2020初三二次函数二

2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

第13讲二次函数(二)(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019岳阳)对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1,x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( B )(A)c<-3 (B)c<-2(C)c< (D)c<1解析:由题意知x1,x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,且x1<1<x2,整理,得x2+x+c=0,则解得c<-2,故选B.2.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是( B )(A)-1<x<4(B)-1<x<3(C)x<-1或x>4(D)x<-1或x>3解析:由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0),∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,∴-1<x<3.故选B.3.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9.5 s时落地:④足球被踢出7.5 s时,距离地面的高度是11.25 m,其中不正确结论的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设该抛物线的解析式为h=at2+bt+c,将(0,0),(1,8),(2,14)代入,得解得∴h=-t2+9t=-(t-)2+,∴当t=时,h取得最大值,此时h=,故①错误;该抛物线的对称轴是直线t=,故②正确;当h=0时,得t=0或t=9,故③错误;当t=7.5时,h=-t2+9t=11.25,故④正确.综上可得,不正确的是①③.故选B.4.如图,二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A,O,在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,则点P的坐标是( D )(A)(-3,-3)(B)(1,-3)(C)(-3,-3)或(-3,1)(D)(-3,-3)或(1,-3)解析:令y=0,得-x2-2x=0,解得x=0,x=-2.∴A(-2,0),OA=2.∵S△AOP=OA·|y P|=3.∴|y P|=3.当y P=3时,-x2-2x=3,x2+2x+3=0,Δ=4-12<0,方程无解,此种情况不成立;当y P=-3时,-x2-2x=-3,x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,∴点P的坐标为(1,-3)或(-3,-3).故选D.5.(2019天津)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x 与函数值y的部分对应值如下表:且当x=-时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<.其中正确结论的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:当x=0时,c=-2,当x=1时,a+b-2=-2,∴a+b=0,∴y=ax2-ax-2,∴abc=2a2>0,故①正确;由表知直线x=是对称轴,当x=-2时,y=t,∴当x=3时,y=t,∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,故②正确;把x=-1代入,得m=a+a-2=2a-2,把x=2代入,得n=4a-2a-2=2a-2,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4,∵当x=-时,y=a-b+c=a+a-2=a-2>0,解得a>,∴m+n>4×-4=,故③错误,∴正确结论是①②,共2个,故选C.6.(2019武汉)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是x1=-2,x2=5 .解析:由a(x-1)2+c=b-bx得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a(x-1)2+b(x-1)+c,∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0),∴抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的两交点坐标为(-2,0),(5,0), ∴一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的解为x1=-2,x2=5.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是-2 .解析:∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为(-,-).∵抛物线y=ax2过点B,∴-=a(-)2,解得b1=0(舍去),b2=-2.即b的值为-2.8.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D 同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.解:设运动时间为t s(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意,得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×t(6-t)=2t2-12t+36= 2(t-3)2+18,∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18 cm2.9.已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,点O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.(1)证明:联立化简可得x2-(4+k)x-1=0,∵Δ=(4+k)2+4>0恒成立,∴直线l与该抛物线总有两个交点.(2)解:当k=-2时,y=-2x+1,如图,过点A作AF⊥x轴于点F,过点B作BE⊥x轴于点E,∴联立解得或∴点A的坐标为(1-,2-1),点B的坐标为(1+,-1-2),∴AF=2-1,BE=1+2.∵直线y=-2x+1与x轴的交点C的坐标为(,0),∴OC=,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·AF+OC·BE=OC·(AF+BE)=××(2-1+1+2)=.10.(2019青岛)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?解:(1)设销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=kx+b,将点(30,100),(45,70)分别代入,得解得故该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数解析式为y=-2x+160.(2)由题意,得w=(x-30)(-2x+160)=-2x2+220x-4 800=-2(x-55)2+ 1 250,∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,∵30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,最大值为w=1 200,故销售单价定为50元时,该商店销售该商品每天的利润最大,最大利润为1 200元.(3)由题意,得-2(x-55)2+1 250≥800,解得40≤x≤70,∵y=-2x+160,∴当x=70时,y取得最小值,最小值是y=-2×70+160=20,∴每天的销售量最少应为20件.B层(能力)11.已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是( D )(A)-<m<3 (B)-<m<2(C)-2<m<3 (D)-6<m<-2解析:如图,当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6(-2≤x≤3),当直线y=-x+m经过点A(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有两个相等的实数解,解得m=-6,∴当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为-6<m<-2.故选D.12.(2019衡阳)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2如图所示.已知A点的坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……,依次进行下去,则点A2 019的坐标为(-1 010,1 0102) .解析:∵点A的坐标为(1,1),∴直线OA为y=x,点A1的坐标为(-1,1),∵A1A2∥OA,∴直线A1A2为y=x+2,则解得∴点A2的坐标为(2,4),∴点A3的坐标为(-2,4),∵A3A4∥OA,∴直线A3A4为y=x+6,则解得∴点A4的坐标为(3,9),∴点A5的坐标为(-3,9)…,∴其规律为A2(n-1)(n,n2),A2n-1(-n,n2),∴A2 019的坐标为(-1 010,1 0102),13.图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为α,β,且tan α=,tan β=,以O为原点,OA 所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)求点P的坐标;(2)水面上升1 m,水面宽多少?(取1.41,结果精确到0.1 m)解:(1)过点P作PH⊥OA于点H,如图.设PH=3x,在Rt△OHP中,∵tan α==,∴OH=6x.在Rt△AHP中,∵tan β==,∴AH=2x,∴OA=OH+AH=8x=4,∴x=.∴OH=3,PH=.∴点P的坐标为(3,).(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4), ∵P(3,)在抛物线y=ax(x-4)上,∴3a(3-4)=,解得a=-.∴抛物线的解析式为y=-x(x-4).当y=1时,-x(x-4)=1,解得x 1=2+,x2=2-.∴BC=(2+)-(2-)=2≈2×1.41=2.82≈2.8(m).答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.。

二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG 面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC 相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M 的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D 为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD 垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D 在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q 的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP 的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A （﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36 ；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

新北师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质2》导学案环节一 知识连接（本节课关联知识点复习巩固）二次函数2x y 的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________二次函数2-x y 的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 环节二 教材精读（归纳出本节课需要掌握的知识点） 在同一直角坐标系中，画出函数222x 2y x 21y x y ，，的图象．● 归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0,开口_____顶点坐标都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． ● 归纳：开口大小由_________决定.x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12x 2……x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2……在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1,y＝x2－1的图象.x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……归纳1：可以发现,把抛物线y＝x2向______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2＋1;把抛物线y＝x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2－1.归纳2：开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋1课堂练习：1、抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;2、抛物线y＝2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.3、因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________;4、把抛物线y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________.。

2020年重庆中考复习二次函数专题训练二1．（2020•南岸区校级模拟）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是正确的；由对称轴为x ＝﹣＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即3a+c ＜0，又a＜0，4a+c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2+bx+c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且﹣1＜x1＜0，由对称轴x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有4个，故选：A．2．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P （﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c ＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x ＝时，y＜0，即a +b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）图象的一部分，它与x轴的一个交点A在点（2，0）和点（3，0）之间，图象的对称轴是x＝1，对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x ＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．4．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．下列说法，其中正确的是（）①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④b﹣c ＞2a A．①②B．①③④C．②④ D．①②④解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），其对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0），且b＝﹣2a，由图象知：a＜0，c＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0，∴abc＜0故结论①②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故结论③错误；∵a﹣b+c＝0，a＜0，∴2a﹣b+c＜0，∴b﹣c＞2a，故结论④正确；故结论正确的有①②④，故选：D．5．（2019秋•涪陵区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；⑤c+8a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，∴a＜0，c＞0，﹣＝1，即2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，故①②正确；∵抛物线的图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；∵2a+b＝0，即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，∵a＜0，∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；即正确的有3个，故选：C．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；⑤a ＞；其中，正确的结论有（）A．5 B．4 C．3 D．2解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＜0，故abc＜0，故错误；②对称轴为直线x＝﹣1，0＜x1＜1，则﹣3＜x2＜﹣2，正确；③对称轴为直线x＝﹣1，则b＝2a，4a﹣2b+c＝c＜﹣1，故正确；④x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，为最小值，故a﹣b+c＜am2+bm+c，故错误；⑤x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＞0，即3a＞﹣c，而c＜﹣1，故a ＞，正确；故选：C．7．（2019•重庆模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点C，则下列四个结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＜0；④4a+c＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，则ac＜0，即①正确，该二次函数的对称轴为：x ＝﹣＝1，整理得：2a+b＝0，即②正确，∵抛物线对称轴为x＝1，点B的坐标为：（﹣1，0），则点A的坐标为：（3，0），由图象可知：当1＜x＜3时，y＞0，即③错误，由图象可知，当x＝﹣1时，函数值为0，把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵a＜0，∴4a+c＜0 即④正确，正确结论的序号是①②④，故选：A．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴y＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣3），由图象可知，a ＜0；①将点（﹣，y1）和（2，y2）分别代入抛物线解析式可得y1＝﹣a，y2＝﹣3a，∴y1＜y2；②由图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0；③由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1，∴对任意m，则有m（am+b）＜a+b；②＝＝﹣3；∴①②③④正确，故选：A．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m ＝0没有实数根，下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③m＞﹣2；④二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0），最小值为﹣2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0正确，符合题意；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故原选项错误，不符合题意；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝m没有交点，故m ＜﹣2，原选项错误，不符合题意；④从图象看二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2，故符合题意；故选：B．10．（2019秋•曾都区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），∴x ＝，且﹣4a＝a+b+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．11．（2020•下陆区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣2.5，y1），（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①由图象开口向上，则a＞0，故b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确．④∵点（﹣0.5，y2）在抛物线上，对称轴为x＝﹣1，∴（﹣1.5，y2）也在抛物线上，∵﹣1.5＞﹣2.5，且（﹣1.5，y2），（﹣2.5，y1）都在对称轴的左侧，∴y1＞y2，故④正确．⑤∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③④⑤共4个．故选：C．12．（2020•成华区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0）其部分图象如图所示，下列结论其中结论正确的是（）①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④抛物线线的顶点坐标为（2，b）⑤当x＜2时，y随x增大而增大A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，∴﹣＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b＝0，结论②正确；③∵当x＝﹣1时，y值为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝4a+2b+c＝（4a+b+c）+b＝b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C．13．（2020•枣阳市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤解：由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故正确；②∵当x＝﹣1时，y＞1，∴a﹣b+c＞1，故正确；③abc＝2a2＞0，故正确；④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，故正确；⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；∴①②③④⑤正确，故选：D．14．（2020•凉山州一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示、则下列结论：①abc＞0；②a﹣5b+9c＞0；③3a+c＜0，正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．②③解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①正确；③∵x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a﹣5b+9c＝9c﹣9a＝9（c﹣a）＞0，故②正确，③∵x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；故选：C．15．（2020•龙岗区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣1，2），下列结论中正确的有（）①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即y＝4a﹣2b+c＜0，故①正确；②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴大于﹣1，即x ＝﹣＞﹣1，得出2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），由图象知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），联立（1）（2），得：a+c＜1，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，故选：D．16．（2019秋•铁锋区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大：④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2：⑤＜0，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0，∴abc＞0，故结论①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0∵a＝b，∴c＝﹣6a，∴3a+c＝﹣3a＞0，故结论②正确；∵当x ＜﹣时，y随x 的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小，故结论③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2，故结论④成立；∵当x ＝﹣时，y ＝＞0，∴＜0，故结论⑤正确；故选：C．。

22．1．3二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质（2）——二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x-h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x-h ）2的性质，并要会灵活应用； 一、复习：1．在同一直角坐标系内画出二次函数y ＝ 12 x 2，y ＝ 12 x 2+2，y ＝12 x 2-2的图象（草图），并回答：(1)三条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2．（1）在同一直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图象有什么关系？ （2）二次函数y ＝ax 2＋k 的图象开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？二、探索新知：1．二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?画出二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2与二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝2x 2…… y ＝2(x －1)2 …… y ＝2(x+1)2……161284y 2x431－1 －2 －3 －4 0观察图像得：函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象相同点是： ； 不同的是：函数y ＝2(x －1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 ；函数y ＝2(x+1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 。

把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x －1)2；把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x+1)2。

2．画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12 (x －1)2……描点并画图．（1）、观察图象，填表：函数开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧） 平移y ＝－12 (x+1)2y ＝－12(x －1)2三、整理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋k y ＝a (x-h)2a>0a<0a>0a<0a>0a<0开口方向增减性（对称轴左侧）顶点坐标对称轴最值x= 时，y最值=平移对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．四、课堂训练1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．5．抛物线y= -3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为 .6．抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的；7．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，再向上平移2个单位得，到的抛物线的表达式为____________________．8．抛物线y=3（x－3）2可由抛物线y=3x2沿轴向平移个单位得到，也可以由抛物线y=3（x－7）2沿轴向平移个单位得到。