
⋯
12
22
⋮
2
⋯ 1
⋯ 2
⋱
⋮
⋯
其 中 = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = σ=1 ( = 1, 2, ⋯ , ​​; ​ = 1, 2, ⋯ , ​) ，
素可以是零也可以不是零．同时，上（或下）三角矩阵一定是方阵．上三角矩
阵和下三角矩阵统称为三角矩阵．
3．对角矩阵
若一个阶方阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为阶对
角矩阵( = 0, ≠ , , = 1,2, ⋯ , )，记为．对角矩阵是非零元素（如

高等数学教学课件


高等数学的发展历程
早期发展
高等数学的发展可以追溯到古希腊时期，当时的数学家开始研究变 量和函数的概念。
中期发展
随着欧洲文艺复兴和科学革命的兴起，高等数学得到了快速的发展， 涌现出了一批杰出的数学家和数学成果。
现代发展
现代高等数学的研究领域更加广泛，涉及的分支也更加多样化，如微 分方程、实分析、复分析等都是现代高等数学的重要分支。
02
高等数学基础知识
极限理论
1 2
极限的定义与性质
极限是高等数学中的基本概念，它描述了函数在 某一点的变化趋势。极限的性质包括唯一性、有 界性、局部保号性等。
极限的运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加 减乘除的运算规则和复合函数的极限运算法则。
3
极限存在准则
极限存在准则包括夹逼准则、单调有界准则、柯 西收敛准则等，这些准则是判断函数极限存在的 常用方法。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
01
不定积分是求函数原函数的运算，其性质包括线性性、可加性、
积分区间的可加性等。
定积分的概念与性质
02
定积分是求曲线下面积的运算，其性质包括线性性、可加性、
区间可加性等。
定积分的应用
03
定积分的应用非常广泛，例如求曲线下面积、求变速直线运动
的路程等。
空间解析几何
经济学中的高等数学应用
总结词
经济学中高等数学的应用有助于建立更 精确的模型和预测
VS
详细描述
经济学中有很多问题需要用到高等数学的 知识，如计量经济学、数理经济学、金融 数学等领域。通过应用高等数学，经济学 家们可以建立更精确的模型和预测，更好 地理解和解决经济问题。

高等数学完整全套教学课件

高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。

本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。

具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。

2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。

3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。

4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。

二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。

2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。

3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。

4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。

2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。

2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。

3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。

4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。

5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。

6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。

六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。

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区域特征如图：
r 1()
1() r 2(),
［X－型］
D
a
1( x)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
D
c
1( y)
（在积分中要正确选择积分次序）
高等数学
思考题
设 f ( x)在[0,1]上连续，并设
1
f ( x)dx
A，
0
求
1
dx
1
f ( x) f ( y)dy.
0x
高等数学
思考题解答
0 x y 1, x y xy,
所求体积V ( x y xy)d
D
1dx 1x ( x
0
0
y
xy)dy
1[ 0
x(1
x)
1 (1 2
x)3 ]dx
7. 24
高等数学
(二)小结
高等数学
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
1
2 y
dy
0
1
1 Байду номын сангаас2
f ( x, y)dx.
高等数学
例 3
改变积分
2a
dx
0
2ax
2ax x2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解 y 2ax
2a
y 2ax x2 x a a2 y2 a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx
a
2a
a
dy
高等数学
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小 结
高等数学
一、利用直角坐标系计算二重积分
(一) 直角坐标系下得计算公式
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
0
2a 2a a a2 y2
f ( x, y)dx
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
高等数学
例 4 求 ( x 2 y)dxdy ，其中D 是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
( x 2
c
1( y)
D
高等数学
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
高等数学
例 1
改变积分
x
f ( y)dy
0
x
0
0
1
x
1
f ( x)dx[( ) f ( y)dy]
0
0
x
1
f ( x)dx
1
f
(
y)dy
A2 .
0
0
高等数学
复习 求积分 ( x2 y2)dxdy,其中D : x2 y2 4.
D
解
I
2
x2dxdy
211 dx
4 x2 4 x2
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
a
b
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
高等数学
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
z
z f (x, y)
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
y)dxdy
1
dx
0
x
x
2
(
x
2
y)dy
D
1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
y x2
高等数学
例 5 求 x 2e y2 dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
1 f ( y)dy不能直接积出, 改变积分次序. x
令I
11
dx f ( x) f ( y)dy,
0x
则原式
1
dy
y
f ( x) f ( y)dx .
00
1
x
f ( x)dx f ( y)dy,
0
0
高等数学
故2I
1
1
f ( x)dx f ( y)dy
1
f ( x)dx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x)
f
( x,
y
y)dy.
1(x)
D
a
1( x)
高等数学
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t80 2
4
sin2t
2
cos
t
2
cos
2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
高等数学
二、利用极坐标系计算二重积分
12i(2r12i
(ri ri )2
ri )ri
i
i
ri
(ri 2
ri
)
ri
i
1 2
ri
2
r
i
ri
ri
r ri
i i i
ri ri i ,
D
i
故d rdrd. o
A
高等数学
f ( x, y)dxdy f (r cos, r sin )rdrd.
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
1
dx
1 x f ( x, y)dy的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
高等数学
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy 的次序.
0
0
1
0
解 积分区域如图
y2 x y 2x x2
原式
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2
y3 dy
e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
高等数学
例 6
计算积分
I
1
2 dy
y
e
y x
dx
1
1
4
2
1
dy
y
e
y x
dx
.
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
y x2
高等数学 例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
z x y ，z xy ， x y 1 ，x 0 ，y 0 .
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在xoy 面上的投影是